他方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)方差例1比較甲乙兩人的射擊技術(shù)，已知兩人每次擊中環(huán)數(shù)分布為：<789)<678910]0.卜10.601.)展<010.20.40.201./.問哪一個技術(shù)較好？首先看兩人平均擊中環(huán)數(shù)，此時EX=E"=8,從均值來看無法分辯孰優(yōu)孰劣.但從直觀上看，甲基本上穩(wěn)定在8環(huán)左右，而乙卻一會兒擊中10環(huán)，一會兒擊中6環(huán)，較不穩(wěn)定.因此從直觀上可以講甲的射擊技術(shù)較好.上例說明：對一隨機變量，除考慮它的平均取值外，還要考慮它取值的離散程度.稱，-E:為隨機變量：對于士||值E:的亶||udeviation),它是一隨機變量.為了給出一個描述離散程度的數(shù)值，考慮用E("-E-)，但由于E("-E-tE--E-=0對一切隨機變量均.2成立，即^的離差正負相消，因此用E(-—E-)是不恰當(dāng)?shù)?我們改用E(--E')描述取值｝的離散程度，這就是方差.2定義1若E(一一E-)存在，為有限值，就稱它是隨機變量-的方透t(variance),記彳Var-,Var'E(「E4但Var但Var的量綱與不同，為了統(tǒng)一量綱，有時用War-,稱為上的標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)..2方差是隨機變量函數(shù)(一—E-)的數(shù)學(xué)期望，由§1的(5)式，即可寫出方差的計算公式年(xi-E-)2P(^=x)離散型,(f(x-E-)2dF^(x)f(x-E-)2pt(x)dx,連續(xù)型.(2)Var=」=、■℃!(2)進一步，注意到E(JEZ2=Ep-20+(E：)2]=eZ2-舒)2即有vEEJe"Var=.許多情況，用(3)式計算方差較方便些.例1(續(xù))計算例1中的方差Var-與Var".

解利用⑶式匚2"X：P(解利用⑶式匚2"X：P(E二i=72X0.1+82X0.8+92>0,1=64.2,22Var=E-E=64.2--82=0.2..2.2這說明甲的射擊技同理，Var"=一()=65.2-64=1.2>Var",所以"取值較,分散.這說明甲的射擊技術(shù)較好.例2試計算泊松分布P(N的方差.kkoOc(k-1)k4kk(k-1)!(k-1)!二■j二,j)，入j—e—'、—e-jJj!他j!所以Var：=九2+九一Z=九2.例3設(shè)1服從[a,b]上的均勻分布U[a,b],oOc(k-1)k4kk(k-1)!(k-1)!二■j二,j)，入j—e—'、—e-jJj!他j!所以Var：=九2+九一Z=九2.例3設(shè)1服從[a,b]上的均勻分布U[a,b],求Var、..2b21122E=xdxaabb解ab-a3Var1a2abb23v-I..J21,2一2a=逐屋,例4設(shè)-服從正態(tài)分布N(a,°)，求Var\解此時用公式(2),由于E*=a,Var=E(-a)2==(x-a)e4x")2/2"dx2三-二ze22-z2/2dz二2ze\2二.W/2-Z212Adz2tJ2tJ12二-二22.可見正態(tài)分布中參數(shù)仃就是它的方差，仃就是標(biāo)準(zhǔn)差.方差也有若干簡單而重要的性質(zhì).先介紹一個不等式.切貝雪夫(Chebyshev)不等式若隨機變量的方差存在，則對任意給定的正數(shù)s,恒有P(|JEq之8產(chǎn)VaY/V.(4)證設(shè)的分布函數(shù)為F(x),則(x-E)2一，、P(|「E?冷)」上4dF(x)氣上每~~^dF(X)2?二L(X-E與dF(x).vary這就得(4)式.切貝雪夫不等式無論從證明方法上還是從結(jié)論上都有一定意義.事實上，該式斷言上落在(3戶-名)與(E：+以+望)內(nèi)的概率小于等于Var上//,或者說，上落在區(qū)間(E：一ME：十名)內(nèi)的概率大于1-Vart/J,從而只用數(shù)學(xué)期望和方差就可對上述概率進行估計.例如，取”3則P(|^-E￡|W^/VOTa1-Var磯3VV^^0.89.當(dāng)然這個估計還是比較粗糙的(當(dāng)｝?N(a22)時，在第二章曾經(jīng)指出，P(|E"|<3War一)=P(|^a|<3^.997).性質(zhì)1Var-=0的充要條件是P(9c)=1,其中c是常數(shù).證顯然條件充分.反之，如果Var-=0,記E^=c,由切貝雪夫不等式P(|&E'|至9二0對一切正數(shù)e成立.從而P、=c)=1-P(|>c>0)=1Him.P-c-1n=1性質(zhì)2設(shè)c,b都是常數(shù)，則Var(c+b)=c2Var證Var(c+b)=E(c+b-E(c+b))2=E(c+b-cE-b)2c2E(-E)2=c2Var2性質(zhì)3若c#E;則Var-<E(--c).證因Varf=e：2-(E：)2,而E(&c)2=E-2-2cE-+c2,E-的離散兩邊相減得Va「-一E(-一c)二一(E--c)<0.這說明隨機變量E-的離散TOC\o"1-5"\h\znnVarrJ、Vari'、E(i-E<)(<-E<)性質(zhì)4i4=i4+2il：：Bn(6)特別若"I'lll，-n兩兩獨立，則nnVar(.二-i)、Variy=y.(7)nnnnVi)vi'i)、2(X(i-Ei))2證Var(im=E(i^-E()=EimnC(i-Ei)22-(i-Ei)(j-Ej))=Ei注1_i：：J_nn'、Vari、E(i-Ei)(\-E\)

=id：+21<<<,得證(6)式成立.當(dāng)"H「n兩兩獨立時，對任何1Wi,jWn有E^j=E'E'j,故E(i-Ei)(j-Ej)=E(ij-iEj-jEiEiEj)_EE=EijEiEj=0,這就得證(7)式成立.利用這些性質(zhì)，可簡化某些隨機變量方差的計算^例5設(shè)E服從二項分布B(n,p),求Var：.解如§1例12構(gòu)造-i,i二：JII，n,它們相互獨立同分布，此時

Va「O=E。2—(E^)2=12，p+02，q_p2邛q.由于相互獨立必是兩兩獨立的，由性質(zhì)4nnVar=Va「（」二：了「1.設(shè)隨機變量:'111,＜相互獨立同分布，E±i=a,var＜=。21n,求E'VarE.…?一',求E'VarE（imiE）.記-=ny解由§1性質(zhì)2和本節(jié)性質(zhì)1nElyEi1nElyEi二a,1nVar)〔Vari1=-n^

n這說明在獨立同分布時,1作為各1的算術(shù)平均，它的數(shù)學(xué)期望與各占的數(shù)學(xué)期望相同,這說明在獨立同分布時,但方差只有r的1/n倍.這一事實在數(shù)理統(tǒng)計中有重要意義例7設(shè)隨機變量E的期望與方差都存在，Var上＞0.令*=-EVar,稱它為隨機變量七的標(biāo)準(zhǔn)化.求E：與Var：解由均值與方差的性質(zhì)可知VarVar(-E)VarVar(-E)VarVarVar2.2協(xié)方差數(shù)學(xué)期望和方差反映了隨機變量的分布特征.對于隨機向量d/my,除去各分量的期望和方差外，還有表示各分量間相互關(guān)系的數(shù)字特征一協(xié)方差.定義2記-i和j的聯(lián)合分布函數(shù)為Fij（X，V）.

TOC\o"1-5"\h\ze(i-ei)(<.e<)-EE(x-Ei)(y-Ej)dFij(x，y)(8蘆蘆聲蘆為r,j的協(xié)方差(covariance),記作Cov(-i,-j),顯然，Cov(-i，-j)=Var；.公式(6)可改寫為nn'、i'、Vari、'Cov(i,\)Var(y)=0+21攵*.(6)容易驗證，協(xié)方差有如下性質(zhì)：性質(zhì)1Cov(')=Cov(,j=E-EE.性質(zhì)2設(shè)a,b是常數(shù)，則Cov(a,b)=abCov(,)性質(zhì)3Cov('i,)性質(zhì)3Cov('i,)='“Cov(i,),hh…h(huán)、b11b12b1nb21b22b2n■■AA■■■■,■■,?A■AB=E(「EM-E：)'=&bn2…bnn；對于n維隨機向量E=(：1MI/n)［可寫出它的協(xié)方差陣(9)其中bj=Cov(i,j)由性質(zhì)1可知B是一個對稱陣，且對任何實數(shù)tj,j=1JII,n,二次型nnn'、bjktjtk="tjtkE(j-Ej)(；-E；)=E「tj(j-Ej))2-0j,k1j,kmjW即隨機向量E的協(xié)方差陣B是非負定的.C1nCmnt性質(zhì)C1nCmnt/i」H,J則C：的協(xié)方差陣為CBC',其中B是E的協(xié)方差陣

因為EC久Ct)'=ECb'C'=CE笠'C',所以CBC的第0,j)元素就是C：的第第j元素的協(xié)方差.2.3相關(guān)系數(shù)協(xié)方差雖在某種意義上表示了兩個隨機變量間的關(guān)系，但Cov(-'n)的取值大小與綱有關(guān).為避免這一點，用的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量(見例7)來討論.定義3稱_E(-E)(-E)r=Cov(,)"var^Var^為E,"的相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient).為了討論相關(guān)系數(shù)的意義，先看一個重要的不等式^柯西-許瓦茨(Cauchy—Schwarz)不等式對任意隨機變量已“有E^|2MEZ2EM.等式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)t0使P=t。=1.證對任意實數(shù)tu(t)=E(t-)2=t2E2-2tEE2是t的二次非負多項式，所以它的判別式(E)2-E2E2<0,證彳#(11)式成立.(11)式中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)多項式u(t)有重根t。，即uto=E(t。-)2=0.又由(3)Var。?！?)<E(to^-^2,故得Vart。j戶。同時有EW)=0.所以由方差的性質(zhì)1Pt。'—"=。)=1,此即(12)式.由此即可得相關(guān)系數(shù)的一個重要性質(zhì).i元素與即的量(10)(11)(12)就證得性質(zhì)1對相關(guān)系數(shù)「i元素與即的量(10)(11)(12)就證得(13)r^(13)r^=1當(dāng)且僅當(dāng)P*二二二1jVar,Var「如-1當(dāng)且僅當(dāng)E'-EP-(14)jJVarVar(14)證由(11)式得H=|e：，［WJeyE?=War^?Var群=1**證彳#(13)式成立.證明第二個結(jié)論.由定義「"""”"-.由柯西-許瓦茲不等式的證明可知，1r由卜1等價于u(t)=t2E^*2-2tEfn*+En*2有重根***2品=2E-"/(2e-ZE-”.因此由(12)式得出=1當(dāng)且僅當(dāng)P(-=")=1；「由=-1一，E*s*、，當(dāng)且僅當(dāng)P(--“)=1.注性質(zhì)1表明相關(guān)系數(shù)「由=土1時，當(dāng)”以概率1存在著線性關(guān)系.另一個極端是「中=0,此時我們稱E與"不相關(guān)(uncorrected).性質(zhì)2對隨機變量E和“，下列事實等價:(1)Cov((1)Cov(丁")=0;⑵E與"不相關(guān);(4)Var=VarVar'證顯然(1)與(2)等價.又由協(xié)方差的性質(zhì)1得(1)與(3)等價.再由(6)式，得(1)與(4)等價.性質(zhì)3若E與“獨立，則E與“不相關(guān).顯然，由E與刀獨立知(3)成立，從而E與“不相關(guān).但其逆不真.例8設(shè)隨機變量。服從均勻分布U[0,2叼，F(xiàn)cos%"=sin@,顯然：2+“2=1,故E與"不獨立.但E=Ecosi—E=Ecosi—1cos——d=02—E=EsinA.0sin:E=Ecos?sin產(chǎn)E=Ecos?sin產(chǎn)2-1cossin-d=0故Cov住，“尸Em-EXE“=0,即已與州不相關(guān).注性質(zhì)2不能推廣到n（-3）個隨機變量情形.事實上從n（-3）個隨機變量兩兩不相關(guān)只能推得i=能推得i=1，不能推得E1l||n=E1l"En.反之，從這兩個等式也不能推得"I",二兩兩不相關(guān).具體例子不列出了.對于T^質(zhì)3,在正態(tài)分布情形，獨立與不相致的，這將在下面進行討論22設(shè)（J）服從二元正態(tài)分布N⑶b尸122/Cov「???(x-a)(y-b)p(x,y)dxdy2二;l；=2，1-r2qQqQ二二(x-a)(y-b)exp——%-X.j22(1-r2)x-ay-b2-r-——(y-b2二;l；=2，1-r2qQqQ二二(x-a)(y-b)exp——%-X.j22(1-r2)x-ay-b2-r-——(y-b)2dxdy2-x-ay-bz=-r=q.zrtJ二g)；-1；-2Cov,2二.1-r2rCJCJ「12仃2,則：：(z,t)=1；-2二二二二2!!(ztrt)-z2/2(1-r2)-t2/2edzdt42/2dt.2二；1-r2「zJ/2(1"2)dzoOt-OC2-t2/2edt「2二口-二e-z2/2(1T2).dz=0+r廣2故得“不相關(guān)它們分別1m“不相關(guān)它們分別1mn=Cn=>，2>二xneZdx.joOTOC\o"1-5"\h\zr_Cov（，）r__r^^Var-Var^這就是說二元正態(tài)分布中參數(shù)r就是EJ的相關(guān)系數(shù).所以對二元正態(tài)分布，&等價于r=0.但在第二章已證E與”相互獨立等價于r=0.這樣我們有性質(zhì)4對二元正態(tài)分布，兩個分量不相關(guān)與相互獨立是等價的^2.4矩矩（moment）是最廣泛的一種數(shù)字特征，常用的矩有兩種，一種是原點矩，對正整數(shù)mk=Ek稱為E的k階原點矩.數(shù)學(xué)期望就是一階原點矩.另一種是中心矩，對正整數(shù)k,稱Ck-EC-E）k為E的k階中心矩.方差是二階中心矩.除此以外，三階與四階中心矩也是常用的,表示隨機變量的性狀.往往用他們的相對值.,3/2稱c3/C2為偏態(tài)系數(shù)，當(dāng)它大于0時為正偏態(tài)，小于0時則為負偏態(tài).稱C4/C2-3為峰態(tài)系數(shù)，當(dāng)它大于0時表明該分布密度比正態(tài)分布更為尖峭例10設(shè)E為服從正態(tài)分布N（。,。2）的隨機變量，此時E'=0,且0,n=2k1,13III(n-1)-n,n=2k.特別m4=C4=3。4.故不論6為多少，正態(tài)分布的偏態(tài)系數(shù)與峰態(tài)系數(shù)都為0.我們可以用原點矩來表示中心矩:kCkCk=工r=fi%、rr(—1)mm?;反過來，我們也可以用中心矩來表示原點矩:%)rr(-1)miCk卡.r=S

我們也定義a階絕對矩Mk=E|Z產(chǎn)，其中a是實數(shù).對于例10中的隨機變量-E「1n=22kk!尸,