文檔編碼:CP9U8B4T1D1——HV7D8I1R7K4——ZV5N7W3N6I7高數(shù)競賽預(yù)賽試題（非數(shù)學(xué)類）（參加高等數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)最重要的是好好復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)學(xué)問,適當(dāng)看一些輔導(dǎo)書及相關(guān)題目,主要是一些各大高校的試題； ）2022年第一屆全國高校生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）一、填空題（每道題 5分,共20分）y〔x y〕ln〔1 〕1．運(yùn)算 D 1 x y x dxdy ____________,其中區(qū)域D由直線 x y 1與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域 .0 1解:令 x y u,x v,就 x v, y u v,dxdy det dudv dudv,1 1yD

〔x1

y〕ln〔x

1y

x

〕dxdy D ulnu1

uu

lnvdudv0

1〔 u1

lnuu 0

udv1

uu 0

ulnvdv〕du20

1 u1

lnu

u u〔uln1

uu

u〕du0

11

u

2u

du（*）2令t 1 u,就 u 1 t2 2 4 2du 2tdt,u 1 2t t ,u〔1 u〕 t 〔1 t〕〔1 t〕,〔*〕 21

0〔 1 2t 2 t 4〕dt112 4 2 3 1 5 162 0 〔1 2t t 〕dt 2 t3

t5

t0 152 22．設(shè) f〔x〕是連續(xù)函數(shù),且中意 f 〔x〕 3x 0 f 〔x〕dx 2,就 f 〔x〕 ____________.2 2解:令 A 0 f〔x〕dx,就 f〔x〕 3x A 2,2 2A 0〔3x A 2〕dx 8 〔2A 2〕 4 2A,4 2 10解得 A ；因此 f 〔x〕 3x ；3 32x 23．曲面 z y 2平行平面 2x 2y z 0的切平面方程是 __________.22解:因平面 2x 2y z 0 的法向量為 〔22,, 〕1 ,而曲面 z xy

22 在2〔x0y0〕 處 的 法 向 量 為 〔zx〔x0, y0〕,zy〔x0, y0〕, 1〕 , 故〔zx〔x0,y0〕,zy〔x0, y0〕, 1〕 與 〔,22, 1〕 平行,因此,由 zx x, zy 2y 知2 zx〔x0, y0〕 x0,2 zy〔x0, y0〕 2y0,即 x0 2,y0 1,又 z〔x0,y0〕 z〔〕1,2 5,于是曲面 2x 2y z 0 在〔x0,y0,z〔x0,y0〕〕處的切平面方程是 2〔x 2〕 2〔y 1〕 〔z 5〕 0,即曲面2z x y 22平行平面22x 2y z 0的切平面方程是 2x 2y z 1 0；f〔y〕 y4．設(shè)函數(shù) y y〔x〕由方程 xe e ln 29確定,其中 f具有二階導(dǎo)數(shù),且 f 1,就2d y2 ________________.dx解:方程 xe f〔y〕e yln 29的兩邊對x求導(dǎo),得f〔y〕 f〔y〕 ye fx 〔y〕ye e y ln29因ey ln29 xef〔y〕,故

1f 〔y〕y y ,即 y 1,因此x x〔1 f 〔y〕〕2d y 1 f 〔y〕y2 y 2 2dx x 〔1 f 〔y〕〕 x[1 f 〔y〕]2f 〔y〕 1 f 〔y〕 1[ f 〔y〕]2 3 2 2 3x [1 f 〔y〕] x 1〔 f 〔y〕〕 x [1 f 〔y〕]x 2x nx e二、（5分）求極限 limx 0〔 e en

e〕x,其中n是給定的正整數(shù) .解:因lim

x 0〔ex 2exnenx〕elimx 01〔ex 2exn nx

en〕exx故Aelimx 0ex 2

ex2 nx

enenxe12nnn21enxlimx 0exee2xnxenxnne 2exlimx 0 x

en因此limx 0〔exe2xnenx〕eeAen1ex2三、（15分）設(shè)函數(shù) f 〔x〕連續(xù), g〔x〕 0

1f 〔xt〕dt,且limx 0

f 〔x

x〕A,A為常數(shù),求 g 〔x〕并爭辯 g 〔x〕在x 0處的連續(xù)性.解:由lim f〔x〕 A和函數(shù) f 〔x〕連續(xù)知, f 〔0〕 lim f〔x〕 lim xlim f 〔x〕 0x 0 x x 0 x 0 x 0 x1 1因g〔x〕 0 f〔xt〕dt,故 g〔0〕 0 f〔0〕dt f 〔0〕 0,因此,當(dāng) x 0時, g〔x〕 1x 0

xf 〔u〕du,故x0 f〔u〕du f 〔x〕limx 0g〔x〕 limx 0 x limx 0 1 f 〔0〕 0當(dāng) x 0時,1 x f 〔x〕g 〔x〕x 2 0 f 〔u〕dux

,g 〔0〕 limx 0 g〔x〕x g〔0〕 limx 0

1x 0

xfx

〔t〕dtlimx 0

0

xfx

〔2

t〕dtlimx 0

f2

〔x

x〕 A2limx 0 g 〔x〕 limx 0[x

12 0

xf〔u〕du

f 〔x x]〕 limx 0 f 〔x

x〕limx 0 x

12 0

xf 〔u〕du A

A2

A2這說明 g 〔x〕在x 0處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域 D {〔 x, y〕|0 x ,0 y },L為D的正向邊界,試證：siny sinx siny sinx（1） xe dy ye dx xe dy ye dx；L L（2） xe sinydy ye

sinydx

5 2.L 2證:因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在D上連續(xù),故由格林公式知（1）L sinxey

dyyesinxdxDx〔 sinxey〕sinxy〔yesinx〕dxdy sin〔eye〕dxdyDxesinydy sinyex

dxLD〔ex〔xesiny〕y〔 sinyex〕dxdysiny sinex〕dxdy D

而D關(guān)于x和y是對稱的,即知D〔 sineyesinxd〕xdyD〔esiny sinex〕dxdy因此L sinxeydyyesinxdxLxesinydy sinyexdx（2）因etet2〔1t2t4〕2〔1t2〕2..4故esinxesinx2sin2x21cos2x5cos2x22由LxesinydyyesinydxD〔esinyesinx〕dxdyD〔esinyesinx〕dxdy知Lxesinydyyesinydx1D〔 sineyesinx〕dxdy1D〔esinyesinx〕dxdy22〔esinx sinex〕dxdy1D〔esinyesiny〕dxdy1D〔esinxesinx〕dxdy22D0〔esinxesinx〕dx05cos2xdx5222y3 xxee2xex是某二階常系數(shù)即L sinxedyyesindx522五、（10分）已知y1xex 2

ex,y2 xxeex,線性非齊次微分方程的三個解,試求此微分方程. 2exex是二階常系數(shù)線性非齊次解設(shè)y1 x

xe 2

ex,y2xexex,y3 xxe微分方程ybycyf〔x〕x 2ex和y3y1ex都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程0的特的三個解,就y2y1e的解,因此yybycy00〔2〕〔1〕0,而ybycybycy的特點(diǎn)多項(xiàng)式是征多項(xiàng)式是2bc0yy2y0,由y1y12y1f〔x〕和因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為y1ex x

xe 22ex,y1 x2e x

xe 24ex〔 xxeex 22ex〕2〔 xxe 2ex〕知,f〔x〕y1y12y1 x

xe x2e 24ex〔12x〕 x

e二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為yy2y x

e2 x

xe六、（10分）設(shè)拋物線yax2bx2lnc過原點(diǎn).當(dāng)0x1時,y0,又已知該拋物線與x軸及直線x1所圍圖形的面積為1.試確定a,b,c,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋,于是3轉(zhuǎn)體的體積最小.解因拋物線y 2axbx2lnc過原點(diǎn),故c111

0〔ax2bx〕dtax3bx21ab332032即b2〔1a〕3而此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V〔a〕1

〔

0ax2bx〕2dt1

0x4dt1

〔0ax2a23〔1a〕x〕2dta〕4〔1a〕21

0x2dta24〔1a〕1x3dt3091

5a21a〔1a〕4

271〔23即V〔a〕1a21a〔1a〕41〔a〕25327令V〔a〕2a1〔12a〕8〔1a〕0,5327得54a4590a4040a0即4a50因此a5,b3,c1.x〕un〔x〕 nx1 xe〔n,1,2〕,且un〔〕1e,求函數(shù)項(xiàng)42七、（15分）已知un〔x〕中意un〔n級數(shù)unx〕之和.n1解un〔x〕un〔x〕xn1ex,即yyxnex由一階線性非齊次微分方程公式知yex〔Cxn1x〕即yex〔Cxn〕n因此由eun〔x〕ex〔Cxn〕C0,nun〔1〕e〔C1

n〕知,n于是un〔x〕xnexn下面求級數(shù)的和：令S〔x〕n1un〔x〕n1xnexn就S〔x〕n1〔xn1ex nx xe〕S〔x〕n1xn1

exS〔x〕1 xexn即S〔x〕S〔x〕1exx由一階線性非齊次微分方程公式知S〔x〕 xe〔C11xdx〕1 t2tx2lnx0,故令x0,得0S〔0〕C,因此級數(shù)unx〕的和n1S〔x〕exln〔1x〕八、（10分）求x1時,與xn2等價的無窮大量.n0解令f〔t〕tx2,就因當(dāng)0x1,t〔0,〕時,f〔〕f〔t〕xt2et2ln1在〔0,〕上嚴(yán)格單調(diào)減；因此0ft〔〕dtx0ft〔〕dtn0n1ft〔〕dtn0fn〔〕f〔0〕n1n1ft〔〕dtnn即0ft〔〕dtn0fn〔〕10ft〔〕dt,又所以,當(dāng)xfn〔〕xn2,1110et2dt112,n0n01limx 1ln1xlimx 1x

111x0f〔t〕dt0 t

x2dt0et2ln1dtx1時,與n0xn2等價的無窮大量是ln；lnxx1x22022年其次屆全國高校生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）一、（25分,每道題5分）,求2g2g；（1）設(shè)nx〔1a〕〔1a2〕〔1a2n〕,其中|a|1,求limnxn.（2）求limxex11x2；x（3）設(shè)s0,求I0esx n

xdxn1,2,〕；（4）設(shè)函數(shù)ft有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),rx2y2,gxy〔,〕f1 2

x 2

yr（5）求直線l1:xy0與直線l2:x42y1z3的距離；z0〔1a2n〕/〔1a〕21解：（1）xn〔1a〕〔1 2a〕〔1a2n〕=nx〔1a〕〔1a〕〔1a2〕=〔1a2〕〔1a2〕〔1a2n〕/〔1a==〔1a2n1〕/〔1a〕limnxnlim〔1na2n1〕/〔1a〕1/〔1a〕〔2〕limxex11x2limx lneex〔11〕x2limxx2eln〔11〕xxxx令x=1/t,就〔ln〔1 t〕 t〕 1/〔1 t〕1 1 1原式=limt 0e t2limt 0 e 2t limt 0e 2〔1 t〕e 2sx n 1 n sx 1 n sx sx n（3）

In 0 e xdx 〔s 〕 0 xde 〔s 〕[xe |0 0 e dx ]ns 0 e

sxx

n 1dx ns

In 1 nns

2 1〕In 2 ns

n . I0s

nn

.1二、（15分）設(shè)函數(shù) fx在〔 , 〕上具有二階導(dǎo)數(shù),并且f 〔〕 0,limx f 〔〕 0,limx f 〔〕 0,且存在一點(diǎn) x,使得0 fx0〕 0；證明：方程 fx〔〕 0在〔 , 〕恰有兩個實(shí)根；解：二階導(dǎo)數(shù)為正,就一階導(dǎo)數(shù)單增, f〔x〕先減后增,由于 f〔x〕有小于0的值,所以只需在兩邊找兩大于 0的值；將f〔x〕二階泰勒開放：fx〔〕f〔0〕f'〔0〕xf''〔〕x2fx〔〕2由于二階倒數(shù)大于0,所以xlimfx〔〕,limx證明完成；三、（15分）設(shè)函數(shù)yfx由參數(shù)方程x2tt2〔t1〕所確定,其中〔〕t具有二階y〔〕導(dǎo)數(shù),曲線y〔〕t與yt2eu2du3在t1出相切,求函數(shù)〔〕t；12e1出相切得解：（這兒少了一個條件2

dy）由y〔〕t與yt2eu2du3在t 2

dx12e〔1〕3,'〔1〕22eedydy/dt'〔〕dxdx/dt22t2

dyddydx〕ddydx〕/dt''〔〕〔22〕32'〔〕=；；；dx2dxdxdt〔22〕上式可以得到一個微分方程,求解即可；四、（15分）設(shè)an0,Snn1ak,證明：k（1）當(dāng)1時,級數(shù)n1an收斂；n1an發(fā)散；Sn（2）當(dāng)1且ns〔n〕時,級數(shù)Sn解：（1）a>0,ns單調(diào)遞增an收斂；當(dāng)n1a收斂時,anan,而an收斂,所以sns1s1sn當(dāng)n1a發(fā)散時,limnsnansnsn1sndxsndxsnsnsn1snsn1x所以,n1ana1n2sn1dxa1sndxsns1snxs1s1x,收斂于k；而sndxa1limn 1sn1 1

s1a1 1s11ks1xs1s1所以,n1an收斂；sn（2）limnsnk1所以a發(fā)散,所以存在k,使得ana1n1n2于是,k1ank1ank1an122sn2snsk12依此類推,可得存在1k1k2...使得kii1an1成立,所以kNanN1ksn21sn2當(dāng)n時,N,所以n1an發(fā)散sn五、（15分）設(shè)l是過原點(diǎn)、方向?yàn)椤?,〕,（其中2221〕的直線,均勻橢球 2

xy2z21,其中（0cba密度為1）繞l旋轉(zhuǎn)；a2b2c2（1）求其轉(zhuǎn)動慣量；（2）求其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向〔,,〕的最大值和最小值；解：（1）橢球上一點(diǎn)P〔x,y,z〕到直線的距離〕 2z2xy〕2yz2zxd2〔12〕 2x〔12〕 2

y〔12xydVyzdVzxdV0ab〔1z2 2

zdz4abc3 2

zdVc 2

zdzx2y21z2dxdycccc215a2b2c2由輪換對稱性, 2

xdV4 3

abc, 2

ydV4 3

abcC上,曲線1515I 2

ddV〔12〕4 3

abc〔12〕4 3

abc〔12〕4abc31515154abc[〔12〕a2〔12〕b2〔12〕 2c]15（2）abc當(dāng)1時,Imax4abca2b2〕15當(dāng)1時,Imin4abcb2c2〕15六、〔15分〕設(shè)函數(shù)〔〕x具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡潔閉曲線積分c2xydx〔〕xdy的值為常數(shù)；x4 2

y（1）設(shè)L為正向閉曲線〔x2〕2y21,證明c2xydx〔〕xdy0; 4

x 2

y（2）求函數(shù)〔〕x；（3）設(shè)C是圍繞原點(diǎn)的光滑簡潔正向閉曲線,求c2xydx〔〕xdy； 4

xy2解：（1）L不繞原點(diǎn),在L上取兩點(diǎn)A,B,將L分為兩段1L,L,再從A,B作一曲線2L,3 使之包圍原點(diǎn)；

就有2xydx〔〕xdy2xydx〔〕xdyL2L32xydx〔〕xdyLx4y2L1L3x4y2x4y2（2）令Px2xy2,Qx4〔〕24yy2x5由（1）知QP0,代入可得xy'〔〕〔xx4y2〕〔〕4x32x52xy2上式將兩邊看做y的多項(xiàng)式,整理得 2

y'〔〕'〔〕xx4〔〕4 3

xy2〔2〕由此可得'〔〕2x4,方向?yàn)轫槙r針L'2xydx〔〕xdy'〔〕xx4〔〕4 3

x2 5x解得：〔〕x2（3）取'L為 4xy2QP0xy2xydx〔〕xdy2xydx〔〕xdycx4y2cL'x4y2 4

xy212xydx 2

xdy4L'2022年第三屆全國高校生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）一．運(yùn)算以下各題（此題共3小題,每道題各5分,共15分）（1）.求limx 0sinx1x；1cosx解：（用兩個重要極限）：1xsinxxe2t t

e1lim

x 0sinx1cosxlim1x 0sinxxsinxxx1cosxxxlim

x 0exsinxxelim

x 0sinx3xelim

x 0cosx1elim

x 01x223x22e11x3x21cosx223（2）.求limnn11n12...n1n；解：〔用歐拉公式）令xnn11n12...n1n由歐拉公式得111lnn=C+o（）,2n就111n111ln2=C+o（）,2n2n其中,o1表示n時的無窮小量,兩式相減,得：nx-ln2o（）,limnxnln2.（3）已知xln1e2t te,求2

dy；ytarctandx2解：dx1 22et,dy11 te2tdy1 t

et1

22et 2edte2tdtedx2e2t1e2t22

dyddy1 t

e21e2t1 2et t

edx2dtdxdx2e2t2 2et4e4tdt二．（此題10分）求方程 2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解；解：設(shè) P 2x y 4,Q x y 1,就 Pdx Qdy 0P Q1, Pdx Qdy 0 是 一個全 微分 方程 ,設(shè)y xdz Pdx Qdyxyz dz Pdx Qdy 2x y 4 dx x y 1 dy0,0P Q, 該曲線積分與路徑無關(guān)y xx y 2 1 2z 2x 4 dx x y 1 dy x 4x xy y y0 0 2三．（此題 15分）設(shè)函數(shù) f〔x〕在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f 0, f

'0, f

"0 均不為 0,證明：存在唯獨(dú)一組實(shí)數(shù) kk1 2,k,使得3kf1 h kf2 2h kf3 3h f 0limh 0 h 2 0；證明：由極限的存在性：limh 0 kfh1 kf2 2h kf3 3h f 0 0即 k1 k2 k3 1 f 0 0,又 f 0 0, k1 k2 k3 1①由洛比達(dá)法就得lim

h 0kf1hkf22h2kf33hf000kf3'3h00②h3kf'3hhlim

h 0kf'h2kf'22hh2kf2'2h3由極限的存在性得limh 0kf1'即k12k23k3f'00,又f'0,k12k23k3再次使用洛比達(dá)法就得' ' 'kf h 2kf 2h 3kf 3hlimh 0 2h" " "kf1 h 4kf2 2h 9kf3 3hlim 0h 0 2" "k1 4k2 9k3 f 0 0 f 0 0k1 4k2 9k3 0③k1 k2 k3 1由①②③得 kk1 2,k是齊次線性方程組3 k1 2k2 3k3 0的解k1 4k2 9k3 01 1 1 k1 1設(shè) A 1 2 3,x k2 ,b 0 ,就Ax b,1 4 9 k3 01 1 1 1 1 0 0 3*增 廣 矩 陣 A 1 2 3 0 0 1 0 3 , 就1 4 9 0 0 0 1 1RAb RA 3所以,方程Ax b有唯獨(dú)解,即存在唯獨(dú)一組實(shí)數(shù) kk1 2,k中意題意,3且k1 3,k2 3,k3 1；2 2 2x y z四．（本題 17分）設(shè) 1 : 2 2 2 1,其中 a b c 0 ,a b c2 2 22:z x y, 為 1與 2的交線,求橢球面 1在 上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值；解：設(shè)上任一點(diǎn)Myxyz,令Fxyzx2y2z21,a2b2c2就'

Fx2x,F'2, 'Fz2z,橢球面1在上點(diǎn)M處的法向量為：a2yb2c2tx,y,z,1在點(diǎn)M處的切平面為：21y2z2z,2令a2b2c2xXxyYyzZz0a2b2c2原點(diǎn)到平面的距離為dx44ab4cG,x,y 2

x

z4

ay2z2d1,4就,b4cGxyzy21,x2現(xiàn)在求Gxyzx2y2z2在條件,a4b4c4a2b2c2 2

zx2 2

y下的條件極值,令Hxyz 2

xy2 2

z1x2y2z212x2y2z2a4b4c4a2b2c2就由拉格朗日乘數(shù)法得：H'

x2x12x22x0,a4a2H'

y2y12y22y0b4b2H'

z122z02z2zc4c2x2y2z210a2b2c2x2y2z20解得

xy2

0z2b

bc2

2c2

或

xy

20

z2a

ac2

2c2 ,對應(yīng)此時的 Gxyzbc

b2

4b2

c4c2 或Gxyzac

a2

4a2

c4c22 2 2 2b c a c此時的 d1 bc 4 4 或d2 ac 4 4b c a c又由于 a b c 0,就 d1 d2所以,橢球面 1在 上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值分別為：2 2 2 2a c b cd2 ac 4 4 ,d1 bc 4 4a c b cx2 3y2 1五．（此題16分）已知S是空間曲線 繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面z 0的上半部分（z 0）取上側(cè), 是S在Pxyz點(diǎn)處的切平面, xyz是原點(diǎn)到切平面 的距離, ,, 表示S的正法向的方向余弦；運(yùn)算：（1） z dS；（2） z x 3 y zdSS xyz S2 2 2解：（1）由題意得：橢球面 S的方程為 x 3y z 1 z 0令F x

23y

2z

21,就Fx '2,xFy

'6,yFz

'2z,切平面 的法向量為 n x,3,yz,的方程為 xX x 3yY y zZ z 0,原點(diǎn)到切平面 的距離 xyz x2 3y2 z2 1x2 9y2 z2 x2 9y2 z2I1 z dS zx2 9y2 zdSS xyz S2 2將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記 Dxz : x z 1,x 0,z 0I1 4Dxz

z 331

2x

x2

2z

z2

2dxdz 40

2sin d0

1r

2331

2rr

22

dr1r2 3 2r2 dr sin2 3 2sin2 d4 031 r2 4 0 234 3 2 13 33 2 2 4 2 2〔2〕方法一：x 3y z, ,2 2 2 2 2 2 2 2 2x 9y z x 9y z x 9y z2 2 2 3I2 z x 3 y zdS z x 9y zdS I1S S 2、六．（此題12分）設(shè)f〔x〕是在 , 內(nèi)的可微函數(shù),且f x mf x ,其中0 m 1,任取實(shí)數(shù) a,定義0 an ln f an 1 ,n 1,2,...,證明：an an 1 確定收斂；n 1證明： an an 1 ln f an 1 ln f an 2由拉格朗日中值定理得： 介于 an 1,an 2之間,使得'fln f an 1 ln f an 2 an 1 an 2f'f 、an an 1 an 1 an 2 , 又 f m f 得f'fnm1man1an2...mn1a1a00m11an1fanan1級數(shù)n1an收斂,即anmna1a0an1級數(shù)收斂,n1確定收斂；七．（本題15分）是否存在區(qū)間0,2f0f21,上的連續(xù)可微函數(shù)f〔x〕,滿足f、x1,2fxdx1？請說明理由；21,230解：假設(shè)存在,當(dāng)x0,1時,由拉格朗日中值定理得：1介于0,x之間,使得fxf0f'1x,同理,當(dāng)x1,2時,由拉格朗日中值定理得：2介于x,2之間,使得fxf2f'2x即fx1f'1xx0,1;fx1f'2x2,xxx1,23xdx1f、x1,1xfx1xx0,1;x1fx3明顯,fx0,2fxdx00xdx 2

1111xdx2x1dx2fxdx1101002fxdx1,又由題意得2fxdx1,2fxdx1000即2fxdx1,fx1xx0,10x1,x1,2lim

x 1fxf1limx 1x11,lim x 1fxf1limx 11x

11x1x1x1xf'1不存在,又由于f〔x〕是在區(qū)間0,2上的連續(xù)可微函數(shù),即f'1存在,沖突,故,原假設(shè)不成立,所以,不存在中意題意的函數(shù)f〔x〕；2022年第四屆全國高校生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷 （非數(shù)學(xué)類）2022年第五屆全國高校生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷 （非數(shù)學(xué)類）一、解答以下各題（每道題6分共24分,要求寫出重要步驟）1.求極限lim1nsin4n214n2n.4n22nsin14 2n2n???（2分）；解由于sin1sin1n原式limn1sin14n22nexplim nnln1sin14n22n??????????????????????????????????〔2分〕；而nexplimnnsin14n22nexplimn1n22ne1???〔2分〕44n2.證明廣義積分0sinxdx x不是確定收斂的解記annn1sinxdx,只要證明n0a發(fā)散即可；??????????（2分）x由于ann1nn1sinxdxn10sinxdxn2；?????（2分）1110n2發(fā)散,故由比較判別法n0a發(fā)散；??????????????（2分）13.設(shè)函數(shù)yyx由x33xy22y32確定,求yx的極值；解方程兩邊對x求導(dǎo),得3x26xy 2

3xy62

yy0???????（1分）故yxx2y,令y0,得xx2y0x0或x2y???（2分）2 2

yx2將x2y代入所給方程得x2,y1,將x0代入所給方程得x0,y1,???????????????（2分）又y2x2xy2y2y2yx2 2xxx2y4yy2x222yx0,y1,y0002220010,yx2,y1,y010,20故y01為極大值,y21為微小值；????????????（3分）4.過曲線y3xx0上的點(diǎn)A作切線,使該切線與曲線及x軸所圍成的平面圖形的面積為34,求點(diǎn)A的坐標(biāo)；12xt解設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為,t3t,曲線過A點(diǎn)的切線方程為y3t33t?????????????????????????????????（2分）；令y0,由切線方程得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x02t；從而作圖可知,所求平面圖形的面積tS 13 tt 2t 3 xdx 3tt 3 t 1,2 0 4 4故A點(diǎn)的坐標(biāo)為 1,1；??????????????????????（ 4分）x二、（滿分12）運(yùn)算定積分 I xsinx arctan2 e dx1 cos x解 I

0xsinx arctan2

exdx

xsinx arctan2

exdx1 cos x 0 1 cos xxsinx arctan2

e xdx

xsinx arctan2

exdx?????????????（ 4分）0 1 cos x 0 1 cos xxsinx2 arctane

xarctane

xdx xsinx2 dx????????（ 2分）01 cos x 2 01 cos x2sinx2 dx?????????????????????????（ 4分）2 01 cos x2 3arctancosx0 ?????????????????????? （2分）2 8f x三、（滿分12分）設(shè)f x在 x 0處存在二階導(dǎo)數(shù) f 0 ,且 limx 0 x 0；證明：級數(shù) f 1 收斂；n 1 nf x解由于f x在 x 0處可導(dǎo)必連續(xù),由 limx 0 x 0得f xf 0 limx 0 f x limx 0 xx

0??????????????????（ 2分）f x f 0 f xf 0 limx 0 x 0 limx 0 x 0???????????????? （2分）由洛必塔法就及定義limx 0fxxlimx 0f2x1limx 0fxf01f0?????????（3分）2xx022所以limnf111f0?????????????（2分）n22n由于級數(shù) 12 收斂,從而由比較判別法的極限形式 f 1 收斂；??（3分）n 1 n n 1 nb四、（滿分12分）設(shè) f x , f x 0 a x b ,證明 sin f xdx 2a m解 由于 f x 0 a x b,所以 f x在 ab上嚴(yán)格單調(diào)增,從而有反函數(shù)?????????????????????????????????（ 2分）；設(shè) A fa ,B fb , 是f的反函數(shù),就 0 y 1 1 ??? （3分）f x mb x y B又f x ,就 A B ,所以 sin f xdx y sin ydy?（3分）a Ay sin ydy

1sin ydy

1cosy 2 ???????? （2分）0 0 m m 0 m五、（滿分 14分）設(shè) 是一個光滑封閉曲面,方向朝外；給定其次型的曲面積分I x

3xdydz 2y

3ydzdx 3z

3zdxdy；試確定曲面 ,使積分I的值最小,并求該最小值；解記 圍成的立體為 V,由高斯公式2 2 2 2 2 2I 3x 6y 9z 3 dv 3 x 2y 3z 1 dxdydz??????（ 3分）V V2 2 2為了使得I的值最小,就要求 V是使得的最大空間區(qū)域 x 2y 3z 1 0,即2 2 2 2 2 2取V xyz x 2y 3z 1 ,曲面 :x 2y 3z 1??? （3分）x u 1 0 0為求最小值,作變換 y v ,就 xyz0 1 0 1 ,2 uvw 2 6z w 0 0 13 3從而 I 3u

2v

2w

21 dudvdw????????????????（ 4分）6 V2 1使用球坐標(biāo)運(yùn)算,得 I 3 d d r2 1 r2sin dr6 0 0 036

2

15

13 cos 0

366

415

2 4615

?????????? （4分）六、（滿分14分）設(shè) Ia r ydx2

xdy2 a ,其中a為常數(shù),曲線C為橢圓 x