隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布大題優(yōu)練4優(yōu)優(yōu)選例題例1．2020年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬(wàn)多人．2019年7月份以來(lái)，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過(guò)150萬(wàn)小時(shí)．為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到）以及的數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，．若，則．【答案】（1），；（2）（?。?，（ⅱ），．【解析】（1），．（2）（?。┯深}知，，所以，，所以．（ⅱ）由（?。┲?，可得，，故的數(shù)學(xué)期望．例2．某商場(chǎng)在“雙十二”進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中有3紅2白共5個(gè)小球，乙盒中有1紅4白共5個(gè)小球，這些小球除顏色外完全相同．有兩種活動(dòng)規(guī)則：規(guī)則一：顧客先從甲盒中隨機(jī)摸取一個(gè)小球，從第二次摸球起，若前一次摸到紅球，則還從該盒中摸取一個(gè)球，若前一次摸到白球，則從另一個(gè)盒中摸取一個(gè)球，每摸出1個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)100元，每個(gè)顧客只有3次摸球機(jī)會(huì)（每次摸球都不放回）；規(guī)則二：顧客先從甲盒中隨機(jī)摸取一個(gè)小球，從第二次摸球起，若前一次摸到紅球，則要從甲盒中摸球一個(gè)，若前一次摸到白球，則要從乙盒中摸球一個(gè)，每摸出1個(gè)紅球獎(jiǎng)勵(lì)100元，每個(gè)顧客只有3次摸球機(jī)會(huì)（每次摸球都不放回）．（1）按照“規(guī)則一”，求一名顧客摸球獲獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望；（2）請(qǐng)問(wèn)顧客選擇哪種規(guī)則進(jìn)行抽獎(jiǎng)更有利，并請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）138；（2）選擇“規(guī)則一”更有利，理由見(jiàn)解析．【解析】（1）按照“規(guī)則一”，設(shè)顧客經(jīng)過(guò)3次摸球后摸取的紅球個(gè)數(shù)為，則可以取0，1，2，3，則；；；．隨機(jī)變量的分布列為：0123在“規(guī)則一”下，顧客摸球獲獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望．（2）若選“規(guī)則二”，設(shè)顧客經(jīng)過(guò)3次摸球后摸取的紅球個(gè)數(shù)為，則可以取0，1，2，3，；；；．隨機(jī)變量的分布列為：0123“規(guī)則二”下顧客摸球獲獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望為，因?yàn)?，所以選擇“規(guī)則一”更有利．例3．2019年6月25日，《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》初次提請(qǐng)全國(guó)人大常委會(huì)審議，草案對(duì)“生活垃圾污染環(huán)境的防治”進(jìn)行了專(zhuān)章規(guī)定．草案提出，國(guó)家推行生活垃圾分類(lèi)制度．為了了解人民群眾對(duì)垃圾分類(lèi)的認(rèn)識(shí)，某市環(huán)保部門(mén)對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類(lèi)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的1000人(其中450人為女性)的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：得分男性人數(shù)15901301001256030女性人數(shù)1060701501004020（1）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)，請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求；（2）把市民分為對(duì)垃圾分類(lèi)“比較了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)兩類(lèi)，請(qǐng)完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為市民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度與性別有關(guān)？不太了解比較了解合計(jì)男性女性合計(jì)（3）從得分不低于分的被調(diào)查者中采用分層抽樣的方法抽取名．再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，求抽取的人中男性人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：①；②若，則，，；③，．【答案】（1）；（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為；（3）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】（1）由題意知：，又，，所以．（2）由題意得列聯(lián)表如下：不太了解比較了解合計(jì)男性235315550女性140310450合計(jì)3756251000，所以有的把握認(rèn)為市民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度與性別有關(guān)．（3）不低于分的被調(diào)查者的男女比例為，所以采用分層抽樣的方法抽取人中，男性為人，女性為人．設(shè)從這人中隨機(jī)抽取的人中男性人數(shù)為，則的取值為，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以其期望．

模擬模擬優(yōu)練1．根據(jù)國(guó)家深化醫(yī)藥衛(wèi)生體制改革的總體部署和要求，某地區(qū)自2015年起，開(kāi)始逐步推行“基層首診、逐級(jí)轉(zhuǎn)診”的醫(yī)療制度，從而全面推行家庭醫(yī)生簽約服務(wù)．已知該地區(qū)居民約為2000萬(wàn)，從1歲到101歲的居民年齡結(jié)構(gòu)的頻率分布直方圖如圖1所示．為了解各年齡段居民簽約家庭醫(yī)生的情況，現(xiàn)調(diào)查了1000名年滿18周歲的居民，各年齡段被訪者簽約率如圖2所示．（1）根據(jù)圖1和圖2的信息，估計(jì)該地區(qū)簽約率超過(guò)35%低于60%的人群的總?cè)藬?shù)；（2）若以圖2中年齡在歲居民簽約率作為此地區(qū)該年齡段每個(gè)居民簽約家庭醫(yī)生的概率，現(xiàn)從該地區(qū)年齡在歲居民中隨機(jī)抽取3人，記抽到的簽約人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）據(jù)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)被訪者的簽約率約為43%．為把該地區(qū)年滿18周歲居民的簽約率提高到55%以上，應(yīng)著重提高圖2中哪個(gè)年齡段的簽約率？并結(jié)合數(shù)據(jù)對(duì)你的結(jié)論作出解釋?zhuān)敬鸢浮浚?）總?cè)藬?shù)為萬(wàn)；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）著重提高這個(gè)年齡段的簽約率，詳見(jiàn)解析．【解析】由圖可知簽約率超過(guò)35%低于60%的人群得年齡為歲、歲，由表1易得所求頻率，所以估計(jì)該地區(qū)簽約率超過(guò)35%低于60%的人群的總?cè)藬?shù)為萬(wàn)．（2）該地區(qū)年齡在歲居民中，抽到的簽約人數(shù)為可能為0，1，2，3，易得，，，；；；，的分布列為X0123P0027018904410343．（3）應(yīng)該著重提高這個(gè)年齡段的簽約率．由圖1，2知，年齡段該地區(qū)人數(shù)(萬(wàn))簽約率%大于360，小于460303，37155761~7061771~8070080以上758由以上數(shù)據(jù)可知這個(gè)地區(qū)在這個(gè)年齡段的人為740萬(wàn)，基數(shù)較其他年齡段是最大的，且簽約率為，比較低，所以為把該地區(qū)滿18周歲居民的簽約率提高到55%以上，應(yīng)該著重提高這個(gè)年齡段的簽約率．2．時(shí)值金秋十月，秋高氣爽，我校一年一度的運(yùn)動(dòng)會(huì)拉開(kāi)了序幕．為了增加運(yùn)動(dòng)會(huì)的趣味性，大會(huì)組委會(huì)決定增加一項(xiàng)射擊比賽，比賽規(guī)則如下：向甲?乙兩個(gè)靶進(jìn)行射擊，先向甲靶射擊一次，命中得2分，沒(méi)有命中得0分；再向乙靶射擊兩次，如果連續(xù)命中兩次得3分，只命中一次得1分，一次也沒(méi)有命中得0分．小華同學(xué)準(zhǔn)備參賽，目前的水平是：向甲靶射擊，命中的概率是；向乙靶射擊，命中的概率為．假設(shè)小華同學(xué)每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求小華同學(xué)恰好命中兩次的概率；（2）求小華同學(xué)獲得總分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】（1）記：“小華恰好命中兩次”為事件A，“小華射擊甲靶命中”為事件B，“小華第一次射擊乙靶命中”為事件C，“小華第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意可知，，由于，∴，故甲同學(xué)恰好命中一次的概率為．（2），1，2，3，5．，，，，，X01235P．3．為研究一種新藥的耐受性，要對(duì)白鼠進(jìn)行連續(xù)給藥后觀察是否出現(xiàn)癥狀的試驗(yàn)，該試驗(yàn)的設(shè)計(jì)為：對(duì)參加試驗(yàn)的每只白鼠每天給藥一次，連續(xù)給藥四天為一個(gè)給藥周期，試驗(yàn)共進(jìn)行三個(gè)周期．假設(shè)每只白鼠給藥后當(dāng)天出現(xiàn)癥狀的概率均為，且每次給藥后是否出現(xiàn)癥狀與上次給藥無(wú)關(guān)．（1）從試驗(yàn)開(kāi)始，若某只白鼠連續(xù)出現(xiàn)次癥狀即對(duì)其終止試驗(yàn)，求一只白鼠至少能參加一個(gè)給藥周期的概率；（2）若在一個(gè)給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)次癥狀，則在這個(gè)給藥周期后，對(duì)其終止試驗(yàn)，設(shè)一只白鼠參加的給藥周期數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，．【解析】（1）設(shè)“一只白鼠至少能參加一個(gè)給藥周期”為事件，則的對(duì)立事件為一個(gè)給藥周期也沒(méi)有參加完．設(shè)一次給藥出現(xiàn)癥狀為事件，則一個(gè)給藥周期也沒(méi)有參加完的概率為，所以一只白鼠至少能參加一個(gè)給藥周期的概率為．（2）設(shè)事件為“在一個(gè)給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)次癥狀”，則，則隨機(jī)變量的取值為，，，，所以X的分布列為所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．4．某學(xué)校對(duì)甲、乙、丙、丁四支足球隊(duì)進(jìn)行了一次選拔賽，積分前兩名的球隊(duì)將代表學(xué)校參加上級(jí)比賽．選拔賽采用單循環(huán)制（每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)），勝一場(chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，負(fù)一場(chǎng)積0分．經(jīng)過(guò)三場(chǎng)比賽后，積分狀況如下表所示：甲乙丙丁積分名次甲7乙1丙0丁0根據(jù)以往的比賽情況統(tǒng)計(jì)，乙隊(duì)與丙隊(duì)比賽，乙隊(duì)勝或平的概率均為，乙隊(duì)與丁隊(duì)比賽，乙隊(duì)勝、平、負(fù)的概率均為，且四個(gè)隊(duì)之間比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求選拔賽結(jié)束后，乙隊(duì)與甲隊(duì)并列第1名的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量為選拔賽結(jié)束后乙隊(duì)的積分，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）在目前的積分情況下，不論后面的比賽中丙隊(duì)與丁隊(duì)相互比賽的結(jié)果如何，乙隊(duì)一定能代表學(xué)校參加上級(jí)比賽的概率是多少？說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，；（3），理由見(jiàn)解析．【解析】（1）設(shè)乙隊(duì)勝、平、負(fù)丙隊(duì)分別為事件，乙隊(duì)勝、平、負(fù)丁隊(duì)分別為事件，則，，，設(shè)事件C為“選拔賽結(jié)束后，乙隊(duì)與甲隊(duì)并列第一名”，由目前比賽積分榜可知，甲隊(duì)一定是第一名，所以“乙隊(duì)與甲隊(duì)并列第一名”，即乙隊(duì)的積分為7分，即乙隊(duì)勝丙隊(duì)和丁隊(duì)，所以，（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3，4，5，7，；；；；；，隨機(jī)變量的分布列為：123457所以．（3）乙隊(duì)一定能代表學(xué)校參加上級(jí)比賽的概率是，理由如下：當(dāng)乙隊(duì)積7分時(shí)，乙隊(duì)與甲隊(duì)并列第1名，滿足題意；當(dāng)乙隊(duì)積5分時(shí)，丙隊(duì)或丁隊(duì)的可能積分為4，3，2，1，0，乙隊(duì)一定為第2名，滿足題意；當(dāng)乙隊(duì)積分小于5分時(shí)，丙隊(duì)或丁隊(duì)均有可能積分6分，不合題意，所以，當(dāng)乙隊(duì)的積分為5分或7分時(shí)，一定能代表學(xué)校參加上級(jí)比賽，其概率為．5．2019年，受非洲豬瘟影響，全國(guó)豬肉價(jià)格大幅上漲．10月份全國(guó)居民消費(fèi)指數(shù)（）同比上漲，創(chuàng)七年新高，其中豬肉價(jià)格成為推動(dòng)居民消費(fèi)指數(shù)上漲的主要因素之一．某學(xué)習(xí)調(diào)查小組為研究某市居民對(duì)豬肉市場(chǎng)的信心程度，對(duì)當(dāng)?shù)?00名居民在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)豬肉價(jià)格上漲幅度的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估算該市居民對(duì)豬肉價(jià)格上漲幅度的平均心理預(yù)期值；（2）將豬肉價(jià)格上漲幅度預(yù)期值在和的居民分別定義為對(duì)市場(chǎng)“信心十足型”和“信心不足型”，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中位于這兩個(gè)區(qū)間的居民中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查，記X表示這三人中“信心十足型”的人數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】（1），預(yù)期值為；（2）分布列見(jiàn)解析，，．【解析】（1）由直方圖知，解得．設(shè)該市居民對(duì)豬肉價(jià)格上漲幅度的平均心理預(yù)期值為，則，所以該市居民對(duì)豬肉價(jià)格上漲幅度的平均心理預(yù)期值為．（2）由題意，樣本中，“信心十足型”居民有人，“信心不足型”居民有人．由分層抽樣的定義可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人．則X的可能取值為1，2，3，；；，故X的分布列為X123P020602，．6．某公司春節(jié)聯(lián)歡會(huì)中設(shè)一抽獎(jiǎng)活動(dòng)：在一個(gè)不透明的口袋中裝入外形一樣號(hào)碼分別為1，2，3，…，10的十個(gè)小球．活動(dòng)者一次從中摸出三個(gè)小球，三球號(hào)碼有且僅有兩個(gè)連號(hào)的為三等獎(jiǎng)；獎(jiǎng)金30元，三球號(hào)碼都連號(hào)為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金60元；三球號(hào)碼分別為1，5，10為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金240元；其余情況無(wú)獎(jiǎng)金．（1）員工甲抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金的分布列與期望；（2）員工乙幸運(yùn)地先后獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，他得獎(jiǎng)次數(shù)的方差是多少？【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）．【解析】（1）甲抽獎(jiǎng)一次，基本事件的總數(shù)為，獎(jiǎng)金的所有可能取值為0，30，60，240．一等獎(jiǎng)的情況只有一種，所有獎(jiǎng)金為120元的概率為，三球連號(hào)的情況有1，2，3；2，3，4；……8，9，10共8種，得60元的概率為，僅有兩球連號(hào)中，對(duì)應(yīng)1，2與9，10的各有7種：對(duì)應(yīng)2，3；3，4；……8，9各有6種，得獎(jiǎng)金30元的概率為，得獎(jiǎng)金0元的概率為，的分布列為：．（2）由（1）可得乙一次抽獎(jiǎng)中中獎(jiǎng)的概率為，四次抽獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，所以中獎(jiǎng)次數(shù)，故．7．某單位在2020年8月8日“全民健身日”舉行了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目為投籃游戲．游戲的規(guī)則如下：每個(gè)參與者投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，得3分，否則得1分．已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在一次游戲中投籃命中次數(shù)的分布列與期望；（2）若參與者連續(xù)玩次投籃游戲獲得的分?jǐn)?shù)的平均值不小于2，即可獲得一份大獎(jiǎng)．現(xiàn)有和兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大