學(xué)習(xí)情景二建筑工程中受彎構(gòu)件的變形計(jì)算和慣性矩的計(jì)算極限與連續(xù)任務(wù)1極限與連續(xù)本任務(wù)的主要內(nèi)容：1，極限的概念2，無窮小量與無窮大量3，極限的四則運(yùn)算法則4，極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限5.函數(shù)的連續(xù)性1.1極限的概念1.1.1數(shù)列的極限定義1如果當(dāng)n無限增大時(shí)（記為

），數(shù)列yn無限接近于某個(gè)常數(shù)A，則稱A為數(shù)列yn的極限．記為：

或

（當(dāng)時(shí)

）這時(shí)，也稱數(shù)列yn收斂于A．否則稱數(shù)列yn發(fā)散．(2)當(dāng)n取1，2，3，4，5，…自然數(shù)時(shí)，yn的各項(xiàng)為：因?yàn)楫?dāng)n無限增大時(shí)，yn無限接近0，由數(shù)列極限定義有：(3)當(dāng)n取1，2，3，4，5，…自然數(shù)時(shí)，yn也無限增大，所以沒有極限．定義2（極限的“

”定義）設(shè)有數(shù)列｛

｝，若對于任意給定的正數(shù)

（不論多么?。偞嬖谝粋€(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，使得：恒成立，則稱當(dāng)n無限增大時(shí)數(shù)列｛

｝以A為極限，記為：

或（當(dāng)

時(shí)）注意：定義中的

刻畫yn與A的接近程度，N刻畫總有那么一個(gè)時(shí)刻（即刻畫n充分大的程度）.

是任意給定的，而N是由

確定的正整數(shù)，

越小，N越大，這就說明越在后面的項(xiàng)的值越接近常數(shù)A.例2用極限的定義證明：證明

對于任意給定的

，要使：

成立,即

成立.只要有

就可以..因此對于任意給定的

，讓N=[

].當(dāng)n>N時(shí)，恒成立.所以數(shù)列以2為極限，即

1.1.2函數(shù)的極限1.當(dāng)

時(shí)，函數(shù)y=f(x)的極限定義3如果當(dāng)

（或

）時(shí)，函數(shù)f(x)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)

（或

）時(shí)的右（左）極限．記為：或

（當(dāng)

或

時(shí)）定義4如果當(dāng)x的絕對值無限增大（即

）時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的極限．記為或

（當(dāng)

時(shí)）一般地，函數(shù)在

時(shí)的極限與在

時(shí)的極限有如下關(guān)系：

例6用極限的定義證明：證明：設(shè)f(x)=

,

對于任意給定的

，要使：

成立,即

成立.只要

就可以.因此對于任意給定的

，取正數(shù)

.則當(dāng)

時(shí)，

恒成立.所以定義6設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的左、右近旁有定義（在點(diǎn)x0處，函數(shù)f(x)可以沒有定義），如果當(dāng)x無限趨近于x0時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)f(x)的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的極限．記為：

或

（當(dāng)

時(shí)）由定義6，我們有注意：極限

刻畫了函數(shù)f(x)在x趨近于x0時(shí)的變化趨勢，而不是在點(diǎn)x0處的性態(tài).

例7討論函數(shù)

在

時(shí)的極限．解如圖2.9所示.當(dāng)

時(shí)，函數(shù)無限趨近于4，所以例8設(shè)

(常數(shù))，求解因?yàn)閥=c為常值函數(shù)，即對任何

，均有

，于是當(dāng)

時(shí)，始終有，因此即常數(shù)的極限是它本身定義7（即“

”定義）設(shè)有函數(shù)y=f(x)，若對于任意給定的正數(shù)

（不論多么?。偞嬖谝粋€(gè)正數(shù)

，當(dāng)

時(shí)，使得

恒成立，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的極限，記為：

或

（當(dāng)

時(shí)）例9用極限的

定義證明：證明：設(shè)

，對于任意給定的

>0，要使

<

恒成立.即

成立.只要

就可以.因此對于任意給定的

，取正數(shù)

=

，則當(dāng)

時(shí)，

恒成立.所以.定義8如果函數(shù)f(x)在

內(nèi)有定義，并且當(dāng)

時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的左極限．記為：

或

如果函數(shù)f(x)在

內(nèi)有定義，并且當(dāng)

時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)

時(shí)的右極限．記為：

或 左極限或右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限．例10討論函數(shù)

，在

處的左、右極限，并判斷當(dāng)

時(shí)，f(x)的極限是否存在？解如圖2.10所示.當(dāng)

時(shí)函數(shù)f(x)的極限不存在.1.2無窮小量與無窮大量1.2.1.無窮小量定義9如果當(dāng)

（或

）時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為零，即：

（或

）則稱f(x)為當(dāng)

（或

）時(shí)的無窮小量．例如,由于

，因此函數(shù)

稱為當(dāng)

時(shí)的無窮小量．又如，由于

，因此函數(shù)

稱為當(dāng)

時(shí)的無窮小量；當(dāng)

時(shí)，函數(shù)不是無窮小量．從上面的定義和例子可以看出：(1)說一個(gè)函數(shù)f(x)是無窮小量時(shí)，必須指明自變量x的變化趨勢；(2)無窮小量是指在某一變化過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù).常數(shù)“0”是無窮小量，除此以外，任何常量都不是無窮小量.例12求極限解因?yàn)?/p>

,

，由性質(zhì)2得定理1函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系（極限的基本定理）

.且

則

1.2.2.無窮大量定義10如果當(dāng)

（或

）時(shí)，函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱f(x)為當(dāng)

（或

）時(shí)的無窮大量．注意：(1)定義中的

可以換成

，

；

可以換成

，

；(2)說一個(gè)函數(shù)f(x)是無窮大量時(shí)，必須指明自變量x的變化趨勢；不論多么大的常數(shù)，都不是無窮大量．如10010不是無窮大量，無窮大量是一個(gè)絕對值可無限增大的變量，不是絕對值很大的一個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)函數(shù)為無窮大量時(shí)，按通常意義來說極限是不存在的，但為了便于敘述函數(shù)的這一特性，就說：“函數(shù)的極限是無窮大”，并記為：(4)在討論

（或

）時(shí),f(x)的絕對值趨于無窮大，還可以只考慮對應(yīng)的函數(shù)值為正的或負(fù)的，分別稱為正無窮大或負(fù)無窮大．記為：(5)若

，則稱直線

是曲線y=f(x)的垂直漸近線.例13求下列函數(shù)的極限解(1)函數(shù)

當(dāng)

時(shí)為無窮大量，根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系有(2)當(dāng)

時(shí)，分母的極限為零，所以不能用商的極限法則，但因?yàn)榧串?dāng)

時(shí)，是無窮小，根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系有1.2.4.無窮小量的比較定義11設(shè)α，β是同一極限過程的無窮小量，即

．如果

，則稱β是比α較高階的無窮小量,記作；如果

，則稱β是比ɑ較低階的無窮小量；如果

（

，

常數(shù)），則稱α與β是同階無窮小量.如果

，則稱α與β是等價(jià)無窮小量，記作.例如，所以，當(dāng)

時(shí)，

與

是同階無窮小量.又

,所以當(dāng)

時(shí)，

是比

較高階的無窮小量.1.2.5.等價(jià)無窮小量在求極限中的應(yīng)用等價(jià)無窮小量在求極限中的應(yīng)用,有如下定理：定理3設(shè)

α、

是同一極限過程的無窮小量，且

，

存在，則有

.(證明略)據(jù)此，在求兩個(gè)無窮小量之比的極限時(shí)，若該極限不好求，可用分子分母各自的等價(jià)無窮小量來代替，若選擇適當(dāng)，可簡化運(yùn)算.常見等價(jià)無窮小量有：當(dāng)

時(shí)，有例14利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)求下列極限：解(1)當(dāng)

時(shí)，所以(2)當(dāng)

時(shí)所以注意：相乘（除）的無窮小量都可用各自的等價(jià)無窮小量代替，但是相加（減）的無窮小量的項(xiàng)不能作等價(jià)代換.1.3.極限的四則運(yùn)算法則設(shè)

，

，則有 法則1兩個(gè)具有極限的函數(shù)的代數(shù)和的極限，等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的代數(shù)和．法則2兩個(gè)具有極限的函數(shù)的積的極限，等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的積．推論1.

（K為常數(shù)）推論2有限個(gè)具有極限的函數(shù)的和、差、積的極限等于各函數(shù)極限的和、差、積． 推論3設(shè)

存在，則對于正整數(shù)n，有法則3兩個(gè)具有極限的函數(shù)的商的極限，當(dāng)分母不為零時(shí)，等于這兩個(gè)函數(shù)的極限的商．例15求解例16求解因?yàn)樗詮睦?6可以歸納出，如果函數(shù)

為有理分式函數(shù)，且

時(shí)，則即：如果有理分式函數(shù)的分母在點(diǎn)x0不為零時(shí)，則此有理函數(shù)當(dāng)

時(shí)的極限等于此有理分式函數(shù)在點(diǎn)x0的函數(shù)值．例17求下列函數(shù)的極限：例18求 解因?yàn)?/p>

，所以不能直接利用法則3求此分式的極限值．但因?yàn)?/p>

，所以可以求出：當(dāng)

時(shí)，

為無窮小量，由無窮大小量的關(guān)系知：例19求解因?yàn)?/p>

，所以不能直接利用法則3．又

，在

的過程中，

，因此，求此極限時(shí)，應(yīng)首先約去分子、分母的非零公因子

．所以例20求解因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，

，所以不能直接用法則1.先通分，約去非零公因子

，再求極限.例21求解當(dāng)

時(shí)，

、

均是無窮大量.因此不能直接用法則3求此極限，若用

同時(shí)除以分式的分子、分母，有 例22求解因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，分子和分母都是無窮大，其極限不存在，不能直接利用法則3．此時(shí)我們用分子、分母中自變量的最高次冪

同除原式中的分子和分母，再用法則3求極限得例23求解將分子、分母同除以

，得例24求解：因?yàn)橛缮侠寒?dāng)時(shí)，有理分式的極限一般有1.4.極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限1.4.1.極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1單調(diào)有界數(shù)列必有極限.準(zhǔn)則2（夾逼準(zhǔn)則）設(shè)有三個(gè)數(shù)列｛

｝，｛

｝，｛

｝滿足條件：(1)存在

(N0為已知的正整數(shù))，當(dāng)

時(shí)有；(2)則數(shù)列｛

｝收斂，且有≤1.4.2.兩個(gè)重要極限1.重要極限

2.重要極限

或

1.5.函數(shù)的連續(xù)性1.5.1．函數(shù)的增量定義12如果變量u從初值u1變到終值u2，那么終值與初值之差u2-u1叫做變量的增量．記為?u，即?u=u2-u1．如圖2.12所示．構(gòu)成函數(shù)有兩個(gè)變量，當(dāng)自變量改變時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)也隨之改變,所以和函數(shù)相聯(lián)系的有兩個(gè)增量．圖2.12設(shè)函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間(a,b)有定義，當(dāng)自變x量由x0變化到x時(shí)，記

,稱為自變量的增量；相應(yīng)地函數(shù)y=f(x)由初值f(x0)變到終值f(x)，記

或

，稱為函數(shù)的增量．關(guān)于函數(shù)增量的幾何意義如圖2.13所示．例33設(shè)函數(shù)

，在下列條件下，求自變量x的增量和函數(shù)y的增量． (1)當(dāng)x從1變到1.5時(shí)； (2)當(dāng)x從1變到0.5時(shí)； (3)當(dāng)x從x0變到x1時(shí).解(1)

(2)(3)

1.5.2.函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的連續(xù)性先作出兩個(gè)函數(shù)的圖形，如圖2.14(1)中所示是一條連續(xù)的曲線；而圖2.14(2)是一條不連續(xù)(或間斷)的曲線．下面，我們來考察在給定點(diǎn)處及其近旁函數(shù)的變化情況．讓自變量x從x0變到x，有增量?x，相應(yīng)地函數(shù)y從f(x0)變到f(x)，有增量

．當(dāng)?x趨向于0時(shí)，圖2.14(1)中的?y也隨著趨向于0；而圖2.14（2）中的?y卻趨向于MN，即它等于那個(gè)跳躍的長度MN．這樣，就得出了函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與不連續(xù)(或間斷)的概念．定義13設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其左、右近旁有定義，如果當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0的增量?x趨近于0時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y=f(x)的增量?y也趨近于0，即：

，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)；否則就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)(或間斷)，此時(shí)稱x0為間斷點(diǎn).由圖2.14(1)中可看出，

，就是

；

，就是

．因此，函數(shù)在x0點(diǎn)處連續(xù)的定義又可敘述為：定義14設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其左、右近旁有定義，如果有

，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．否則就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)(或間斷)．若

，則稱函數(shù)在左連續(xù)；若

，則稱函數(shù)在右連續(xù).定理4函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充分必要條件是f(x)在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù).例34證明函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)．證明設(shè)自變量x在點(diǎn)x0處有增量?x，則函數(shù)相應(yīng)增量為：于是，所以由定義知函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)．例35作出函數(shù)

的圖像，并討論函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的連續(xù)性．解

的圖像如圖2.15所示．函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義所以函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)．例36討論下列各函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性解(1)因?yàn)?/p>

在

處無定義，所以

為函數(shù)的間斷點(diǎn).(2)所以是函數(shù)的間斷點(diǎn).2.函數(shù)的間斷點(diǎn)及分類根據(jù)上面的定義可知，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：◆在點(diǎn)x0處有定義；◆

存在；◆對這三個(gè)條件，如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處不符合其中的一條，那么該函數(shù)在該點(diǎn)處就不連續(xù)(或間斷).3.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

內(nèi)的連續(xù)性定義15如果函數(shù)f(x)在區(qū)間

內(nèi)每一點(diǎn)都是連續(xù)的，則稱f(x)在區(qū)間

內(nèi)連續(xù)，區(qū)間

稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.連續(xù)函數(shù)在連續(xù)區(qū)間的圖像是一條連綿不斷的曲線.定理5初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.即有：因此在求

的極限時(shí)，只需計(jì)算f(x0)的值就可以了.例37求下列函數(shù)的極限:定理6如果函數(shù)

，當(dāng)

時(shí)極限存在且等于a，即:

．而