第一節(jié)

因次(量綱)分析

一、量綱和單位

單位（unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱單位。如長度單位為m或cm等?！傲俊钡谋碚鳌?/p>

量綱（dimension）：是指撇開單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類別。如長度量綱為[L]?！百|(zhì)”的表征。

基本量綱（fundamentaldimension）：具有獨(dú)立性的不能由其他量量綱綱推導(dǎo)出來的量綱叫做基本量綱。一般取長度、時間、質(zhì)量，即[L-M-T]誘導(dǎo)量綱（deriveddimension）:是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。

量綱公式:

幾何學(xué)量綱：α≠0,β=0,γ=0，

分類運(yùn)動學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ=0

動力學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ≠0

無量綱數(shù)（純數(shù)，如相似準(zhǔn)數(shù)）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。

特點(diǎn)：（1）無量綱單位，它的大小與所選單位無關(guān)；

（2）具有客觀性；

（3）在超越函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)用無量綱數(shù).

第一節(jié)

因次(量綱)分析

一、量綱和單位

1二、量綱和諧原理

量綱和諧原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：

凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧原理。

量綱和諧原理的重要性：

a.一個方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

b.量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。

c.可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。

二、量綱和諧原理2

物理過程的有量綱表達(dá)形式為，其中m個物理量的量綱被選為基本量綱，余下n-m個物理量可各自與這m個物理量組合成無量綱量，定理的結(jié)論是：物理過程的無量綱表達(dá)形式為

1.定理

物理過程涉及n個物理量，其中有m個物理量的量綱是互相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成n-m個無量綱量，物理過程則可由這n-m個無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。物理過程的有量綱表達(dá)形式為，其3例初速為零的自由落體運(yùn)動位移ss

～g,tg,t選為基本量綱三個量只能組成一個無量綱量

s/gt2初速為零的自由落體運(yùn)動規(guī)律s/gt2=C做一次實(shí)驗(yàn)測得C=1/2

，就不用再做類似實(shí)驗(yàn)，包括在月球上做實(shí)驗(yàn)。例初速為零的自由落體運(yùn)動位移ss～g,tg,t4

π定理的解題步驟：

（1）確定關(guān)系式：根據(jù)對所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關(guān)系式:

（2）確定基本量：從n個物理量中選取所包含的m個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。在管流中，一般選d，v，ρ三個作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，v，ρ。

（3）確定π數(shù)的個數(shù)N（π）=（n-m），并寫出其余物理量與基本物理量組成的π表達(dá)式

（4）確定無量綱π參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各π項(xiàng)的指數(shù)x，y，z，從而定出各無量綱π參數(shù).（5）寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式

或顯解一個π參數(shù)，如：

或求得一個因變量的表達(dá)式

π定理的解題步驟：5

選擇基本量時的注意原則：

1）基本變量與基本量綱相對應(yīng)。即若基本量綱（M，L，T）為三個，那么基本變量也選擇三個；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個，則基本變量同樣只須選擇兩個。

2）選擇基本變量時，應(yīng)選擇重要的變量。換句話說，不要選擇次要的變量作為基本變量，否則次要的變量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往往使問題復(fù)雜化，甚至要重新求解。

3）不能有任何兩個基本變量的因次是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個。

6

2.雷利法

雷利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用，

雷利法的計算步驟：

1.確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個物理量；

2.寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)x,y,z,a，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。

應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于4~5個.

2.雷利法7第二節(jié)

相似的基本概念

原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。

模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦铮Q為模型。

水力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似的水流進(jìn)行觀測和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型中，分析判斷原型的情況。

水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來模擬和研究原型水流問題。

關(guān)鍵問題：模型水流和原型水流保持流動相似。

流動相似：兩個流動的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)、各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個流動就是相似的。

第二節(jié)

相似的基本概念

原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原8模型和原型保證流動相似，應(yīng)滿足：

幾何相似

運(yùn)動相似

動力相似

初始條件和邊界條件相似

1.幾何相似

幾何相似：指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動所有相應(yīng)的線性變量的比值均相等。

長度比尺：

（6-1）

面積比尺：

（6-2）

體積比尺：

（6-3）

模型和原型保證流動相似，應(yīng)滿足：92.

運(yùn)動相似

運(yùn)動相似：是指流體運(yùn)動的速度場相似，也即兩流場各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

（6-4）

加速度比尺：

（6-5）

3.動力相似

動力相似：是指兩流動各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

（6-6）2.

運(yùn)動相似104.初始條件和邊界條件的相似

初始條件：適用于非恒定流。

邊界條件：有幾何、運(yùn)動和動力三個方面的因素。如固體邊界上的法線流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等

。

流動相似的含義：

幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù)；

動力相似是決定二個液流運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素；

運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)；

凡流動相似的流動，必是幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似的流動。

4.初始條件和邊界條件的相似11第三節(jié)

相似準(zhǔn)則

動力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動中，各種力之間保持固定不變的比例關(guān)系。

流體運(yùn)動狀態(tài)的改變是慣性力和其他各種作用力相互作用的結(jié)果。因此，各種作用力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來相互比較。

則

根據(jù)動力相似有

λF=λI

第三節(jié)

相似準(zhǔn)則

動力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動中12即

（6-7）

若稱

牛頓數(shù)，即

（6-8）

所以兩個相似流動的牛頓數(shù)應(yīng)相等，這是流動相似的重要標(biāo)志和準(zhǔn)則，稱為牛頓數(shù)相似準(zhǔn)則。

完全的動力相似，要求慣性力與其他力比值都相等，但實(shí)際上不可能達(dá)到，所以常選一個對流動起決定作用的力給予滿足。

即131.雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則

（6-9）

式中：L——為流場中的特征線性長度。

Re——雷諾數(shù)

當(dāng)粘滯力起主要作用時，動力相似有：

（6-10）

適用范圍：主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動，凡是有壓流動，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類液流相似要求雷諾數(shù)相似。另外，處于水下較深的運(yùn)動潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動力相似。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動和潛體繞流問題等。

1.雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則142.弗汝德（重力）準(zhǔn)則

（6-11）

一般取

（6-12）

當(dāng)重力起主要作用時，動力相似有：

（6-13）

適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變的各種流動（重力起主要作用的流動），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動等。2.弗汝德（重力）準(zhǔn)則15流體力學(xué)第六章-相似原理與量綱分析課件16.歐拉準(zhǔn)則

流體流動以動水總壓力為主要作用力的情況：

（6-14）

當(dāng)壓力起主要作用時，動力相似有：

一般，兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來保證液流相似。

4.韋伯準(zhǔn)則

表面張力為主導(dǎo)作用力時的相似準(zhǔn)則：

（6-16）

當(dāng)表面張力起主要作用時，動力相似有：

（6-17）（6-15）

.歐拉準(zhǔn)則

一般，兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液175.馬赫數(shù)

彈性力為主導(dǎo)作用力時的相似準(zhǔn)則（例水擊現(xiàn)象）：

柯西數(shù)

（6-18）

令

式中：

——流體聲速

——彈性模量

5.馬赫數(shù)18

當(dāng)彈性力起主要作用時，如水擊，空氣動力學(xué)中的亞音速或超音速運(yùn)動等，動力相似有：

（6-20）

6.斯特哈羅數(shù)（時間準(zhǔn)則）

斯特哈羅數(shù)：非恒定流體流動中，當(dāng)?shù)丶铀俣龋@個加速度所產(chǎn)生的慣性作用與遷移加速度的慣性作用之比。

（6-21）

f——振動頻率

對非恒定流，表明有變力作用，動力相似有：

（6-22）

當(dāng)彈性力起主要作用時，如水擊，空氣動力學(xué)中的亞音速或超音19

相似準(zhǔn)則：重力相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等壓差力相似，即歐拉數(shù)相等往往是兩現(xiàn)象動力相似的結(jié)果粘性相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等相似準(zhǔn)則：重力相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等壓差力相似20本章小結(jié)

1.兩液流流動相似必須滿足：

（1）幾何相似——原形和模型兩個流場的幾何形狀相似；

（2）運(yùn)動相似——原形和模型兩個流場的速度場相似；

（3）動力相似——原形和模型兩個流場中各相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)所受的同名方向相同，大小成一固定比例；

（4）初始條件和邊界條件相似；

2.相似準(zhǔn)則：Re相似準(zhǔn)則、Fr相似準(zhǔn)則、Eu相似準(zhǔn)則

本章小結(jié)

1.兩液流流動相似必須滿足：21原型和模型中采用同一種流體時，不能同時滿足重力相似和粘滯力相似；所以只要相應(yīng)點(diǎn)的粘滯力或重力相似壓強(qiáng)會自行相似。

3.基本量綱——具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來的量綱。一般取[L-M-T]。

誘導(dǎo)量綱——由基本量綱導(dǎo)出的量綱。[X]=[Lα，Tβ，Mγ]。

4.量綱和諧原理——凡是正確反映客觀物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只是方程兩邊量綱相同，方程才能成立。

5.量綱分析兩種方法

雷利法——直接應(yīng)用量綱和諧原理來求解，適用于較簡單問題。

π定理——具有普遍性的方法。關(guān)鍵在于正確選擇基本量。

原型和模型中采用同一種流體時，不能同時滿足重力22第一節(jié)

因次(量綱)分析

一、量綱和單位

單位（unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱單位。如長度單位為m或cm等?！傲俊钡谋碚?。

量綱（dimension）：是指撇開單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類別。如長度量綱為[L]?！百|(zhì)”的表征。

基本量綱（fundamentaldimension）：具有獨(dú)立性的不能由其他量量綱綱推導(dǎo)出來的量綱叫做基本量綱。一般取長度、時間、質(zhì)量，即[L-M-T]誘導(dǎo)量綱（deriveddimension）:是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。

量綱公式:

幾何學(xué)量綱：α≠0,β=0,γ=0，

分類運(yùn)動學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ=0

動力學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ≠0

無量綱數(shù)（純數(shù)，如相似準(zhǔn)數(shù)）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。

特點(diǎn)：（1）無量綱單位，它的大小與所選單位無關(guān)；

（2）具有客觀性；

（3）在超越函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)用無量綱數(shù).

第一節(jié)

因次(量綱)分析

一、量綱和單位

23二、量綱和諧原理

量綱和諧原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：

凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱為量綱和諧原理。

量綱和諧原理的重要性：

a.一個方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

b.量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。

c.可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。

二、量綱和諧原理24

物理過程的有量綱表達(dá)形式為，其中m個物理量的量綱被選為基本量綱，余下n-m個物理量可各自與這m個物理量組合成無量綱量，定理的結(jié)論是：物理過程的無量綱表達(dá)形式為

1.定理

物理過程涉及n個物理量，其中有m個物理量的量綱是互相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成n-m個無量綱量，物理過程則可由這n-m個無量綱量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。物理過程的有量綱表達(dá)形式為，其25例初速為零的自由落體運(yùn)動位移ss

～g,tg,t選為基本量綱三個量只能組成一個無量綱量

s/gt2初速為零的自由落體運(yùn)動規(guī)律s/gt2=C做一次實(shí)驗(yàn)測得C=1/2

，就不用再做類似實(shí)驗(yàn)，包括在月球上做實(shí)驗(yàn)。例初速為零的自由落體運(yùn)動位移ss～g,tg,t26

π定理的解題步驟：

（1）確定關(guān)系式：根據(jù)對所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識，確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量及其關(guān)系式:

（2）確定基本量：從n個物理量中選取所包含的m個基本物理量作為基本量綱的代表，一般取m=3。在管流中，一般選d，v，ρ三個作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，v，ρ。

（3）確定π數(shù)的個數(shù)N（π）=（n-m），并寫出其余物理量與基本物理量組成的π表達(dá)式

（4）確定無量綱π參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各π項(xiàng)的指數(shù)x，y，z，從而定出各無量綱π參數(shù).（5）寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式

或顯解一個π參數(shù)，如：

或求得一個因變量的表達(dá)式

π定理的解題步驟：27

選擇基本量時的注意原則：

1）基本變量與基本量綱相對應(yīng)。即若基本量綱（M，L，T）為三個，那么基本變量也選擇三個；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個，則基本變量同樣只須選擇兩個。

2）選擇基本變量時，應(yīng)選擇重要的變量。換句話說，不要選擇次要的變量作為基本變量，否則次要的變量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往往使問題復(fù)雜化，甚至要重新求解。

3）不能有任何兩個基本變量的因次是完全一樣的，換言之，基本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個。

28

2.雷利法

雷利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用，

雷利法的計算步驟：

1.確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個物理量；

2.寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：FD=kDx

Uyρz

μa

3.根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)x,y,z,a，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。

應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于4~5個.

2.雷利法29第二節(jié)

相似的基本概念

原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原型。

模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦铮Q為模型。

水力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似的水流進(jìn)行觀測和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型中，分析判斷原型的情況。

水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來模擬和研究原型水流問題。

關(guān)鍵問題：模型水流和原型水流保持流動相似。

流動相似：兩個流動的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)、各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個流動就是相似的。

第二節(jié)

相似的基本概念

原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱為原30模型和原型保證流動相似，應(yīng)滿足：

幾何相似

運(yùn)動相似

動力相似

初始條件和邊界條件相似

1.幾何相似

幾何相似：指原型和模型兩個流場的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動所有相應(yīng)的線性變量的比值均相等。

長度比尺：

（6-1）

面積比尺：

（6-2）

體積比尺：

（6-3）

模型和原型保證流動相似，應(yīng)滿足：312.

運(yùn)動相似

運(yùn)動相似：是指流體運(yùn)動的速度場相似，也即兩流場各相應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

（6-4）

加速度比尺：

（6-5）

3.動力相似

動力相似：是指兩流動各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

（6-6）2.

運(yùn)動相似324.初始條件和邊界條件的相似

初始條件：適用于非恒定流。

邊界條件：有幾何、運(yùn)動和動力三個方面的因素。如固體邊界上的法線流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等

。

流動相似的含義：

幾何相似是運(yùn)動相似和動力相似的前提與依據(jù)；

動力相似是決定二個液流運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素；

運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)；

凡流動相似的流動，必是幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似的流動。

4.初始條件和邊界條件的相似33第三節(jié)

相似準(zhǔn)則

動力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動中，各種力之間保持固定不變的比例關(guān)系。

流體運(yùn)動狀態(tài)的改變是慣性力和其他各種作用力相互作用的結(jié)果。因此，各種作用力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方來相互比較。

則

根據(jù)動力相似有

λF=λI

第三節(jié)

相似準(zhǔn)則

動力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動中34即

（6-7）

若稱

牛頓數(shù)，即

（6-8）

所以兩個相似流動的牛頓數(shù)應(yīng)相等，這是流動相似的重要標(biāo)志和準(zhǔn)則，稱為牛頓數(shù)相似準(zhǔn)則。

完全的動力相似，要求慣性力與其他力比值都相等，但實(shí)際上不可能達(dá)到，所以常選一個對流動起決定作用的力給予滿足。

即351.雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則

（6-9）

式中：L——為流場中的特征線性長度。

Re——雷諾數(shù)

當(dāng)粘滯力起主要作用時，動力相似有：

（6-10）

適用范圍：主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動，凡是有壓流動，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類液流相似要求雷諾數(shù)相似。另外，處于水下較深的運(yùn)動潛體，在不至于使水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動力相似。如層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動和潛體繞流問題等。

1.雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則362.弗汝德（重力）準(zhǔn)則

（6-11）

一般取

（6-12）

當(dāng)重力起主要作用時，動力相似有：

（6-13）

適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變的各種流動（重力起主要作用的流動），如堰壩溢流、孔口出流、明槽流動、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動等。2.弗汝德（重力）準(zhǔn)則37流體力學(xué)第六章-相似原理與量綱分析課件38.歐拉準(zhǔn)則

流體流動以動水總壓力為主要作用力的情況：

（6-14）

當(dāng)壓力起主要作用時，動力相似有：

一般，兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來保證液流相似。

4.韋伯準(zhǔn)則

表面張力為主導(dǎo)作用力時的相似準(zhǔn)則：

（6-16）

當(dāng)表面張力起主要作用時，動力相似有：

（6-17）（6-15）

.歐拉準(zhǔn)則