1951年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)第一部分：1．設(shè)有方程組x+y=8，2x-y=7，求x，y.解略：2．若一三角形的重心與外接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？證：設(shè)△ABC的重心與外接圓的圓心均為O（圖1）∵OA=OC，E為AC的中點，∴BE⊥AC；同理，CD⊥AB，AF⊥BC在Rt△ABE與Rt△ACD中，∠A為公共角，BE=CD=R+R=R（R為外接圓半徑），所以△ABE≌△ACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知△ABC為等邊三角形3．當太陽的仰角是600時，若旗桿影長為1丈，則旗桿長為若干丈？解略：丈5．試題10道，選答8道，則選法有幾種？解略：6．若一點P的極坐標是（r,θ），則它的直角坐標如何？解：x=r,y=r7．若方程x2+2x+k=0的兩根相等，則k=？解：由Δ=b2-4ac=0,得k=18．列舉兩種證明兩個三角形相似的方法答：略9．當（x+1)(x-2)＜0時，x的值的范圍如何？解略：-1＜x＜210．若一直線通過原點且垂直于直線ax+by+c=0，求直線的方程解略：bx-ay=011．（+)6展開式中的常數(shù)項如何？解：由通項公式可求得是T4=2012．的通解是什么？解：13．系數(shù)是實數(shù)的一元三次方程，最少有幾個根是實數(shù)，最多有幾個根是實數(shù)？答：最少是一個，最多是三個14．解：原式=15．x2-4y2=1的漸近線的方程如何？解略：AA＇αB＇βBB1γCC＇C116．三平行平面與一直線交于A，B，C三點，又與另一直線交于A＇，B＇，C＇三點，已知AB=3，BC=7及A＇B＇=9求A＇C＇解：如圖易證:17．有同底同高的圓柱及圓錐，已知圓柱的體積為18立方尺，求圓錐的體積略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5.略：lg5=1-lg2=0.699019．二拋物線y2=12x與2x2=3y的公共弦的長度是多少？解略：解方程組得兩公共點為（0，0）及（3，6）故其公共弦長為：20．國旗上的正五角星的每一個頂角是多少度？解：由圖可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C,∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A∴5∠A=1800，∴∠A=360第二部分：1．P，Q，R順次為△ABC中BC，CA，AB三邊的中點，求證圓ABC在A點的切線與圓PQR在P點的切線平行證：如圖：由AD是大圓的切線，可得：∠1=∠2由RQ∥BC，可得：∠2=∠3，由QP∥AB，可得：∠3=∠4由PE是小圓的切線，可得：∠4=∠5由RP∥AC，可得：∠5=∠6綜上可得：∠1=∠6，故AD∥PE2．設(shè)△ABC的三邊BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求∠B，并證∠B為∠A及∠C的等差中項解：由余弦定理可得：3．（1）求證，若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比數(shù)列，則a3c=b3.證：設(shè)α，β，γ是方程x3+ax2+bx+c=0的三根，由根與系數(shù)關(guān)系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=bαβγ=-c又因α，β，γ排成等比數(shù)列，于是β2=αγ（2）已知方程x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比數(shù)列，求三根解：由⑴可知β3=-c，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比數(shù)列，∴β2=αγ，即αγ=9，故可得方程組：于是，所求之三根為-9，3，-1或-1，3，-94．過拋物線頂點任做互相垂直的兩弦，交此拋物線于兩點，求證此兩點聯(lián)線的中點的軌跡仍為一拋物線YA·P（x,y)OXB證：設(shè)拋物線方程為y2=2px……………①過拋物線頂點O任作互相垂直的二弦OA和OB，設(shè)OA的斜率為k，則直線OB的斜率為-，于是直線OA的方程為：y=kx………②直線OB的方程為：③設(shè)點A（x1,y1),點B(x2,y2)由①，②可得：由①，③可得：x2=2pk2,y2=-2pk設(shè)P（x，y）為AB的中點，由上可得：④⑤由⑤可得：⑥由④可知：px,代入⑥所以，點P的軌跡為一拋物線1952年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)第一部分：1.因式分解x4–y4=？解：x4–y4=(x2+y2)(x+y)(x-y)2.若lg2x=21lgx，問x=？解：2x=x21，x≠0，∴3.若方程x3+bx2+cx+d=0的三根為1,-1,,則c=？解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：c=1·（-1）+（-1）·+·1=14.若解：兩邊平方，得：x2+7=16，∴5.解:原式=-246.兩個圓的半徑都是4寸,并且一個圓過另一個圓的圓心，則此兩圓的公共弦長是多少寸？解：設(shè)兩圓O1及O2之公共弦為AB連結(jié)O1O2交AB于點C，則ABAO1O2CB垂直平分O1O2∴O1C=O1O2=2（寸）連結(jié)AO1，則△ACO1為直角三角形，7.三角形ABC的面積是60平方寸，M是AB的中點，N是AC的中點，△AMN的面積是多少？解：∵MN∥BC，∴，△AMN的面積=△ABC的面積=15（平方寸）8.正十邊形的一個內(nèi)角是多少度？解：由公式此處n=10于是一個內(nèi)角為：9.祖沖之的圓周率π=？答：22/7，355/13310.球的面積等于大圓面積的多少倍？解：球的面積4πR2為大圓面積πR2的4倍11.直圓錐之底半徑為3尺，斜高為5尺，則其體積為多少立方尺？解：圓錐高h=4（尺），故此直圓錐的體積：V錐=πR2h=12π（立方尺）12.正多面體有幾種？其名稱是什么？答：共有五種，其名稱為：正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體和正二十面體13.已知sinθ=,求cos2θ=？解：cos2θ=1-2sin2θ=14.方程tg2x=1的通解x=？解：15.太陽的仰角為300時，塔影長為5丈，求塔高是多少？解：塔高=5×tg300=（寸）16．△ABC的b邊為3寸，c邊為4寸，A角為300，問△ABC的面積為多少平方寸？解：17.已知一直線經(jīng)過（2，3），其斜率為-1，則此直線方程如何？解：即x+y–5=018.若原點在一圓上，而此圓的圓心為（3，4）則此圓的方程如何？解：圓的半徑所以，圓的方程為：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x2+y2-6x-8y=019.原點至3x+4y+1=0的距離是什么？解：20.拋物線y2-8x+6y+17=0的頂點坐標是什么？解：原方程可變形為：(y+3)2=8(x-1),故頂點坐標為（1，-3）第二部分：1.解方程x4+5x3-7x2-8x-12=0解：左式=(x4+5x3-6x2）-（x2+8x+12）=(x+6)[x2(x-1)-(x+2)]=(x+6)(x3-x2-x-2)=(x+6)[(x3-2x2)+(x2-x-2)]=(x+6)(x-2)(x2+x+1)=0可得原方程的四根為：2.△ABC中，∠A外角的平分線與此三角形外接圓相交于P，求證：BP=CP證：如圖，∠CBP=∠CAP=∠PAD又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP=∠BCP+∠CBPC1P2DAB∴∠BCP=∠CBP，∴BP=CP3.設(shè)三角形的邊長為=4，b=5，c=6，其對角依次為A，B，C求.問A，B，C三角為銳角或鈍角？解：應(yīng)用余弦定理，可得：由此可知C為銳角；另外，由已知條件，三邊邊長適合關(guān)系式＜b＜c，從而可知∠A＜∠B＜∠C由于C為銳角，故A，B亦為銳角4.一橢圓通過（2，3）及（-1，4）兩點，中心為原點，長短軸重合于坐標軸，試求其長軸，短軸及焦點解：由于橢圓過（2，3）及（-1，4）兩點，所以將此兩點代入標準方程可得：1954年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、化簡解：原式=乙、解解略：x=2b12c6.丙、用二項式定理計算（3.02）4，使誤差小于千分之一丁、試證直角三角形弦上的半圓的面積，等于勾上半圓的面積與股上半圓的面積的總和證：由c2=2+b2∴弦上半圓的面積==勾上半圓的面積+股上半圓的面積戊、已知球的半徑等于r，試求內(nèi)接正方形的體積解：內(nèi)接正方體的中心即該球的球心正方體過中心的對角線為該球的直徑，故其長為2r若設(shè)內(nèi)接正方體的邊長為，則有3a2=4r2，己、已知是三角形的一邊，β及γ是這邊的兩鄰角，試求另一邊b的計算公式解：由正弦定理可知YMONX2.描繪y=3x2-7x-1的圖象，并按下列條件分別求x的值所在的范圍：1）y＞0，2）y＜03.假設(shè)兩圓互相外切，求證用連心線做直徑的圓，必與前兩圓的外公切線相切證：設(shè)⊙O1及⊙O2為互相外切之二圓，其一外公切線為A1A2，切點為A1及A2令點O為連心線O1O2的中點，過O作OA⊥A1A2∵OA=（O1A1+O2A2）=O1O2，∴以O(shè)1O2為直徑，即以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓必與直線A1A2相切同理可證，此圓必切于⊙O1及⊙O2的另一條外公切線A2AA1O1OO24．試由由檢驗可知，均為其通解5．有一直圓錐，另外有一與它同底同高的直圓柱，假設(shè)a是圓錐的全面積，a＇是圓柱的全面積，試求圓錐的高與母線的比值解：設(shè)直圓錐的高為h，底面半徑為R，母線長為L，則1958年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、求二項式解：設(shè)求的項為展開式中的系數(shù)乙、求證證：⌒⌒丙、設(shè)AB，AC為一個圓的兩弦，D為AB的中點，E為AC的中點，作直線DE交AB于M，交AC于N，求證：AM=ANADEMNBC證：聯(lián)結(jié)AD與AE（如圖）∵∠AMN=∠DAM+∠MDA，⌒⌒∠ANM=∠EAN+∠NEA，⌒⌒又∵AD=DB，∠DAB=∠AED，AE=EC，∠ADE=∠EAC，∴∠AMN=∠ANM，AM=AN.丁、求證正四面體ABCD中相對的兩棱（即異面的兩棱）互相垂直DCABE證：因ABCD是正四面體，各個面都是等邊三角形，過A作AE⊥BC，聯(lián)結(jié)DE，則DE⊥BC，∴BC垂直平面AED，而AD在此平面內(nèi)，∴BC⊥AD同理可證AB⊥DC，AC⊥DB戊、求解解：2．解方程組則原方程變形為解方程組，可得將的值代回所設(shè)，可得都是原方程組的解3．設(shè)有二同心圓，半徑為R，r(R>r），今由圓心O作半徑交大圓于A，交小圓于A＇，由A作直線AD垂直大圓的直徑BC，并交BC于D;由A＇作直線A＇E垂直AD，并交AD于E，已知∠OAD=α，求OE的長解：在直角△OAD中，OD=Rsinα，AD=Rcosα在直角△A＇AE中，AA＇EBODCAE=（R-r）cosα∴DE=AD-AE=Rcosα-（R-r）cosα=rcosα.OE=4．已知三角形ABC，求作圓經(jīng)過A及AB中點M，并與BC直線相切已知：M為△ABC的AB的中點.求作：一個經(jīng)過A、M兩點且與BC直線相切的圓.CPOABMP＇A＇B＇M＇分析：設(shè)⊙O即為合于要求的圓（如圖）因⊙O經(jīng)過A、M兩點且與直線BC相切于點P，這樣，BP為⊙O的切線，BA為⊙O的割線，所以，應(yīng)有BP2=BM·BA而BM，BA均為已知，因此，BP的長度可以作出，由此可得點P，于是過A、M、P三點就可確定所求之圓作法：1）作線段A＇B＇M＇，使A＇B＇=AB，B＇M＇=BM2）以A＇M＇為直徑作半圓3）過B＇作A＇M＇的垂線B＇P＇交半圓于點P＇4）在△ABC的邊BC上截取BP=B＇P＇5）經(jīng)過A、M、P三點作⊙O即為所求證明：由作圖可知B＇P＇2=A＇B＇·B＇M＇，A＇B＇=AB，B＇M＇=BM，所以BP2=BM·BA，即BP為⊙O的切線，BMA為其割線，且⊙O經(jīng)過A、M、P三點，故⊙O適合所要求的條件5．已知直角三角形的斜邊為2，斜邊上的高為，求證此直角三角形的兩個銳角是下列三角方程的根證：設(shè)AD=k（如圖）CADB∵AB=2，∴DB=2-k.由CD2=AD·DB，在直角△ACD中，當當時，時，∴A=300，B=600.∴A=600，B=300.總之，兩銳角一為300，一為600.當x=300時，代入原方程中得當x=600時，代入原方程中得故這個直角三角形的兩個銳角是原三角方程的根1959年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35解：原式==0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求解：的值.丙、解不等式解：原式移項得∴原不等式的解為丁、求解：的值戊、不在同一平面的三條直線體體積為定值互相平行，A、B為上兩定點，求證另兩頂點分別在上的四面DAOBC證：因為A、B為直線上兩定點，而直線∥直線，所以，不論點C在直線的什么位置上，△ABC的面積均為一定值（同底等高的三角形等積）又因直線平行于直線，所以，直線∥平面（已知不在同一平面內(nèi)），因此，不論點D在直線的什么位置上，從點D到平面的距離為一定值，故四面體ABCD的體積=己、圓臺上底面積為，下底直徑為，母線為，求圓臺的側(cè)面積解：設(shè)此圓臺上底半徑為r，下底半徑為R，由已知條件所以r=5(cm).又下底半徑R=10cm，母線圓臺側(cè)面積=π（R+r)=π·10·（10+5）=150π（cm2).2．已知△ABC中，∠B=600，AC=4，面積為解：設(shè)AB=，BC=，則有，求AB和BC.故所求AB，BC之長為3．已知三個數(shù)成等差數(shù)列，第一第二兩數(shù)的和的3倍等于第三個數(shù)的2倍，如果第二個數(shù)減去2，則成等比數(shù)列，求這三個數(shù)解：設(shè)所求之三數(shù)為則根據(jù)題意有故所求三數(shù)為4．已知圓O的兩弦AB和CD延長相交于E，過E點引EF∥CB交AD的延長線于F，過F點作圓O的切線FG，求證：EF=FG.證：∵FG為⊙O的切線，而FDA為⊙O的割線，CG2FOD1A3BE∴FG2=FD·FA…………①又∵EF∥CB，∴∠1=∠2.而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE為公共角∴△EFD∽△AFE，即EF2=FD·FA…………②由①，②可得EF2=FG2∴EF=FG.5．已知A、B、C為直線上三點，且AB=BC=;P為外一點，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA的正弦、余弦、正切;（2）PB的長;（3）P點到的距離.解：過P點作PD⊥AB交AB于點D（如圖）P450EDBAC（1）過點B作BE∥AP交PC于點E則∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE.∵△CPA∽△CEB∴∴因PB=BE，又∵∠PBA為銳角，∴（2）（3）∴綜上，所求為（1）∠PBA的正弦、余弦、正切分別是（2）PB的長為（3）P點到的距離為1957年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、化簡解：原式=乙、求適合不等式解：原式為的實數(shù)x的范圍解為：-2<x<1.故x的范圍為-2<x<1.丙、求證證：ASPDRCQB丁、在四面體ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，求證：PQRS為一個菱形證：由于點P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形兩邊中點連線的性質(zhì)可得而由題設(shè)，AC=BD，∴PQ=QR=RS=SP，故PQRS為一個菱形MEBADCNF戊、設(shè)為異面直線，EF為的公垂線，為過EF的中點且與平行的平面，M為上任一點，N為上任一點求證線段MN被平面二等分證：過直線作平面//（如圖）過直線及公垂線EF作一平面，在此平面內(nèi)作MC∥EF，且與平面，分別交于B、C兩點設(shè)EF、MN分別與平面交于點A、D∵點A是EF的中點，又ME∥BA∥CF，∴點B是MC的中點又∵DB∥NC，∴D是MN的中點另法：如圖，連接EN，AB,BD由由A是EF的中點得,D為MN的中點此即線段MN被平面二等分2．解方程組解：由（1）可得由（2）可得將（4）代入（3）可得再將（5）代入（4）可得化簡，得將x值代入（5）此即因為所以（1）式無意義（負數(shù)無對數(shù)），故原方程組的解僅為3．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，求證BC邊上的高AEOBCD證：在直角△ABC中，另外，4．設(shè)△ABC為銳角三角形，以BC為直徑作圓，并從A作此圓的切線AD與圓切于D點，由在AB邊上取AE=AD，并過E作AB的垂線與AC邊的延長線交于F，求證：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC的面積=△AEF的面積.證（1）：設(shè)AB與⊙O相交于點G，聯(lián)結(jié)EC，CG，BF.AGEBDGOF∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF，AC:AF=AG:AE………………①又∵AD是⊙O的切線，∴AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE，∴AG:AE=AE:AB……………②由①、②可得AE:AB=AC:AF證（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，則EC∥BF，△EBC的面積=△EFC的面積∴△ABC的面積=△AEC的面積+△EBC的面積=△AEC的面積+△EFC的面積=△AEF的面積5．求證方程的一個根是1設(shè)這個方程的三個根是△ABC的三個內(nèi)角的求A、B、C的度數(shù)以及Q的值正弦解：將x=1代入這個方程式，則，故知1是原方程的一個根由于1是原方程的一個根，所以方程左邊能被x-1整除用x-1除方程左邊后得商式根據(jù)題設(shè)條件（即有一個根為1，不妨設(shè)）及根與系數(shù)的關(guān)系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、化簡解：原式=乙、求適合不等式解：原式為的實數(shù)x的范圍解為：-2<x<1.故x的范圍為-2<x<1.丙、求證證：ASPDRCQB丁、在四面體ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，求證：PQRS為一個菱形證：由于點P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形兩邊中點連線的性質(zhì)可得而由題設(shè)，AC=BD，∴PQ=QR=RS=SP，故PQRS為一個菱形MEBADCNF戊、設(shè)為異面直線，EF為的公垂線，為過EF的中點且與平行的平面，M為上任一點，N為上任一點求證線段MN被平面二等分證：過直線作平面//（如圖）過直線及公垂線EF作一平面，在此平面內(nèi)作MC∥EF，且與平面，分別交于B、C兩點設(shè)EF、MN分別與平面交于點A、D∵點A是EF的中點，又ME∥BA∥CF，∴點B是MC的中點又∵DB∥NC，∴D是MN的中點另法：如圖，連接EN，AB,BD由由A是EF的中點得,D為MN的中點此即線段MN被平面二等分2．解方程組解：由（1）可得由（2）可得將（4）代入（3）可得再將（5）代入（4）可得化簡，得將x值代入（5）此即因為所以（1）式無意義（負數(shù)無對數(shù)），故原方程組的解僅為3．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，求證BC邊上的高AEOBCD證：在直角△ABC中，另外，4．設(shè)△ABC為銳角三角形，以BC為直徑作圓，并從A作此圓的切線AD與圓切于D點，由在AB邊上取AE=AD，并過E作AB的垂線與AC邊的延長線交于F，求證：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC的面積=△AEF的面積.證（1）：設(shè)AB與⊙O相交于點G，聯(lián)結(jié)EC，CG，BF.AGEBOFDG∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF，AC:AF=AG:AE………………①又∵AD是⊙O的切線，∴AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE，∴AG:AE=AE:AB……………②由①、②可得AE:AB=AC:AF證（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，則EC∥BF，△EBC的面積=△EFC的面積∴△ABC的面積=△AEC的面積+△EBC的面積=△AEC的面積+△EFC的面積=△AEF的面積5．求證方程的一個根是1設(shè)這個方程的三個根是△ABC的三個內(nèi)角的求A、B、C的度數(shù)以及Q的值正弦解：將x=1代入這個方程式，則，故知1是原方程的一個根由于1是原方程的一個根，所以方程左邊能被x-1整除用x-1除方程左邊后得商式根據(jù)題設(shè)條件（即有一個根為1，不妨設(shè)）及根與系數(shù)的關(guān)系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、化簡解：原式=乙、求適合不等式解：原式為的實數(shù)x的范圍解為：-2<x<1.故x的范圍為-2<x<1.丙、求證證：ASPDRCBQ丁、在四面體ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，求證：PQRS為一個菱形證：由于點P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形兩邊中點連線的性質(zhì)可得而由題設(shè)，AC=BD，∴PQ=QR=RS=SP，故PQRS為一個菱形MEBADCNF戊、設(shè)為異面直線，EF為的公垂線，為過EF的中點且與平行的平面，M為上任一點，N為上任一點求證線段MN被平面二等分證：過直線作平面//（如圖）過直線及公垂線EF作一平面，在此平面內(nèi)作MC∥EF，且與平面，分別交于B、C兩點設(shè)EF、MN分別與平面交于點A、D∵點A是EF的中點，又ME∥BA∥CF，∴點B是MC的中點又∵DB∥NC，∴D是MN的中點另法：如圖，連接EN，AB,BD由由A是EF的中點得,D為MN的中點此即線段MN被平面二等分2．解方程組解：由（1）可得由（2）可得將（4）代入（3）可得再將（5）代入（4）可得化簡，得將x值代入（5）此即因為所以（1）式無意義（負數(shù)無對數(shù)），故原方程組的解僅為3．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，求證BC邊上的高AEOBCD證：在直角△ABC中，另外，4．設(shè)△ABC為銳角三角形，以BC為直徑作圓，并從A作此圓的切線AD與圓切于D點，由在AB邊上取AE=AD，并過E作AB的垂線與AC邊的延長線交于F，求證：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC的面積=△AEF的面積.證（1）：設(shè)AB與⊙O相交于點G，聯(lián)結(jié)EC，CG，BF.AGEDBGOF∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF，AC:AF=AG:AE………………①又∵AD是⊙O的切線，∴AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE，∴AG:AE=AE:AB……………②由①、②可得AE:AB=AC:AF證（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，則EC∥BF，△EBC的面積=△EFC的面積∴△ABC的面積=△AEC的面積+△EBC的面積=△AEC的面積+△EFC的面積=△AEF的面積5．求證方程的一個根是1設(shè)這個方程的三個根是△ABC的三個內(nèi)角的求A、B、C的度數(shù)以及Q的值正弦解：將x=1代入這個方程式，則，故知1是原方程的一個根由于1是原方程的一個根，所以方程左邊能被x-1整除用x-1除方程左邊后得商式根據(jù)題設(shè)條件（即有一個根為1，不妨設(shè)）及根與系數(shù)的關(guān)系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、化簡解：原式=乙、求適合不等式解：原式為的實數(shù)x的范圍解為：-2<x<1.故x的范圍為-2<x<1.丙、求證證：ASPDRCQB丁、在四面體ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，求證：PQRS為一個菱形證：由于點P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形兩邊中點連線的性質(zhì)可得而由題設(shè)，AC=BD，∴PQ=QR=RS=SP，故PQRS為一個菱形MEBADCNF戊、設(shè)為異面直線，EF為的公垂線，為過EF的中點且與平行的平面，M為上任一點，N為上任一點求證線段MN被平面二等分證：過直線作平面//（如圖）過直線及公垂線EF作一平面，在此平面內(nèi)作MC∥EF，且與平面，分別交于B、C兩點設(shè)EF、MN分別與平面交于點A、D∵點A是EF的中點，又ME∥BA∥CF，∴點B是MC的中點又∵DB∥NC，∴D是MN的中點另法：如圖，連接EN，AB,BD由由A是EF的中點得,D為MN的中點此即線段MN被平面二等分2．解方程組解：由（1）可得由（2）可得將（4）代入（3）可得再將（5）代入（4）可得化簡，得將x值代入（5）此即因為所以（1）式無意義（負數(shù)無對數(shù)），故原方程組的解僅為3．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，求證BC邊上的高AEOBCD證：在直角△ABC中，另外，4．設(shè)△ABC為銳角三角形，以BC為直徑作圓，并從A作此圓的切線AD與圓切于D點，由在AB邊上取AE=AD，并過E作AB的垂線與AC邊的延長線交于F，求證：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC的面積=△AEF的面積.證（1）：設(shè)AB與⊙O相交于點G，聯(lián)結(jié)EC，CG，BF.AGEBOFDG∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF，AC:AF=AG:AE………………①又∵AD是⊙O的切線，∴AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE，∴AG:AE=AE:AB……………②由①、②可得AE:AB=AC:AF證（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，則EC∥BF，△EBC的面積=△EFC的面積∴△ABC的面積=△AEC的面積+△EBC的面積=△AEC的面積+△EFC的面積=△AEF的面積5．求證方程的一個根是1設(shè)這個方程的三個根是△ABC的三個內(nèi)角的求A、B、C的度數(shù)以及Q的值正弦解：將x=1代入這個方程式，則，故知1是原方程的一個根由于1是原方程的一個根，所以方程左邊能被x-1整除用x-1除方程左邊后得商式根據(jù)題設(shè)條件（即有一個根為1，不妨設(shè)）及根與系數(shù)的關(guān)系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、化簡解：原式=乙、求適合不等式解：原式為的實數(shù)x的范圍解為：-2<x<1.故x的范圍為-2<x<1.丙、求證證：ASPDRCQB丁、在四面體ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，求證：PQRS為一個菱形證：由于點P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形兩邊中點連線的性質(zhì)可得而由題設(shè)，AC=BD，∴PQ=QR=RS=SP，故PQRS為一個菱形MEBADCNF戊、設(shè)為異面直線，EF為的公垂線，為過EF的中點且與平行的平面，M為上任一點，N為上任一點求證線段MN被平面二等分證：過直線作平面//（如圖）過直線及公垂線EF作一平面，在此平面內(nèi)作MC∥EF，且與平面，分別交于B、C兩點設(shè)EF、MN分別與平面交于點A、D∵點A是EF的中點，又ME∥BA∥CF，∴點B是MC的中點又∵DB∥NC，∴D是MN的中點另法：如圖，連接EN，AB,BD由由A是EF的中點得,D為MN的中點此即線段MN被平面二等分2．解方程組解：由（1）可得由（2）可得將（4）代入（3）可得再將（5）代入（4）可得化簡，得將x值代入（5）此即因為所以（1）式無意義（負數(shù)無對數(shù)），故原方程組的解僅為3．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，求證BC邊上的高AEOBCD證：在直角△ABC中，另外，4．設(shè)△ABC為銳角三角形，以BC為直徑作圓，并從A作此圓的切線AD與圓切于D點，由在AB邊上取AE=AD，并過E作AB的垂線與AC邊的延長線交于F，求證：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC的面積=△AEF的面積.證（1）：設(shè)AB與⊙O相交于點G，聯(lián)結(jié)EC，CG，BF.AGEDBGOF∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF，AC:AF=AG:AE………………①又∵AD是⊙O的切線，∴AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE，∴AG:AE=AE:AB……………②由①、②可得AE:AB=AC:AF證（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，則EC∥BF，△EBC的面積=△EFC的面積∴△ABC的面積=△AEC的面積+△EBC的面積=△AEC的面積+△EFC的面積=△AEF的面積5．求證方程的一個根是1設(shè)這個方程的三個根是△ABC的三個內(nèi)角的求A、B、C的度數(shù)以及Q的值正弦解：將x=1代入這個方程式，則，故知1是原方程的一個根由于1是原方程的一個根，所以方程左邊能被x-1整除用x-1除方程左邊后得商式根據(jù)題設(shè)條件（即有一個根為1，不妨設(shè)）及根與系數(shù)的關(guān)系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1957年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、化簡解：原式=乙、求適合不等式解：原式為的實數(shù)x的范圍解為：-2<x<1.故x的范圍為-2<x<1.丙、求證證：ASPDRCQB丁、在四面體ABCD中，AC=BD，P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，求證：PQRS為一個菱形證：由于點P、Q、R、S依次為棱AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形兩邊中點連線的性質(zhì)可得而由題設(shè)，AC=BD，∴PQ=QR=RS=SP，故PQRS為一個菱形MEBADCNF戊、設(shè)為異面直線，EF為的公垂線，為過EF的中點且與平行的平面，M為上任一點，N為上任一點求證線段MN被平面二等分證：過直線作平面//（如圖）過直線及公垂線EF作一平面，在此平面內(nèi)作MC∥EF，且與平面，分別交于B、C兩點設(shè)EF、MN分別與平面交于點A、D∵點A是EF的中點，又ME∥BA∥CF，∴點B是MC的中點又∵DB∥NC，∴D是MN的中點另法：如圖，連接EN，AB,BD由由A是EF的中點得,D為MN的中點此即線段MN被平面二等分2．解方程組解：由（1）可得由（2）可得將（4）代入（3）可得再將（5）代入（4）可得化簡，得將x值代入（5）此即因為所以（1）式無意義（負數(shù)無對數(shù)），故原方程組的解僅為3．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，求證BC邊上的高AEOBCD證：在直角△ABC中，另外，4．設(shè)△ABC為銳角三角形，以BC為直徑作圓，并從A作此圓的切線AD與圓切于D點，由在AB邊上取AE=AD，并過E作AB的垂線與AC邊的延長線交于F，求證：（1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC的面積=△AEF的面積.證（1）：設(shè)AB與⊙O相交于點G，聯(lián)結(jié)EC，CG，BF.AGEBOFDG∵EF⊥AB，CG⊥AB，∴GC∥EF，AC:AF=AG:AE………………①又∵AD是⊙O的切線，∴AD2=AG·AB，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE，∴AG:AE=AE:AB……………②由①、②可得AE:AB=AC:AF證（2）：由（1）AE:AB=AC:AF，則EC∥BF，△EBC的面積=△EFC的面積∴△ABC的面積=△AEC的面積+△EBC的面積=△AEC的面積+△EFC的面積=△AEF的面積5．求證方程的一個根是1設(shè)這個方程的三個根是△ABC的三個內(nèi)角的求A、B、C的度數(shù)以及Q的值正弦解：將x=1代入這個方程式，則，故知1是原方程的一個根由于1是原方程的一個根，所以方程左邊能被x-1整除用x-1除方程左邊后得商式根據(jù)題設(shè)條件（即有一個根為1，不妨設(shè)）及根與系數(shù)的關(guān)系可得由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A，代入（2）得1955年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、以二次方程x2-3x-1=0的兩根的平方為兩根，作一個二次方程解：設(shè)原方程的兩根為α，β，則由根與系數(shù)關(guān)系可得：α+β=3，αβ=-1，又，α2+β2=(α+β)2-2αβ=11，α2β2=1，故所求的二次方程為x2-11x+1=0ABDC乙、等腰三角形的一腰的長是底邊的4倍，求這三角形各角的余弦解：設(shè)AB=AC=4BC，而AD為底邊上的高，于是SDOCAB丙、已知正四棱錐底邊的長為，側(cè)棱與底面的交角為450，求這棱錐的高解：設(shè)S-ABCD為正四棱錐，SO為它的高，底邊長為，∠SAO=450∵AO=∴由△SOA為等腰直角三角形，故棱錐S-ABCD的高SO=丁、寫出二面角的平面角的定義略2．求b，c，d的值，使多項式x3+bx2+cx+d適合于下列三條件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除時余2，（3）被x+2除時與被x-2除時的余數(shù)相等解：根據(jù)余數(shù)定理及題設(shè)條件可得f(1)=1+b+c+d=0…………………①f(3)=27+9b+3c+d=2………………②-8+4b-2c+d=8+4b+2c+d…………③化簡③式可得c=-4將其分別代入①②可得b+d=39b+d=-13解得b=-2,d=5.綜上，b=-2,c=-4,d=5FCGDAEB3．由直角△ABC勾上一點D作弦AB的垂線交弦于E，交股的延長線于F，交外接圓于G求證：EG為EA和EB的比例中項，又為ED和EF的比例中項證：連接GA、GB，則△AGB也是一個直角三角形因為EG為直角△AGB的斜邊AB上的高，所以，EG為EA和EB的比例中項，即EG2=EA·EB∵∠AFE=∠ABC，∴直角△AEF∽直角△DEB，但是∵EG2=EA·EB，∴EG2=ED·EF（等量代換）.故EG也是ED和EF的比例中項4．解方程,求x的通值解：，5．一個三角形三邊長成等差數(shù)列，其周長為12尺，面積為6平方尺，求證這個三角形為一個直角三角形證：可設(shè)其長分別為x-d,x,x+d.因為三角形的周長為12尺，∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺）于是該三角形的三邊又可表示為4-d,4,4+d.由該三角形的面積為6，三邊長為4-d,4,4+d，代入求面積的計算公式，得由此可知，該三角形三邊的長為3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一個直角三角形1956年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、利用對數(shù)性質(zhì)計算lg25+lg2·lg50.解：原式=lg25+lg2(lg5+1)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5+lg2=1.乙、設(shè)m是實數(shù)，求證方程2x2-(4m-1)x-m2-m=0的兩根必定都是實數(shù)證：二次方程當其判別式不小于零時，它的兩根為實數(shù)由故原方程的兩根均為實數(shù)丙、設(shè)M是△ABC的邊AC的中點，過M作直線交AB于E，過B作直線平行于ME交AC于F求證△AEF的面積等于△ABC的面積的一半證：連MB，1953年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1.甲、解解：兩邊同乘3（x2-1)，得：3（x2+1)+3（x2-1)=10（x2-1)，即6x2+6=10x2–10,經(jīng)檢驗，均為解乙、3x2+kx+12=0的兩根相等，求k值解：兩根相等，Δ=k2–4·3·12=0，∴庚、三角形相似的條件為何？（把你知道的都寫出來）答：略辛、長方體之長、寬、高各為12寸、3寸、4寸，求對角線的長解：長方體對角線的長為：壬、垂直三棱柱之高為6寸，底面三邊之長為3寸、4寸、5寸，求體積解：由于底面為直角三角形，所以S底=·3·4=6（平方寸），故該三棱柱的體積為：V=S底×h=6×6=36（立方寸）2.解x2-2xy+3y2=9………………①4x2-5xy+6y2=30………………②解：原方程組消去常數(shù)項，得2x2+5xy-12y2=0分解因式得：（x+4y）（2x-3y）=0x+4y=0…………③2x-3y=0…………④解①，③方程組，得解①，④方程組，得經(jīng)檢驗，以上四組解均為原方程組的解3.甲、化簡乙、求之展開式中的常數(shù)項解：由二項展開式的一般項公式AFHEDBC4.銳角△ABC的三高線為AD、BE、CF，垂心為H，求證HD平分∠EDF證：由于AD⊥BC，BE⊥CA，所以點A，B，D，E四點共圓，故∠ADE=∠ABE又因點F，B，C，E共圓，故∠FBE=∠FCE又因點C，A，F(xiàn)，D共圓，故∠FCA=∠FDA綜上可得∠ADE=∠FDA，即AD平分∠EDF5.已知△ABC的兩個角為450，600，而其夾邊之長為1尺，求最小邊的長及三角形的面積解：已知∠B=450，∠C=600，于是∠A=750由正弦定理得則△AEF的面積=△AEM的面積+△MEF的面積=△AEM的面積+△MEB的面積=△ABM的面積=·△ABC的面積（三角形的中線BM二等分△ABC的面積）丁、一個三角形三邊長分別為3尺，4尺及尺，求這個三角形的最大角的度數(shù)解：該三角形的最大邊長為，所以它所對的角最大，設(shè)此角為，由余弦定理可得戊、設(shè)的兩根求證：證：由根與系數(shù)關(guān)系可知：2．解方程組⌒經(jīng)檢驗，這四組解均為原方程組的解3．設(shè)P為等邊△ABC外接圓的BC上的一點，求證：PA2=AB2+PB·PC證：在△ABP和△ADB中，∠BAP=∠DAB為公用角，又∠APB=∠ACB=∠ABD=600△ABP∽△ADB，AB2=PA·AD…………（1）同理可證△BPD∽△APC，∴PB·PC=PA·PD…………（2）（1）、（2）式左、右兩邊分別相加，則得AB2+PB·PC=PA（AD+PD）=PA2，∴PA2=AB2+PB·PC4．有一個四棱柱，底面是菱形ABCD，∠A＇AB=∠A＇AD（如圖）求證：平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD證：設(shè)底面是菱形ABCD的對角線相交于O，聯(lián)結(jié)A＇D，A＇O，A＇B在△A＇AB與△A＇AD中，1960年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、解方程解：移項得兩邊平方得（限定在實數(shù)范圍內(nèi)）整理得乙、有5組藍球隊，每組6隊，首先每組中各隊進行單循環(huán)賽（每兩隊賽一次），然后各組冠軍再進行單循環(huán)賽，問先后比賽多少場？.解：共需比賽（場）丙、求證等比數(shù)列各項的對數(shù)組成等差數(shù)列（等比數(shù)列各項均為正數(shù)）.解：設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，即分別取此等比數(shù)列各項的對數(shù)，即這就形成首項是公差是的等差數(shù)列丁、求使等式解：要使等式成立的x值的范圍（x是00~7200的角）.成立，必須由此可得角在第一象限或第四象限而已知條件中限定x為00~7200的角，由此可得COADB戊、如圖，用鋼球測量機體上一小孔的直徑，所用鋼球的中心是O，直徑是12mm,鋼球放在小孔上測得鋼球上端與機件平面的距離CD是9mm，求這小孔的直徑AB的長解：聯(lián)結(jié)OA則OA=OC=6（mm)OD=CD-OC=9-6=3(mm）又己、四棱錐P-ABCD的底面是一個正方形，PA與底面垂直，已知PA=3cm，P到BC的距離是5cm，求PC的長解：∵是正方形，PABDC而且PA⊥平面ABCD，∴PB⊥BC（三垂線定理）在直角△PAB中在直角△PBC中2．有一直圓柱高是20cm，底面半徑是5cm,它的一個內(nèi)接長方體的體積是80cm3，求這長方體底面的長與寬.解：設(shè)長方體底面的長是xcm，寬是ycm.根據(jù)題意可得方程組，3．從一船上看到在它的南300東的海面上有一燈塔，船以30里/小時的速度向東南方向航行，半小時后，看到這個燈塔在船的正西，問這時船與燈塔的距離（精確到0.1里）O東450300CAB南解：由題意，船位于點O，看到燈塔A，半小時后船沿OB方向行至B，由于A在B的正西，所以延長BA交OC于C，且必有BC⊥OC∵∠OBC=∠BOC=450，∴OC=BC=OB·sin450=15×CA=OC·tg300=15××=（里）∴AB=CB-CA=（里）故這時船與燈塔的距離約為4.5里4．要在墻上開一個矩形的玻璃窗，周長限定為６米（1）求以矩形的一邊長x表示窗戶的面積y的函數(shù);（2）求這函數(shù)圖像的頂點坐標及對稱軸方程;（3）畫出這函數(shù)的圖像，并求出x的允許值范圍解：（1）因為矩形周長為6米，所以若設(shè)其長為x米，則其寬為3-x∴窗戶的面積y=x(3-x)=-x2+3x.（2）由y=-x2+3x，可得故其頂點坐標為對稱軸方程為Y（）OX（3）令x2-3x=0，∴x1=0,x2=3.故圖象與x軸相交于點（0，0），（3，0），其圖象如圖根據(jù)問題的實際意義，必須y>0，所以x的允許值范圍為:0<x<3.5．甲、已知方程的兩個根相等，且為銳角，求和這個方程的兩個根解：由題設(shè)，方程的兩個根相等，故其判別式由此，原方程化為乙、為何值時，下列方程組的解是正數(shù)？解：消去x，得欲使其解x,y均為正數(shù)，必須故當時，方程組的解均為正數(shù)∵A＇A=A＇A，∠A＇AB=∠A＇AD，AB=AD，△A＇AB≌△A＇AD，∴A＇B=A＇D，△A＇BD為等腰三角形又∵O為DB的中點，∴A＇O⊥DB由菱形性質(zhì)，DB⊥AC，∴DB垂直于底面A＇ACC＇但底面ABCD是經(jīng)過DB的故平面A＇ACC＇垂直于底面ABCD5．若三角形的三個角成等差級數(shù)，則其中有一個角一定是600;若這樣的三角形的三邊又成等比級數(shù)，則三個角都是600，試證明之證（1，）設(shè)△ABC的三個角為A、B、C，由題意可得B-A=C-B，∴2B=A+C但∵A+B+C=1800，即3B=1800，B=600.證（2），由（1）已知△ABC必有一個角為600，今設(shè)∠B=600.∵△ABC的三邊∴成等比級數(shù)，又由余弦定理可得故△ABC為等邊三角形，即其三個內(nèi)角均為600.1961年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．甲、求二項式展開式里含項的系數(shù)解：設(shè)所求的項是第r+1項，則故在求二項式乙、解方程展開式里含項的系數(shù)為-960解：原方程即但使原對數(shù)方程無意義，應(yīng)舍去，故方程的解為x=4丙、求函數(shù)的自變量x的允許值解：要使函數(shù)y有意義，必須故自變量的允許值為丁、求解：的值O1500ABC戊、一個水平放著的圓柱形水管，內(nèi)半徑是12cm，排水管的圓截面上被水淹沒部分的弧含1500（如圖），求這個截面上有水部分的面積（取）解：⊙O的面積=扇形OACB的面積=△OAB的面積=∴弓形ACB的面積故截面有水部分的面積為己、已知△ABC的一邊BC在平面M內(nèi)，從A作平面M的垂線，垂足是A1設(shè)△ABC的面積是S，它與平面M組成的二面角等于，求證：△A1BC的面積=ACA1DMB證：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足為D，聯(lián)結(jié)A1D，A1B，A1C因AD⊥BC，由三垂線定理可得A1D⊥BC，所以∠ADA1為平面ABC與平面M所構(gòu)成的二面角的平面角，∴∠ADA1=在△AA1D中，A1D=AD·∴△A1BC的面積==△ABC的面積·=S·2．一機器制造廠的三年生產(chǎn)計劃每年比上一年增產(chǎn)的機器臺數(shù)相同，如果第三年比原計劃多生產(chǎn)1000臺，那么每年比上一年增長的百分率相同，而且第三年生產(chǎn)的臺數(shù)恰等于原計劃三年生產(chǎn)總臺數(shù)的一半，原計劃每年生產(chǎn)機器多少臺？解：設(shè)原計劃第一年生產(chǎn)x千臺，第二年生產(chǎn)x+y千臺，第二年生產(chǎn)x+2y千臺，根據(jù)題意可得如下方程組：將y=2代入（2）得x=4.故原計劃生產(chǎn)機器的臺數(shù)為：第一年4000臺，第二年6000臺，第三年8000臺3．有一塊環(huán)形鐵皮，它的內(nèi)半徑是45厘米，外半徑是75厘米，用它的五分之一（如圖中陰影部分）作圓臺形水桶的側(cè)面求這水桶的容積是多少立方厘米？解：圓臺上底周長=圓臺下底周長=圓臺上底半徑A1O1B1ABCO圓臺下底半徑圓臺的母線長圓臺的高圓臺體積故水桶的容積是4．在平地上有A、B兩點，A在山的正東，B在山的東南，且在A的650南300米的地方，在A測得山頂?shù)难鼋鞘?00，求山高（精確到10米，）解：設(shè)山高MN=h∠ABN=1800-（650+450）=700M300N450B600A由正弦定理得在直角△ANM中，故山高約為230米5．兩題任選一題甲、k是什么實數(shù)時，方程x2-(2k+3)x+3k2+1=0有實數(shù)根？解：根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件，判別式故當時，原方程有實數(shù)根乙、設(shè)方程的兩個根相等，求解：根據(jù)一元二次方程有等根的條件，判別式1962年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．某工廠第三年產(chǎn)量比第一年增長21%，問平均每年比上一年增長百分之幾？又第一年的產(chǎn)量是第三年的產(chǎn)量的百分之幾？（精確到1%）解：設(shè)平均每年增長又，則得故該工廠平均每年比上一年增長10%，第一年的產(chǎn)量是第三年的產(chǎn)量的83%2．求的實部解：顯然，的實部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各項所組成，故所求之實部為3．解方程解：4．求的值解：設(shè)則5．求證：（1）圓內(nèi)接平行四邊形就是矩形;（2）圓外切平行四邊形就是菱形DOACB⌒⌒⌒⌒證：（1）設(shè)ABCD為圓的內(nèi)接平行四邊形（如圖），由于兩平行弦所夾的弧相等，⌒⌒∴AD=BC，AB=DC⌒⌒又∵2（AD+AB）=圓周，AD+AB=半圓周，∠C=900，∴ABCD為矩形DABOC（2）設(shè)ABCD為圓外切平行四邊形（如圖）由于圓的外切四邊形的每組對邊的和相等，∴AD+BC=AB+DC但AD=BC，AB=DC，∴2AD=2AB，AD=AB故ABCD為菱形①6．解方程組②并討論取哪些實數(shù)時，方程組（1）有不同的兩實數(shù)解;（2）有相同的兩實數(shù)解;（3）沒有實數(shù)解解：由②得③將③代入①得討論：（1）當（2）當時，方程組有不同的兩實數(shù)解;時，方程組有相同的兩實數(shù)解;時，方程組沒有實數(shù)解（3）當7．已知D為△ABC內(nèi)的一點，AB=AC=1，∠BAC=630，∠BAD=270，求DC（精確到小數(shù)點后兩位，）解：∠ADB=1800-（330+270）=1200根據(jù)正弦定理，得又∠CAD=630-330=300，A330D270BC由余弦定理可得8．已知ABCD，A＇B＇C＇D＇都是正方形（如圖），而A＇、B＇、C＇、D＇分別把AB、BC、CD、DA分為m:n，設(shè)AB=1DC＇CD＇B＇AA＇B（1）求A＇B＇C＇D＇的面積;（2）求證A＇B＇C＇D＇的面積不小于解（1）：設(shè)AA＇又，A＇B在直角△D＇AA＇中，而正方形A＇B＇C＇D＇的面積=證（2）：9．由正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作這正方體的對角線A1C的垂線，垂足為E，證明A1E:EC=1:2證：設(shè)正方體的棱長為1，連接AC，則AC=D1A1C1B1EDCAB∵為直角△A1AC的斜邊A1C上的高，∴A1E·A1C=AA12，EC·A1C=AC2兩式相除，得∴A1E:EC=1:2.10．求證兩兩相交而不過同一點的四條直線必在同一個平面內(nèi)AFCEDB證：第一種情形：四條直線沒有三條直線過同一點，這時它們共有六個交點A、B、C、D、E、F，它們各不相同因直線相交于點A，可決定一平面α;因點B、C、D、E均在平面α內(nèi)，所以直線同在平面α內(nèi)也在平面α內(nèi)，故直線ABCD第二種情形：四條直線中有三條，例如過同一點A因直線不過點A，故由點A及直線可決定一平面α因直線與直線相交，設(shè)交點為B、C、D，則點B、C、D在直線上，從而在平面α內(nèi)，因此，直線各有兩點在平面α內(nèi)，即這三條直線在平面α內(nèi)，故四直線在同一平內(nèi)1963年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．已知的值解：2．已知復(fù)數(shù)求（1）求它的模及輻角;（2）作出圖，把這圖反時針方向轉(zhuǎn)1500，求這時的復(fù)數(shù)解：（1）Y1500600OX（2）由圖可知，復(fù)數(shù)沿反時針方向轉(zhuǎn)1500后，得到的復(fù)數(shù)為3．如圖，AB為半圓的直徑，CD⊥AB，AB=1，AD:BD=4:1，求CD解：∵AD:BD=4:1，∴AD=AB，BD=ABCADB又∵AB=1，∴AD=，BD=在直角△ACD中，∵CD⊥AB，∴CD2=AD·BD=∴CD=APDECB4．在一個二面角內(nèi)有一點，過這點分別作兩個平面的垂線，求證棱垂直于這兩條垂線所決定的平面證：∵PA⊥平面α，∴PA⊥CDPB⊥平面β，∴PB⊥CD故CD垂直于由PA，PB所決定的平面5．根據(jù)對數(shù)表求的值解：6．解方程解：7．在實數(shù)范圍內(nèi)解解：8．已知1、2、3、4、7、9六個數(shù)，（1）可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù);（2）其中有多少個是偶數(shù);（3）其中有多少個是3的倍數(shù)解：（1）沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有（個）（2）由這六個數(shù)組成的五位數(shù)要為偶數(shù)，其末位數(shù)字只能是2和4，故末位數(shù)的取法有種，當末位數(shù)字取定后，其余四位數(shù)字的取法只有種由此可得組成的偶數(shù)的個數(shù)為（個）（3）五位數(shù)要為3的倍數(shù)，必須組成它的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這里只有1、3、4、7、9五個數(shù)字的和是3的倍數(shù)，故共有（個）9．已知AB與圓O相交于C、D，AC=DB，AE，BF為圓O的切線求證：△AOE≌△BOF證：由圖可知AE2=AC·AD，BF2=BD·BC，∵AC=DB，AD=BC，∴AE2=BF2，AE=BFEFOACBD又EO=OF，∠AEO=∠BFO=900，∴△AOE≌△BOF10．半徑為1的球內(nèi)切于圓錐（直圓錐），已知圓錐母線與底面夾角為（1）求證：圓錐的母線與底面半徑的和是（2）求證：圓錐全面積是（3）當是什么值時，圓錐的全面積最?。縎OAO1B證（1）過球心O與直圓錐底面的中心O1作一平面與圓錐和球的截面如圖因此，△SAB為等腰三角形聯(lián)OB，則∠OBO1=設(shè)圓錐母線長為，底面半徑為R，則又（2）圓錐的全面積=（3）在圓錐全面積的表達式中，因其分子為常數(shù)，所以欲使全面積最小，必須使其分母最大故當取值時，圓錐的全面積最小1964年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．化簡解：原式=PβαBDA2．甲乙兩人在P點的河對岸的D點，甲向東走，乙向西走，甲每分鐘比乙多走米，10分鐘后，甲看P在北度西，乙看P在北度東，求PD解：設(shè)乙的速度為，則甲的速度為在直角△PBD中，在直角△PAD中，3．解方程并證明它的四個根為一個正方形的四個頂點解：YBOCAXD在復(fù)平面內(nèi)（x為實軸，y為虛軸）分別用A、B、C、D四點來表示四個根x1、x2、x3、x4（如圖）即A（），B（），C（），D（）∵A、B關(guān)于y軸對稱，A、D關(guān)于x軸對稱，∴∠A=900，同理，∠B=∠C=∠D=900且|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=∴ABCD是正方形，而A、B、C、D是頂點4．求證：在△ABC中，證：設(shè)R為△ABC的外接圓的半徑，則由正弦定理可得，代入余弦定理中，則可得5．已知的三根的平方和為6，且有兩個相等的正根，求m、n.解：設(shè)方程的三根為由根與系數(shù)的關(guān)系及題設(shè)有由（4）-2·（2）得（1）式平方得（5）+（6）得由（4）得由（1）得故m=0,n=2.6．圓臺形鐵桶的上底半徑是10cm，下底半徑是15cm，母線是30cm將鐵桶的側(cè)面沿一條母線剪開，鋪平如圖中的扇形鐵片ABCD，求AB間的距離解：將圓臺補成圓錐體（如圖）SSrO1DRAOCB設(shè)其頂點為S設(shè)SD=，則⌒⌒又因ABAB=∴△SAB為等邊三角形，AB=90（cm），即AB間的距離為90cm.7．已知空間四點A、B、C、D和兩平面M、N，又知A、B、C、D在M內(nèi)的射影A1B1C1D1是一條直線，在N內(nèi)的射影A2B2C2D2是一個平行四邊形，求證ABCD是一個平行四邊形證：1）先證A、B、C、D四點共面C1D1DB1CA1AD2BMC2NA2B2設(shè)通過直線A1B1C1D1而垂直于平面M的平面為P則因AA1⊥平面M，而A1又在直線A1B1C1D1上，所以點A在平面P內(nèi)，同理點B、C、D均在平面P內(nèi)，即A、B、C、D四點共面2）證ABCD是一個平行四邊形若AB與DC相交于E，則其在平面N內(nèi)的射影A2B2與D2C2也相交于E2，此與A2B2∥D2C2的假設(shè)相違，所以AB∥DC，同理AD∥BC故ABCD是一個平行四邊形8．如圖，已知正方形的邊長為1，在正方形ABCD中有兩個相切的內(nèi)切圓（1）求這兩個內(nèi)切圓的半徑之和（2）當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最小值？當這兩個圓的半徑為何值時，兩圓面積之和有最大值？解：（1）由圖知∠CEO1=900，CE=O1E=R1∴2R12=CO12，DCO1R1EO2R2AB同理∴AC=AO2+O2O1+O1C==（R1+R2）+（R1+R2）（R1+R2）又∵AB=1，∴AC=∴（R1+R2）=，∴R1+R2=（2）兩圓面積之和S=因R1的最大值為R1=，這時R2為最小值，其值為R2=又當R2=時，R1有最小值R1=故當R1=（此時R2=）或R1=（此時R2=）時，S有最大值機動題（1）在第8題中，若正方形改為矩形，情況又如何？（2）在第8題中，若正方形改為正方體，圓改為球，情況如何？解：（1）如圖，ABCD為矩形DCR1R2O2AO1GB設(shè)AB=，AD=作直角△O1O2G則有（R1+R2）2=[-（R1+R2）]2+[-（R1+R2）]2解之，得R1+R2=（+）但∵+>R1+R2,∴R1+R2=（+）因兩圓面積之和S=∴當R1或R2=min()時,S有最大值D1A1C1B1O1DCO2AB(2)如圖，球O1和球O2外切，球O1和以C1為頂?shù)娜娼堑娜齻€面相切，球O2和以A為頂?shù)娜娼堑娜齻€面相切（設(shè)棱長為1）同前類似可計算出AO2=R2，R1，C1O1=R1+R2=兩球的體積和V=注：在（1）中的必須限制為否則在矩形內(nèi)之二圓無法相切1965年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)1．如圖所示的二視圖表示的立方體是什么？求出它的體積解：二視圖表示的是一個正六棱錐，其棱長為底面邊長為，故底面積棱錐的高故正六棱錐的體積2．在A處的甲船測得乙船在北偏西的B處，以速度22里/小時向正北方向行駛，甲船立即從A處出發(fā)，以速度26里/小時向北偏西度的方向沿直線駛?cè)プ汾s乙船，問是多大角度時，經(jīng)過一段時間甲船能夠在某C處恰好與乙船相遇？（lg2.2=0.3424,lg2.6=0.4150)C北B西A解：設(shè)經(jīng)過x小時后，甲船在C處追上以船，則BC=22x（里）AC=26x（里）由正弦定理⌒3．把地球看作半徑為R的球，設(shè)A、B兩地緯度相同，，求A、B兩地之間的球面距離都是度，它們的經(jīng)度相差度解：A、B兩地之間的球面距離為過A、B所作之大圓的圓弧AB的長，設(shè)其長為L，且設(shè)過A、B作平面O1AB⊥NS（極軸），此平面與球面交成圓O1設(shè)其半徑為r，由已知，∠AO1B=設(shè)C、D分別為赤道平面上與點A、B同經(jīng)度之兩點，則由已知，∠AOC=∠BOD=在過A、B的大圓上有NO1BDAOCS由此可知，只需求出即可在圓O1中，線段AB=又在過A、C的大圓中，因∠OO1A=900，∠OAO1=，所以代入上式，可得線段AB=在△AOB中，線段AB=于是可得所以=由此可得A、B兩地之間的球面距離為此處之角度以度為單位4．（1）證明（x為任意值）（2）已知n為任意正整數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明（x為任意值）證：（1）（2）當n=1時，結(jié)論顯然成立假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即當n=k+1時，故當n為任意正整數(shù)時，結(jié)論均成立5．已知一點P的坐標是（4，-2），直線L的方程是y-x+5=0，曲線C的方程是，求經(jīng)過P點而與L垂直的直線和曲線C的交點的坐標，并畫出此題的略圖解：曲線C是橢圓，中心在（-1，1），其長軸平行于y軸，短軸平行于x軸（如圖）YBy-x-5=0CXAOP(4,-2)L1L設(shè)直線L1過點P（4，-2）且垂直于直線L與曲線C相交于點A、BL1的方程為y+2=-(x-4)即y=-x+2.欲求L1與曲線C的交點，解方程組故直線L1與曲線C的交點為6．當P是什么實數(shù)時，方程有一公共根？與方程解：設(shè)是它們的公共根，則由（1），（2）消去，得整理后，得到代入（3），得故當p=-2時，方程7．已知拋物線與方程有一公共根3YP1Q1M2P3XM1OQ2M3P2（1）在拋物線上任取二點P1（x1，y1），P2（x2,y2），經(jīng)過線段P1P2的中點作直線平行于拋物線的軸，和拋物線交于點P3，證明△P1P2P3的面積為（2）經(jīng)過線段P1P3、P2P3的中點分別作直線平行于拋物線的軸，與拋物線依次交于Q1、Q2，試將△P1P3Q1與△P2P3Q2的面積和用y1,y2表示出來（3）仿照（2）又可做出四個更小的三角形，如此繼續(xù)下去可以做一系列的三角形，由此設(shè)法求出線段P1P2與拋物線所圍成的圖形的面積解：（1）∵P1的坐標為（x1，y1），P2的坐標為（x2,y2），∴P1P2的中點為點P3的橫坐標縱坐標△P1P2P3的面積=的絕對值（2）∵P1的坐標為（x1，y1），P3的坐標為，∴P1P3的中點為點Q1的橫坐標同理，點Q2的橫坐標，縱坐標縱坐標△P1P3Q1的面積+△P2P3Q2的面積=的絕對值+的絕對值（3）線段P1P2與拋物線所圍成的圖形的面積S=S△P1P2P3+（S△P1Q2P3+S△P3Q2P2）+…8．附加題（1）已知為實數(shù)，證明均為正整數(shù)的充要條件是（2）已知方程的三根都是實數(shù)，證明是一個三角形的三邊的充要條件是證明：（1）條件的必要性是顯然的，因為已知所以立即可得，，下面證明條件的充分性：設(shè)是三次方程的三個根，則由根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件有此即由此即可知三次方程的系數(shù)正負相間，所以此方程無負根，即方程根均非負;又由可知，方程無零根，故（2）由（1）的證明可知，均為正數(shù)的充要條件是于是問題轉(zhuǎn)化為證明為三角形三條邊的充要條件為條件的必要性：若為三角形的三邊，則由三角形的性質(zhì)必有于是由此可得即.條件的充分性：若則，此式中至少有一因式大于0，今設(shè)則必有，即如果兩式相加得，此與相矛盾故有此即此即可作為一個三角形的三條邊綜上所證可知，方程的三根為一個三角形的三條邊的充要條件是1977年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)(江蘇省)試題及答案1．（1）計算解：原式=99（2）求函數(shù)的定義域解：根據(jù)題意，得故函數(shù)的定義域為（3）解方程解：原方程即（4）計算解：原式=（5）把直角坐標方程化為極坐標方程解：原方程可展開為（6）計算解：原式=（7）分解因式解：原式=3．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，它與拋物線相交于A、B兩點求A、B兩點間的距離解：拋物線的焦點坐標為（1，0）所作直線方程為它與拋物線之二交點坐標由下面方程組確定由根與系數(shù)關(guān)系，得x1+x2=6,x1x2=1.又解得y1+y2=-4,y1y2=-4.由兩點間距離公式但故AB兩點間距離為83．在直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD、CE分別為斜邊AB上的高和中線，且∠BCD與∠ACD之比為3:1，求證CD=DE證：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=900，∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜邊AB上的中線CADEB∴CE=EB∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD，∠ECD=2∠ACD=∠ACB=×900=450，△EDC為等腰直角三角形∴CE=DE⌒⌒⌒4．在周長為300cm的圓周上，有甲、乙兩球以大小不等的速度作勻速圓周運動甲球從A點出發(fā)按逆時針方向運動，乙球從B點出發(fā)按順時針方向運動，兩球相遇于C點相遇后，兩球各自反方向作勻速圓周運動，但這時甲球速度的大小是原來的２倍，乙球速度的大小是原來的一半，以后他們第二次相遇于D點已知AmC=40厘米，BnD=20厘米,求ACB的長度A甲·乙D·mnC··B⌒解：如圖設(shè)BC=x厘米甲球速度為，乙球速度為根據(jù)二次從出發(fā)到相遇二球運動的時間都相同，可得第一次等候時方程第二次等候時方程由此可得由于已知條件≠，∴x≠40,⌒x=80（厘米）ACB=40+80=120（厘米）5．（1）若三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，求證必有一內(nèi)角為600證：設(shè)三角形三內(nèi)角分別為則有（2）若三角形三內(nèi)角成等差數(shù)列，而且三邊又成等比數(shù)列，求證三角形三內(nèi)角都是600證：由題（1）可知，此三角形必有一內(nèi)角為600，今設(shè)其對邊為，則三角形的三邊分別為（此處為公比，且由余弦定理可得）由可知，此三角形為等邊三角形，三個內(nèi)角均為6006．在兩條平行的直線AB和CD上分別取定一點M和N，在直線AB上取一定線段ME=;在線段MN上取一點K，連結(jié)EK并延長交CD于F試問K取在哪里△EMK與△FNK的面積之和最?。孔钚≈凳嵌嗌?？解：過點K作兩條平行直線的公垂線