第四節(jié)連續(xù)隨機變量及其概率密度定義

設(shè)

X

是隨機變量,若存在一個非負其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型r.v.

，f(x)是它的概率連續(xù)型r.v.的概念可積函數(shù)

f(x),

使得密度函數(shù)(p.d.f.)，簡記為d.f.第1頁，共44頁。xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義第2頁，共44頁。①受眾多相互獨立的隨機因素影響發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求（3）X的分布函數(shù)F（x）故至少要進行4次獨立測量才能滿足故至少要進行4次獨立測量才能滿足誤差的絕對值不超過10米的形狀不變化，只是位置不同曲線y=f(x)以x軸為漸近線k位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作分布函數(shù)與密度函數(shù)度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.服從的r.p.d.f.

f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能

在f(x)

的連續(xù)點處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.否作為連續(xù)性r.v.的d.f.第3頁，共44頁。積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線段質(zhì)量長度密度的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導第4頁，共44頁。注意:對于連續(xù)型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是隨機變量

X

的一個可能的取值命題

連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強調(diào)概率為0(1)的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)事實上第5頁，共44頁。對于連續(xù)型r.v.

Xbxf(x)a第6頁，共44頁。xf(x)a第7頁，共44頁。例1已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)r.v.,其d.f.為(1)求常數(shù)c(3)

已知一設(shè)備裝有3個這樣的電子管,每個電子管能否正常工作相互獨立,求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2)

計算第8頁，共44頁。解(1)令c=1000(2)

第9頁，共44頁。(3)設(shè)在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為Y設(shè)A

表示一個電子管的壽命小于1500小時第10頁，共44頁。求：（1）常數(shù)a；（2）（3）X的分布函數(shù)F（x）（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2

例2：設(shè)隨機變量X具有概率密度解：第11頁，共44頁。第12頁，共44頁。(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X的d.f.

為則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

X

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作第13頁，共44頁。X

的分布函數(shù)為第14頁，共44頁。xf(x)abxF(x)ba第15頁，共44頁。即X落在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.進行大量數(shù)值計算時,若在小數(shù)點后第k

位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機變量應(yīng)用場合第16頁，共44頁。例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.f.并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率.解

X等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則第17頁，共44頁。(2)指數(shù)分布若X

的d.f.為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)第18頁，共44頁。1xF(x)0xf(x)0第19頁，共44頁。對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似第20頁，共44頁。若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題第21頁，共44頁。解(1)例4

假定一大型設(shè)備在任何長為

t

的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布;設(shè)備已正常運行８小時的情況下,再正常運行10小時的概率.第22頁，共44頁。即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”第23頁，共44頁。(3)正態(tài)分布若X的d.f.為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，亦稱高斯(Gauss)分布第24頁，共44頁。N(-3,)第25頁，共44頁。f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對稱,即在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應(yīng)的點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀f(+x)=f(-x)第26頁，共44頁。第27頁，共44頁。

f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對應(yīng)的拐點更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對應(yīng)的拐點前者取第28頁，共44頁。固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.例8設(shè)測量的誤差X~N(7.曲線y=f(x)的圖形呈單峰狀度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的d.發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X)則稱X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱例8設(shè)測量的誤差X~N(7.在f(x)的連續(xù)點處，曲線y=f(x)以x軸為漸近線固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.一次試驗中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)若X~Ｅ(),則f(x)的性質(zhì)Show[fn1,fn3]大小幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比第29頁，共44頁。正態(tài)變量的條件若r.v.

X①受眾多相互獨立的隨機因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負影響可以疊加則稱X為正態(tài)r.v.第30頁，共44頁?？捎谜龖B(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生的考試成績；第31頁，共44頁。一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.——標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)第32頁，共44頁。第33頁，共44頁。-xx第34頁，共44頁。對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換第35頁，共44頁。例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X)解第36頁，共44頁。例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一第37頁，共44頁。解二圖解法由圖0.3第38頁，共44頁。例7

3原理設(shè)

X~N(,2),求解一次試驗中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間可能性很小由3原理知，當?shù)?9頁，共44頁。標準正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為X的上分位數(shù)

z常用數(shù)據(jù)第40頁，共44頁。例8

設(shè)測量的誤差X~N(7.5,100)(單位:米)問要進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于0.9?解第41頁，共44頁。設(shè)A

表示進行n次獨立測量至少有一次誤差的絕對值不超過10米n>3故至少要進行4次獨立測量才能滿足要求.第42頁，共44頁。例9：某儀器需安裝一個電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時即可。現(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件的壽命服從正態(tài)分布N(1100,502),乙廠生產(chǎn)的電子元件的壽命分布服從正態(tài)分布N(1150,802)。問應(yīng)選擇哪個廠生產(chǎn)的產(chǎn)品呢？若要求元件的壽命不低于1050小時，又如何？解：設(shè)甲、乙兩廠的電子元件的壽命分別為X和Y