彩票中數(shù)學(xué)隊(duì)長(zhǎng)：陳衛(wèi)杰隊(duì)友：黎志斌，賈銳目錄一、問(wèn)題重述……03二、問(wèn)題分析……09三、模型準(zhǔn)備……10四、用符號(hào)表示相關(guān)量……………14五、模型解答…………15六、模型優(yōu)缺點(diǎn)……29七、寫給彩民們……30一、問(wèn)題重述近年來(lái)“彩票巨峰”席卷中華大地，巨額誘惑使越來(lái)越多人加到彩民行列，當(dāng)前流行彩票主要有傳統(tǒng)型和樂(lè)透型兩種類型。

傳統(tǒng)型采取“10選6+1”方案：先從6組0-9號(hào)球中搖出6個(gè)基本號(hào)碼，每組搖出一個(gè)，然后從0-4號(hào)球中搖出一個(gè)尤其號(hào)碼，組成中獎(jiǎng)號(hào)碼，投注者從0-9十個(gè)號(hào)碼中任選6個(gè)基本號(hào)碼（可重復(fù)），從0-4中選一個(gè)尤其號(hào)碼，組成一注，依據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符個(gè)數(shù)多少及次序確定中獎(jiǎng)等級(jí)，以中獎(jiǎng)號(hào)碼“abcdef*g”為例說(shuō)明中獎(jiǎng)等級(jí)，以下表所表示（X為未選中號(hào)碼）中獎(jiǎng)等級(jí)10選6+1（6*1/10)基本號(hào)碼…………尤其號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)abcdef……g選7中（6*1)二等獎(jiǎng)abcdef選7中（6）三等獎(jiǎng)abcdeX……Xbcdef選7中（5）四等獎(jiǎng)abcdXX……XbcdeX……XXcdef選7中（4）五等獎(jiǎng)abcXXX……XbcdXX……XXcdeX……XXXdef選7中（3）六等獎(jiǎng)abXXXX……XbcXXX……XXcdXX……XXXdeX……XXXXef選7中（2）66“樂(lè)透型”有各種不一樣形式，比如“33選7”方案：先從01-33個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出7個(gè)基本號(hào)，再?gòu)氖Ｏ?6個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)尤其號(hào)碼，投注者從01～33個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組中一注（不可重復(fù)），依據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符個(gè)數(shù)多少確定對(duì)應(yīng)中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼次序，又如“36選6+1”方案，先從01-36個(gè)號(hào)碼中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出6個(gè)基本號(hào)碼，再?gòu)氖Ｏ?0個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)尤其號(hào)碼，從01～36個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)作為一注（不可重復(fù)），依據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符個(gè)數(shù)多少確定對(duì)應(yīng)中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼次序。中獎(jiǎng)等級(jí)以下表中獎(jiǎng)等級(jí)33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號(hào)碼……尤其號(hào)碼說(shuō)明基本號(hào)碼……尤其號(hào)碼說(shuō)明一等獎(jiǎng)。。。。。。。選7中7。。。。。。……★選7中（6+1）二等獎(jiǎng)。。。。。。……★選7中（6+1）。。。。。。選7中6三等獎(jiǎng)。。。。。。選7中6。。。。。……★選7中（5+1）四等獎(jiǎng)。。。。?！镞x7中（5+1）。。。。。選7中5五等獎(jiǎng)。。。。。選7中5。。。?！镞x7中（4+1）六等獎(jiǎng)。。。?！镞x7中（4+1）。。。。選7中4七等獎(jiǎng)。。。。選7中4。。?！镞x7中（3+1）以上兩種類型總獎(jiǎng)金百分比普通為銷售總額50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級(jí)別獎(jiǎng)就不能再兼得低級(jí)別獎(jiǎng)金，現(xiàn)在常見(jiàn)銷售規(guī)則及對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)金設(shè)置為下表，表中一、二、三等獎(jiǎng)為高項(xiàng)獎(jiǎng)，后面為低項(xiàng)獎(jiǎng)，低項(xiàng)獎(jiǎng)數(shù)額固定，高項(xiàng)獎(jiǎng)按百分比分配，但一等獎(jiǎng)單注保底金額60萬(wàn)元，封頂金額500萬(wàn)元，各高項(xiàng)獎(jiǎng)?lì)~計(jì)算方法為：[（當(dāng)期銷售總額×總獎(jiǎng)金百分比）-低項(xiàng)獎(jiǎng)總額]×單項(xiàng)獎(jiǎng)百分比

（1）依據(jù)這些方案詳細(xì)情況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額設(shè)置以及對(duì)彩民吸引力等原因評(píng)價(jià)各方案合理性。

（2）設(shè)計(jì)一個(gè)“更加好”方案及對(duì)應(yīng)算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出提議。

（3）寫一篇短文，供彩民參考序號(hào)獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)百分比二等獎(jiǎng)百分比三等獎(jiǎng)百分比四等獎(jiǎng)金額五等獎(jiǎng)金額六等獎(jiǎng)金額七等獎(jiǎng)金額備注方案16*1/1050%20%30%50按序26*1/1060%20%20%300205按序36*1/1065%15%20%300205按序46*1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566*1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%5005010177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%2042無(wú)尤其號(hào)246*1/3675%10%15%500100105256*1/3680%10%10%50010010267/3670%15%15%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030問(wèn)題分析既然是買彩票，雖說(shuō)是為福利事業(yè)做貢獻(xiàn)。但彩民們還是抱著能中獎(jiǎng)心態(tài)來(lái)買。不然直接把錢捐給紅十字會(huì)就行了。所以彩票對(duì)彩民吸引力應(yīng)該與中獎(jiǎng)概率相關(guān)。而判定一個(gè)彩票方案好與壞應(yīng)該與該方案對(duì)彩民吸引力親密相關(guān)。因?yàn)槲υ綇?qiáng)，投資就越多。至于吸引力，我們認(rèn)為與中獎(jiǎng)概率，中大獎(jiǎng)取得金額，中小獎(jiǎng)數(shù)學(xué)期望和中大獎(jiǎng)概率，以及獎(jiǎng)金標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)二、問(wèn)題假設(shè)（1）假設(shè)彩票老板不出千，即開(kāi)獎(jiǎng)時(shí)開(kāi)出號(hào)碼是隨機(jī)，相互獨(dú)立。（2）假設(shè)彩票對(duì)彩民吸引力只與中獎(jiǎng)概率和中小獎(jiǎng)數(shù)學(xué)期望，中大獎(jiǎng)概率，中大獎(jiǎng)后拿到獎(jiǎng)金數(shù)額以及獎(jiǎng)金標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)。（3）各項(xiàng)彩票投資總額都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出120萬(wàn)元（不然若有市民中了一等獎(jiǎng)根本賠不起）模型準(zhǔn)備為了了解各原因?qū)Σ拭裎Γ覀冏隽艘韵抡{(diào)查問(wèn)卷，把問(wèn)卷發(fā)到了baidu貼吧“彩票吧”。我們一共收到了232條回復(fù)。以下為問(wèn)卷內(nèi)容你買彩票動(dòng)力是什么1.你認(rèn)為中獎(jiǎng)概率重不主要？（中獎(jiǎng)就不會(huì)虧了，只要中獎(jiǎng)，你就開(kāi)心了）A.非常主要B.主要C.普通D.無(wú)所謂2.你認(rèn)為中大獎(jiǎng)概率中重不主要？（概率越高，你就越輕易取得一筆飛來(lái)橫財(cái)）A.非常主要B.主要C.普通D.無(wú)所謂3.你認(rèn)為中大獎(jiǎng)取得獎(jiǎng)金多少重不主要？（假如獎(jiǎng)金足夠多，你一個(gè)不好運(yùn)中獎(jiǎng)了，下半世毆蹩腳都唔使憂）A.非常主要B.主要C.普通D.無(wú)所謂4.你認(rèn)為中小獎(jiǎng)數(shù)學(xué)期望中不主要？（期望越高話，當(dāng)你買了足夠多注彩票后，就會(huì)賺多又或者說(shuō)是捐給福利機(jī)構(gòu)會(huì)少一點(diǎn)）A.非常主要B.主要C.普通D.無(wú)所謂5.假如各獎(jiǎng)項(xiàng)獎(jiǎng)金差距過(guò)大你會(huì)不會(huì)反感？A.簡(jiǎn)直要吐B.有點(diǎn)惡心C我想靜靜D沒(méi)相關(guān)系我們搜集數(shù)據(jù)以下，我們選取了200組數(shù)據(jù)各選項(xiàng)人數(shù)以下：中獎(jiǎng)概率：A24B122C43D11中大獎(jiǎng)概率：A172B25C3D6中大獎(jiǎng)取得獎(jiǎng)金A107B41C46D6中小獎(jiǎng)期望A11B6C84D99獎(jiǎng)金標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)12B47C102D39依據(jù)A4分、B3分、C2分D1分算出各原因分值分別為中獎(jiǎng)概率559中大獎(jiǎng)概率775中大獎(jiǎng)取得獎(jiǎng)金649中小獎(jiǎng)期望329獎(jiǎng)金標(biāo)準(zhǔn)差432各原因比值為1.700：2.356：1.973：1=1.7：2.4：2.0：1：1.3

所以假設(shè)彩票對(duì)彩民吸引力為1.7×中獎(jiǎng)概率+2.4×中大獎(jiǎng)概率+2×中大獎(jiǎng)取得獎(jiǎng)金+中小獎(jiǎng)期望-1.3×大獎(jiǎng)金方差三、用符號(hào)表示相關(guān)量（1）設(shè)傳統(tǒng)型中獎(jiǎng)概率為a(i)，樂(lè)透型33選7中獎(jiǎng)概率為b(i)，樂(lè)透型33選6+1概率為c(i)（i是指中了幾等獎(jiǎng)，如a(1)是指中一等獎(jiǎng)概率）（2）方案j大獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額為A(j),方案j中獎(jiǎng)率是B(j),方案j中低項(xiàng)獎(jiǎng)數(shù)學(xué)期望為C(j)，個(gè)人中高項(xiàng)獎(jiǎng)取得獎(jiǎng)金總和為E(j)，各方案對(duì)彩民吸引力為F(j)，各方案大獎(jiǎng)金標(biāo)準(zhǔn)差為D(j)（3）全體市民一共買了x注10選6+1，y注33選7，z注36選6+1四、模型解答問(wèn)題一求解：先求出傳統(tǒng)型和樂(lè)透型中獎(jiǎng)概率吧a(1)=(1/10)×(1/5)=2×10傳統(tǒng)型中獎(jiǎng)表a(2)=(1/10)×(4/5)=8×10a(3)=(1/10)×(9/10)×2=1.8×10a(4)=(1/10)×[(9/10)×3+(9/10)×(1/10)×2]=2.61×10a(5)=(1/10)×[(9/10)×4]=3.24×10a(6)=(1/10)×(9/10)×5+(1/10)×(9/10)×12+(1/10)×(9/10)×5=4.1995×10總中獎(jiǎng)率a(總)=4.5516×106-76-75-542-432342-3324-2-2樂(lè)透型33選7中獎(jiǎng)概率b(1)=C/C=2.34080×10b(2)=[(C×C)/C]×(C/C)=1.63856×10b(3)=C×C/C×（25/26）=4.0964×10b(4)=[(C×C)/C]×(2C/C)=1.22892×10b(5)=(C×C)/C×(24/26)=1.47470×10b(6)=[(C×C)/C]×(3C/C)=2.45784×10b(7)=(C×C)/C×(23/26)=1.88434×10(沒(méi)錢)總中獎(jiǎng)率b(總)=4.09827×10(不算b(7))777337626133711261-6767526233711261-475263371262337-3742633371126174263337-2-3-5-7-3樂(lè)透型36選6+1中獎(jiǎng)概率c(1)=(C/C)=1.19794×10c(2)=(C/C)×(29/30)=3.47402×10c(3)=(C×C/C)×(2×1/30)=2.08441×10c(4)=(C×C/C)×(28/30)=2.91817×10c(5)=(C×C/C)×(3×1/30)=7.29544×10c(6)=(C×C/C)×(27/30)=6.56590×10c(7)=(C×C/C)×(4×1/30)=8.75453×10c(總)=1.63662×107736776366-67529136675291366742923667429236673293366-5-4-4-3-3-7-2各方案理論上每期大獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額A(1)=x-50x.a(4)=0.98695xA(2)=A(3)=A(4)=x-[300x.a(4)+20x.a(5)+5x.a(6)=0.64693xA(15)=x-[600x.b(4)+60x.b(5)+6x.b(6)]=0.82302xA(16)=x-[500x.b(4)+50x.b(5)+10x.b(6)]=0.84024xA(24)=x-[500x.c(4)+100x.c(5)+10x.c(6)]=0.71230xA(25)=x-[500x.c(4)+100x.c(5)+10x.c(6)+5x.c(7)]=0.66853x各方案理論上每期中獎(jiǎng)率B(1)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=2.81×10B(2)=B(3)=B(4)=a(總)=4.5516×10B(15)=B(16)=b(總)=4.09827×10B(24)=7.61167×10B(25)=1.63662×10比值為B(1):B(2):B(3):B(4):B(14):B(15):B(24):B(25)=0.002:0.269:0.269:0.269:0.024:0.024:0.045:0.097-4-2-3-3-2各方案每期大獎(jiǎng)中獎(jiǎng)率B(1大)=B(2大)=B(3大)=B(4大)=1.9×10B(14大)=B(15大)=4.28366×10B(24大)=B(25大)=2.44379×10比值為B(1大):B(2大):B(3大):B(4大):B(14大):B(15大):B(24大):B(15大)=0.114:0.114:0.114:0.114:0.257:0.257:0.015:0.015-5-5-6各方案每期中獎(jiǎng)數(shù)學(xué)期望依照公式中低項(xiàng)獎(jiǎng)數(shù)學(xué)期望=Σ(中獎(jiǎng)概率×得獎(jiǎng)獎(jiǎng)金)依次求得C(1)=50.a(1)=0.01305C(2)=C(3)=C(4)=0.35307C(15)=0.17698C(16)=0.15976 C(24)=0.28770C(25)=0.33147比值為C(1):C(2):C(3):C(4):C(14):C(15):C(24):C(25)=0.006:0.174:0.174:0.174:0.087:0.079:0.142:0.163預(yù)計(jì)個(gè)人中高項(xiàng)獎(jiǎng)取得獎(jiǎng)金總和E(j)=Σ(各高項(xiàng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)金/得獎(jiǎng)人數(shù))E(1)=(0.98605x×50%)/(2×10x)+(0.98605x×20%)/(8×10x)+(0.98605x×30%)/(1.8×10x)=2465125(i)+246513(ii)+16434(iii)=2728072E(2)=1940790+161733+7188=2102523E(3)=2102523+121299+7188=2231010E(4)=2264255+121299+5391=2390495E(15)=2461184+50228+4018=2515430E(16)=2692156+51279+3077=2746512E(24)=4459541+20504+5126=4485171E(25)=4464531+19244+3207=4486982-7-7-5比值為E(1):E(2):E(3):E(4):E(14):E(15):E(24):E(25)=0.115:0.089:0.094:0.101:0.106:0.116:0.189:0.189然后各方案大獎(jiǎng)金標(biāo)準(zhǔn)差為D(1)=1104096D(2)=877353D(3)=961982D(4)=1038597D(15)=1147582D(16)=1256436D(24)=2096216D(25)=2099318比值為D(1):D(2):D(3):D(4):D(15):D(16):D(24):D(25)=0.104:0.083:0.091:0.098:0.108:0.119:0.198:0.198各方案對(duì)彩民吸引力彩民吸引力F(j)=1.7B(j)+2.4B(j大)+2E(j)+C(j)-1.3D(j)所以F(1):F(2):F(3):F(4):F(15):F(16):F(24):F(25)=0.378:0.975:0.974:0.980:0.816:0.814:0.401:0.485所以，傳統(tǒng)型獎(jiǎng)項(xiàng)最好是方案4

樂(lè)透型33選7最好是方案15

樂(lè)透型36選6+1最好是方案25方案最差是1問(wèn)題二求解

設(shè)計(jì)一個(gè)“更加好”方案及對(duì)應(yīng)算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出提議。這個(gè)問(wèn)題其實(shí)是怎樣設(shè)置獎(jiǎng)金問(wèn)題。設(shè)一至七等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金分別為o(百分比),p(百分比),q(百分比),r,s,t,u，一至七等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率分別為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，因?yàn)榭傊歇?jiǎng)概率和中大獎(jiǎng)概率已經(jīng)確定，所以只要考慮中小獎(jiǎng)期望C以及中大獎(jiǎng)獎(jiǎng)金A怎樣分配給個(gè)人獎(jiǎng)金E就能夠了，這么就能夠確定對(duì)彩民吸引力F，假如F越大，則方案越好。然而，由前面調(diào)查問(wèn)卷可知，期望C影響力，能夠說(shuō)是微乎其微，所以C設(shè)計(jì)應(yīng)該偏小一點(diǎn)。不過(guò)為了提升彩民主動(dòng)性，我們認(rèn)為：七等獎(jiǎng)=5元，六等獎(jiǎng)=10元，五等獎(jiǎng)=50元，四等獎(jiǎng)=200元。(沒(méi)設(shè)七等獎(jiǎng)六等獎(jiǎng)5元，其它相同）這么經(jīng)過(guò)獎(jiǎng)金遞進(jìn)形式，能夠促進(jìn)銷售。所以式子以下：C=rⅣ+sⅤ+tⅥ+uⅦ;①A=1-Cx②E=Ao/(Ⅰx)+Ap/(

Ⅱx)+Aq/(Ⅲx);③o+p+q=1;④MAX(F)=C/C總+2E/E(總)-1.3D/D(總);⑤把傳統(tǒng)型和樂(lè)透型概率分別代入上面，用MATLAB求得最優(yōu)解以下：獎(jiǎng)金opqrstu彩票10選6+172.83%12.58%14.59%2005010533選77