PAGE中考總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理（提高）【考綱要求】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題；4.加強知識間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問題．以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】知識點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：）.【要點詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是:①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變;②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊,在中，，則，，;②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系;③可運用勾股定理解決一些實際問題.知識點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.【要點詮釋】①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù);②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等;③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）知識點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解；而其逆定理是判定定理，能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．2.聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決.【典型例題】類型一、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用【高清課堂：勾股定理及其逆定理例2】1．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是__________．

【思路點撥】根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得出答案．【答案與解析】∵圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，

∴CG=NG，CF=DG=NF，

∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG?DG，=GF2+2CG?DG，

S2=GF2，

S3=（NG-NF）2=NG2+NF2-2NG?NF，

∵S1+S2+S3=10=GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2-2NG?NF，=3GF2，

∴S2=．【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出S1+S2+S3=10=GF2+2CG?DG+GF2+NG2+NF2-2NG?NF=3GF2是解決問題的關(guān)鍵．【變式】若△ABC三邊a、b、c滿足a＋b＋c＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形嗎？為什么？【答案】∵a＋b＋c＋338=10a+24b+26c∴a＋b＋c＋338－10a－24b－26c=0（a－10a+25）＋（b－24b+144）＋（c－26c+169）=0即∵∴a=5，b=12，c=13又∵a＋b=c=169，∴△ABC是直角三角形.2．（2014秋?黃梅縣校級期中）如圖，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，BE、CF交于M，連AM．（1）求證：BE=CF；（2）求證：BE⊥CF；（3）求∠AMC的度數(shù)．【思路點撥】（1）求出∠BAE=∠CAF，根據(jù)SAS推出△CAF≌△BAE即可；（2）根據(jù)全等得出∠ABE=∠ACF，求出∠ABO+∠BOA=∠COM+∠ACF=90°，求出∠CMO=90°即可；（3）作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，證全等得出AG=AH，得出正方形，求出∠AMG，即可求出答案．【答案與解析】證明：（1）∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠FAE+∠CAE，∴∠BAE=∠CAF，在△CAF和△BAE中∴△CAF≌△BAE，∴BE=CF．（2）證明：∵△CAF≌△BAE，∴∠ABE=∠ACF，∵∠BAC=90°，∴∠ABO+∠BOA=90°，∵∠BOA=∠COM，∴∠COM+∠ACF=90°，∴∠CMO=180°﹣90°=90°，∴BE⊥CF．（3）解：過點A分別作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，則∠AGB=∠AHC=90°，在△AGB和△AHC中∴△AGB≌△AHC，∴AG=AH，∵AG⊥BE，AH⊥FC，BE⊥CF，∴∠AGM=∠GMH=∠AHM=90°，∴四邊形AHMG是正方形，∴∠GMH=90°，∠AMG=∠HMG=45°，∴∠AMC=90°+45°=135°．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．舉一反三：【變式】如圖，△ABC中，有一點P在AC上移動．若AB=AC=5，BC=6，則AP+BP+CP的最小值為（）A.8B.8.8C.9.8D.10【答案】C.類型二、勾股定理及其逆定理與其他知識的結(jié)合應(yīng)用【高清課堂：勾股定理及其逆定理例7】3.（2015春?沛縣期中）（1）如圖①，正方形ABCD①中，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，延長CD到點C，使DG=BE，連結(jié)EF、AG，求證：EF=FG；（2）如圖②，在△ABC中，∠BAC=90°，點M、N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，AB=AC，CN=3，求MN的長．【思路點撥】（1）欲證明EF=FG，只需證得△FAE≌△GAF，利用該全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對應(yīng)邊AM=AE、對應(yīng)角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．【答案與解析】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，∵在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如圖，過點C作CE⊥BC，垂足為點C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形．4.（2011黑龍江大慶）如圖，ABCD是一張邊AB長為2，邊AD長為1的矩形紙片，沿過點B的折痕將A角翻折，使得點A落在邊CD上的點A′處，折痕交邊AD于點E．（1）求∠DA′E的大?。唬?）求△A′BE的面積．【思路點撥】（1）先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出∠DA′E的度數(shù)；（2）設(shè)AE=x，則ED=1﹣x，A′E=x，在Rt△A′DE中，利用sin∠DA′E=可求出x的值，在根據(jù)Rt△A′BE中，A′B=AB，利用三角形的面積公式即可求解．【答案與解析】（1）∵△A′BE是△ABE翻折而成，∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，∴在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1得，∠BA′C=30°，又∵∠BA′E=90°，∴∠DA′E=60°；（2）解法1：設(shè)AE=x，則ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，sin∠DA′E=，即=，得x=4-2，在Rt△A′BE中，A′E=4﹣2，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4﹣2）=4-2；解法2：在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1，得A′C=，∴A′D=2-，設(shè)AE=x，則ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，A′D2+DE2=A′E2，即（2-）2+（1﹣x）2=x2，得x=4-2，在Rt△A′BE中，A′E=4-2，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4-2）=4-2．【總結(jié)升華】本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到勾股定理及矩形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC內(nèi)部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行．若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c…的個數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9

【答案】D.5.如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有一所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？

【思路點撥】（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m，小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度.（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響過程中所行駛的路程.因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校.

【答案與解析】作AB⊥MN，垂足為B

在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，

∴AB＝AP＝80（直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半）

∵點A到直線MN的距離小于100m，

∴這所中學(xué)會受到噪聲的影響.

如圖，假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處時學(xué)校開始受到影響，那么AC＝100(m)，

由勾股定理得：BC2＝1002－802＝3600，∴BC＝60m

同理，假設(shè)拖拉機行駛到點D處時學(xué)校開始不受影響，那么AD＝100(m)，BD＝60(m)，

∴CD＝120(m).

∵拖拉機行駛的速度為:18km/h＝5m/s

∴t＝120m÷5m/s＝24s

答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒.

【總結(jié)升華】勾股定理是求線段長度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作垂線的方法，構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理.6．如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2．動點M、N分別從點D、B同時出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點A的方向運動（點M可運動到DA的延長線上），當(dāng)動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動．連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時，可得△FMN，過△FMN三邊的中點作△PWQ．設(shè)動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為x秒．試解答下列問題：

（1）說明△FMN∽△QWP；

（2）設(shè)0≤x≤4（即M從D到A運動的時間段）．試問x為何值時，△PWQ為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時，△PQW不為直角三角形？

（3）問當(dāng)x為何值時，線段MN最短？求此時MN的值．【思路點撥】解決圖形運動的問題，由于運動過程中圖形的位置或形狀不確定，常會用到分類思想.【答案與解析】（1）由題意可知P、W、Q分別是ΔFMN三邊的中點，∴PW是ΔFMN的中位線，即PW∥MN∴ΔFMN∽ΔQWP（2）由題意可得DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，由勾股定理分別得=，=+=+①當(dāng)=+時，+=++解得;②當(dāng)=+時，+=++此方程無實數(shù)根;③=+時，=+++解得（不合題意，舍去），;綜上，當(dāng)或時，ΔPQW為直角三角形；當(dāng)0≤x＜或＜x＜4時，ΔPQW不為直角三角形.（3）①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運動時，只有當(dāng)x=4時，MN的值最小，等于2；②當(dāng)4＜x≤6時，=+=+=當(dāng)x=5時，取得最小值2，∴當(dāng)x=5時，線段MN最短，MN=．【總結(jié)升華】題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理等知識點的理解和掌握，難度較大，綜合性較強，利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識．舉一反三：【變式】在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用完全相同的四個直角三角形采用拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性．

問題1：以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形，探究S1+S2與S3的關(guān)系（如圖1）．

問題2：以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″與S的關(guān)系（如圖2）．

問題3：以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓，探究S1+S2與S3的關(guān)系（如圖3）．【答案】問題1：由等邊三角形的性質(zhì)知：S1=a2，S2=b2，S3=c2，

則S1+S2=（a2+b2），因為a2+b2=c2，所以S1+S2=S3．

問題2：由等腰直角三角形的性質(zhì)知：S′=a2，S″=b2，S=c2．

則S′+S″=（a2+b2），因為a2+b2=c2，所以S′+S″=S．

問題3：由圓的面積計算公式知：S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2．

則S1+S2=π（a2+b2），因此a2+b2=c2，所以S1+S2=S3．中考總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理(提高)鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．（2011湖北黃石）將一個有45度角的三角板的直角頂點C放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點A在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖，則三角板的最大邊的長為（）.A.3cmB.6cmC.3cmD.6cm

2．在△中，若，則△是（）.

.銳角三角形.鈍角三角形.等腰三角形.直角三角形3.如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為（）.

A.B.C.D.3

4.如圖，分別以直角的三邊為直徑向外作半圓．設(shè)直線左邊陰影部分的面積為，右邊陰影部分的面積和為，則（）.

A．B．C．D．無法確定5.（2014春?臨沭縣期中）如圖，是一長、寬都是3cm，高BC=9cm的長方體紙箱，BC上有一點P，PC=BC，一只螞蟻從點A出發(fā)沿紙箱表面爬行到點P的最短距離是（）A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm6.（2012?寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）.A.90B．100C．110D．121二、填空題7.如圖，在由12個邊長都為1且有一個銳角是60°的小菱形組成的網(wǎng)格中，點P是其中的一個頂點，以點P為直角頂點作格點直角三角形（即頂點均在格點上的三角形），請你寫出所有可能的直角三角形斜邊的長________．

8.如圖，已知點F的坐標為(3，0)，點A、B分別是某函數(shù)圖象與x軸，y軸的交點，點P是此圖像上的一動點，設(shè)點P的橫坐標為x，PF的長為d，且d與x之間滿足關(guān)系：d=5－x(0≤x≤5),則結(jié)論：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3中，正確結(jié)論的序號是______________.

9.（2014?達州）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點B落在邊AD上，折痕EF的兩端分別在AB、BC上（含端點），且AB=6cm，BC=10cm．則折痕EF的最大值是cm．10.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊PQ上，那么△PQR的周長等于_________________.11．觀察下列一組數(shù)：列舉：3、4、5，猜想：32=4+5；列舉：5、12、13，猜想：52=12+13；列舉：7、24、25，猜想：72=24+25；…

列舉：13、b、c，猜想：132=b+c；

請你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識求得b=_____,c=________.12.如圖，正方體的棱長為2，O為AD的中點，則O，A1，B三點為頂點的三角形面積為________________．三、解答題13.作長為、、的線段.14.如圖A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直。現(xiàn)要從點E處開設(shè)通往村莊A、村莊B的一條電纜，現(xiàn)在共有兩種鋪設(shè)方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．經(jīng)測量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下電纜的修建費為2萬元／千米，水下電纜的修建費為4萬元／千米．

求：1)河寬AD(結(jié)果保留根號)；

2)公路CD的長;

3)哪種方案鋪設(shè)電纜的費用低?請說明理由。

15.（2014春?朝陽區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，分別以AB、BC、AC為邊作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，點H在邊QR上，點D、E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，求PQ的長？16．劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上（移動開始時點D與點A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸________.．（填“不變”、“變大”或“變小”）

（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行？

問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．

請你分別完成上述三個問題的解答過程．【答案與解析】一．選擇題1.【答案】D.【解析】過點A作AH垂直于紙帶邊沿于點H，

在直角△AHC中，∵AH=3，∠ACH=30°，

∴AC=2AH=6,

再在等腰直角△ABC中，∵AC=6,∠B=45°，

∴AB=.

故選D.2．【答案】D.【解析】因為=4，所以，

，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形,答案選D.3．【答案】C．【解析】如圖，過D點作DE⊥BC于E,則DE=AB，AD=BE,EC=BC－BE=3

在Rt△CDE中，DE=,

延長AB至F，使AB=BF，連接DF，交BC于P點，連接AP，

這時候PA+PD取最小值，

∵AD∥BC，B是AF中點，

∴

在Rt△ABP中，AP=

∵

∴=,故選C.4．【答案】A.【解析】圓的面積為，設(shè)三條邊長為a,b,c,分別表示三塊陰影部分面積，用勾股定理即可.5．【答案】A．【解析】（1）如圖1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP==3cm；（2）如圖2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，Rt△ADP中，AP==6cm．綜上，螞蟻從點A出發(fā)沿紙箱表面爬行到點P的最短距離是6cm．故選A．6．【答案】C.二．填空題7．【答案】2，，，4，.【解析】如下圖，可能的直角三角形斜邊長有2，，，4，.

8．【答案】①；②；③.【解析】令x=0得到d=5,此時點P與點B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.令x=5得到d=2,此時點P與點A重合，可得AO=5，AF=2.9．【答案】.【解析】如圖，點F與點C重合時，折痕EF最大，由翻折的性質(zhì)得，BC=B′C=10cm，在Rt△B′DC中，B′D===8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，設(shè)BE=x，則B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（6﹣x）2+22=x2，解得x=，在Rt△BEF中，EF===cm．故答案為：．10．【答案】27+13．【解析】在直角△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC，進而由等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及三角函數(shù)就可求得QR的長，在直角△QRP中運用三角函數(shù)即可得到RP、QP的長，就可求出△PQR的周長．11.【答案】

84,85.【解析】認真觀察三個數(shù)之間的關(guān)系：首先發(fā)現(xiàn)每一組的三個數(shù)為勾股數(shù)，第一個數(shù)為從3開始連續(xù)的奇數(shù)，第二、三個數(shù)為連續(xù)的自然數(shù)；進一步發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)的平方是第二、三個數(shù)的和；最后得出第n組數(shù)為（2n+1），（），（），由此規(guī)律解決問題．12．【答案】.【解析】直角△AA1O和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA1=OB=，

在直角△A1AB中，利用勾股定理得A1B=2，過點O作高，交A1B與M，連接AM，

則△AOM是直角三角形，則AM=A1B=，OM==，

∴△OA1B的面積=A1B?OM=．三.綜合題13．【解析】作法：如圖所示

（1）作直角邊為1（單位長度）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊；

（2）作以AB為一條直角邊，另一直角邊為1的Rt。斜邊為；

（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長度就是、、、.14．【解析】1).過B作BF⊥AD交DA延長線于F，

在Rt△ABF中，可知∠BAF=60°，AB，

∴BF=6，，

在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，

∴DF=BF=6，

∴

2).過B作BG⊥CD于G，則BG=6，BC=10，有CG=8，

∴DC=CG+DG=14.

3).設(shè)CE=x，則方案一、二費用分別為：

，

，

由可解得

∴當(dāng)＜CE＜14時，方案一較?。?/p>

當(dāng)0＜CE＜時，方案二較?。?/p>

當(dāng)CE=時，方案一、二均可．15．【解析】解：延長BA交QR于點M，連接AR，AP．在△ABC和△GFC中，∴△ABC≌△GFC（SAS），∴∠CGF=∠BA