§10.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度

如已知某瞬時(shí)平面圖形S內(nèi)點(diǎn)A的加速度，以及圖形的角速度w和角加速度a，則可以A為基點(diǎn)建立平動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)xy，而將圖形的運(yùn)動(dòng)分解為：跟隨基點(diǎn)A的平動(dòng)(牽連運(yùn)動(dòng)）和繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）。平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理可知，圖形S內(nèi)任一點(diǎn)B的加速度

由于點(diǎn)B相對(duì)于基點(diǎn)A作圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)加速度可分解為沿相對(duì)軌跡切線和法線的兩部分，即1、牽連加速度：2、相對(duì)加速度：平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!①相對(duì)切向加速度

aBAt為點(diǎn)B繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度，方向與AB垂直，大小為

aBAt=AB·a

②相對(duì)法向加速度

aBAn為點(diǎn)B繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)的法向加速度，指向基點(diǎn)A，大小為

aBAn=AB·w2平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!3、絕對(duì)加速度

即：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!選A為基點(diǎn)，建立平動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)x′y′。M點(diǎn)的絕對(duì)軌跡是在輪Ⅰ外緣上的外擺線，其運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，但可分解為跟隨基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和相對(duì)于基點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)（輪Ⅱ上任一點(diǎn)均如此）。再由速度合成定理知vM＝ve＋vr

＝vA＋vMA

(1)式中M點(diǎn)的相對(duì)速度vMA沿M點(diǎn)的相對(duì)軌跡（即輪Ⅱ外緣的圓周）的切線，如圖所示。平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!aMA=aMAnaMA沿輪Ⅱ上通過(guò)M點(diǎn)的半徑并由M指向A，由牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)的加速度合成定理可求出點(diǎn)M的加速度。因

aA沿曲柄由A指向O，其大小為aA=(R+r)w02；wⅡ＝常量，故M點(diǎn)的aMAn=r·wⅡ2=(R+r)2w02/r；aMAt=0平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!又aM的方向可表示如下:

θ=（aM，aA）=arctan(R+r)/r由圖可看出，輪Ⅱ上速度瞬心C的加速度aC的大小應(yīng)為可見(jiàn)，速度瞬心的速度為零，但加速度卻不為零。aC＝aCA－ae＝aMA－aA

＝(R+r)w02〔(R+r)/r－1〕

＝R(R+r)w02/r＞0aA=(R+r)w02

aMAn=(R+r)2w02/r平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!方向假設(shè)如圖所示；以A為基點(diǎn)，求點(diǎn)B的加速度。

作出加速度圖如圖所示，且方向由A指向O軸，式中：aB的大小和方向已知；的大小為：OA＝12cm，AB＝30cm，vB＝2m/s，aB＝1m/s2，求wAB和aAB平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!將（1）式在y軸上投影AB桿的角加速度OA＝12cm，AB＝30cm，vB＝2m/s，aB＝1m/s2，求wAB和aAB平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!解：如圖所示AB桿做瞬時(shí)平動(dòng)ω=2rad/s，OA=AB=R=2r=1m，求圖示瞬時(shí)點(diǎn)B和C的速度和加速度。平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!以B點(diǎn)為基點(diǎn)，C點(diǎn)加速度如圖所示：平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!式中各矢量方向如圖所示。因點(diǎn)E作勻速直線運(yùn)動(dòng)，

aE=0。aBEn的大小為BE桿作平面運(yùn)動(dòng)，在圖中，由vE＝v及vB方向可知此瞬時(shí)O點(diǎn)為BE桿的速度瞬心，因此以E為基點(diǎn)，點(diǎn)B的加速度為wBE平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!其轉(zhuǎn)向如圖所示。顯然va=ve；vr=0

即ve=vB＝v于是得桿OA的角速度。式中：絕對(duì)速度va=vB

；牽連速度ve＝?，方向垂直于OA，因此與va同向；相對(duì)速度vr沿OA桿，垂直于va。平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!例5：如圖所示，半徑為r的行星齒輪Ⅱ由曲柄OA帶動(dòng)，沿半徑為R的固定齒輪Ⅰ作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。設(shè)已知曲柄OA以勻角速度w0轉(zhuǎn)動(dòng)，求輪Ⅱ上M點(diǎn)的速度和加速度，設(shè)AM⊥OA

解：M為輪Ⅱ上的點(diǎn)，輪Ⅱ作平面運(yùn)動(dòng)，又輪Ⅱ中心點(diǎn)A的速度

vA＝（R+r）w0=常量方向垂直于曲柄OAA點(diǎn)的加速度aA恒指向曲柄并由A指向O，其大小為aA＝（R+r）w02平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!

為求M點(diǎn)的絕對(duì)速度vM，還須先求出M點(diǎn)的相對(duì)速度vMA的大小?？紤]到兩輪上在它們節(jié)圓相切處之C點(diǎn)的速度彼此相同而均為零，故C點(diǎn)即為輪Ⅱ的速度瞬心。從而，輪Ⅱ的角速度w為于是再根據(jù)M點(diǎn)的速度平行四邊形，即可求出M點(diǎn)速度的大小和方向：平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!aMA=aMAnaMA沿輪Ⅱ上通過(guò)M點(diǎn)的半徑并由M指向A，由于aA⊥aMA，故aA=(R+r)w02M點(diǎn)aMAn=(R+r)2w02/r；aMAt=0平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!例7圖所示機(jī)構(gòu)中，OA＝12cm，AB＝30cm，AB桿的B端以速度vB＝2m/s，aB＝1m/s2

向左沿固定平面運(yùn)動(dòng)。求圖示瞬時(shí)AB桿的角速度wAB和角加速度aAB

。解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，由A、B兩點(diǎn)的速度方向可知，在圖示瞬時(shí)AB桿作瞬時(shí)平動(dòng)。如圖所示。則有vA＝vB，wAB＝0，w0＝vA/OA平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!的方位垂直于AB，指向假設(shè)如圖，大小未知；OA＝12cm，AB＝30cm，vB＝2m/s，aB＝1m/s2，求wAB和aAB平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!習(xí)題：曲柄OA以恒定的角速度ω=2rad/s繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，并借助連桿AB驅(qū)動(dòng)半徑為r的輪子在半徑為R的圓弧槽中作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。設(shè)OA=AB=R=2r=1m，求圖示瞬時(shí)點(diǎn)B和C的速度和加速度。平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!輪心B以圓心O1，半徑為r作圓周運(yùn)動(dòng)B點(diǎn)絕對(duì)加速度：以A點(diǎn)為基點(diǎn)，B點(diǎn)加速度如圖所示：平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!例6圖示平面機(jī)構(gòu)，滑塊B可沿桿OA滑動(dòng)。桿BE與BD分別與滑塊B鉸接，BD桿可沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。滑塊E以勻速v沿鉛直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)。圖示瞬時(shí)桿OA鉛直，且與桿BE夾角為45°。求該瞬時(shí)桿OA的wOA和aOA。解：BE桿作平面運(yùn)動(dòng)，可先求出點(diǎn)B的速度和加速度。點(diǎn)B連同滑塊在OA桿上滑動(dòng)，并帶動(dòng)桿OA轉(zhuǎn)動(dòng)，可按合成運(yùn)動(dòng)方法求解桿OA的wOA和aOA平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!由于滑塊B可以沿桿OA滑動(dòng)，因此可利用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法求桿OA的wOA和aOA。選：動(dòng)點(diǎn)—滑塊B，動(dòng)系—桿OA點(diǎn)B的絕對(duì)速度將式（a）投影到沿BE方向的軸上，得aBcos45＝aBEn平面圖形上各點(diǎn)的加速度理論力學(xué)共23頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!