時間：二O二一年七月二十九日定積分在求極限中的應(yīng)用之巴公井開創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日1、知識準(zhǔn)備微積分學(xué)在年夜學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有相當(dāng)重要的位置.然而，求極限又是微積分學(xué)中經(jīng)常要面臨的問題.因此，積累更多求極限的方法應(yīng)是每位年夜學(xué)生必備的素養(yǎng).求極限的方法層見疊出，最經(jīng)常使用的方法有極限的界說和性質(zhì)，重要極限的結(jié)論,洛必達(dá)法則以及泰勒公式等.應(yīng)用極限的界說時,往往是在極限的結(jié)果已經(jīng)比力明顯，只需要根據(jù)極限的界說把相關(guān)式子進(jìn)行放縮即可獲得相應(yīng)的結(jié)果.可是，這種方法一方面敘述上比力麻煩，另一方面也只適用于看上去容易放縮的式子.重要極限的結(jié)論形式上要求非常嚴(yán)格，也只能解決兩種形式的極限問題.洛必達(dá)法則是用于解決“』”型的極限和“』”型極限的.泰勒公式適宜于解決求分式極限中分子或分母有加減運算的問題，通過泰勒展式后可以到達(dá)某些項抵消效果.但如果仔細(xì)觀察這些方法，其特點不是表達(dá)較繁瑣就是僅僅應(yīng)用到微分學(xué)知識.事實上，微分學(xué)和積分學(xué)的關(guān)系正如中小學(xué)時代學(xué)習(xí)過的加法與減法，乘法與除法,乘方與開方以及幕運算與取對數(shù)運算的關(guān)系一樣，他們互為逆運算.倘若也能用到積分學(xué)知識來解決求極限的問題，那么求極限的方法才算完美.而利用定積分求極限正體現(xiàn)了這一理念.下面首先讓我們回顧一下定積分以及極限的界說：定積分：設(shè)函數(shù)L在閉區(qū)間」上有界說，在閉區(qū)間」內(nèi)任意拔出n-1個分點將分成n個區(qū)間|，記I,|，作乘積|（稱為積分元），把這些乘積相加獲得和式_|（稱為積分形式）設(shè)I，若-|極限存在唯一且該極限值與區(qū)是」的分法及分點的取法無關(guān)，則稱這個唯一的極限值為函數(shù)I在」上的定積分，記作—|，即|.否則稱|在」上不成積.注1:由牛頓萊布尼茲公式知，計算定積分與原函數(shù)有關(guān)，故這里借助了不定積分的符號.注2:若存在,區(qū)間」進(jìn)行特殊分割，分點進(jìn)行特殊的取法獲得的和式極限存在且與定積分的值相等，但反之不成立，這種思想在考題中經(jīng)常呈現(xiàn)，請讀者要真正理解.注3:定積分是否存在或者值是幾多只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母暗示無關(guān)，即仔細(xì)觀察定積分的界說，我們一定會發(fā)現(xiàn)定積分的極限有以下兩個特征.第一，定積分是無窮項和式的極限,容易知道一般項在項數(shù)趨近于無窮年夜時極限值肯定趨近于零，否則和式極限不存在.第二，定積分與某一連續(xù)函數(shù)有緊密的關(guān)系，它的一般項受到這一時間：二O二一年七月二十九日連續(xù)函數(shù)的約束，它是連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上進(jìn)行了無窮的分割，各小區(qū)間上任意的函數(shù)值與區(qū)間長度的乘積的累加.對極限，年夜學(xué)主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限和函數(shù)的極限.數(shù)列的極限是用于解決離散的自然數(shù)的相關(guān)極限，而函數(shù)的極限則主要用于解決連續(xù)函數(shù)的相關(guān)極限.那么就讓我們先一一來回憶它們吧！數(shù)列的極限設(shè)」為數(shù)列，為實數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得那時I有二T，則稱數(shù)列」收斂于，實數(shù)稱為數(shù)列|的極限，并記作|或|.-（讀作：當(dāng)趨于無窮年夜時，」的極限即是或一趨于）.由于限于取正整數(shù)，所以在數(shù)列極限的記號中把|寫成|，即-|或L］.若數(shù)列」沒有極限,則稱」不收斂，或稱」為發(fā)散數(shù)列.注1：關(guān)于：①的作用在于衡量數(shù)列通項與常數(shù)a的接近水平，越小，暗示接近得越好；而正數(shù)可以任意小，說明與常數(shù)a可以接近就任何水平:②有其任意性,但一經(jīng)給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出N;③的多值性.既是任意小的正數(shù)，那么等等，同樣也是任意小的正數(shù)，因此界說1中的不等式|中的可用等來取代.從而“二［”可用“二［”取代;④正由于是任意小的正數(shù)，我們可以限定小于一個確定的正數(shù).注2:關(guān)于：①相應(yīng)性，一般地，隨的變小而變年夜，因此時間：二O二一年七月二十九日常把界說作I來強(qiáng)調(diào)，是依賴于的；一經(jīng)給定，就可以找到一個：②多值性的相應(yīng)性其實不意味著是由唯一確定的，因為對給定的，若-1時能使得那時I,有I,則I不是唯一的.事實上,在許多場所下，最重要的是P1的存在性，而不是它的值有多年夜.基于此，在實際使用中的也不用限于自然數(shù)，只要是正數(shù)即可；而且把“I”改為“I”也無妨.函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)I在點，對任意給定的正數(shù)（不論它有何等?。?總存在某正數(shù)，使適當(dāng)滿足不等式—I時,對應(yīng)的函數(shù)值I都滿足不等式—I,那么常數(shù)就叫做函數(shù)I那時I的極限，記為I.可以看出，數(shù)列極限與函數(shù)極限界說的思想是一致的，都是相應(yīng)的某個表達(dá)上的值無限地接近某個常數(shù)值.分歧的是數(shù)列是離散的,數(shù)列中的項在跳躍式地接近，而函數(shù)是連續(xù)的，函數(shù)值在逐漸地接近,但二者都能與相應(yīng)的常數(shù)值以任意水平地接近.2、定積分與極限不難看出，無論是數(shù)列的極限還是函數(shù)的極限，它們都與定積分的界說存在著千絲萬縷的關(guān)系，那么就讓我們來揭曉它們之間玄機(jī)與奇妙吧.事實上，定積分的界說中蘊含著一列數(shù)｛二［｝的和，而且只要充沛地小，和式_|就可以任意地接近確定的實數(shù)J=1，這正是極限思想的存在，即1.這就為我們求極限提供了一種共同而有力的方法一一利用定積分求極限.因為在積分學(xué)中有年夜量的積分公式，所以我們運用之解決眾多類型的和式極限.先讓我們看一個簡單的例子：I分析:此極限式的求解，不容易直接用極限的界說解決，因為該法往往是用來一邊計算一邊證明某個極限結(jié)果已經(jīng)比力明顯的問題，因此這里不適合;重要極限的結(jié)論顯然也在這里沒有用武之地,因為形式上根天職歧；再考慮洛必達(dá)法則，它不是無窮比無窮型的極限也非零比零型的極限，也不成能用到此法；那么泰勒公式呢？泰勒公式往往是用來解決連續(xù)函數(shù)的極限問題，通過泰勒展式往往能把非多項式形式的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成多項式形式，以簡化形式從而求解，看來這里也不適用.那是不是就沒有什么合適的法子了呢？謎底固然是否定的，事實上，它從形式上與定積分的界說還是有一些相像的，那么就讓我們檢驗考試用定積分的法子來解決這個問題吧！解:把此極限式轉(zhuǎn)化為某個積分形式，從而計算定積分.為此做如下變形：.不難看出，其中的和式是函數(shù)_I在區(qū)間」上的一個積分和（這里取得是等量分割，I）.所以，J=I-從該例題的解法中可以看出，本題的關(guān)鍵是將極限和轉(zhuǎn)化為積分和，從而利用了定積分將所求極限迎刃而解.于是，我們可以總結(jié)出定積分在求極限中應(yīng)用的一般方法步伐：Sept1將和式極限_|經(jīng)過變形，使其成為積分形式|.這里常取|；Sept2確定積分函數(shù)的上下限.a=||；Sept3用x代換匚，寫出定積分表達(dá)式|，并求出原極限的值.通過以上的一般方法步伐,我們在面對無窮項和式的極限問題時就有方可依，有法可循了.現(xiàn)在讓我們再來看一個例子，并從中仔細(xì)體會以上方法步伐.解:Septi化和式極限為積分形式.Sept2確定積分函數(shù)上下限.Sept3寫出積分表達(dá)式并求出積分值.原極限二|.對本題，我們是緊緊依照剛剛總結(jié)出的方法步伐進(jìn)行的，并順利地求出了原題的極限值.這是一個具體的例子，那么我們是否可以總結(jié)出更為一般性結(jié)論呢？謎底自然是肯定的.3、應(yīng)用定積分求極限至此，我們可以得出如下結(jié)論：結(jié)論1如果函數(shù)|在區(qū)間」上連續(xù)，將區(qū)間」進(jìn)行等分,事實上，連續(xù)函數(shù)一定可積，而將區(qū)間」進(jìn)行n等分也是分割_的一種特殊情況.根據(jù)定積分的界說，上述結(jié)論成立.固然,其實不是所有的用到定積分求極限的問題中都要嚴(yán)格用到上面總結(jié)出的三個步伐，我們可視情況靈活處置，比如無需用到某一步伐或者還需用到其他求極限的思想等.下面我們再看一組求極限的習(xí)題，以充沛感受結(jié)論1的用途.習(xí)題組11)I.這組習(xí)題都是無窮項式子和的極限問題，都可以把定積分的思想應(yīng)用到求極限中去.現(xiàn)在就讓我們用結(jié)論1來解決這些求極限的問題，并從分歧習(xí)題中尋找出異同，以加深對結(jié)論1的掌握和認(rèn)識.解：(1)分析原極限顯然可以看成I在」上的定積分.故分析先通過恒等變形，原極限式=|,被積函數(shù)_|,積分區(qū)間是」,于是原極限值=|分析原和式極限的通項是」不成以看成是關(guān)于一的某一個函數(shù)，可是注意到：應(yīng)用結(jié)論1,上面不等式左端可以取極限，即,上面不等式右端可以取極限，即于是，由極限的迫斂性可知原極限值=_.這組題均典范地運用了定積分的計算，從而求出了各極限.我們發(fā)現(xiàn)，只要找到某個連續(xù)函數(shù)|,并能把這個和式極限>_|轉(zhuǎn)化成積分形式_|，我們就只需計算出f(x)在［0,1］上的積分值,從而確定出原極限值.這三個習(xí)題中，例題1的式子無需再進(jìn)行恒等變形，因為其形式上已經(jīng)是」f（_）_了；習(xí)題2與習(xí)題3形式上直觀上不是因f（』）上的形式，因為式子|與式子都不含一的項.為此，我們需要對習(xí)題2以及習(xí)題3極限的式子進(jìn)行恒等變形，通過提取公因式等手段使其呈現(xiàn)』葺，例如習(xí)題3,我們可以用極限的一些性質(zhì)，如極限的迫斂性，從而間接地求出原和式極限的極限值.接下來，我們對結(jié)論1進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茝V，以獲得更多形式的極限的求法.推論1如果函數(shù)|均在」上可積，證明：首先，|均在」上可積.又由于|，［，所以，|于是，二二I例3.求極限:解：由推論1可知，f（x）二于是，原極限式二推論2設(shè)例4.試求：I.推論3如果函數(shù)|在區(qū)間」上可積，且解:本題也可以直接運用推論3,這三個推論是對結(jié)論1的需要彌補與完善.形式上我們不單有無窮項式子和的極限，還衍生出了無窮項式子乘積的極限.它們都是順著結(jié)論1的思路繼續(xù)進(jìn)行探索，從形式上豐富了定積分在求極限中應(yīng)用這一思想,但從實質(zhì)上講，它們與結(jié)論1是一致的.它們都緊緊抓住了定積分概念的實質(zhì)，意識到定積分是無窮項和的極限，應(yīng)用數(shù)學(xué)的一些基賦性質(zhì)，對各式子進(jìn)行恒等變形,盡量把分歧形式的極限向定積分界說中的和式上去靠攏.最終通過簡單明了的定積分公式,求出定積分的值來，以確定出原極限的值.由這三個推論來看，等形式的極限，我們都有方可循，用定積分的方法容易求出其極限來.對任何一種數(shù)學(xué)方法，只要我們仔細(xì)地觀察與推究，都能將其結(jié)論或應(yīng)用范圍加以推廣，就像結(jié)論1.現(xiàn)在讓我們來看一組習(xí)題，以體會以上諸推論.現(xiàn)在，我們已經(jīng)積累了多種求和式極限的方法，它們是今后應(yīng)用定積分解決極限類問題的最佳模型與范例.那就再讓我們來看一組習(xí)題，以熟悉與現(xiàn)等形式的極限吧.卜面這組習(xí)題綜合用到了以上各結(jié)論與推論.習(xí)題組2用定積分的方法計算下列各極限.解:分析以上例題都容易恒等變形,使其滿足結(jié)論1或者推論1至推論3的條件.于是,

至此,我們已經(jīng)深深的體會到了各種形式的定積分在極限中應(yīng)用的作用.僅僅于此，我們尚不能滿足,我們可以把定積分在求極限中的應(yīng)用思想借鑒到其他方面.例如，利用這種思想方法來證明一些不等式，或者用之解決一些復(fù)雜一點的求極限問題.下面將舉例說明.例6.證明：若函數(shù)|在上連續(xù)，且對|，有|,則證明：已知|與|在廠廠進(jìn)行等分，分點是■一..在第K個區(qū)間上取[x[.由算數(shù)平均不小于幾何平均，有體會:本例恰巧反過來，將積分和轉(zhuǎn)化為極限和的形式，并運用了算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)這一結(jié)論，將問題化繁為簡.較好地認(rèn)識與掌握定積分與極限之間的關(guān)系是解決本問題的關(guān)鍵.該例題說明，我們應(yīng)該充沛認(rèn)識到定積分在極限中的作用，并能做到靈活變通，適當(dāng)情形下，二者可以相互轉(zhuǎn)化，將問題化難為易，從而到達(dá)解決問題的目的._I-分析:該問題似乎不能直接運用結(jié)論1或推論1至推論3來求極限.因為極限的表達(dá)式不容易化成以上結(jié)論或者推論的情形.可是，該問題的解決就真用不到定積分了嗎？謎底是否定的.在解決該問題之前，還是先讓我們看一下沃利斯公式的由來吧！沃利斯公式：|.證明:令|，則那時I用分部積分法容易求得移項并整理后可得遞推公式：|由于重復(fù)應(yīng)用上面的遞推公式可得I，又由于I，再將I式代入，即可以獲得，因為，根據(jù)極限的迫斂性可知,故得沃利斯公式.而性可知,故得沃利斯公式.而現(xiàn)在讓我們來仔細(xì)看看沃利斯公式究竟與定積分有什么關(guān)系吧!事實上，在計算定積分X[時，我們巧妙地運用了定積分的遞推表達(dá)式，這樣我們才正真地尋找到了解決極限問題的金鑰匙，看來定積分的運算還是在其中發(fā)揮了不成低估的作用.那么就讓我們直接運用該公式來探究例8問題吧！問題.倘若我們采納其方法來求這個極限,恐怕會走一些彎路.我們知道反常積分也是定積分在極限下界說出來的.以上的所有求極限問題都是將極限的表達(dá)式整體轉(zhuǎn)化成積分形式，從而應(yīng)用了定積分巧妙地求出了原極限的結(jié)果，那么能不能把定積分在求極限中局部應(yīng)用呢？現(xiàn)在我們再來看一個有趣的問題，以便說明此問題.例8.證明：I.分析:這個例題分歧于前面所有的例題，前面的例題，我們都能迅速地將所求極限的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成I,而本例不成，但它形式上與我們討論的定積分在求極限中應(yīng)用的例子非常相像，因為式子中有無窮多項和」，所以我們就檢驗考試用定積分的方法來求它吧！把這個極限式子的分子進(jìn)行適當(dāng)變形_|.如果根據(jù)前面的經(jīng)驗，我們知道x的.可是現(xiàn)在我們對兩個問題有所質(zhì)疑.第一，我們并沒有把原極限式直接轉(zhuǎn)化成積分形式；第二,即使局部用到了定積分」，但我們知道＞」（這里我們統(tǒng)一了分子分母中的變量，統(tǒng)一用變量x，這里已經(jīng)暗示變量x是逐步趨近，由數(shù)學(xué)分析中歸結(jié)原理”，這個手段是不影響極限結(jié)果的）.最后我們求得其結(jié)果，_I.由此可以看到，在求極限的問題中，定積分的思想不單可以對表達(dá)式整體使用，也可以對其進(jìn)行局部使用.總之，只要我們善于思時間：二O二一年七月二十九日考書本上的一些概念以及分析它們之間聯(lián)系，我們就往往能夠游刃有余地把一種數(shù)學(xué)思想用于解決其他數(shù)學(xué)問題上.最后，讓我們再來總結(jié)一下,定積分在求極限中應(yīng)用時所應(yīng)該注意的幾個問題.第一，極限必需是無窮項和的極限，而且這些和的極限經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃沃竽苻D(zhuǎn)化為定積分的形式.第二，應(yīng)用定積分求極限時，往往還需要用到其他的一些求極限的方法和手段，例如極限的迫斂性，重要極限的結(jié)論，取對數(shù)手段等.第三，求極限一類問題往往需要使用各種手段，這樣才華做到事半功倍.4、論文總結(jié)通過以上探討，我們重新認(rèn)識了數(shù)學(xué).我們在進(jìn)行推理與應(yīng)用時,是有深切體會的.數(shù)學(xué)自己是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖匀豢茖W(xué)，因為它是一種思維的工具，是一種思想方法，它還是一種理性的藝術(shù).數(shù)學(xué)是一種思維的工具.第一，數(shù)學(xué)具籠統(tǒng)性.數(shù)學(xué)概念是以極度籠統(tǒng)的形式呈現(xiàn)的.本文中討論的定積分以及極限更是如此.與此同時，數(shù)學(xué)的研究方法也是籠統(tǒng)的，這就是說數(shù)學(xué)命題的真理性不能建立在經(jīng)驗之上，而必需依靠于嚴(yán)格的證明.當(dāng)數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際問題的研究時，其關(guān)鍵在于能建立一個較好的數(shù)學(xué)模型.我們在運用定積分求極限時，就已經(jīng)擁有了較好的數(shù)學(xué)模型一一函數(shù)模型.在一個較好的數(shù)學(xué)模型上展開數(shù)學(xué)的推導(dǎo)和計算，以形成對問題的認(rèn)識，判斷和預(yù)測.這就是運用籠統(tǒng)思維去解決現(xiàn)實問題的體現(xiàn).第二,數(shù)學(xué)賦予科學(xué)知識以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性，是使認(rèn)識從感性階段發(fā)展到理性階段，并使理性認(rèn)識進(jìn)一步深化的重要手段.在數(shù)學(xué)中，每一個公式，定理都要嚴(yán)格地從邏輯上加以證明以后才華夠確立.當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了“結(jié)論1”之后，相繼經(jīng)過嚴(yán)密的推理與論證后才拓展到了“推論1”至“推論3”.第三，數(shù)學(xué)是一種輔助工具和暗示方式.我們在解決數(shù)學(xué)問題自己時，還必需依賴于數(shù)學(xué)中的其他相關(guān)方法思路.另外數(shù)學(xué)反映的是一種復(fù)雜而籠統(tǒng)事物內(nèi)部關(guān)系，可是我們?nèi)匀挥泻喢鞯臄?shù)學(xué)符號與形象鮮明的圖形等來暗示它.無論是定積分還是極限，其中都用到了豐富的數(shù)學(xué)符號，離開這些數(shù)學(xué)符號，我們的表達(dá)似乎顯得步履維艱.數(shù)學(xué)是一種思想方法.數(shù)學(xué)是研究量的科學(xué).它研究客觀對象量的變動，關(guān)系等，并在提煉量的規(guī)律性的基礎(chǔ)上形成各種有關(guān)量的推導(dǎo)和演算的方法.數(shù)學(xué)的思想方法體現(xiàn)著它作為一般方法論的特征和性質(zhì)，是物質(zhì)世界質(zhì)與量的統(tǒng)一，內(nèi)容與形式的統(tǒng)一的最有效的暗示方式.無論是定積分還是極限都離不開計算，這就意味著它們中都蘊含著量的變動.數(shù)學(xué)還是一種理性的藝術(shù).一般我們覺得，藝術(shù)與數(shù)學(xué)是兩種風(fēng)格與實質(zhì)都有著明顯分歧的事物.它們一個處于高度理性化的峰頂，另一個則位于精神世界的樞紐地帶;一個是自然科學(xué)的代表，另一個則是美學(xué)的杰作.可是，在種種概況上無關(guān)甚至完全分歧的現(xiàn)時間：二O二一年七月二十九日象身后卻隱藏著藝術(shù)與數(shù)學(xué)相當(dāng)一致的一般意義.我們進(jìn)行學(xué)術(shù)研究純潔是我們進(jìn)取以及求知欲的驅(qū)使.藝術(shù)與數(shù)學(xué)都是公認(rèn)的地球語言.藝術(shù)與數(shù)學(xué)在描繪萬事萬物的過程中，還同時完善了自身的暗示形式，這種暗示形式最基本的載體即是藝術(shù)與數(shù)學(xué)各自共同的語言特征.其共同特點有（1）超文化性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)所表達(dá)的是一種帶有普遍意義的人類共同的心聲,因而它們可以超越時間和地區(qū)界限，實現(xiàn)分歧文化群體之間的廣泛傳布和交流.（2）整體性.藝術(shù)的整體性來自于其藝術(shù)暗示的普遍性和廣泛性；數(shù)學(xué)的整體性來自于數(shù)學(xué)統(tǒng)一的符號體系，各個分支之間的有力聯(lián)系，共同的邏輯法則和既約的表達(dá)方式.（3）簡明性.它首先暗示為很高的籠統(tǒng)水平,其次是凝凍與濃縮.（4）代表性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)語言各自代表性可以誘發(fā)某種強(qiáng)烈的情感體驗，喚起某種美的享受，而意義則在于把注意力轉(zhuǎn)向思維，上升為理念，成為暗示人類內(nèi)心意圖的方式.（5）形式性.在藝術(shù)與數(shù)學(xué)各自進(jìn)行的符號與信息的含義交換中，其共同的特征就是到達(dá)了實體與形式的分離.我們研究的定積分在求極限中的應(yīng)用，那種思想以及符號呈現(xiàn)方式可被世界人悅納.藝術(shù)與數(shù)學(xué)具有共同的精神價值.其共同的特點有：（1）自律性.數(shù)學(xué)價值的自律性是與數(shù)學(xué)價值的客觀性相關(guān)聯(lián)的;藝術(shù)的價值也是不能以人的意志而轉(zhuǎn)移.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價值基本上是在自身框架內(nèi)被鑒別，鑒賞和評價的.（2）超越性.它們可以超越時空，彰顯永恒.在藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價值超越過程中，現(xiàn)實得以擴(kuò)張，延伸.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的超越性還暗示為超前的價值.(3)非功利性.藝術(shù)與數(shù)學(xué)的非功利性是其價值判斷異于其他種類文化與科學(xué)的顯著特征之一.(4)多樣化，物質(zhì)化與廣泛化.在現(xiàn)代技術(shù)與商業(yè)化的推動下，藝術(shù)與數(shù)學(xué)的價值也開始發(fā)生升華，呈現(xiàn)了各自價值在許多領(lǐng)域內(nèi)的散射，滲透，應(yīng)用，交叉等情況.定積分在求極限中的應(yīng)用，不單僅貢獻(xiàn)于數(shù)學(xué)自己,它將逐漸在其他領(lǐng)域也發(fā)揮一定的作用.我們已經(jīng)見到了定積分在求極限問題中應(yīng)用的各種形式.事實上,只要我們對學(xué)過的某些概念用心的體會，并加以深刻的思考，我們就可能將其精髓運用到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域.正如我們這里把定積分與極限結(jié)合起來，并進(jìn)行了適當(dāng)推廣，獲得了較為滿意的結(jié)論和推論.本文主要給年夜家介紹了定積分在求極限中應(yīng)用.一開始我們就回憶了定積分以及極限等年夜學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要概念.然后剖析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而尋找到了一種共同的求極限的法子一一借助定積分求極限.固然，這種思想也其實不是空穴來風(fēng)，它是源于教材中某些例題中具有立異性思想方法或者一些共同的步伐.因為不是所有的數(shù)學(xué)概念之間經(jīng)過思考推理，相互之間就能建立起聯(lián)系來.因此，在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們務(wù)必對教材中的基本概念加深體會，尤其是要把相互之間或多或少存在著某種關(guān)系的概念加以比力與分析.然后對其進(jìn)行年夜膽的假設(shè)，并進(jìn)行一定的邏輯證明.如果我們的假設(shè)成立，那就是我們發(fā)現(xiàn)的新事物，這對我