學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省2016屆高考數(shù)學(xué)最后沖刺卷四一、填空題：本大題共14題,每題5分,共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題紙相應(yīng)地址上．1．已知會(huì)集Pxxa,Qyysin,R．若PQ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,)．2．將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BDa，則三棱錐DABC的體積為2a3．123．某校從參加高三年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段［40,50)，［50,60），，［90,100]后獲取如圖的頻率分布直方圖，請(qǐng)你依照頻率分布直方圖中的信息，估計(jì)出本次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為71．4．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn),AC1．若sinB＝錯(cuò)誤!,則AM＝__3______.5．連續(xù)扔擲兩顆骰子獲取的點(diǎn)數(shù)分別是a，b，則函數(shù)f(x)ax2bx在x11處獲取最值的概率是12。6．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍,軸截面的面積等于83cm2,母線與軸的夾角為30，則這個(gè)圓臺(tái)的高為_____23_______。2xa,x0,fx1a,x0.7．設(shè)x若f0是fx的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為x0,2。DC8．已知圓C過點(diǎn)(1，0)，且圓心在x軸的正AB第10題圖學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精半軸上．直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2錯(cuò)誤!，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為

xy30．9．已知等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)任意正整數(shù)n均有Sn+2＝4Sn+3．則a2=2或6．10．如圖，梯形ABCD中,AB//CD,AB6,ADDC2，若ACBD12，則ADBC0．ADDCCBBA0,ADBCABCD，22(ADDC)(BCCD)ADBCCD(ADBC)CDADBCCD(ABCD)CD，ACBD12，AB//CD，AB6，ADDC2，ADBC0．sinB11．設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c成等比數(shù)列，則sinA的取值范圍是(51,51)．22ac，不如設(shè)abc，則cb2b2b由條件得b2aab,即a2a10；同理適合abc51b1sinBbsinB(5151)時(shí)，2a2,2．而sinAa，sinA的取值范圍是．x2y2b0)和圓O:xyb，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得222過點(diǎn)P引圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，滿足APB60，則橢圓C的3[,1)離心率的取值范圍是2．13．在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c,且2ccosB2ab,若ABCS3c的面積為2,則ab的最小值為____4_____。xx(x2)f(log1x)014．設(shè)函數(shù)f(x)332x,則滿足2的x的取值范圍是學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(0,1)(2,)．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定地域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15。在ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且btanA(2cb)tanB．（1）求角A的大??；(2）設(shè)ADBC，D為垂足,若b2，c3，求ADAC的值．（1）btanA(2cb)tanB，由正弦定理，得sinBsinA(2sinCsinB)sinBcosAcosB，又在ABC中，sinB0，sinAcosB2sinCcosAcosAsinB,cosA1即sin(AB)2sinCcosA，又sin(AB)sinC0，2,又0A，A3；（2）由余弦定理，a2b2c22bccosA，b2,c3，A3，1BCAD1ABACsinA,即7AD323a7，222，321ADACADACcos227AD,CADAD77.16．在四棱錐PABCD中，平面PAC平面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，AC與BD的好是AC中點(diǎn),又ADC120,點(diǎn)N在線段PN1NB3。（1)求證：PABD；求證MN//(2):（1）因?yàn)锳BC是正三角形，M是AC中B

ABCD，ABC交點(diǎn)M恰PPB上,且NAD平面PDC.MC點(diǎn)，學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精所以BMAC,即BDAC，又平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC,BD平面ABCD，BDAC,所以BD平面PAC。又PA平面PAC，所以PABD..2)在正三角形ABC中,BM23在ACD中,因?yàn)镸為AC中點(diǎn),DMAC，所以ADCD,因?yàn)锳DC120，所以ADM60。DM23,所以BM:MD3:1,所以,3所以BN:NPBM:MD，所以MN//PD.又MN平面PDC,PD平面PDC,所以MN//平面PDC.17．2014年8月以“分享青春，共筑未來”為口號(hào)的青奧會(huì)在江蘇南京舉行，為此某商店經(jīng)銷一種青奧會(huì)紀(jì)念徽章,每枚徽章的成本為30元，并且每賣出一枚徽章需向相關(guān)部門上繳a元（a為常數(shù)，2a5）,設(shè)每枚徽章的售價(jià)為x元(35x41）。依照市場(chǎng)檢查，日銷售量與ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比率.已知當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10枚.(1）求該商店的日利潤(rùn)L(x)與每枚徽章的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2）當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為多少元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L(x)最大？并求出L(x)的最大值。k1)設(shè)日銷售量為ex,則e4010，e40所以k10e40，則日銷售量為ex枚。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精每枚徽章的售價(jià)為x元時(shí),每枚徽章的利潤(rùn)為(x30a)元，10e40則日利潤(rùn)L(x)40x30a(35x41).(x30a)ex10eex（2）L(x)4031axx41)。10eex(35①當(dāng)2a4時(shí)，3331a35,而35x41，所以L(x)0,L(x)在35,41上單調(diào)遞減，則當(dāng)x35時(shí)，L(x)獲取最大值為10(5a)e5。②當(dāng)4a5時(shí),3531a36，令L(x)0，得xa31,當(dāng)x35,a31時(shí)，當(dāng)xa31,41時(shí)，

L(x)0,L(x)L(x)0,L(x)

在35,a31上單調(diào)遞加；在a31,41上單調(diào)遞減.所以當(dāng)xa31時(shí),L(x)獲取最大值為10e9a。綜上，當(dāng)2a4時(shí),每枚徽章的售價(jià)為35元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L(x)最大,L(x)max10(5a)e5;當(dāng)4a5時(shí)，每枚徽章的售價(jià)為（a31)元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L(x)最大，L(x)max10e9a.x2y2218．已知橢圓C:a2b21(ab0)的離心率為2,并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，過原點(diǎn)O的直線ly與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M滿B足MAMB．Ox（1）求橢圓C的方程;A112（2）證明:OA2OB2OM2為定值;第18題圖（3）可否存在定圓，使得直線l繞原點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，AM恒與該定圓相學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精切，若存在，求出該定圓的方程，若不存在，說明原由．221ba2,2111,223（1)由題設(shè)：a2b2a3,b解得2，x22y2橢圓C的方程為31;311222242；（2)①直線l的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，OA2OB2OM2a2b233②直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx(k0)，直線OM的方程為y1則MAMB,kx，ykx223由x22y23得(12k2)x23，xAxB12k2,3k2同理xMk22,112112(1k23(1k2313k2OA2OB2OM2))(1k2)k2212k212k22(12k2)2(k22)3(1k2)3(1k2)2，1122為定值;222OAOBOM（3）由（2）得:1111121;①直線l的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，OA2OM2a2b233②直線l的斜率存在且不為0時(shí)，111112k2k22OA2OM2313k23(1k2)3(112)k2)(1k12k2(1k2)k22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精dOAOM112211原點(diǎn)O到直線AM的距離OAOMOA2OM2,22直線AM與圓xy1相切，即存在定圓x2y21，使得直線l繞原點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),AM恒與該定圓相切．19．已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)f(x)ax2bx，其中函數(shù)yg(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸．（1)確定a與b的關(guān)系；(2）若a0,試談?wù)摵瘮?shù)g(x)的單調(diào)性;（3)設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)yf(x)的圖象交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),11求證：x2k．x1（1）g(x)f(x)ax2bxlnxax2bx，g(x)12axb,x由題意得g(1)12ab0,b2a1；(2)g(x)11(2ax1)(x1)0),x2axbx2ax2a1x(x0時(shí)，g(x)(x1)0)，①當(dāng)ax(x當(dāng)x1時(shí)，g(x)0,函數(shù)g(x)在(1,)單調(diào)減；當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)在(0,1)單調(diào)增;2a(x1)(x1)112a0g(x)(x0)a1,②當(dāng)2時(shí)，即2a，x函數(shù)g(x)在(1,1)上單調(diào)減；2a函數(shù)g(x)在(1)和(0,1)單調(diào)增;2a,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1(x1)20(x0)③當(dāng)a時(shí),即2a1，g(x)2x，函數(shù)g(x)在(0,)單調(diào)增；112a(x1)(x1)1g(x)2a(x0)④當(dāng)a時(shí)．即2a,2，x1函數(shù)g(x)在(2a,1)單調(diào)減區(qū)間；函數(shù)g(x)在(1,)和(0,1)單調(diào)增；2a（3)由題設(shè)x2x10，1k11lnx2lnx11x2x1x2x2x1x1x2x1lnx2lnx1x2x1x2x111lnx2x21x2x1x1x1①1(x1)，則h(x)11x1)，令h(x)lnxxx1x(xx1時(shí),h(x)0，函數(shù)g(x)在(1,)是減函數(shù),而h(1)0,x1時(shí),h(x)h(1)0x21h(x2)lnx2x210lnx2x21x2x10，x1，x1x1x1,即x1x1，②H(x)1H(x)11x11)令lnx1(x1)，則x22(xxxx,x1時(shí)，H(x)0，x1時(shí),H(x)H(1)0，11lnx2x2x1即x1③由①②③得

H(x)在(1,)是增函數(shù)，x2)lnx2110H(x1x2x1x1，1kx2x1．學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精20．若數(shù)列Cn滿足①cncn2cn1，②存在常數(shù)M(M與n沒關(guān)），使cnM.則稱數(shù)列cn是“友善數(shù)列”。1)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a42,S430，求證:數(shù)列Sn是“友善數(shù)列"；2）設(shè)an是各項(xiàng)為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，求證：數(shù)列Sn是“友善數(shù)列"的充要條件為0q1.a4a1q3a116a(1q4)1s41q（1）設(shè)公比為q,則1q2,所以sn3212n5。snsn2(3215)(321因?yàn)閚n3)2232232(11132223211n5n3)2n8n42n8=22222=且

(3214)2321Sn12n2n4。Sn32132.即存在常數(shù)32，2n5所以，數(shù)列Sn是“友善數(shù)列".(2)充分性設(shè)等比數(shù)列an的公比q,且0q1.a1(1qn)a1a1qna1則Snq。1q1q1q1a1令1q,則SnM.SnSn2(a1)2(1qn)(1qn2)(a1)2(1qnqn2q2n2)因?yàn)?q1q學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(a1)2(12qn1q2n2)(a1)2(1qn1)2Sn121q1q所以Sn是“