1、第二章連續(xù)時間傅里葉變換1 周期信號的頻譜分析傅里葉級數(shù)FS狄義赫利條件：在同一個周期內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限；極大值和極小值的數(shù)目有限；信號絕對可積。傅里葉級數(shù)數(shù)：正交交函數(shù)線線性組合合。正交函數(shù)集集可以是是三角函函數(shù)集或或復(fù)指數(shù)數(shù)函數(shù)集集，函數(shù)數(shù)周期為為T1，角頻頻率為。任何滿足狄狄義赫利利條件周周期函數(shù)數(shù)都可展展成傅里里葉級數(shù)數(shù)。三角形式的的FS：展開式：系數(shù)計算公公式：直流分量：n次諧波余余弦分量量：n次諧波的的正弦分分量：(iii) 系數(shù)數(shù)和統(tǒng)稱為為三角形形式的傅傅里葉級級數(shù)系數(shù)數(shù)，簡稱稱傅里葉葉系數(shù)。稱為信號的的基波、基基頻；為為信號的的n次諧波波。合并同頻率率的正余余弦項得得：和分別

2、對應(yīng)應(yīng)合并后后n次諧波波的余弦弦項和正正弦項的的初相位位。傅里葉系數(shù)數(shù)之間的的關(guān)系：復(fù)指數(shù)形式式的FSS：展開式：系數(shù)計算：系數(shù)之間的的關(guān)系：關(guān)于n是共共扼對稱稱的，即即它們關(guān)關(guān)于原點點互為共共軛。正負(fù)n (n非零)處的的幅幅度和等等于或的幅度度。奇偶信號的的FS：(i) 偶偶信號的的FS：；(實，偶偶對稱)；(iii) 偶偶的周期期信號的的FS系數(shù)數(shù)只有直直流項和和余弦項項。(iiii)奇奇信號的的FS：；(純虛，奇奇對稱)；(iv) 奇的周周期信號號的FSS系數(shù)只只有正弦弦項。周期信號的的傅里葉葉頻譜：(i) 稱稱為信號號的傅里里葉復(fù)數(shù)數(shù)頻譜，簡簡稱傅里里葉級數(shù)數(shù)譜或FFS譜。(ii)稱稱

3、為信號號的傅里里葉復(fù)數(shù)數(shù)幅度頻頻譜，簡簡稱FSS幅度譜譜。(iii)稱為傅里里葉復(fù)數(shù)數(shù)相位頻頻譜，簡簡稱FSS相位譜譜。(iv)周周期信號號的FSS頻譜僅僅在一些些離散點點角頻率率(或頻率率)上有值值。(v)FSS也被稱稱為傅里里葉離散散譜，離離散間隔隔為。(vi)FFS譜、FSS幅度譜譜和相位位譜圖中中表示相相應(yīng)頻譜譜、頻譜譜幅度和和頻譜相相位的離離散線段段被稱為為譜線、幅幅度譜線線和相位位譜線，分分別表示示FS頻譜譜的值、幅幅度和相相位(vii)連接譜譜線頂點點的虛曲曲線稱為為包絡(luò)線線，反映映了各諧諧波處FFS頻譜譜、幅度度譜和相相位譜隨隨分量的的變化情情況。(viiii)稱為單邊邊譜，表

4、表示了信信號在諧諧波處的的實際分分量大小小。(ix)稱稱為雙邊邊譜，其其負(fù)頻率率項在實實際中是是不存在在的。正正負(fù)頻率率的頻譜譜幅度相相加，才才是實際際幅度。周期矩形脈脈沖序列列的FSS譜的特特點：(i) 譜線包包絡(luò)線為為Sa函數(shù)數(shù)；譜線包絡(luò)線線過零點點：(其中為譜譜線間隔隔)：，或，即當(dāng)時，。在頻域，能能量集中中在第一一個過零零點之內(nèi)內(nèi)。帶寬或只與與矩形脈脈沖的脈脈寬有關(guān)關(guān)，而與與脈高和和周期均均無關(guān)。(定義為周期矩形脈沖信號的頻帶寬度，簡稱帶寬)(9) 周周期信號號的功率率：(10) 帕斯瓦瓦爾方程程：2 非周期期信號的的頻譜分分析傅里葉葉變換(FT)信號f (t)的傅里里葉變換換：是信號

5、的頻頻譜密度度函數(shù)或或FT頻譜譜，簡稱稱為頻譜譜(函數(shù))。頻譜密度函函數(shù)的逆逆傅里葉葉變換為為：稱為FT的的變換核核函數(shù)，為IFT的變換核函數(shù)。FT與IFFT具有有唯一性性。如果果兩個函函數(shù)的FFT或IFTT相等，則則這兩個個函數(shù)必必然相等等。FT具有可可逆性。如如果，則則必有；反之亦亦然。信號的傅里里葉變換換一般為為復(fù)值函函數(shù)，可可寫成稱為幅度頻頻譜密度度函數(shù)，簡簡稱幅度度譜，表表示信號號的幅度度密度隨隨頻率變變化的幅幅頻特性性；稱為相位頻頻譜密度度函數(shù)，簡簡稱相位位譜函數(shù)數(shù)，表示示信號的的相位隨隨頻率變變化的相相頻特性性。(7)FFT頻譜譜可分解解為實部部和虛部部：(8)FT存在在的充分分

6、條件：時域信信號絕對對可積，即即。注意：這不不必要條條件。有有一些并并非絕對對可積的的信號也也有FTT。FT及IFFT在赫赫茲域的的定義：；比較FS和和FT：FSFT分析對象周期信號非周期信號號頻率定義域域離散頻率，諧諧波頻率率處連續(xù)頻率，整整個頻率率軸函數(shù)值意義義頻率分量的的數(shù)值頻率分量的的密度值值3 典型非非周期信信號的FFT頻譜譜單邊指數(shù)信信號：幅度譜：相位譜：單邊指數(shù)信信號及其其幅度譜譜、相位位譜如圖圖1所示。圖1 (aa)單邊邊指數(shù)信信號 (b)幅幅度譜 (c)相位譜譜(2) 偶雙邊邊指數(shù)信信號：，為實偶函函數(shù)。幅度譜：相位譜：偶雙邊指數(shù)數(shù)信號及及其頻譜譜如圖22所示。圖2 (aa)

7、偶雙雙邊指數(shù)數(shù)信號 (b)頻譜(3) 矩形脈脈沖信號號： (脈寬寬為、脈脈高為EE)，為實函數(shù)數(shù)。幅度譜：相位譜：矩形脈沖信信號及其其頻譜如如圖3所示。圖3 (aa)矩形形脈沖信信號 (b)頻頻譜矩形脈沖FFT的特特點：(ii) FT為為Sa函數(shù)數(shù)，原點點處函數(shù)數(shù)值等于于矩形脈脈沖的面面積；(iii) FT的的過零點點位置為為；(iiii)頻域的的能量集集中在第第一個過過零點區(qū)區(qū)間之內(nèi)內(nèi)(iv) 帶寬為為或，只與與脈寬有有關(guān)，與與脈高EE無關(guān)。信號等效脈脈寬：信號等效帶帶寬：圖4 (aa)信號號的等效效脈寬 (b)等效帶帶寬(4) 符號函函數(shù)：不滿足足絕對可可積條件件，但存存在FTT。幅度譜：

8、相位譜：符號函數(shù)及及其頻譜譜如圖55所示。圖5 (aa)符號號函數(shù) (b)頻譜(5) 沖激信信號：均勻譜/白白色譜：頻譜在在任何頻頻率處的的密度都都是均勻勻的。強度為E的的沖激函函數(shù)的頻頻譜是均均勻譜，密密度就是是沖激的的強度。單位沖激信信號及直直流信號號的頻譜譜函數(shù)總總結(jié)：FT定義FT可逆性性FT可逆性性IFT定義義(6) 階躍信信號：不不滿足絕絕對可積積條件，但但存在FFT在處有一個個沖激，該該沖激來來自中的的直流分分量。單位階躍信信號及其其幅度譜譜如圖66所示。圖6 單位位階躍函函數(shù)及其其幅度譜譜4 FT的的性質(zhì)線性性：線性性包括括：齊次次性；疊疊加性。奇偶虛實性性：偶偶奇奇實偶實偶 (

9、FTT可變?yōu)闉橛嘞易冏儞Q)實奇虛奇 (FTT可變?yōu)闉檎易冏儞Q)實信號的FFT：(實信號號可分解解為：實實偶+實奇)實部是偶函函數(shù)，虛虛部是奇奇函數(shù)：實實偶偶+j實奇奇偶共扼對稱稱：幅度譜為偶偶函數(shù)，相相位譜為為奇函數(shù)數(shù)：實實偶EXXP(實實奇)虛信號的FFT具有有奇共扼扼對稱性性：偶共軛對稱稱或奇共共軛對稱稱的函數(shù)數(shù)滿足幅幅度對稱稱：。實信號或虛虛信號的的FT幅度度譜偶對對稱，幅幅度譜函函數(shù)是偶偶函數(shù)。反褶和共軛軛性：時域頻域原信號f(t)F()反褶f(-t)F(-)共扼f *(tt)F*(-)反褶+共扼扼f *(-t)F*()對偶性：傅里葉正逆逆變換的的變換核核函數(shù)是是共軛對對稱的：；表示

10、按自變變量進(jìn)行行傅里葉葉變換，結(jié)結(jié)果是tt的函數(shù)數(shù)。IFT可以以通過FFT來實實現(xiàn)。FT的對偶偶特性：若為偶函數(shù)數(shù)，則；若為奇函數(shù)數(shù)，則。尺度變換特特性：此性質(zhì)表明明：時域域壓縮對對應(yīng)頻域域擴展、時時域擴展展對應(yīng)頻頻域壓縮縮。時移特性：時移不影響響幅度譜譜，只在在相位譜譜上疊加加一個線線性相位位。與尺度變換換特性綜綜合：(7) 頻移特特性：與尺度變換換特性綜綜合：頻譜搬移：時域信信號乘以以一個復(fù)復(fù)指數(shù)信信號后，頻頻譜被搬搬移到復(fù)復(fù)指數(shù)信信號的頻頻率位置置處。利利用歐拉拉公式，通通過乘以以正弦或或余弦信信號達(dá)到到頻譜搬搬移目的的。(8) 微分特特性：時域微分：頻域微分：如果連續(xù)運運用微分分特性，

11、則則(9) 積分特特性：時域積分：如果在處有有界(或)，則頻域積分：(10)卷積定定理：時域卷積定定理：頻域卷積定定理：(11)時域相相關(guān)性定定理：若是實偶函函數(shù)，則則。此時時，相關(guān)關(guān)性定理理與卷積積定理一一致。自相關(guān)的傅傅里葉變變換：。即即函數(shù)的的自相關(guān)關(guān)函數(shù)與與其幅度度譜的平平方是一一對傅里里葉變換換對）。(12) 帕斯瓦瓦爾定理理：5 周期信信號的FFT(1) 正正余弦信信號的FFT：余弦信號和和正弦信信號的頻頻譜如圖圖7所示：圖7 余弦弦信號和和正弦信信號的FFT(2) 一般周周期信號號的FTT：(i)設(shè)周周期為的的周期信信號在第第一個周周期內(nèi)的的函數(shù)為為，則(iii) 周周期單位位沖

12、激序序列的FFT：FT的對偶偶性() 沖激串FSS為：FT的線性性性一般周期信信號的FFT：(iv)(v) 關(guān)關(guān)系圖：圖8非周期期信號FFT與周周期信號號FS/FT比比較6抽樣信號號的FTT抽樣信號的的FT：理想抽樣前前后信號號頻譜的的變化如如圖9所所示：結(jié)論1：按按間隔進(jìn)進(jìn)行沖激激串抽樣樣后信號號的傅里里葉變換換，是周周期函數(shù)數(shù)，是原原函數(shù)傅傅里葉變變換的分分之一按按周期所所進(jìn)行的的周期延延拓。結(jié)論2：時時域離散散頻域周周期圖9理想抽抽樣信號號的FTT7 抽樣定定理抽樣定理：要保證證從信號號抽樣后后的離散散時間信信號無失失真地恢恢復(fù)原始始時間連連續(xù)信號號（即抽抽樣不會會導(dǎo)致任任何信息息丟失），必必須滿足足：信號號是頻帶帶受限的的(信號頻頻率區(qū)間間有限)；采樣樣率至少少是信號號最高頻頻率的兩兩倍。概念(名詞詞)：抽樣周期：進(jìn)行理理想采樣樣的沖激激串的周周期。抽樣頻率：抽樣角頻率率：奈奎斯特率率：無失失真恢復(fù)