第四章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性ModernControlTheory1能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!第四章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性本章主要內(nèi)容線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性對偶原理線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形與能觀標(biāo)準(zhǔn)形線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解傳遞函數(shù)矩陣與能控性、能觀性的關(guān)系2能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出之間的關(guān)系。狀態(tài)方程反映控制輸入對狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對控制輸入和狀態(tài)的依賴。運(yùn)動(dòng)分析揭示了輸入和初始狀態(tài)對系統(tǒng)運(yùn)行狀況的影響。引言—問題的提出3能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!引言—問題的提出含義1:系統(tǒng)輸入對狀態(tài)變量的支配系統(tǒng)輸出對狀態(tài)變量的反映含義2:能否通過控制作用由任意初態(tài)確定終態(tài)能否由輸出量的測量值確定各狀態(tài)4能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!在有限時(shí)間內(nèi)，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計(jì)系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)？指系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）對系統(tǒng)狀態(tài)的識(shí)別能力，稱之為狀態(tài)的能觀性問題。能控性、能觀性---刻畫系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基礎(chǔ)性概念，由卡爾曼(Kalman)于1960年提出的，在現(xiàn)代控制理論中起重要作用。即，如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的。引言—問題的提出狀態(tài)能控否，決定能否實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制；能觀否，決定能否實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制。5能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!例4.2

引言—問題的提出RLC網(wǎng)絡(luò)

選擇電感中的電流以及電容上的電壓作為狀態(tài)變量，電容上的電壓為輸出變量,即當(dāng)R1R4≠R2R3，即電橋不平衡時(shí)，輸入u能控制x1和x2所有狀態(tài)變量，稱系統(tǒng)是能控的。6能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性本節(jié)主要內(nèi)容能控性定義

能控性判據(jù)

狀態(tài)能控判據(jù)

輸出能控判據(jù)

7能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!eg：假如相平面中的P點(diǎn)能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任一指定狀態(tài)，那么相平面上的P點(diǎn)是能控狀態(tài)。

PP3P1P2PnP40x1x24.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性8能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性

②把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，把終端狀態(tài)規(guī)定為任意非零有限點(diǎn)。狀態(tài)能達(dá)性：對于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任一指定的非零終端狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能達(dá)的，簡稱系統(tǒng)是能達(dá)的。注意：1、在線性定常系統(tǒng)中，能控性與能達(dá)性是可逆的，即：能控系統(tǒng)一定是能達(dá)系統(tǒng)，能達(dá)系統(tǒng)一定是能控系統(tǒng)。2、在討論能控性問題時(shí)，控制作用從理論上說是無約束的，其取值并非唯一。9能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性問題：如何來判斷能控性？二、能控性判別準(zhǔn)則1、定理1對于n階線性定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：由A、B構(gòu)成的能控性判別矩陣滿秩，即：n為該系統(tǒng)的維數(shù)

能控性矩陣10能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!（2）

（3）（4）11能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性2、定理2：

設(shè)線性定常系統(tǒng)，具有互不相同的實(shí)特征值，則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)型：

中，陣不存在全零行。12能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!

非奇異線性變換后，系統(tǒng)的能控性不變。13能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性解：（1）狀態(tài)方程為對角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是能控的。

（2）狀態(tài)方程為對角標(biāo)準(zhǔn)型，B陣中含有元素全為零的行，所以系統(tǒng)是不能控的。（2）

（1）例4.5判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性狀態(tài)變量x2不受控制此方法的優(yōu)點(diǎn)在于很容易判斷出能控性，并且能將不能控的部分確定下來，但它的缺點(diǎn)是要進(jìn)行線性變換。14能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性3、定理3：

若線性定常系統(tǒng)，具有重實(shí)特征值，且每一個(gè)重特征值只對應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型

中，每個(gè)約當(dāng)塊（）最后一行所對應(yīng)的陣中的各行元素不全為零。

15能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性例4.7判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。解：(1)∵∴系統(tǒng)是能控的。

(2)系統(tǒng)不能控的。

（1）(2)（3）(3)系統(tǒng)不能控的。

16能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性例4.8

判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)及輸出能控性。解：（1）狀態(tài)能控性判別矩陣

，故狀態(tài)不能控。（2）輸出能控性判別矩陣，所以系統(tǒng)輸出能控。結(jié)論：系統(tǒng)輸出能控，但不是狀態(tài)能控的。即使系統(tǒng)狀態(tài)能控，也可能輸出不能控。17能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性本節(jié)主要內(nèi)容能觀性定義

能觀性判據(jù)

在實(shí)際工程實(shí)踐中，往往需要知道狀態(tài)變量，但狀態(tài)變量未必都可以從外部觀測到！1、檢測手段的限制；2、一些狀態(tài)變量不是物理量。但輸出變量總是可以獲取和測量的。問題：能否通過輸入輸出信息來了解系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)？—能觀性問題18能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!即，對任意給定u(t)，在內(nèi)輸出y(t)可唯一確定系統(tǒng)的初態(tài)x()，則系統(tǒng)是完全能觀測的。

yx()

另：

yx()確定確定4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性能觀能檢不能觀狀態(tài)的物理意義！——在輸出中反映不出初始狀態(tài)。換言之，不能觀：非零初始狀態(tài)x0產(chǎn)生的輸出響應(yīng)恒為零。

能觀：系統(tǒng)初始狀態(tài)信息可以在輸出中反映。對任意給定u(t)，如果根據(jù)內(nèi)的輸出y(t)可唯一確定任意指定的系統(tǒng)狀態(tài)x()，則稱系統(tǒng)是完全能檢測的。兩者等價(jià)19能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性二、能觀性判據(jù)1、定理1

線性定常連續(xù)系統(tǒng):其狀態(tài)完全能觀的充分必要條件是：由A、C構(gòu)成的能觀性判別矩陣:滿秩，即:。能觀性矩陣oQ1nCCACA-=M20能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!這里：

要使y(t)x(0)確定21能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性2、定理2

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)：A陣具有互不相同的特征值，則其狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)型:中的矩陣中不含元素全為零的列。22能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性3、定理3

設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)A陣具有重特征值，且每一個(gè)特征值只對應(yīng)一個(gè)獨(dú)立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型:

中的矩陣中與每個(gè)約當(dāng)塊首列相對應(yīng)的那些列的元素不全為零。23能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性例4.11判別系統(tǒng)的能觀測性

（1）（2）解：（1）系統(tǒng)狀態(tài)不能觀（2）系統(tǒng)狀態(tài)能觀

24能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性2)對于輸出能控性，可由系統(tǒng)輸出能控性矩陣的秩確定。由于的秩為1，即，故該系統(tǒng)是輸出能控的。 3)為了檢驗(yàn)?zāi)苡^性條件，需驗(yàn)算能觀性矩陣的秩。

由于

的秩為2，即，故此系統(tǒng)是能觀的。25能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!引言—問題的提出經(jīng)典控制理論：傳遞函數(shù)（輸入輸出特性）

輸出量即是被控量（只要系統(tǒng)穩(wěn)定，輸出便可以受控，且輸出總是可測量的）現(xiàn)代控制理論：狀態(tài)空間（狀態(tài)方程和輸出方程）

輸入、輸出外部變量狀態(tài)內(nèi)部變量研究系統(tǒng)的最終目的：更好地了解系統(tǒng)和控制系統(tǒng)。思考？1、當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀況不佳時(shí)，能否通過系統(tǒng)的輸入來改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化行為？2、系統(tǒng)內(nèi)部所有動(dòng)態(tài)信息由狀態(tài)反映，那么能否通過系統(tǒng)的輸出來反映系統(tǒng)所有的狀態(tài)信息？26能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!多變量系統(tǒng)的兩個(gè)基本問題：在有限時(shí)間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)?引言—問題的提出指控制作用對狀態(tài)變量的影響或控制能力，稱之為狀態(tài)的能控性問題。即，如果系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來影響和控制，而由任意的始點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)，則系統(tǒng)能控(狀態(tài)能控)。27能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!例4.1、給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：引言—問題的提出表明：狀態(tài)變量、都可通過選擇輸入u而由始點(diǎn)終點(diǎn)，狀態(tài)都能控。輸出y只能反映狀態(tài)變量，所以不能觀測。

解：展開得28能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!例4.3RLC網(wǎng)絡(luò)

同樣引言—問題的提出當(dāng)R1R4=R2R3，即電橋平衡時(shí)，電感中的電流作為電路的一個(gè)狀態(tài)是不能由輸出變量來確定的，稱該系統(tǒng)是不能觀測的。29能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!含義：

能控性：u(t)x(t)狀態(tài)方程

一、能控性定義（可控性）1、狀態(tài)能控性 對于線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從任意一個(gè)初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意的終止?fàn)顟B(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性一致可控30能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性①把系統(tǒng)的初始狀態(tài)規(guī)定為狀態(tài)空間中的任意非零點(diǎn)，而把終端目標(biāo)規(guī)定為狀態(tài)空間中的原點(diǎn)。說明：這種定義方式不便于寫成解析形式。為了便于數(shù)學(xué)處理，而又不失一般性，可以把上面的能控性定義分兩種情況敘述：狀態(tài)能控性：對于給定的線性定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)分段連續(xù)的輸入，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)由任意非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。31能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性2、輸出能控性－－控制輸入影響輸出的能力

在分析和設(shè)計(jì)控制中，系統(tǒng)的被控量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)，而是系統(tǒng)的輸出，必須研究系統(tǒng)的輸出是否能控。在有限時(shí)間區(qū)間，存在一個(gè)無約束的分段連續(xù)的控制輸入，能使任意初始輸出

轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)

=0，則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的，簡稱輸出能控。對于系統(tǒng)輸入有唯一解的問題32能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性（1）

例4.4判別下列狀態(tài)方程的能控性。

∴系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。解：（1）33能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!解：（2），

∴系統(tǒng)不能控。（3），

∴系統(tǒng)能控。（4）

∴系統(tǒng)不能控。注意：對于行數(shù)＜列數(shù)的情況求秩時(shí)：rank=rank34能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!證明：（1）非奇異線性變換后系統(tǒng)的能控性不變。設(shè)令則：其中：35能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性因?yàn)榫€性變換后的狀態(tài)變量間無耦合，由能控的定義，顯然能控性的充要條件為變換后的b陣中無全為零的行。（2）36能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性例4.6判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。解：狀態(tài)方程為對角型，B陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是能控的。

正解：∵定理2要求：互不相同的實(shí)特征值∴只能用定理1的代數(shù)判據(jù)判斷∴系統(tǒng)是不能控的37能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!例：設(shè)，已知該系統(tǒng)能控4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性38能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性

系統(tǒng)輸出能控的充分必要條件是

的秩為輸出變量的數(shù)目。即：4、輸出能控性判據(jù)注意：一般而言，系統(tǒng)輸出能控性和狀態(tài)能控性之間沒有什么必然的聯(lián)系，即

輸出能控不一定狀態(tài)能控，狀態(tài)能控不一定輸出能控。輸出能控性矩陣或者說：該矩陣的秩等于該矩陣的行數(shù)，即行滿秩39能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性本節(jié)的小結(jié)1、能控、能觀問題的含義2、狀態(tài)能控性、狀態(tài)能達(dá)性及輸出能控性的定義3、各種能控性判據(jù)（注意條件限制，靈活應(yīng)用）能控性判別準(zhǔn)則有兩類:(1)先將系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)變換，把狀態(tài)方程化為對角或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，再根據(jù)陣確定系統(tǒng)的能控性；(2)直接根據(jù)狀態(tài)方程的A陣和B陣確定其能控性。4、輸出能控的定義及判據(jù)40能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性一、能觀測性定義

（可觀性）

表示的是輸出反映狀態(tài)矢量的能力，與控制輸入沒有直接的關(guān)系設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：如果對于任一給定的輸入，存在一有限觀測時(shí)間，使得在期間的輸出能唯一地確定系統(tǒng)初始狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)是能觀的。能觀性：y(t)x(t)輸出方程41能控性和能觀測性-1講共48頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!4.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性1）、能觀性表示的是輸出反映狀態(tài)矢量的能力，由于控制作用所引起的輸出是可以算出的，所以在分析能觀測問題時(shí)，可令。換言之，系統(tǒng)的輸入不改變系統(tǒng)的能觀測性。說明：2)、將能觀性規(guī)定為對初始狀態(tài)的確定，是因?yàn)橐坏┐_定了初始狀態(tài)，便可以根據(jù)給定的控制量（輸入），利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程（第三章）：

求出各個(gè)瞬時(shí)的狀態(tài)。42能