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第二十二章二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習知識梳理1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如(是常數(shù),)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。(強調(diào):二次項系數(shù),而可以為零.二次函數(shù)自變量的取值范圍是.)2.二次函數(shù)圖象平移規(guī)律:左右,改變;上下,改變.3.二次函數(shù)的性質(zhì):(1)當時,拋物線開口向上,對稱軸為,頂點坐標為.當時,隨的增大而;當時,隨的增大而;當時,有最小值.(2)當時,拋物線開口向下,對稱軸為,頂點坐標為.當時,隨的增大而;當時,隨的增大而;當時,有最大值.4.二次函數(shù)解析式的表示方法:一般式:(,,為常數(shù),);頂點式:(,,為常數(shù),);兩根式(交點式):(,,是拋物線與軸兩交點的橫坐標).5.二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1)二次項系數(shù)⑴當時,拋物線開口向,的值越大,開口越,反之的值越小,開口越;⑵當時,拋物線開口向,的值越小,開口越,反之的值越大,開口越.總結(jié)起來,決定了拋物線,的正負決定開口方向,的大小決定開口的大?。?)一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸.⑴在的前提下,當時,,即拋物線的對稱軸在軸側(cè);當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;當時,,即拋物線對稱軸在軸的側(cè).⑵在的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即當時,,即拋物線的對稱軸在軸側(cè);當時,,即拋物線的對稱軸就是軸;當時,,即拋物線對稱軸在軸的側(cè).總結(jié)起來,在確定的前提下,決定了拋物線對稱軸的位置.的符號的判定:對稱軸在軸左邊則,在軸的右側(cè)則,概括的說就是“”總結(jié):3)常數(shù)項⑴當時,拋物線與軸的交點在軸上方,即拋物線與軸交點的縱坐標為;⑵當時,拋物線與軸的交點為坐標原點,即拋物線與軸交點的縱坐標為;⑶當時,拋物線與軸的交點在軸下方,即拋物線與軸交點的縱坐標為.總結(jié)起來,決定了拋物線與軸交點的位置.總之,只要都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.6.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與軸交點情況):一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù):①當時,圖象與軸交于,其中的是一元二次方程的兩根.這兩點間的距離.②當時,圖象與軸;③當時,圖象與軸.當時,圖象落在軸的上方,無論為任何實數(shù),都有;當時,圖象落在軸的下方,無論為任何實數(shù),都有.7.二次函數(shù)的實際應(yīng)用主要思想轉(zhuǎn)化思想——實際問題中的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題.建模思想——從實際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡化、解決、處理問題思維過程運動思想——圖象上的動點問題及幾何圖形的形狀的確定.
分類討論思想——二次函數(shù)與其他知識綜合題時經(jīng)常用到.一般步驟審:讀懂題目、審清題意,明確已知和未知之間關(guān)系.畫:畫出符合題意的草圖,建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?設(shè):設(shè)符合題意和圖形的二次函數(shù)解析式.解:根據(jù)待定系數(shù)法或方程確定二次函數(shù)的解析式求解.答:寫答案注意解題時的解可能不符合題意,定要檢驗.實際應(yīng)用的類型題確定解析式問題分析數(shù)量關(guān)系問題利潤最值問題幾何圖形問題建構(gòu)函數(shù)模型問題運動變化問題重點突破知識點一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,對稱軸為直線x=2,且OA=OC,則下列結(jié)論:①abc>0;②9a+3b+c<0;③c>﹣1;④關(guān)于x的方程ax2+bx+c(a≠0)有一個根為﹣,其中正確的結(jié)論個數(shù)有()A.1個B.2個C.3個D.4個本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).熟練掌握圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.由二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及與y軸的交點可分別判斷出a、b、c的符號,從而可判斷①;由圖象可知當x=3時,y<0,可判斷②;由OA=OC,且OA<1,可判斷③;把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0,結(jié)合③可判斷④;從而可得出答案.C知識點二二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.若函數(shù)y=(a-1)x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點,則a的值為本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,一次函數(shù)的圖象與性質(zhì).當a=1時,函數(shù)y=(a-1)x2-4x+2a=-4x+2,其圖象與x軸的交點為(,0);當a≠1時,因為△=,解得a=2或-1.1,2或-1.基礎(chǔ)過關(guān)1.下列函數(shù)中:(1);(2);(3);(4).不是二次函數(shù)的是()A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(3)D.(2)(4)2.若是關(guān)于的二次函數(shù),則()A.B.C.D.3.二次函數(shù)y=x2+2x-3的開口方向、頂點坐標分別是()A.開口向上、頂點坐標為(-1,-4)B.開口向下、頂點坐標為(1,4)C.開口向上、頂點坐標為(1,4)D.開口向下、頂點坐標為(-1,-4)4.拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有兩個不同的交點,則m的取值范圍是()A.m<2B.m>2C.0<m≤2D.m<-25.如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點坐標為(1,n),且與x軸的一個交點在點(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.46.以為自變量的二次函數(shù)=的圖象不經(jīng)過第三象限,則實數(shù)的取值范圍是()A.≥B.≥1或≤-1C.≥2D.1≤≤27.如圖,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(-1,2),B(2,5),頂點坐標為(m,n),則下列說法中錯誤的是 ()A.c<3 B.m≤eq\f(1,2)C.n≤2 D.b<1 8.如圖,拋物線(a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標為(-1,0),其部分圖象如圖所示.下列結(jié)論:①4ac<;②方程=0的兩個根是,;③3a+c>0;④當y>0時,x的取值范圍是-1≤x<3;⑤當x<0時,y隨x增大而增大.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A.4個B.3個C.2個D.1個9.已知:如圖,一次函數(shù)y=-2x+3的圖象與x、y軸分別相交于A、C兩點.二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點C且與一次函數(shù)在第二象限交于另一點B.若AC∶CB=1∶2,那么,這個二次函數(shù)的頂點坐標為.10.已知拋物線(>0)的對稱軸為直線,且經(jīng)過點試比較和的大小:_(填“>”,“<”或“=”)11.某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克,每千克可盈利6元.為減少庫存,經(jīng)市場調(diào)查,如果這種水果每千克降價1元,則每天可多售出20千克.(1)設(shè)每千克水果降價x元,平均每天盈利y元,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式;(2)若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價多少元?能力拓展1.正方形OABC的邊長為4,對角線相交于點P,拋物線L經(jīng)過OPA三點,點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,eq\o\ac(○,1)直接寫出O、P、A三點坐標;eq\o\ac(○,2)求拋物線L的解析式;(2)求△OAE與△OCE面積之和的最大值.2.如圖,拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點,與y軸相交于,點A坐標為(-1,2),點B是點A關(guān)于y軸的對稱點,點C在x軸的正半軸上.(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式;(2)點F為線段AC上一動點,過F作FE⊥x軸,F(xiàn)G⊥y軸,垂足分別為E、G,當四邊形OEFG為正方形時,求出F點的坐標;(3)將(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG.當點E和點C重合時停止運動,設(shè)平移的距離為t,正方形DEFG的邊EF與AC交于點M.DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,請說明理由.答案知識梳理1.y=ax2+bx+c,全體實數(shù).2.加,減,自變量;加,減,函數(shù)值.3.(1).減?。辉龃?;(2).增大;減??;4.;;5.1)上,小,大;下,小,大.開口的大小和方向2)左,右;右,左;左同右異3)正,0,負6.兩點,只有一個交點,沒有交點.基礎(chǔ)過關(guān)1.B2.D3.A4.A5.C6.A7.B8.B9..10.>11.解:(1)根據(jù)題意,得y=(6-x)(200+20x)=-20x2-80x+1200,∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y=-20x2-80x+1200;(2)令y=960,得-20x2-80x+1200=960,解得x1=2,x2=-6(舍去),答:若要平均每天盈利960元,則每千克應(yīng)降價2元.能力拓展1.解:(1)eq\o\ac(○,1)建立如圖所示的坐標系,∵四邊形OABC是正方形,點P是對角線的交點,∴O(﹣2,0),A(2,0),P(0,2);(注意:由于本題要求建立適當?shù)淖鴺讼担源舜鸢覆皇俏ㄒ坏?)eq\o\ac(○,2)∵拋物線的頂點在y軸上∴設(shè)拋物線的表達式為y=ax2+b(a≠0)把A(2,0),P(0,2)代入y=ax2+b(a≠0)中,得0=4a+2∴a=∴表達式為y=x2+2.(注意:由于本題要求建立適當?shù)淖鴺讼?,所以此答案不是唯一?)(2)∵E點在正方形內(nèi)的拋物線上,∴設(shè)E點的坐標為(x,x2+2),且x2+2>0,過E點做EN⊥OA,交OA于點N,過E點做EM⊥OC,交OC于點M,∴ME+EN=x+(x2+2)=x2+x+2∵﹣2≤x≤2∴當x==1時,(ME+EN)最大值=×12+1+2=∵S△OAE+S△OCE=×OC×ME+×OA×EN∵OC=OA=4∴S△OAE+S△OCE=×4×(ME+EN)=×4×=5.∴△OAE與△OCE面積之和的最大值為5.2.解:(1)∵點B與點A(-1,2)關(guān)于y軸對稱,∴點B的坐標為(1,2).∵拋物線經(jīng)過點A和點B,∴拋物線的對稱軸為y軸,∵拋物線與y軸的交點為,∴拋物線的頂點為,∴可設(shè)拋物線表達式為,將點(1,2)代入得2=a+eq\f(9,4),∴a=-eq\f(1,4),∴拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式為y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(9,4);(2)令y=-eq\f(1,4)x2+eq\f(9,4)=0,解得x1=3,x2=-3.∴點C的坐標為(3,0),設(shè)直線AC的表達式為y=kx+m(k≠0),則,解得,∴直線AC的表達式為y=-eq\f(1,2)x+eq\f(3,2).設(shè)點F的坐標為,如解圖①,要四邊形OEFG是正方形,則點F只能在第一象限,且f=-eq\f(1,2)f+eq\f(3,2),解得f=1,則點F的坐標為(1,1)
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