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文檔簡介
求函數
f(
x) 在區(qū)間
[a,b] 上的定積分bI
f
(x)dxa是微積分學中的基本問題。傳統方法的困境數值積分的基本思想數值積分的一般形式代數精度問題返回章7.1
基本概念Basic
concepts§baf
(
x)dx對于積分
I
(
f
)
如果知道f
(x)的原函數F(x),則由Newton
Leibniz公式有baf
(
x)dxa
F(
x)
b
F(b)
F(a)傳統方法的困境Difficulties但是在工程技術和科學研究中,常會見到以下現象:f
(x)的解析式根本不存在,只給出了f
(x)的一些數值f
(x)的原函數F(x)求不出來,如F(x)不是初等函數f
(x)的表達式結構復雜,求原函數較The
definite
integral
of
a
function
has
no
explicit
antiderivative
orantiderivative is
not
easy
to
obtain. So
the
Newton-Leibnizprinciple
is
not
suitable
to
be
used.以上這些現象,
Newton-Leibniz很難發(fā)揮作用!只能建立積分的近似計算方法--------數值積分正是為解決這樣的 而提出來的，不僅如此，數值積分也是微分方程數值解法的工具之一。數值積分的基本思想The
ideas
of
numerical
integration數值積分----是計算定積分的具有一定精度的近似值的各種計算方法。從幾何上看，就是計算曲邊梯形面積的近似值。6xx
if
(
x
)
d
x
x
if
(
i
),i
1由積分中值定理知，在積分區(qū)間[a
,b
]內存在一點ξ，成立xixixi1nbaf
(x)dx
f
(
i
)
xii
1I
(
f
)
所以7的具 置一般是不知道的，因而難以問題在于點i準確算出f
(
)的值.這樣，只要對平均高度f
(
)提供一種算法，相應地便獲得一種數值求積方法.The
goalis
to
approximate
the
definite
integral
of
f(x)
byevaluating
f(x)
at
a
finite
number
of
nodes.最簡單的辦法，是用許多小矩形之和近似曲邊梯形的面積，如圖7-0所示，這就是----矩形公式：圖7-0矩形規(guī)則yxx2xixi+1xn-1xn
=bf0
f1
f2fifi+1fn-1fnbann
h
(b
a)
,
A
0f
(
x)dx
f
(
x
)h
A
fn1
n
i
i
ii0i0A0
A1
A2
L
An1f(x)(1)a=x0
x1Rectangular
rule:圖7-1
梯形規(guī)則a=x0x1x2xixi+1xn-1xxn=byf0
f1
f2fifi+1fn-1fnf(x)如果改用許多小梯形之和近似曲邊梯形的面積，如圖7-1，就會更精確些，這就是----梯形公式。12222bnahn1f0
f1
f
ff
ff
(x)dx
h
f
f
h
0
n2n1
n
h
fi
Ai
fii1
i0h
L
2
20
1
2n1
nA
1
h,
A
A
L
A
h,
A
1
h(2)Tr zoidal
rule:數值積分的一般形式Teral
formula數值積分的一般形式是：nbai0f
(
x)dx
i
iA
f
Rn其中，f
i
----是函數f(x)在節(jié)點
xi上的函數值，它可能以列表形式給出，也可以是由函數的解析式計算出的函數值；Ai
----稱為節(jié)點
xi
上的權系數。正是由于權系數的構造方法不同，從而決定了數值積分的不同方法。(3)法是利用插值多項式來構造數值求最常用的積公式,具體步驟如下:n在積分區(qū)間[a,b]上取一組節(jié)點a
x0
x1
L
xn
b作f
(x)的n次插值多項式Ln
(
x)
f
(
xk
)lk
(
x)k
0其中：lk
(x)(k
0,1,L,n)為插值基函數不同的
插值方法有不同的基函數插值型求積公式The
quadrature
by
interpolatingpolynomial用Ln
(x)作為被積函數f
(x)的近似,有af
(
x)dx
anL
(
x)
dx
b
b
bn
k
ka
k
0f
(
x
)l
(
x)dxnbak
kdxk
0f
(
x
)
l
(
x)bakk若記
A
l
(x)dx
，則baI[
f]
nk
0f
(x)dx
k
kA f
(
x
)
(1)(1)為數值求積公式.Ak為求積系數,且僅與求積節(jié)(結)點xk有關.nR[
f
]
I[
f
]
k
kA f
(
x
)
(2)k
0稱為求積余項。1nanbka(n
1)!
al
(
x)dx(
x)dxk
0b(
n1)f
(
)n1I[
f
]
b
f
(
x)dx
I
R[
f
]kA
R[
f
]
In
Ak
f
(
xk
)插值型求積公式nbaf
(
x)dx
Ak
f
(
xk
)k
0若f
為次數
n的多項式,
則f
(
n
1)(x)=0,從而
R
[
f
]
0n此時因此定義代數精度的概念:定義1.
若求積公式The
degree
of
precisionbaI
(
f
)
nf
(x)dx
Ak
f
(xk
)
In
(
f
)k
0對任意次數不超過m次的代數多項式Pi(x)(i
m)都準確成立,即baPi(
x)dx
nk
0k
i
kA
P(
x
)i
0,1,
L,
mbam
1x dx
但對m
1次多項式卻不能準確成立,即只要n
k
kk
0A
xm
1則稱該求積公式具有m次的代數精度.代數精度也稱代數精確度16定理1
形如（1）的求積公式至少有n
次代數精度的充分必要條件是，它是插值型的.事實上，這時公式
(1)對于插值基函數
lk
(
x)應準確成立，即有banj
0l
k
(
x
)
d
x
A
j
l
k
(
x
j
)
.注意到
lk
(
x
j
)
kj
,bakkA
l
(x)dx因而17注1
梯形公式具有一次代數精度，矩形公式具有0代數精度.注2能利用代數精度定義滿足的條件，可以構造具有一定代數精度的數值積分公式。欲使求積公式
(1)具有m
次代數精度，則只要令它對f
(x
)
1,2,L
,x
mnk
0
a
m
1
).(
b
m
1L
L
L
L
L
LAk
x
m
1k
m
11nk
0
Ak
x
k
(
b
2
a
2
),k
0
2n都準確成立，就得到
Ak
b
a
,例1.試確定下面積分公式中的參數使其代數精確度盡量高.102h
hI
(
f
)
f
(x)dx
[
f
(0)
f
(h)]
ah
2[
f
(0)
f
(h)]
I
(
f
)0解:h2I1
222h3對于
f
(
x)
x0
I
h0x
dx
h I1
hh01對于f
(x)
x1x
dx
hI
I
I1
ah
[0
2h]0對于f
(x)
x233h22hx2
dx
21
(
2a)h31令I
I12a
1
h4I1
2
ah2
[0
3h2
]hx
dxI
03對于f
(x)
x34
h44
h42h5I1
ah2[0
4h3
]
h04對于f
(x)
x45h5I
x dx
6h5j
0,1,2,3I
(x
j
)
I
(x
j
)1I
(x4
)
I
(x4
)1所以該積分公式具有3次代數精確度因此1、Newton-Cotes數值求積公式Newton-Cotes公式是指等距節(jié)點下使用Lagrange插值多項式建立的數值求積公式設函數f
(x)
C[a,b]將積分區(qū)間[a,b]分割為n等份各節(jié)點為
xk
a
kh
,
k
0,1,
L,
nnf
(x)的Lagrange插值多項式及余項分別為其中h
b
a
為步長Ln
(
x)n
f
(
xk
)lk
(
x)k
0Rn
(
x)n
1
(
x)
f
(
n
1)
(
)
(n
1)!
[a,b]nn
1
(
x)
(
x
xi
)i
0其中jkkx
xx
x
j0
j
nj
kl
(
x)
baf
(
x)dx而
f
(
x)
Ln
(
x)
Rn
(
x)因此對于定積分
I
(
f
)
ban
nbaf
(
x)dx
[L
(
x)
R
(
x)]dxI
(
f
)
有ban
k
kk
0f
(
x
)l
(
x)dx
banR
(
x)dxn
Ak
f
(
xk
)
k
0banR
(
x)dxbaf
(x)dxI
(
f
)
令nIn
(
f
)
Ak
f
(
xk
)k
0baRn
(
x)dxnR(I
)
即有bak其中
Ak
bajkx
xx
x
j
dxl
(
x)dx
0
j
nj
kn階Newton-Cotes求積公式Newton-Cotes公式的余項(誤差)I
(
f
)
In
(
f
)
R(In
)
I
(
f
)
In
(
f
)bakAk
bak
jx
xx
x
j
dxl
(
x)dx
0
j
nj
kAk的計算:注意是等距節(jié)點假設x
a
th由x
[a,b]可知t
[0,
n]kbax
x0
j
n
k
jj
kA
n
x
x
j
dx
j
k0
0
jn(k
j)h(t
j)h
h
dt0
0
j
nj
k
h
(1)n
kk!(n
k
)!n
(t
j)dt(1)n
k(t
j)dt0
0
j
nj
kn
k!(n
k
)!
(b
a)
k
kC
(
n
)A
?(b
a)
nnI
(
f
)
nkC
(
n
)kk
0
k
kk
0f
(
x
)A f
(
x
)
(b
a)所以Newton-Cotes公式化為kC
(n
)稱為Cotes系數,獨立于區(qū)間[a,b].25nC
(n)k11216187901928841840751172809892835012233835771728058882835016382132317280
9282835034105298917280104962835079025969280298917280
45402835019288935132317280104962835041840357717280
92828350751172805888228350234567898928350表7
12、低階Newton-Cotes公式及其余項在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要三個公式,稱為低階公式(
1
)
.
梯形(tr
zia)公式及其余項取n
1,則x0
a
,x1
b
,h
b
a10(t
1)dt(1)
C0Cotes系數為
12
tdt0(1)C1
121求積公式為1I
(
f
)
1k
0k(1)kCf
(
x
)(b
a)]20
1
b
a
[
f
(
x
)
f
(
x
)21即I
(
f
)
b
a
[
f
(a)
f
(b)]上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為-0.500.511.500.511.522.533.544.521T
I
(
f
)
(b
a)[
f
(a)
f
(b)]1梯形公式的余項為R(T
)
R(I
)
baR
(x)dx1ba2R(T
)
f
(
)(x
a)(x
b)dxbaf
()(
x
a)(
x
b)dx2
[a,b]第二積分中值定理
f
()
(b
a)32
6Rn
(x)
n
1
(
x)f
(
n
1)(
)(n
1)!f
()
(b
a)312122|R(T
)|
(b
a)3
M2M
max|
f
(
x)|x[
a
,b
]梯形(trzia)公式具有1次代數精度故(2).
Simpson公式及其余項2220
1取n
2,則x
a
,
x
b
a
,
x
b
,
h
b
aCotes系數為C
(2)
1004(t
1)(t
2)dt
1622012C(
2
)
146t(t
2)dt
202(t
1)4C(
2
)
1
16tdt求積公式為22k
0k(
2
)kf
(
x
)CI
(
f
)
(b
a)
(b
a)[
1
f
(
x
)
4
f
(
x
)
1
f
(
x
)]6
0
6
1
6
2
b
a
[
f
(a)
4
f
(
a
b
)
f
(b)]6
22I
(
f
)-0
.
500.
511.
500.
511.
522.
533.
544.
5上式稱為Simpson求積公式，也稱三點公式或拋物線公式記為S
I2
(
f
)Simpson公式的余項為2R(S
)
R(I
)
baR
(
x)dx2b
a b
a
(
)4
f
(
4)()180
2Simpson公式具有3次代數精度(3).Cotes公式及其余項k取n
4,則
x
a
kh
,
k
0,1,
L,4
,
h
b
a
1
4
4!40(
4
)0(t
1)(t
2)(t
Cotes系數為
C
7
9043)(t
4)dt
401t(t
2)(t
3)(4
3!C(
4
)
1
32t
4)dt
4024
2!2!C(4
)
1
9012t(t
1)(t
3)(t
4)dt
14
3!403C(
4)
9032t(t
1)(t
2)(t
4)dt
904044
4!C(
4
)
1
7
90t(t
1)(t
2)(t
3)dt
求積公式為I4
(
f
)
4k
0k(
4
)kf
(
x
)C(b
a)90
90
90
90
900
1
2
3
4
(b
a)[
7
f
(
x
)
32
f
(
x
)
12
f
(
x
)
32
f
(
x
)
7
f
(
x
)]900
1
2
3
4
b
a
[7
f
(
x
)
32
f
(
x
)
12
f
(
x
)
32
f
(
x
)
7
f
(
x
)]上式稱為Cotes求積公式，也稱五點公式記為C
I4
(
f)Cotes公式的余項為4R(C
)
R(I
)
baR
(
x)dx4
2(b
a)
b
a6 (
6)(
)
f
()9454Cotes公式具有5次代數精度33一般的有bannKn(n
2)!R
(
f
)
x
(x)dx
0,
n
2kf
(n2)
(
),
K
(n
1)!R
(
f
)
bannKn
(x)dx
0,
n
2k
1f
(n1)
(
),
K
因此，N-C積分，對偶數有n+1
階代數精度，而奇數為n
階代數精度
常用的NC公式
00(4)2380xx2x0x3xhh590f
(4)
()3h3h5f
()x1hh312f
(x)dx
(
f0
f1)
f
()n
2
(Simpson)f
(x)dx
(
f0
4
f1
f2
)
n
3(Simpson3
8)f
(x)dx
(
f0
3
f1
3
f2
f3
)
n
1(梯形)82h450(6)n
4
(Cotes)945x4x8h7f
()f
(x)dx
(7
f
(x0
)
32
f
(x1)
12
f
(x2
)
32
f
(x3
)
7
f
(x4
)
表中
f
(
xi
)
(i
0,1,L,
n)h
(b
a)觀察這些公式的代數精度次數，自然會得出結論：梯形規(guī)則簡單，有1次代數精度；再增加一個節(jié)點，就是具有3次代數精度的Simpson規(guī)則；而Simpson3-8規(guī)則又增加一個節(jié)點，精度卻沒有提高。所以，人們一般只用到前兩個方法。1ban(
n
)k
Ak
1Cdx
b
ab
a
k
0Akk
0nk
02.
一般求積公式對f
(x)
1準確成立.因此n即(k
0,
L,
n)3.
當A
0
C(n
)
0k
k1.
A
(b
a)C(
n
)
, (k
0,
L,
n)k
kCotes系數的性質:三、Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性(舍入誤差)nCk(
n
)
00
j
nj
k(t
j)dt(1)n
kn
k!(n
k
)!Cotes系數只與積分區(qū)間[a,b]的節(jié)點x
j的劃分有關,與函數f
(x)無關其值可以精確給定因此用Newton-Cotes公式計算積分的舍入誤差主要由函數值
f
(xk
)的計算引起只需
f
(xk
)的舍入誤差對公式的影響假設f
(xk
)為精確值,而以f
(xk
)作為f
(xk
)的近似值(計算值)k
f
(xk
)
f
(xk
)為誤差nkk
0In
(
f
)
(b
a)(
n
)kCf
(
x
)n為I
的近似值(計算值)nI
(
f
)
nkk
0(
n
)kCf
(
x
)(b
a)記而理論值為In與In的誤差為n
kk
0(
n
)C
[
f
(
xk
)
f
(
xk
)]In
(
f
)
In
(
f
)
(b
a)In
Innk
kC(
n
)
(b
a)k
0nkk
0
(
n
)k
(b
a)C
In
Inn(
n
)k
Ck
0
(b
a)k
max{|
|}若k
n
,C(n
)
0,有kn(
n
)kn
nI
I
(b
a)
Ck
0
(b
a)nk
0C
1
(n)k性質：即In
In
(b
a)Newton-Cotes公式的舍入誤差只是函數值誤差的(b
a)倍事實上,當n
8時，公式都是穩(wěn)定的k即k
n
,C(n
)
0時,Newton
Cotes公式是穩(wěn)定的(b
a)
nk
0k若C(n
)有正有負,有n(
n
)kk
0
(b
a)
C(
n
)Ck
(b
a)此時,公式的穩(wěn)定性將無法保證因此,在實際應用中一般不使用高階Newton-Cotes公式而是采用低階復合求積法(下節(jié))復化求積法Numerical
integration§7.2Composite當積分區(qū)間[a,b]的長度較大,而節(jié)點個數n
1固定時直接使用Newton-Cotes公式的余項將會較大而如果增加節(jié)點個數,即n
1增加時公式的舍入誤差又很難得到控制為了提高公式的精度,又使算法簡單易行,往往使用復合方法即將積分區(qū)間[a,b]分成若干個子區(qū)間然后在每個小區(qū)間上使用低階Newton-Cotes公式最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加一、復化求積公式將定積分f
(x)dx的積分區(qū)間[a,b]分割為n等份baxk
a
kh
,
k
0,1,
L,
nnh
b
a各節(jié)點為在子區(qū)間[xk
,xk
1
](k
0,1,L,n
1)上使用Newton
Cotes公式l將[
x
,
x
]分割為l等份,步長為h
,節(jié)點為k k
1k
1kkk
kl
lx
,
x
h
,
x
2h
,
L
,
x
lh
xl記為2l1ll
xk
1lxk
,
x,
x
,
L
,
xk
k
k
(
k
)lxkxk
1f
(
x)dx
Ili
0k
1
k
ik
ilC(l
)
f
(
x
)
(x
x
)在[xk
,xk
1
]上作f
(x)的l階Newton
Cotes求積公式lk
f
(
x
i
)lC(l
)i
hi
0baf
(
x)dx
n
1k
0xxk
1kf
(
x)dxn
1k
0(
k
)lI由積分的區(qū)間可加性,可得n
1
lk
0
i
0k
(l
)if
(
xi
)
InlC
h復化求積公式l
1時,可得復化梯形求積公式nbaf
(
x)dx
Tn
1
1k
0
i
0(1)ik
if
(
x
)C
h12n
1k
0k
1k[
f
(
x
)
f
(
x
)]
hkn1b
a2nnT
[
f
(a)
2f
(x
)
f
(b)]k
1復化梯形公式:44其余項Rn
(
f
)
I
Tn12k
0n
1
h
3
f
(
k
)
,k
(
xk
,
xk
1
).
(a,
b)所以
使n
11
k
0knf
(
)
.f
(
)
12nf
(
).R
(
f
)
b
a
h
2于是復化梯形公式余項為由于
f
(
x)
C
2
[a,
b]
,且min0
k
n
1f
(
k
)
n
11
k
0nf
(
k
).f
(
k
)
max0
k
n
1稱為復化Simpson公式/復化拋物線公式16n
1k
0k
1k
12k)
f
(
x
)][
f
(
x
)
4
f
(
x
hk6nk
12k
0f
(x
)
f
(b)]
b
a
[
f
(a)
4n1
f
(x
)
2n1k
1l
2時,可得復合Simpson求積公式ban
1
2k
0
i
0n
ik
i2(
2
)C f
(
x
)f
(x)dx
S
h46nnR
(
f
)
I
S
n
14k
0(
)180
2k
),fh
h(
4
)
(
k
(
x
k
,
x
k
1
).于是當
f
(
x
)
C
4
[a,
b]
時，
與復化梯形公式相似有f
(
4
)
(
).nn
b
a
(
h
)
4180
2
S
R
(
f
)
I其余項例1.10dxxsin
x使用各種復合求積公式計算定積分
I
為簡單起見,依次使用8階復合梯形公式、4階復合Simpson公式.可得各節(jié)點的值如右表xif
(
xi
)010.1250.997397870.250.989615840.3750.976726740.50.958851080.6250.936155640.750.908851680.8750.8771925710.84147098解:023xx1xxx4x5x6x7x8
x4梯形2Simpsonx0
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