制作人：楊壽淵所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)制作人：楊壽淵所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明1制作人：楊壽淵的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性,于是制作人：楊壽淵的任意性,證得證明(3)由(2),只2制作人：楊壽淵又因為即制作人：楊壽淵又因為即3制作人：楊壽淵七、一些例子例3

用四則運算法則計算(1)當(dāng)m=k時,有分別得出:解制作人：楊壽淵七、一些例子例3用四則運算法則計算(1)4制作人：楊壽淵(2)當(dāng)m<k時,有制作人：楊壽淵(2)當(dāng)m<k時,有5制作人：楊壽淵所以制作人：楊壽淵所以6制作人：楊壽淵例4

證

存在N,當(dāng)n>N時,有又因為所以由極限的迫斂性,證得制作人：楊壽淵例4證存在N,當(dāng)n>N時,有又因為7制作人：楊壽淵例5

解所以由極限四則運算法則,得故得制作人：楊壽淵例5解所以由極限四則運算法則,得故得8制作人：楊壽淵例6求解由,及例1得制作人：楊壽淵例6求解由,及例1得9制作人：楊壽淵例7

為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得制作人：楊壽淵例7為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂10制作人：楊壽淵定義1注制作人：楊壽淵定義1注11制作人：楊壽淵稱為注2數(shù)列本身以及去掉有限項后得到的子列，不是平凡子列的子列，稱為的非平凡子列。的平凡子列；數(shù)列與它的任一平凡子列同為收斂或且在收斂時有相同的極限。數(shù)列的非平凡子列例如性質(zhì)發(fā)散,制作人：楊壽淵稱為注2數(shù)列本身以及去掉有限項12制作人：楊壽淵是的任一子列.定理2.8與有數(shù)列收斂的充要條件是：子列都收斂。任給時更有證必要性設(shè)存在正數(shù)N，使得當(dāng)k>N時有由于故當(dāng)相同的極限）。

從而也有這就證明了收斂(且的任何非平凡制作人：楊壽淵是的任一子列.定理2.8與有13制作人：楊壽淵由于按假設(shè)，考慮的子列，又是的非平凡子列與它們都收斂.既是故由剛才證明的必要性，(9)同樣可得（9）式與（10）式給出(10)充分性又既是又是的子列,制作人：楊壽淵由于按假設(shè)，考慮的子列，又是的非平凡子列14制作人：楊壽淵制作人：楊壽淵15制作人：楊壽淵若數(shù)列有一個子列發(fā)散,從而發(fā)散.其偶數(shù)項組成的子列收斂于1,等，則數(shù)列一定發(fā)散。定理2.8的逆否命題是判斷數(shù)列發(fā)散的有力工具:它的奇數(shù)項組成的子列發(fā)散.注或有兩個子列收斂而極限不相舉例數(shù)列而奇數(shù)項組成的子列收斂于-1,再如數(shù)列即為由于這個子列發(fā)散，故數(shù)列制作人：楊壽淵若數(shù)列有一個子列發(fā)散,從而發(fā)16制作人：楊壽淵例8

證

(必要性)制作人：楊壽淵例8證(必要性)17制作人：楊壽淵制作人：楊壽淵18制作人：楊壽淵例9解因此,制作人：楊壽淵例9解因此,19制作人：楊壽淵所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明(1)制作人：楊壽淵所以的任意性,得到證明(2)對于任意證明20制作人：楊壽淵的任意性,證得證明(3)由(2),只要證明據(jù)保號性,于是制作人：楊壽淵的任意性,證得證明(3)由(2),只21制作人：楊壽淵又因為即制作人：楊壽淵又因為即22制作人：楊壽淵七、一些例子例3

用四則運算法則計算(1)當(dāng)m=k時,有分別得出:解制作人：楊壽淵七、一些例子例3用四則運算法則計算(1)23制作人：楊壽淵(2)當(dāng)m<k時,有制作人：楊壽淵(2)當(dāng)m<k時,有24制作人：楊壽淵所以制作人：楊壽淵所以25制作人：楊壽淵例4

證

存在N,當(dāng)n>N時,有又因為所以由極限的迫斂性,證得制作人：楊壽淵例4證存在N,當(dāng)n>N時,有又因為26制作人：楊壽淵例5

解所以由極限四則運算法則,得故得制作人：楊壽淵例5解所以由極限四則運算法則,得故得27制作人：楊壽淵例6求解由,及例1得制作人：楊壽淵例6求解由,及例1得28制作人：楊壽淵例7

為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂性,可得制作人：楊壽淵例7為m個正數(shù),證明證由以及極限的迫斂29制作人：楊壽淵定義1注制作人：楊壽淵定義1注30制作人：楊壽淵稱為注2數(shù)列本身以及去掉有限項后得到的子列，不是平凡子列的子列，稱為的非平凡子列。的平凡子列；數(shù)列與它的任一平凡子列同為收斂或且在收斂時有相同的極限。數(shù)列的非平凡子列例如性質(zhì)發(fā)散,制作人：楊壽淵稱為注2數(shù)列本身以及去掉有限項31制作人：楊壽淵是的任一子列.定理2.8與有數(shù)列收斂的充要條件是：子列都收斂。任給時更有證必要性設(shè)存在正數(shù)N，使得當(dāng)k>N時有由于故當(dāng)相同的極限）。

從而也有這就證明了收斂(且的任何非平凡制作人：楊壽淵是的任一子列.定理2.8與有32制作人：楊壽淵由于按假設(shè)，考慮的子列，又是的非平凡子列與它們都收斂.既是故由剛才證明的必要性，(9)同樣可得（9）式與（10）式給出(10)充分性又既是又是的子列,制作人：楊壽淵由于按假設(shè)，考慮的子列，又是的非平凡子列33制作人：楊壽淵制作人：楊壽淵34制作人：楊壽淵若數(shù)列有一個子列發(fā)散,從而發(fā)散.其偶數(shù)項組成的子列收斂于1,等，則數(shù)列一定發(fā)散。定理2.8的逆否命題是判斷數(shù)列發(fā)散的有力工具:它的奇數(shù)項組成的子列發(fā)散.注或有兩個子列收斂而極限不相舉例數(shù)列而奇數(shù)項組成的子列收斂于-1,再如數(shù)列