2012年第12期中學(xué)數(shù)學(xué)研究37-39PAGE3華南師范大學(xué)廣東省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)從二項(xiàng)分布的概率到二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的性質(zhì)吳享平（福建省廈門(mén)第一中學(xué)）郵編361016在一次高三練習(xí)卷中有這樣兩道題：題1.某人射擊，命中目標(biāo)的概率為0.8，若讓他射擊20次，則他命中目標(biāo)次的概率最大。題2.求（1+2x）10展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為這兩道初看起來(lái)沒(méi)多大關(guān)系，然而其解法本質(zhì)卻是歸一的，為了揭示它們的本質(zhì)，我們從題1.的一般性情況展開(kāi)探索。一、二項(xiàng)分布概率最大值探求[問(wèn)題]：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次成功的概率都為p，求這n次試驗(yàn)成功多少次的概率最大。[探求]：記n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，恰有k次成功的概率為P（x=k）,則P（x=k）＝（k＝0，1，2n），由P（x=k+1)－P(x=k)=p(x=k)[...所以，1).當(dāng)k<(n+1)p-1且kN時(shí)，有P（x=k+1)>P(x=k);2）當(dāng)且kN時(shí)，P（x=k+1)<P(x=k).由式可知，若（n+1）p時(shí)P（）＝P（）且最大；若（n+1）p時(shí)則只有P(x=r)最大。結(jié)論1.如果在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次成功的概率都為p，則在這n次試驗(yàn)中，當(dāng)（n+1）p時(shí)，成功（n+1）p-1和(n+1)p次的概率相等且最大；當(dāng)（n+1）p時(shí)，成功[(n+1)p]([x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）次的概率最大。當(dāng)k且kN時(shí)，P(x=k)在遞增；當(dāng)時(shí),P(x=k)在遞減。由此我們不難得到題1的結(jié)果，因?yàn)?10.8＝16.8，所以命中16次概率最大且最大概率值為P（x=16）=聯(lián)想到二項(xiàng)展開(kāi)式對(duì)于形如的展開(kāi)式記展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)為（），問(wèn)式中第幾項(xiàng)的值最大？事實(shí)上，我們可將式做如下的變形（將展開(kāi)式右邊統(tǒng)一提取）令，則于是對(duì)照上面結(jié)論1的證明過(guò)程知＝，所以很快可得如下結(jié)論2成立。結(jié)論2.對(duì)于形如的展開(kāi)式中，當(dāng)（n+1）時(shí)，展開(kāi)式的第（n+1）項(xiàng)和第(n+1)+1項(xiàng)的值相等且最大；當(dāng)（n+1)時(shí)，展開(kāi)式只有第[（n+1）]+1項(xiàng)的值最大。當(dāng)k且kN時(shí)，在遞增；當(dāng)時(shí),在遞減。二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的一個(gè)性質(zhì)由展開(kāi)式中項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值與展開(kāi)式中的值相等。于是，我們可以得到二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的一個(gè)一般性結(jié)論[定理]：展開(kāi)式中，當(dāng)k且kN時(shí)，項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值隨著k的增大而增大；當(dāng)時(shí),項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值隨著k的增大而減小。并且，當(dāng)（n+1）時(shí)，展開(kāi)式的第（n+1）項(xiàng)和第(n+1)+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等且最大；當(dāng)（n+1)時(shí)，展開(kāi)式只有第[（n+1）]+1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大。特別地，當(dāng)｜a｜=｜b｜=1時(shí)，定理結(jié)論就是二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)的一個(gè)性質(zhì)。由以上定理，我們很快可得題2的答案，即由（n+1）＝11＝＝7，展開(kāi)式中的系數(shù)最大，化簡(jiǎn)得。題3.已知二項(xiàng)式，求其展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最小的項(xiàng)解：,依定理知兩項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值相等且最大，；其展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為；系