學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4。2。1直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1。比較判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法—-代數(shù)法與幾何法．2．體會(huì)利用代數(shù)方法解決幾何問題的思想，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些綜合問題．高考導(dǎo)航判斷直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓相切的問題及弦長問題是高考考查的熱點(diǎn)題型，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),分值5分。知識(shí)點(diǎn)直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)與圓（x－a）2＋（y－b)2＝r2（r>0）的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(｜Aa＋Bb＋C｜,\r(A2＋B2））d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,，x－a2＋y－b2＝r2)）消元得到一元二次方程，判別式為ΔΔ>0Δ＝0Δ<0圖形判斷直線與圓的位置關(guān)系，一般常用幾何法,因?yàn)榇鷶?shù)法計(jì)算繁瑣，書寫量大,易出錯(cuò)，幾何法則較簡潔，但是在判斷直線與其他二次曲線的位置關(guān)系時(shí)，常用代數(shù)法．［小試身手]1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√"，錯(cuò)誤的打“×")(1)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．()（2）直線x＋2y－1＝0與圓2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置關(guān)系是相交．()答案：(1)√（2）√2．直線x－3y＋1＝0與圓x2＋y2＝eq\f(1，9）的位置關(guān)系是（)A．相離B．相切C．相交且過圓心D．相交但不過圓心解析：圓心(0,0)到直線x－3y＋1＝0的距離d＝eq\f（1,\r(10））〈eq\f（1,3），故直線與圓相交，但不過圓心．答案:D3．已知圓的方程為x2＋y2＝1,則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(1，0)的切線方程是（)A．x＝1B．y＝1C．x＋y＝1D．x－y＝1解析:方法一由圓的方程為x2＋y2＝1,可知圓心A的坐標(biāo)為（0,0)，圓的半徑r＝1，∴經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(1,0)的切線方程是x＝1，方法二直接應(yīng)用切線方程的第(1)個(gè)結(jié)論得，所求切線方程為1·x＋0·y＝12，即x＝1.答案：A4．直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A，B兩點(diǎn),則|AB|＝________.解析：d＝eq\f（5,\r(5)）＝eq\r(5)，所以|AB｜＝2eq\r（r2－d2)＝2eq\r(8－5）＝2eq\r(3）。答案：2eq\r（3）

類型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0。當(dāng)m為何值時(shí)，圓與直線:（1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2）只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3）沒有公共點(diǎn)．【解析】有兩種方法．方法一將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理，得(1＋m2）x2－2（m2＋2m＋2）x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)．（1)當(dāng)Δ>0時(shí)，即m〉0或m〈－eq\f（4,3）時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);（2）當(dāng)Δ＝0時(shí),即m＝0或m＝－eq\f(4，3）時(shí),直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3)當(dāng)Δ<0時(shí)，即－eq\f(4，3）<m〈0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)．方法二已知圓的方程可化為(x－2）2＋(y－1）2＝4，即圓心為C(2,1）,半徑r＝2。圓心C(2，1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝eq\f(｜2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f（｜m－2｜，\r（1＋m2)）。(1)當(dāng)d〈2時(shí)，即m>0或m〈－eq\f（4,3)時(shí)，直線與圓相交,即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);（2）當(dāng)d＝2時(shí)，即m＝0或m＝－eq\f（4，3)時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)當(dāng)d〉2時(shí)，即－eq\f（4,3)〈m〈0時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn)。(1）兩方程聯(lián)立，消元后根據(jù)根的判別式Δ的取值情況列等式或不等式（相切?Δ＝0,相離?Δ<0，相交?Δ〉0）；（2)根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系列等式或不等式（相切?d＝r，相離?d>r，相交?d<r）．方法歸納解決此類問題的關(guān)鍵是搞清直線與圓的位置和直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)間的等價(jià)關(guān)系．在處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法，即比較圓心到直線的距離和半徑的大小,而不用聯(lián)立方程．跟蹤訓(xùn)練1已知直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1，判斷它們的位置關(guān)系．解析：解法一圓x2＋y2＝1的圓心是O(0,0），半徑r＝1，圓心到直線的距離d＝eq\f（｜3×0＋4×0－5|,\r(32＋42））＝1＝r，∴直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1相切．解法二由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，，x2＋y2＝1))得25x2－30x＋9＝0,∵Δ＝（－30)2－4×25×9＝900－900＝0，∴直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1相切．本題可采用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系．類型二直線與圓相切問題例2若直線l過點(diǎn)P(2,3)，且與圓（x－1)2＋（y＋2）2＝1相切，求直線l的方程．【解析】因?yàn)?2－1)2＋(3＋2)2〉1，所以點(diǎn)P在圓外．(1)若直線l的斜率存在，方法一設(shè)l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因?yàn)橹本€l與圓（x－1）2＋（y＋2）2＝1相切，所以eq\f(｜5－k｜,\r(k2＋1））＝1，所以k＝eq\f（12，5）。所以直線l的方程為y－3＝eq\f（12，5）(x－2），即12x－5y－9＝0。方法二設(shè)l:y－3＝k（x－2），即y＝k(x－2）＋3，與圓的方程聯(lián)立消去y得（x－1）2＋［k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－（4k2－10k＋2）x＋4k2－20k＋25＝0,所以Δ＝（4k2－10k＋2)2－4（k2＋1)（4k2－20k＋25)＝0，所以k＝eq\f(12,5).此時(shí)直線l的方程為y－3＝eq\f（12，5）(x－2），即12x－5y－9＝0.（2)若直線l的斜率不存在，則直線l：x＝2也符合要求．所以直線l的方程為12x－5y－9＝0或x＝2.(1）直線和圓相切，則過圓心和切點(diǎn)的直線與切線垂直．（2）求過一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，要先檢驗(yàn)此點(diǎn)在圓上還是圓外，防止漏解．若此點(diǎn)在圓上，則切線只有一條；若此點(diǎn)在圓外，則切線一定有兩條．方法歸納求切線方程的常用方法1．求過圓上一點(diǎn)（x0，y0）的圓的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率k，再由垂直關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1，k),由點(diǎn)斜式方程可得切線方程．若k＝0或k不存在，則切線的斜率不存在或?yàn)?,從而可直接得切線方程為x＝x0或y＝y(tǒng)0.2．求過圓外一點(diǎn)（x0，y0)的圓的切線方程的方法(1)幾何法．設(shè)切線方程為y－y0＝k（x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得k，切線方程即可求出．（2)代數(shù)法．設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0），即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,由Δ＝0，求得k,切線方程即可求出．注意：過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，當(dāng)幾何法或代數(shù)法求得的k值只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合求出．跟蹤訓(xùn)練2已知圓O：x2＋y2＝5和點(diǎn)A(1，2）,求過點(diǎn)A且與圓O相切的直線方程．解析：因?yàn)?2＋22＝5，所以點(diǎn)A(1,2）在圓x2＋y2＝5上，圓心O(0，0）與A(1，2）連線的斜率為kOA＝eq\f（2－0，1－0）＝2。設(shè)切線斜率為k,則k＝－eq\f(1,kOA）＝－eq\f（1，2)，所以過點(diǎn)A且與圓O相切的切線方程為y－2＝－eq\f（1，2）（x－1)，即x＋2y－5＝0。先判定點(diǎn)A在圓上，求出OA的斜率和切線的斜率,然后求切線的方程．類型三直線被圓截得的弦長問題例3求直線l:3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．【解析】方法一設(shè)直線l與圓C的交點(diǎn)分別為A,B,則由直線l與圓C的方程,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝1，，y1＝3,））eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝2,,y2＝0,）)所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1，3)，B(2,0)．故直線l：3x＋y－6＝0被圓C:x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長｜AB|＝eq\r（1－22＋3－02）＝eq\r(10）.方法二圓C：x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋（y－1)2＝5,其圓心坐標(biāo)為（0，1)，半徑長r＝eq\r（5），圓心到直線l的距離d＝eq\f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12））＝eq\f（\r（10）,2).設(shè)直線l與圓C的交點(diǎn)為A,B，則eq\f（|AB|，2)＝eq\r(r2－d2)＝eq\r（\r（5)2－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r（10），2）))2)＝eq\f（\r（10),2）,所以弦長|AB|＝eq\r（10).弦長問題時(shí)常用的方法有兩種：一是幾何法，即利用圓心到弦的垂線段、半徑及半弦構(gòu)成的直角三角形并結(jié)合勾股定理來計(jì)算；二是代數(shù)法，即利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式來計(jì)算．方法歸納求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法(1）幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r，弦長為|AB｜,則有eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（｜AB|，2）））2＋d2＝r2，即｜AB|＝2eq\r（r2－d2).圖1圖2（2）代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別是A（x1，y1)，B（x2,y2)，則|AB｜＝eq\r（x1－x22＋y1－y22）＝eq\r（1＋k2)|x1－x2｜＝eq\r（1＋\f（1，k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．幾何法比代數(shù)法運(yùn)算量小，也比較直觀、簡單，故通常采用幾何法解決圓的有關(guān)弦長問題．跟蹤訓(xùn)練3過點(diǎn)(－4，0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A,B兩點(diǎn)，如果|AB｜＝8,求直線l的方程．解析:將圓的方程配方得(x＋1)2＋（y－2)2＝25,由圓的性質(zhì)可得，圓心到直線l的距離d＝eq\r（\r（25)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(8，2）)）2)＝3。①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),x＝－4滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0。由點(diǎn)到直線的距離公式，得3＝eq\f(｜－k－2＋4k｜，\r(1＋k2）)，解得k＝－eq\f(5,12)，所以直線l的方程為5x＋12y＋20＝0。綜上所述，直線l的方程為x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0。解答本題時(shí)可設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，利用弦心距、半徑長、半弦長構(gòu)成的直角三角形來求解。［基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分）一、選擇題(每小題5分,共25分)1．［2019·衡水檢測］直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是（）A．相切B．相交但直線不過圓心C．相交且直線過圓心D．相離解析：∵圓心到直線的距離d＝eq\f（1，\r(1＋1））＝eq\f（\r（2），2）〈1，直線y＝x＋1不過圓心（0，0)，∴直線與圓相交但直線不過圓心．答案:B2．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋eq\r（5）＝0或2x＋y－eq\r（5)＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋eq\r（5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0解析：設(shè)所求直線為2x＋y＋c＝0,則eq\r（5）＝eq\f(｜c(diǎn)|，\r(22＋12)),解得c＝±5,故選A。答案：A3．［2019·山東校級(jí)檢測］直線x－y＋3＝0被圓(x＋2）2＋（y－2)2＝2截得的弦長等于（)A.eq\f(\r（6),2）B。eq\r（3)C．2eq\r（3）D。eq\r（6）解析：圓心(－2，2)到直線x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(\r(2)，2)，圓的半徑r＝eq\r（2)，解直角三角形得，半弦長為eq\f(\r(6），2)，所以弦長等于eq\r（6)。答案：D4．過點(diǎn)（2,1）的直線中被圓（x－1)2＋（y＋2）2＝5截得的弦長最大的直線的方程是（)A．3x－y－5＝0B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0D．x－3y＋5＝0解析：過點(diǎn)（2，1)的直線中被圓(x－1）2＋（y＋2）2＝5截得的弦長最大的直線經(jīng)過圓心．由題意得所求直線過點(diǎn)(2，1)和圓心（1，－2），∴其方程為eq\f（y＋2，1＋2）＝eq\f(x－1,2－1)，整理得3x－y－5＝0。答案：A5．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點(diǎn)到直線x＋y－8＝0的最大距離是()A．18B．6eq\r（2)C．5eq\r(2）D．4eq\r(2）解析：由題意得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋（y－2）2＝18，則其半徑r＝3eq\r（2)，圓心（2，2)到直線x＋y－8＝0的距離d＝eq\f（｜2＋2－8｜,\r(12＋12）)＝2eq\r(2)，故圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是3eq\r（2)＋2eq\r（2）＝5eq\r（2).答案：C二、填空題(每小題5分，共15分）6．若點(diǎn)P(1，2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上，則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為________________．解析:∵以原點(diǎn)O為圓心的圓過點(diǎn)P（1,2），∴圓的方程為x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切線的斜率k＝－eq\f(1,2）.由點(diǎn)斜式可得切線方程為y－2＝－eq\f（1，2)（x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝07．設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB｜＝2eq\r（3)，則圓C的面積為_________________．解析：圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2＋(y－a）2＝a2＋2，所以圓心C(0，a）,半徑r＝eq\r（a2＋2).|AB｜＝2eq\r（3)，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2）），由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2\r（3)，2）))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(｜0－a＋2a｜,\r(2)））)2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2,所以圓C的面積為π×22＝4π。答案：4π8．過點(diǎn)(5，2)向圓x2＋6x＋y2＋2y＋1＝0引切線,則切線長為________________．解析:由已知可得，點(diǎn)（5，2）在圓外,則切線長為eq\r（52＋6×5＋22＋2×2＋1)＝8.答案：8三、解答題(每小題10分，共20分)9．過點(diǎn)P(1，－1)的直線L與圓M：(x－3)2＋(y－4)2＝4相切，求切線方程和切線長.解析:若直線L的斜率存在，設(shè)L的方程為y－（－1）＝k（x－1），即kx－y－k－1＝0，因?yàn)橹本€L與圓相切，所以圓心M到直線L的距離d＝r，即eq\f(｜3k－4－k－1|，\r(1＋k2）)＝2，解得k＝eq\f（21，20)。若直線L的斜率不存在，則其方程為x＝1，滿足要求．故所求切線方程為21x－20y－41＝0或x＝1.設(shè)其中一個(gè)切點(diǎn)為A，則在直角三角形PMA中，有｜MP|＝eq\r(29)，所以切線長|PA|＝eq\r(\r(29）2－22）＝5.10．直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5,5）并且與圓C：x2＋y2＝25相交截得的弦長為4eq\r（5)，求l的方程．解析：據(jù)題意知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y－5＝k（x－5）,與圓C相交于A(x1，y1），B(x2,y2）．方法一聯(lián)立方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y－5＝kx－5,，x2＋y2＝25，))消去y，得（k2＋1）x2＋10k（1－k）x＋25k(k－2)＝0?！唳ぃ剑?0k（1－k）]2－4(k2＋1)·25k(k－2）〉0，解得k〉0.又x1＋x2＝－eq\f（10k1－k，k2＋1），x1x2＝eq\f（25kk－2，k2＋1），由斜率公式，得y1－y2＝k（x1－x2)，∴|AB|＝eq\r（x1－x22＋y1－y22)＝eq\r（1＋k2x1－x22）＝eq\r（1＋k2［x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(100k21－k2,k2＋12）－4·\f(25kk－2，k2＋1）)）)＝4eq\r（5).兩邊平方，整理得2k2－5k＋2＝0,解得k＝eq\f（1,2）或k＝2符合題意．故直線l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0。方法二如圖所示，｜OH|是圓心到直線l的距離，|OA｜是圓的半徑,｜AH|是弦長|AB|的一半．在Rt△AHO中，｜OA｜＝5，|AH|＝eq\f(1,2）|AB｜＝eq\f（1，2）×4eq\r（5）＝2eq\r（5），∴|OH｜＝eq\r(|OA｜2－|AH｜2）＝eq\r（5)，∴eq\f(｜51－k|,\r（k2＋1))＝eq\r（5），解得k＝eq\f(1,2)或k＝2?！嘀本€l的方程為x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.［能力提升](20分鐘，40分）11．已知點(diǎn)M(a，b)在圓O:x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(）A．相切B．相交C．相離D．不確定解析:由點(diǎn)M在圓外，得a2＋b2〉1，∴圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2）)〈1＝r，則直線與圓O相交．答案:B12．[2019·江西廣昌一中月考］已知圓C：（x－a）2＋(y－2)2＝4(a>0）及直線l：x－y＋3＝0,當(dāng)直線l被圓C截得的弦長為2eq\r（3)時(shí)，則a等于________．解析：由題可得eq\f（|a－2＋3｜,\r（12＋－12))＝eq\r(4－\r（3)2)，得a＝eq\r（2）－1或a＝－eq\r(2)－1(舍去）．答案：eq\r（2）－113．已知直線kx－y＋6＝0被圓x2＋y2＝25所截得的弦長為8,求k的值．解析:解法一設(shè)直線kx－y＋6＝0被圓x2＋y2＝25所截得的弦為AB，其中點(diǎn)為C，連接OC，則△OCB為直角三角形．因?yàn)閳A的半徑為|OB|＝5，半弦長為eq\f(|AB｜,2)＝｜BC|＝4，所以圓心到直線kx－y＋6＝0的距離為3，由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(6，\r（k2＋1）)＝3,解得k＝±eq\r（3)。解法二設(shè)直線kx－y＋6＝0被圓x2＋y2＝25所截得的弦為AB，其中A(x1，y1），B(x2,y2），聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(kx－y＋6＝0,,x2＋y2＝25，)）消去y得，（1＋k2)x2＋12kx＋11＝0，所