第三章統(tǒng)計(jì)案例3.1回歸分析的根本思想及其初步應(yīng)用雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘1．以下命題中正確的是于()．①任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系②圓的周長(zhǎng)與圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系③某商品的需求量與該商品的價(jià)格是一種非確定性關(guān)系④根據(jù)散點(diǎn)圖求得的線(xiàn)性回歸方程可能是沒(méi)有意義的⑤兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系可以通過(guò)線(xiàn)性回歸方程，把非確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性問(wèn)題進(jìn)行研究A．①③④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤解析顯然①是錯(cuò)誤的，而②中圓的周長(zhǎng)與圓的半徑的關(guān)系為：C＝2πR，是一種確定性的函數(shù)關(guān)系，故應(yīng)選C.答案C2．設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線(xiàn)的斜率是b，縱軸上的截距是a，那么必有()．A．b與r的符號(hào)相同B．a(chǎn)與r的符號(hào)相同C．b與r的符號(hào)相反D．a(chǎn)與r的符號(hào)相反解析因?yàn)閎＞0時(shí)，兩變量正相關(guān)，此時(shí)r＞0；b＜0時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)，此時(shí)r＜0.答案A3．在判斷兩個(gè)變量y與x是否相關(guān)時(shí)，選擇了4個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2分別為：模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98，模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80，模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50，模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25.其中擬合效果最好的模型是()．A．模型1B．模型2C．模型3D．模型4解析相關(guān)指數(shù)R2能夠刻畫(huà)用回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果，相關(guān)指數(shù)R2的值越接近于1，說(shuō)明回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果越好．答案A4．假設(shè)一組觀測(cè)值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿(mǎn)足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，且ei恒為0，那么R2為_(kāi)_______．解析由ei恒為0，知yi＝eq\o(y,\s\up6(^))i，即yi－eq\o(y,\s\up6(^))i＝0，故R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－0＝1.答案15．回歸直線(xiàn)的斜率的估計(jì)值為1.23，樣本點(diǎn)的中心為(4,5)，那么回歸直線(xiàn)方程是________．解析由斜率的估計(jì)值為1.23，且回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(4,5)，可得eq\o(y,\s\up6(^))－5＝1.23(x－4)，即eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.答案eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.086．某個(gè)服裝店經(jīng)營(yíng)某種服裝，在某周內(nèi)純獲利y(元)與該周每天銷(xiāo)售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x3456789y66697381899091(1)求樣本中心點(diǎn)．(2)畫(huà)出散點(diǎn)圖．(3)求純獲利y與每天銷(xiāo)售件數(shù)x之間的回歸方程．解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))≈79.86，中心點(diǎn)(6,79.86)．(2)散點(diǎn)圖如下：(3)因?yàn)閑q\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)≈4.75，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))≈51.36，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.綜合提高〔限時(shí)25分鐘〕7．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線(xiàn)性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100次和150次試驗(yàn)，并且利用線(xiàn)性回歸方法，求得回歸直線(xiàn)分別為l1和l2.兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么以下說(shuō)法正確的是()．A．l1和l2有交點(diǎn)(s，t)B．l1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t)C．l1與l2必定平行D．l1與l2必定重合解析都過(guò)樣本中心點(diǎn)(s，t)，但斜率不確定．答案A8．某醫(yī)學(xué)科研所對(duì)人體脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量研究得到一組隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，運(yùn)用Excel軟件計(jì)算得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.577x－0.448(x為人的年齡，y為人體脂肪含量)．對(duì)年齡為37歲的人來(lái)說(shuō)，下面說(shuō)法正確的是()．A．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量都為20.90%B．年齡為37歲的人體內(nèi)脂肪含量為21.01%C．年齡為37歲的人群中的大局部人的體內(nèi)脂肪含量為20.90%D．年齡為37歲的大局部的人體內(nèi)脂肪含量為31.5%解析當(dāng)x＝37時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估計(jì)：年齡為37歲的人群中的大局部人的體內(nèi)脂肪含量為20.90%.答案C9．今年一輪又一輪的寒潮席卷全國(guó)．某商場(chǎng)為了了解某品牌羽絨服的月銷(xiāo)售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷(xiāo)售量與當(dāng)月平均氣溫，數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x(℃)171382月銷(xiāo)售量y(件)24334055由表中數(shù)據(jù)算出線(xiàn)性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))≈－2.氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)下個(gè)月該品牌羽絨服的銷(xiāo)售量的件數(shù)約為_(kāi)_______．解析由表格得(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))為(10,38)，又(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在回歸直線(xiàn)eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，且eq\o(b,\s\up6(^))≈－2，∴38＝－2×10＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))＝58，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－2×6＋58＝46.答案4610．面對(duì)競(jìng)爭(zhēng)日益劇烈的消費(fèi)市場(chǎng)，眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷(xiāo)售市場(chǎng)，以降低生產(chǎn)本錢(qián)．某白酒釀造企業(yè)市場(chǎng)部對(duì)該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷(xiāo)量(千箱)與單位本錢(qián)(元)的資料進(jìn)行線(xiàn)性回歸分析，結(jié)果如下：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝71，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝79，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1481，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(1481－6×\f(7,2)×71,79－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)≈－1.8182，eq\o(a,\s\up6(^))＝71－(－1.8182)×eq\f(7,2)≈77.36，那么銷(xiāo)量每增加1千箱，單位本錢(qián)下降________元．解析由可得，eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.8182x＋77.36，銷(xiāo)量每增加1千箱，那么單位本錢(qián)下降1.8182元．答案1.818211．在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程．解由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如右圖．根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，那么y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．列表如下：itiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.6251∑7.753694.2521.3125430所以eq\o(t,\s\up6(－))＝1.55，eq\o(y,\s\up6(－))＝7.2.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\o(t,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\o(t,\s\up6(－))2)＝4.1344，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝0.8.所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4.1344t＋0.8.所以y與x的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.12．(創(chuàng)新拓展)某運(yùn)發(fā)動(dòng)訓(xùn)練次數(shù)與成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：次數(shù)x3033353739444650成績(jī)y3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖；(2)求出回歸方程；(3)作出殘差圖；(4)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2；(5)試預(yù)測(cè)該運(yùn)發(fā)動(dòng)訓(xùn)練47次及55次的成績(jī)．解(1)作出該運(yùn)發(fā)動(dòng)訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(jī)(y)之間的散點(diǎn)圖，如下圖，由散點(diǎn)圖可知，它們之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．(2)eq\o(x,\s\up6(－))＝39.25，eq\o(y,\s\up6(－))＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,x)i