2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，圓是邊長(zhǎng)為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．2．已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-54．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，且，則的值為（）A． B． C． D．5．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z等于()A． B． C． D．06．下列命題是真命題的是（）A．若平面，，，滿足，，則；B．命題：，，則：，；C．“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.7．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的解集是（）A． B．C． D．8．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．9．設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為A． B．C． D．10．已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A．1 B．2 C．3 D．411．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定12．已知中，，則（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，集合，則______.14．等腰直角三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，，，，，則面積為______.15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則_________．16．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，問軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（12分）在中，，.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：（1）證明：平面平面（2）求平面與平面所成二面角的大小.19．（12分）某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客，均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球（紅、黃、黑、白）.顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止，否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).（1）求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率；（2）記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)證明：()；(Ⅲ)證明：.21．（12分）據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國(guó)和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國(guó)新增綠化面積的來自于植樹造林，下表是中國(guó)十個(gè)地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）單位：公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；（2）在這十個(gè)地區(qū)中，任選一個(gè)地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過的概率；（3）在這十個(gè)地區(qū)中，從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個(gè)地區(qū)，記X為這兩個(gè)地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知是公比為的無窮等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足，________．是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由．從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【答案解析】

建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.【題目詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【答案點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.2、B【答案解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故3、C【答案解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【題目詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．4、B【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于與關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于的關(guān)系式，通過變形求解出的周期，進(jìn)而算出.【題目詳解】為上的奇函數(shù)，，而函數(shù)是上的偶函數(shù)，，，故為周期函數(shù)，且周期為故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、B【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則，即可求解.【題目詳解】.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【答案解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【題目詳解】若平面，，，滿足，，則可能相交，故A錯(cuò)誤；命題“：，”的否定為：，，故B錯(cuò)誤；為真，說明至少一個(gè)為真命題，則不能推出為真；為真，說明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.7、B【答案解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時(shí)的解析式和，進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【題目詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對(duì)稱區(qū)間的解析式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在處有意義時(shí)，的情況.8、D【答案解析】

由題意可得，根據(jù)，即可得出，從而求出結(jié)果．【題目詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【答案點(diǎn)睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運(yùn)算．9、A【答案解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域，求出其面積，再得到在區(qū)域內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.【題目詳解】畫出所表示的區(qū)域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項(xiàng).【答案點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡(jiǎn)單題.10、D【答案解析】

先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【題目詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.11、B【答案解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【題目詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【答案點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型，定積分的計(jì)算以及幾何意義，屬于中檔題．12、C【答案解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【題目詳解】,,.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

根據(jù)題意可得出，然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可．【題目詳解】根據(jù)題意知，，，，．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【答案解析】

利用余弦定理計(jì)算，然后根據(jù)平方關(guān)系以及三角形面積公式，可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)由題可知：由，，，所以化簡(jiǎn)可得：則或，即或由，所以所以故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，仔細(xì)觀察，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.15、【答案解析】

由題意可得，又由于為的中點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，所以可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程中可求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【題目詳解】解：因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，故答案為：【答案點(diǎn)睛】此題考查拋物線的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.16、2025【答案解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的系數(shù).【題目詳解】依題意，令，解得，所以，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【答案解析】

（1）由面積最大值可得，又，以及，解得，即可得到橢圓的方程，（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出的值，可得點(diǎn)的坐標(biāo).【題目詳解】（1）面積的最大值為，則：又，，解得：，橢圓的方程為：（2）假設(shè)軸上存在點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè)，，線段的中點(diǎn)為由，消去可得：，解得：∴，，依題意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化簡(jiǎn)可得：則：，解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足題意故軸上存在點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，斜率公式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）45°【答案解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，從而即為二面角的平面角，，推導(dǎo)出，從而平面，則，即，進(jìn)而平面，推導(dǎo)四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.（2）以B為原點(diǎn)，在平面中過B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【題目詳解】（1）∵是的中點(diǎn)，∴.設(shè)的中點(diǎn)為，連接.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.易證：，，∴即為二面角的平面角.∴，而為的中點(diǎn).易知，∴為等邊三角形，∴.①∵，，，∴平面.而，∴平面，∴，即.②由①②，，∴平面.∵分別為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形.∴，平面，又平面.∴平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，，，，顯然平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，，，∴，∴.，由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通常可采用幾何方法和向量方法兩種進(jìn)行求解.19、（1）；（2）20.【答案解析】

（1）1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，即求概率；（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．分別求出取各個(gè)值時(shí)的概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止，說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球，第二次摸的是黑球，所以1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率．（2）的可能取值為：0，10，20，30，1．,∴隨機(jī)變量X的分布列為：X01020301P數(shù)學(xué)期望.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.20、(Ⅰ)見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析【答案解析】

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡(jiǎn)，運(yùn)用累加法得出結(jié)果運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證【題目詳解】（Ⅰ）數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，①當(dāng)時(shí)，成立；②當(dāng)時(shí)，假設(shè)成立，則時(shí)所以時(shí)，成立綜上①②可知，時(shí)，（Ⅱ）由得所以；；故，又所以(Ⅲ)由累加法得：所以故【答案點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的成立，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)求出化簡(jiǎn)后的結(jié)果，利用放縮法求出不等式，然后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)再進(jìn)行證明，本題較為困難。21、（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海??；（2）；（3）分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為【答案解析】

（1）通過數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算人工造林面積與造林總面積比值，可