一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的1一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac≥0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：2（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1--2算一算：（3）3x2-4x+1=01（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4)23方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3-4-4-1-21若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

的兩根為x1、x2,則

.

.

方程兩根兩根和兩根積x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4X1+x2=+==-X1x2=●===證明：設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則X1+x2=+==-X1x2=●===證明：設(shè)ax2+bx+5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2

=-注：能用公式的前提條件為△=b2-4ac≥0在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－時，注意“－”不要漏寫。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(6如果方程x2+px+q=0的兩根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=.－Pq

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是法國數(shù)學家“韋達”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又稱之為韋達定理.如果方程x2+px+q=0的兩根是－Pq7說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=0x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-說一說：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：(1)x2-2x8例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值.解法一：設(shè)方程的另一個根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得2＋x2=k+12x2=3k解這方程組，得x2=－3k=－2答：方程的另一個根是－3,k的值是－2.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,解9例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解法二：設(shè)方程的另一個根為x2.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x2＝3k即2x2＝－6∴x2

＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,解10例2、方程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2，不解方程，求：（1）;（2);;(4).例2、方程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2，11另外幾種常見的求值:另外幾種常見的求值:121、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設(shè)x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：設(shè)方程的另一個根為x2,則x2+1=,∴x2=,又x2●1=,∴m=3x2=16解：由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=試一試：1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，2、設(shè)x1,13411412則：＝＝411412則：＝＝14

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,154.已知方程的兩個實數(shù)根是且

，求k的值.解：由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2=-k，x1x2=k+2

又x12+x2

2=4

即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8當k=4時，△=-8＜0∴k=4(舍去）當k=-2時，△=4＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2探究：4.已知方程的兩個實數(shù)根解：由根與系數(shù)的關(guān)166.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個實數(shù)根x1、x2.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）當x12-x22=0時，求m的值.6.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個實數(shù)176.（2013?荊州）已知：關(guān)于x的方程

kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）若此方程有兩個實數(shù)根x1，x2,

且│x1－x2│=2,求k的值.6.（2013?荊州）已知：關(guān)于x的方程182、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；3、靈活運用根與系數(shù)關(guān)系解決問題.1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？小結(jié)：2、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？19一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系20下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？⑴.X2－3X+1=0⑵.3X2－2X=2⑶.2X2+3X=0⑷.3X2=1

基本知識下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？基本知識21在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－時，注意“－”不要漏寫.在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：22練習1已知關(guān)于x的方程當m=

時,此方程的兩根互為相反數(shù).當m=

時,此方程的兩根互為倒數(shù).－11分析:1.2.練習1已知關(guān)于x的方程當m=時,此方23練習2設(shè)的兩個實數(shù)根

為則:的值為()A.1B.－1C.D.A練習2設(shè)24以為兩根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)為:二、已知兩根求作新的方程以為兩根的一元二次方程二、已知兩根求作25題5

以方程X2+3X-5=0的兩個根的相反數(shù)為根的方程是（）A、y2＋3y-5=0B、y2－3y-5=0C、y2＋3y＋5=0D、y2－3y＋5=0B分析:設(shè)原方程兩根為則:新方程的兩根之和為新方程的兩根之積為題5以方程X2+3X-5=0的兩個根的相反數(shù)為根的方程是（26

求作新的一元二次方程時:1.先求原方程的兩根和與兩根積.2.利用新方程的兩根與原方程的兩根之間的關(guān)系,求新方程的兩根和與兩根積.(或由已知求新方程的兩根和與兩根積)3.利用新方程的兩根和與兩根積,

求作新的一元二次方程.

求作新的一元二次方程時:27練習:1.以2和－３為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為１）為：

練習:28題6已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則兩個數(shù)是

。2和-1解法(一):設(shè)兩數(shù)分別為x,y則:{解得:x=2

y=－1{或

ｘ＝－1y=2{解法(二):設(shè)兩數(shù)分別為一個一元二次方程的兩根則:求得∴兩數(shù)為2,－１三已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)

題6已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則兩29題7如果－1是方程的一個根，則另一個根是___ｍ=____。（還有其他解法嗎？)-3四求方程中的待定系數(shù)題7如果－1是方程（還有其他解法嗎？)-3四求方程中的30小結(jié)：

1、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；

2、靈活運用根與系數(shù)關(guān)系解決問題；

3、探索解題思路，歸納解題思想方法。小結(jié)：318、已知關(guān)于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m﹥0)

(1)此方程有實數(shù)根嗎？（2）如果這個方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且（x1-3)(x2-3)=５m，求m的值。拓廣探究8、已知關(guān)于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m﹥32題9方程

有一個正根，一個負根，求m的取值范圍。解:由已知,△={即{m>0m-1<0∴0<m<1題9方程解:由已知,△={即{m>0∴0<m<133一正根，一負根△＞0X1X2＜0兩個正根△≥0X1X2＞0X1+X2＞0兩個負根△≥0X1X2＞0X1+X2＜0{{{一正根，一負根△＞0兩個正根△≥0兩個負根△≥0{{{34請閱讀下列材料：問題：已知方程x

2＋x－1＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為y，則y＝2x，所以x＝．把x＝代入已知方程，得()2＋

－1＝0．化簡，得y

2＋2y－4＝0．故所求方程為y

2＋2y－4＝0．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）；（1）已知方程x

2＋x－2＝0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為_________________；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程ax

2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．請閱讀下列材料：35

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的36一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac≥0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：37（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1--2算一算：（3）3x2-4x+1=01（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4)238方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3-4-4-1-21若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

的兩根為x1、x2,則

.

.

方程兩根兩根和兩根積x1x2x2-7x+12=0x2+3x-39X1+x2=+==-X1x2=●===證明：設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則X1+x2=+==-X1x2=●===證明：設(shè)ax2+bx+40一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2

=-注：能用公式的前提條件為△=b2-4ac≥0在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－時，注意“－”不要漏寫。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程ax2+bx+c=0(41如果方程x2+px+q=0的兩根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=.－Pq

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是法國數(shù)學家“韋達”發(fā)現(xiàn)的,所以我們又稱之為韋達定理.如果方程x2+px+q=0的兩根是－Pq42說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=0x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-說一說：說出下列各方程的兩根之和與兩根之積：(1)x2-2x43例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值.解法一：設(shè)方程的另一個根為x2.由根與系數(shù)的關(guān)系，得2＋x2=k+12x2=3k解這方程組，得x2=－3k=－2答：方程的另一個根是－3,k的值是－2.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,解44例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,

求它的另一個根及k的值。解法二：設(shè)方程的另一個根為x2.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x2＝3k即2x2＝－6∴x2

＝－3答：方程的另一個根是－3,k的值是－2.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2,解45例2、方程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2，不解方程，求：（1）;（2);;(4).例2、方程2x2-3x+1=0的兩根記作x1,x2，46另外幾種常見的求值:另外幾種常見的求值:471、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設(shè)x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：設(shè)方程的另一個根為x2,則x2+1=,∴x2=,又x2●1=,∴m=3x2=16解：由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=試一試：1、已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，2、設(shè)x1,48411412則：＝＝411412則：＝＝49

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,504.已知方程的兩個實數(shù)根是且

，求k的值.解：由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2=-k，x1x2=k+2

又x12+x2

2=4

即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8當k=4時，△=-8＜0∴k=4(舍去）當k=-2時，△=4＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2探究：4.已知方程的兩個實數(shù)根解：由根與系數(shù)的關(guān)516.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個實數(shù)根x1、x2.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）當x12-x22=0時，求m的值.6.已知關(guān)于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩個實數(shù)526.（2013?荊州）已知：關(guān)于x的方程

kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）若此方程有兩個實數(shù)根x1，x2,

且│x1－x2│=2,求k的值.6.（2013?荊州）已知：關(guān)于x的方程532、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；3、靈活運用根與系數(shù)關(guān)系解決問題.1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？小結(jié)：2、熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系；1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系？54一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系55下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？⑴.X2－3X+1=0⑵.3X2－2X=2⑶.2X2+3X=0⑷.3X2=1

基本知識下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？基本知識56在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用X1+X2=－時，注意“－”不要漏寫.在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，應(yīng)注意：57練習1已知關(guān)于x的方程當m=

時,此方程的兩根互為相反數(shù).當m=

時,此方程的兩根互為倒數(shù).－11分析:1.2.練習1已知關(guān)于x的方程當m=時,此方58練習2設(shè)的兩個實數(shù)根

為則:的值為()A.1B.－1C.D.A練習2設(shè)59以為兩根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)為:二、已知兩根求作新的方程以為兩根的一元二次方程二、已知兩根求作60題5

以方程X2+3X-5=0的兩個根的相反數(shù)為根的方程是（）A、y2＋3y-5=0B、y2－3y-5=0C、y2＋3y＋5=0D、y2－3y＋5=0B分析:設(shè)原方程兩根為則:新方程的兩根之和為新方程的兩根之積為題5以方程X2+3X-5=0的兩個根的相反數(shù)為根的方程是（61

求作新的一元二次方程時:1.先求原方程的兩根和與兩根積.2.利用新方程的兩根與原方程的兩根之間的關(guān)系,求新方程的兩根和與兩根積.(或由已知求新方程的兩根和與兩根積)3.利用新方程的兩根和與兩根積,

求作新的一元二次方程.

求作新的一元二次方程時:62練習:1.以2和－３為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為１）為：

練習:63題6已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則兩個數(shù)是

。2和-1解法(一):設(shè)兩數(shù)分別為x,y則:{解得:x=2

y=－1{或

ｘ＝－