1、當前文檔修改密碼：8362839第七講數學學危機在科學史上上，對于于特別重重大的知知識更新新和觀念念突破，一一般稱為為科學革革命（SScieencee Reevollutiion）。從從“革命”的字面面意義我我們也不不難看出出，這種種知識的的變革具具有顛覆覆性，是是在否定定原有知知識體系系的基礎礎上重新新建立知知識的大大廈。例例如哥白白尼革命命以日心心說挑戰(zhàn)戰(zhàn)傳統(tǒng)的的地心說說，取締締了人們們賦予地地球的神神圣地位位；牛頓頓革命建建立了天天體力學學體系，統(tǒng)統(tǒng)一了天天上和人人間的機機械力學學現象；達爾文文革命通通過自然然選擇和和生存斗斗爭學說說，取消消了人類類與其它它生物的的本質區(qū)區(qū)別；愛愛因斯坦

2、坦建立的的狹義和和廣義相相對性原原理，否否定了長長期以來來關于絕絕對時間間和絕對對空間的的基本假假定。在這一點上上，數學學和自然然科學不不同。從從知識體體系上來來講，數數學理論論總是在在原有的的基礎上上進行擴擴充，新新增的部部分與原原來的體體系總是是融為一一體?；蚧蛘哒f，數數學理論論的重大大發(fā)展，一一般都不不是對原原有理論論的根本本否定，而而是對原原有理論論體系的的某種推推廣。所所以，一一般來說說，并沒沒有“數學革革命”這種說說法。但沒有“數數學革命命”，并不不等于數數學在其其發(fā)展過過程中就就是一帆帆風順的的。因為為數學總總是在一一定的基基礎上發(fā)發(fā)展起來來的。隨隨著人們們處理問問題的深深度和廣

3、廣度發(fā)生生變化，原原來的基基礎假定定往往會會遇到根根本性的的困難。這這時候就就產生了了所謂的的“數學危危機”。另一方面，數數學危機機和科學學革命也也有相同同之處，二二者都體體現了人人類直覺覺與理性性的消長長。我們們知道，直直覺是一一種富有有創(chuàng)造性性的思維維方式，人人類一直直相信自自己的直直覺；但但是歷史史發(fā)展表表明，直直覺經常常是和理理性相對對立的?？瓶茖W革命命的進程程和數學學危機的的解決過過程，大大體上都都是理性性戰(zhàn)勝直直覺的一一個過程程?？茖W學中的理理性主義義正是通通過對直直覺的懷懷疑與否否定才得得以確立立其至高高無上的的地位。從從這一點點上來看看，數學學危機和和科學革革命又是是一致的的。

4、現在公認的的數學危危機共有有3次，即即無理數數的發(fā)現現、微積積分的基基礎問題題和集合合論悖論論。本講講只介紹紹前兩次次數學危危機。1. 第一一次數學學危機1.1 無理數數的發(fā)現現我們已經知知道，古古希臘的的畢達哥哥拉斯（Pythagoras, ca.560-ca.480.BC）學派從畢達哥拉斯開始，一直延續(xù)到公元前四世紀中葉。這個學派是一種宗教式的秘密結社，致力于哲學和數學的研究。相傳，“哲學”和“數學”這兩個詞就是它創(chuàng)造的，原意分別指“智力愛好”和“可學到的知識”。在這個學派興盛的時期，學派內部的各種發(fā)現往往秘而不宣，并且大家習慣于把各這些發(fā)現都歸結在領袖畢達哥拉斯的名下。畢達哥拉斯斯學派對

5、對數學最最重要的的貢獻之之一是證證明了畢畢達哥拉拉斯定理理（在中中國被稱稱為勾股股定理），即即：直角角三角形形斜邊長長度的平平方等于于二直角角邊長度度的平方方和。據據說當時時的人們們?yōu)榱藨c慶祝發(fā)現現這個定定理，曾曾經宰了了1000頭牛來來拜祭天天神。這這一定理理我們在在小學的的時候就就已經知知道，因因此大家家可能覺覺得當年年畢達哥哥拉斯學學派沒有有必要那那么大動動干戈，但但這也可可能是因因為大家家對于這這個定理理的重要要性并不不是特別別關注。之之所以說說它特別別重要，是是因為在在平面幾幾何學中中，直角角三角形形的地位位很類似似于素數數在數系系中的地地位。我我們知道道，復數數系、實實數系、有有理

6、數系系和整數數系都可可以歸結結為自然然數系，而而根據素素因子唯唯一分解解定理，自自然數又又可以最最終歸結結為素數數?？梢娨娝財翟谠凇皵怠敝械暮撕诵牡匚晃?。同理理，任意意規(guī)則的的平面多多邊形都都可以被被分割成成多個三三角形，而而每個三三角形又又可以被被分割成成兩個直直角三角角形。而而任意不不規(guī)則的的多邊形形或者說說曲多邊邊形，我我們總是是可以通通過把它它看作邊邊數無限限多的規(guī)規(guī)則多邊邊形來處處理。從從這一點點可以看看出，關關于直角角三角形形的畢達達哥拉斯斯定理是是多么重重要。所附的這張張圖片載載于歐幾幾里得（Euclid, ca.325-ca.270.BC）的巨著幾何原本，相傳畢達哥拉斯學派曾經

7、使用過這個圖形來證明畢達哥拉斯定理。畢達哥拉斯斯學派認認為“萬物皆皆數”（Eveerytthinng iis nnumbber），這這個學派派的一位位晚期成成員菲洛洛勞斯（Philolaus, ca.390.BC）曾經說過：“人們所知道的一切事物都包含數；因此，沒有數就既不可能表達、也不可能理解任何事物。”在當時，數學分為算術、音樂、幾何和天文四個部分，而畢達哥拉斯學派認為它們都可以歸結為數的理論（他們所指的數是整數），因此，他們認為，一切事物都可以歸結為整數和整數之比。不難看出，畢達哥拉斯學派所承認的數僅限于有理數。同時，畢達哥拉斯學派認為點是位置的單位元素，這樣，在幾何學上的一個自然結論就

8、是，任意兩條線段都是可公度的，也就是說，對任意給定的兩條線段，都可以找到第三條線段，以它為單位線段能將給定的那兩條線段劃分為整數份。但是，當畢畢達哥拉拉斯學派派研究等等腰直角角三角形形的時候候，矛盾盾出現了了。如圖，在等等腰直角角三角形形中，。是一個個實實在在在的線線段長，但但它能不不能表示示成整數數的比呢呢？若它可表示示為兩個個整數的的比，不不妨設(，是互素素的整數數)，則有有，。即，為為偶數。不不妨設，于于是，即即。于是是，也是是偶數。所以，均均為偶數數，這與與它們互互素的最最初假設設矛盾。也就是說，不能表示成兩個整數的比，或者說是不可公度的。按照今天的說法，畢達哥拉斯學派發(fā)現是無理數。相

9、傳畢達哥哥拉斯學學派的一一個成員員希帕蘇蘇斯（HHipppasuus, ca.4700.BCC）在該該學派的的一次海海上泛舟舟集會中中首先做做出了這這一發(fā)現現。當他他把自己己的發(fā)現現公之于于眾的時時候，驚驚恐不已已的其它它成員把把他拋進進了大海海。由于于我們所所接受教教育的方方式，今今天的我我們已經經很難體體會到當當時那些些人的恐恐懼感。要要知道，畢畢達哥拉拉斯學派派把抽象象的數作作為萬物物的本原原，他們們研究數數的目的的并不是是為了應應用，而而是試圖圖通過揭揭示數的的奧秘來來探索宇宇宙的永永恒真理理。“萬物皆皆數”是整個個畢達哥哥拉斯學學派的一一種信念念，是這這個學派派的宗教教、哲學學和數學

10、學的基礎礎。而不不可公度度的無理理數的發(fā)發(fā)現徹底底粉碎了了他們的的基本信信念，使使整個學學派失去去了賴以以存在的的基礎。從另一個角角度來講講，畢達達哥拉斯斯學派的的觀點類類似于原原子論（這這里的原原子和今今天我們們所熟知知的原子子不同，在在那個時時代，原原子是構構成實體體的基本本的不可可分割的的元素）。對對于畢達達哥拉斯斯學派來來說，整整數是一一切的基基礎，這這樣，它它就構成成了數的的“原子”。也就就是說，他他們認為為任何事事物都可可以由整整數表示示出來。但但無理數數的發(fā)現現使整數數的原子子地位受受到了質質疑，因因為上述述的無理理數顯然然不能表表示為整整數的比比。如果果數的原原子都不不存在了了

11、，那么么整個原原子論也也就失去去了根基基，這也也許正是是畢達哥哥拉斯學學派乃至至整個希希臘數學學所最為為恐懼的的事實。繼之后，人人們又陸陸續(xù)發(fā)現現了許多多其它的的無理數數。這些些無理數數被畢達達哥拉斯斯學派隱隱瞞了將將近一百百年，最最后終于于被菲洛洛勞斯等等人公布布于世。1.2 芝諾悖悖論對畢達哥拉拉斯學派派的哲學學和數學學的另一一個致命命打擊來來自古希希臘伊利利亞（EEleaa）學派派的代表表人物芝芝諾（ZZenoo, cca.4495-4300.BCC）。芝芝諾提出出過四個個著名的的悖論，其其中的一一個悖論論常被稱稱為“阿基利利斯追龜龜說”。阿基基利斯（Achilles）是希臘神話中的神行

12、太保，跑得非?？?，但是芝諾論證說阿基利斯如果和烏龜賽跑，它將永遠也追不上烏龜。他論證到，如果設烏龜先于阿基利斯一段距離，那么當阿基利斯到達烏龜的起跑點時，烏龜也爬過了一段距離；當阿基利斯又追完這段距離時，烏龜又向前跑了一段；如此以至無窮。雖然這一連串的距離越來越小，但它們的數目是無窮的，所以阿基利斯永遠也追不上烏龜。容易看出，在這里，芝諾并沒有采用畢達哥拉斯學派的“點是位置的單位元素”的觀點，而是認為一條線段是可以無限分割的。芝諾采取這這種立場場是有他他的道理理的。因因為他在在另一個個常被稱稱為“飛箭靜靜止說”的悖論論中否定定了空間間是由點點（單位位元素）所所組成的的觀點。芝芝諾認為為，飛行行

13、的箭在在運動的的任何瞬瞬間（即即單位元元素）必必定處于于一個確確定的位位置，這這個位置置和箭的的大小是是相同的的，箭既既不能落落后于它它，也不不會超過過它；所所以，在在任何這這樣的瞬瞬間里，箭箭是靜止止不動的的。這樣樣，芝諾諾在空間間是點的的總和的的假設下下證明了了運動是是不可能能的。而而這顯然然不符合合常識，所所以畢達達哥拉斯斯學派的的基本假假設即“點是位位置的單單位元素素”至少在在幾何學學和運動動學上是是不成立立的。后來，伽利利略（GGaliileoo Gaalillei，15664-116422）在芝芝諾悖論論的基礎礎上提出出了這樣樣一種模模型：如圖，過過作一直直線和、分別交交于、，容易

14、易看出，和是一一對應的，這樣，如果承認直線（或線段）是由點組成的，將有。這顯然是荒謬的。我們知道，畢畢達哥拉拉斯學派派堅持“點是位位置的單單位元素素”是和他他們“萬物皆皆數”的信念念一脈相相承的。否否定了“點是位位置的單單位元素素”，也就就間接地地否定了了“萬物皆皆數”。同時，芝諾諾悖論也也說明了了這樣一一個事實實，即涉涉及無窮窮的問題題往往超超出了人人們的直直觀；人人們對它它的感覺覺經常含含糊不清清，也很很難用一一個適當當的概念念來說明明它。只只有在數數學中正正確地引引入無限限的觀點點以后，這這一困難難才能夠夠被完全全解決。作作為一個個直接結結果，希希臘數學學中從此此排除了了無限的的觀念。1

15、.3 數與量量的分離離第一次數學學危機的的消解依依賴于比比例理論論的建立立。這一一工作是是由歐多多克斯（Eudoxus，408-347.BC）完成的，其主要內容被歐幾里得收錄在其著名的幾何原本的第5卷。歐多克斯是是柏拉圖圖（Pllatoo, 4427-3477.BCC）的學學生，他他對數學學的另一一個重大大貢獻是是發(fā)展并并完善了了窮竭法法（簡單單地說，是是一種通通過無限限增加圓圓內接或或外切正正多邊形形的邊數數來求圓圓的面積積的方法法），使使這一方方法獲得得了精確確的嚴格格性。我們已經知知道，畢畢達哥拉拉斯學派派證明了了和1不可公公度，或或者說發(fā)發(fā)現了是是無理數數，但他他們并沒沒有指出出無理數

16、數到底是是什么。這這個問題題成為當當時希臘臘數學關關注的焦焦點。柏柏拉圖在在其規(guī)規(guī)律一一書中就就曾呼吁吁人們重重視關于于不可公公度的無無理數的的知識。歐多克斯區(qū)區(qū)分了量量和數，認認為量是是線段、角角、面積積、體積積、時間間等等這這樣一些些連續(xù)變變動的東東西；而而數則是是離散的的，是從從一個跳跳到一個個。對于于數和量量的區(qū)分分，也體體現在歐歐多克斯斯同一時時代的亞亞里士多多德（AArisstottle, 3884-3322.BC）的的范疇疇篇中中。歐多克斯顯顯然深知知無理數數的困難難，因此此他把所所有的量量從幾何何角度而而不是從從算術角角度加以以考慮，通通過建立立起比例例理論而而把可處處理的問問

17、題由可可公度量量推廣到到了不可可公度量量。他的的比例的的定義如如下：設、；、是是兩對同同類的幾幾何量。如如果對于于任意的的自然數數、，滿足足關系：若，則；若，則；若，則，則稱?？梢钥闯?，在在這個定定義中并并沒有必必要區(qū)分分可公度度量和不不可公度度量，當當和1都被看看作是同同一類的的量（比比如長度度，面積積等等）時時，它們們之間在在比例的的運算中中就沒有有什么區(qū)區(qū)別了。第一次數學學危機促促使人們們對于數數學的嚴嚴密性給給予了更更多的關關注，即即把數學學建立在在什么樣樣的基礎礎上才是是牢靠的的。對此此，歐幾幾里得曾曾經說過過“必須承承認，直直覺是不不可靠的的?！币驗閺膹闹庇X上上來看，有有理數（或或

18、者說整整數的比比）在數數軸上是是稠密的的，但是是在它們們之間居居然還存存在著很很多空隙隙，這顯顯然有悖悖于人們們的直覺覺。希臘數學家家開始借借助于嚴嚴格的證證明來保保證數學學的正確確性和嚴嚴密性。他他們從經經過精心心選擇的的少數幾幾條明顯顯的公理理和公設設（公理理對所有有學科都都成立，公公設僅針針對數學學學科，現現在的數數學家對對此已經經不做區(qū)區(qū)分了）出出發(fā)，借借助于邏邏輯方法法，把數數學上各各種零碎碎的、片片斷的成成果組織織成一個個比較嚴嚴密的知知識體系系，揭示示出它們們之間的的深層關關系，并并進而得得到許多多新的結結果，這這就是演演繹數學學。歐幾幾里得是是希臘演演繹數學學的集大大成者，其其

19、巨著幾幾何原本本是用用公理化化方法建建立起演演繹體系系的最早早典范，在在歷史上上成為影影響僅次次于圣圣經的的一部數數學名著著?？梢砸赃@樣說說，正是是第一次次數學危危機導致致了演繹繹數學的的興起。應該注意的的是，關關于連續(xù)續(xù)量的比比例理論論的建立立并沒有有最終消消除無理理數所造造成的數數學危機機?；蛘哒呖梢赃@這樣說，比比例理論論的建立立只是掩掩蓋了這這次危機機。“連續(xù)”這個基基本概念念仍然依依賴于直直覺，這這一點可可能會帶帶來新的的困難，對對此，我我們將在在第二次次數學危危機中仔仔細論述述。另外外，雖然然無理數數被發(fā)現現了，但但是它并并沒有被被吸收到到演繹數數學的體體系中來來。而且且，更重重要的

20、是是，很多多數學家家并沒有有停止對對這種當當時并沒沒有邏輯輯基礎的的“數”的研究究和使用用。像阿阿基米得得（Acchimmedees, 2877-2112.BBC），托托勒密（Ptolemy, ca.100-170.AD），丟番圖（Diuphantus，ca.250.AD）等偉大的數學家并不排斥使用無理數。而東方的印度和阿拉伯的數學家則更進了一步，他們?yōu)闊o理數建立了運算法則，而絲毫不去關心其邏輯上的困難。但是，不管管怎樣，比比例理論論被采納納之后，數數學的基基本問題題由“什么是是數”轉變成成了“什么是量量”，畢達達哥拉斯斯學派“萬物皆皆數”的信念念也就自自然地轉轉化為“萬物皆皆量”。巴羅羅（I

21、sssacc Baarroow, 16330-116777）曾經經這樣評評價過無無理數：“無理數數不過是是一些記記號，脫脫離了幾幾何量這這個載體體，便不不復存在在了?！睂Υ耍僚了箍ǎ˙.Pascal, 1623-1662）和牛頓（Issac Newton, 1643-1727）都持相同的觀點?？梢钥闯?，他們都賦予了連續(xù)的幾何量以更基本的地位。2. 第二二次數學學危機2.1 危機的的產生和和發(fā)展在牛頓和萊萊布尼茨茨（Goottffrieed WWilhhelmm Leeibnniz, 16646-17116）發(fā)發(fā)明微積積分之前前，很多多數學家家已經在在微分學學和積分分學這兩兩個原來來沒有關關聯(lián)

22、的學學科上進進行了深深入的研研究并取取得了很很多重要要的結果果。大體體來說，微微分研究究瞬時速速度、切切線和極極值問題題；積分分則用于于求解距距離、面面積和體體積的問問題。牛牛頓和萊萊布尼茨茨之所以以享有微微積分發(fā)發(fā)明權的的榮譽，是是因為他他們通過過微積分分基本定定理把這這兩個學學科聯(lián)系系了起來來。我們已經知知道，伽伽利略曾曾經得到到了自由由落體運運動的距距離公式式，根據據這一公公式可以以很容易易求得任任意時刻刻的瞬時時速度。但但是對于于非勻加加速運動動的情況況，這種種方法就就不能奏奏效了。于于是，牛牛頓開始始從不同同的角度度、使用用不同的的方法來來研究瞬瞬時速度度的問題題。仍以自由落落體的情

23、情況為例例，不過過為簡便便起見，我我們省略略了上面面公式中中的常數數，而把把運動公公式簡單單地表示示成。對，牛頓考考慮在時時間的無無窮小增增量內距距離的無無窮小增增量。根據自由落落體運動動公式，有有，即?；喌茫?。牛頓認為，和和有限量量相比，無無窮小增增量可以以忽略不不計，所所以在上上式中，牛牛頓令，即即得。和第五講“天上人人間”介紹的的伽利略略的方法法相比，牛牛頓的方方法有很很大的不不同。首首先，它它更簡單單；其次次，它可可以適用用于更廣廣泛的情情況。但但是，這這里面也也存在著著一個問問題。我我們不難難發(fā)現，牛牛頓在除除法中默默認不是是0，而在在把和有有限量進進行比較較時又令令，這在在邏輯

24、上上顯然是是自相矛矛盾的。因因此，牛牛頓的方方法受到到了很多多人的批批評，其其中尤以以貝克萊萊（B.G.BBerkkeleey, 16885-117533）大主主教最為為著名。在在一本標標題很長長的、名名為分分析學者者，或致致一個不不信神的的數學家家，其中中審查現現代分析析對象、原原則與推推斷是否否比起宗宗教的神神秘與信信條，構構思更為為清楚，或或推理更更為明晰晰的小小冊子里里，貝克克萊批評評牛頓的的無窮小小增量說說：“它們既既不是有有限量，也也不是無無窮小，但但也不是是無，難難道它們們是死去去量的幽幽靈嗎！”貝克萊萊指出的的矛盾也也叫“貝克萊萊悖論”，說明明了微積積分理論論在邏輯輯上的明明顯

25、缺陷陷，這標標志著第第二次數數學危機機的產生生。但是，和第第一次數數學危機機不同，第第二次數數學危機機在產生生之初并并沒有引引起大部部分數學學家的恐恐慌甚至至關注。由由于微積積分在解解決實際際問題中中所顯示示出來的的巨大威威力，數數學家們們不顧對對微積分分的種種種非難，積積極投入入到發(fā)展展這種新新工具的的歷史大大潮中，而而并不急急于給它它奠定一一個穩(wěn)定定的基礎礎。于是是出現了了這樣一一種局面面：一方方面，微微積分不不斷取得得各種顯顯著的成成就，得得到各種種更強有有力的應應用；另另一方面面，在某某些領域域，數學學家們由由于濫用用微積分分而得到到很多荒荒謬的結結論。這這種荒謬謬性突出出地表現現在無

26、窮窮級數的的使用上上。以二項式的的負指數數冪的無無窮展開開為例。牛牛頓在研研究積分分問題時時得到了了一般的的二項展展開式定定理，其其形式和和我們在在高中階階段所學學的二項項展開式式定理相相同，只只不過后后者僅涉涉及正整整數次冪冪的情況況。根據據這一定定理，我我們有用代替上式式中的即即得在上式中，令令，得為簡便起見見，我們們把這個個式子稱稱為。如如果我們們對右邊邊使用結結合率，顯顯然會有有=0。對比這兩個個式子，我我們將得得到，這這顯然是是荒謬的的。但是問題并并沒有到到此結束束。如果果我們對對右邊換換一種結結合方式式，比如如=1，我們又得到到。如此此可以一一直進行行下去。事事實上，如如果我們們對

27、右邊邊使用所所有類型型的交換換率和結結合率，我我們將得得到所有有的整數數；也就就是說，和所有的整數都相同！上面的結果果已經夠夠讓人驚驚訝了，但但是還有有更加令令人不可可思議的的現象存存在。如如果我們們在的表表達式中中令，將將有這就是說，無無窮多個個正數的的和竟然然是一個個負數！當然，這些些悖論的的最終解解決依賴賴于后來來無窮級級數收斂斂和發(fā)散散理論的的正確建建立。我我們所關關心的是是，微積積分中出出現了這這么嚴重重的困難難，大多多數數學學家卻并并沒有停停下手頭頭的工作作來填補補這些漏漏洞。這這使我們們不得不不意識到到這樣一一點，即即這個時時代的數數學傳統(tǒng)統(tǒng)已經不不同于歐歐幾里得得時代堅堅持嚴格

28、格證明的的數學傳傳統(tǒng)了。這這一點也也能從當當時一些些著名數數學家說說過的話話中得到到體現?？巳R洛（AAlexxis-Claaidee Cllairrautt, 117133-17765）曾曾經說過過：“歐幾里里得自找找麻煩地地去證明明是不足足為怪的的。這位位幾何學學家必須須去說服服那些冥冥頑不化化的詭辯辯論者，而而這些人人是以拒拒絕最明明顯的真真理為自自豪的。因因此，像像邏輯那那樣，幾幾何必須須依賴形形式推理理去反駁駁他們?！彼又f到了他那個時代的傳統(tǒng)，“但是，一切都倒了個個兒，所有那些涉及到常識且早已熟知的事情的推理，只能掩蓋真理，使讀者厭倦，在今天人們對它已不屑一顧了”。拉克魯瓦（S.F

29、.Lacroix, 17651843）在其微積分教程中也宣布：“希臘人所煩惱的這種瑣碎的東西，我們不再需要了！”最有意思的的莫過于于大數學學家西爾爾維斯特特（Jaamess Syylveesteer, 18114-118977），他他在給學學生上課課的時候候經常會會出現這這樣兩段段互相聯(lián)聯(lián)系的有有意思的的開場白白：“我還沒有有證明這這個結果果，但是是，我能能像肯定定任何必必然事物物一樣肯肯定它。在在這個基基礎上，我我們證明明”“對不起，上上節(jié)課假假定的結結果錯了了。讓我我們重新新假設”高斯（Caarl Friiedrrichh Gaausss, 117777-18855）可可以稱得得上是反反傳

30、統(tǒng)的的代表，他他在18812年年就考慮慮了無窮窮級數的的收斂性性。但是是，大部部分數學學家對這這種嚴密密性并不不感興趣趣。對此此，雅可可比（JJakoob JJacoobi, 18804-18551）說說過：“要達到到像高斯斯那樣的的嚴密，我我們沒有有時間！”對于當時的的這種不不過分追追求嚴密密性的數數學傳統(tǒng)統(tǒng)，也有有一些數數學家發(fā)發(fā)出了反反對的呼呼聲。早早在17743年年，達朗朗貝爾（J.B.L.R. dAlembert, 1717-1783）就曾經批評當時數學界的現狀：“人們總是熱衷于擴大數學的范疇，卻很少闡明其來源；注重向高層次發(fā)展，而很少考慮加固它的基礎。”羅爾(Michel Roll

31、e, 16521719)也宣稱“微積分只是一些精巧的謬誤的集合”。但如前所述，這些并不高昂的呼聲被微積分前進的車輪聲淹沒了。不過，歷史史是公正正的。數數學家們們遲早要要為他們們的這種種做法付付出代價價。在118000年左右右，微積積分經過過一個半半世紀的的迅猛發(fā)發(fā)展，已已經變成成了一座座雄偉的的分析學學的大廈廈，但是是它賴以以存在的的基礎卻卻還在那那兒搖搖搖晃晃。龐龐大的分分析學也也正是在在這個時時候陷入入了困境境。這突突出地表表現在以以下幾個個方面：首先是是證明的的嚴密性性問題，即即上述牛牛頓式的的證明到到底算不不算是一一種數學學意義上上的嚴格格證明？其次是是函數概概念的模模糊性，例例如數學

32、學家們讓讓無窮級級數像普普通函數數一樣直直接參與與各種運運算，但但是，無無窮級數數到底是是不是函函數？第第三個是是關于發(fā)發(fā)散無窮窮級數的的問題，上上文已經經提及這這種級數數會造成成很多悖悖論，所所以很多多數學家家反對把把它納入入數學體體系中，但但也有一一些數學學家在這這一領域域得到了了許多很很好的研研究成果果。另外外，由于于沒有清清楚的無無窮小概概念，導導數、微微分和積積分等最最基本的的概念并并不是很很清晰，當當時的數數學家們們對在連連續(xù)這樣樣的基本本問題上上都沒有有取得一一致意見見。例如如，歐拉拉（Leeonaard Euller, 17707-17883）所所說的連連續(xù)是指指光滑的的（即可

33、可微分的的）函數數，而在在18世紀紀后期，數數學家們們則把連連續(xù)理解解為函數數具有一一致的解解析表達達式，他他們并不不承認我我們今天天所謂的的分段連連續(xù)函數數。2.2 微積分分的嚴格格化既然第二次次數學危危機是由由于使用用微積分分的不嚴嚴格性造造成的，這這次危機機的消除除過程自自然就是是一個使使之嚴格格化的過過程。我我們知道道，微積積分產生生之初是是建立在在幾何的的基礎之之上，而而關于連連續(xù)量的的幾何在在很大程程度上也也要依賴賴于人們們的直覺覺。像時時間、長長度、角角、面積積和體積積等等連連續(xù)量，如如果我們們以整體體的觀點點來處理理它們，那那么根據據歐多克克斯的比比例理論論，我們們不會遇遇到什

34、么么困難。但但是，在在微積分分計算中中，這些些連續(xù)量量不再被被作為一一個整體體進行研研究，而而是被分分割成無無窮多份份，牛頓頓和萊布布尼茨都都是基于于這種方方法得到到微積分分的一般般原理的的。所以，當數數學家們們試圖給給微積分分奠定一一個合適適的基礎礎時，他他們的注注意力就就集中到到代數和和算術上上來了。而而代數最最終可以以歸結為為算術，也也就是說說，分析析學應該該建立在在算術的的基礎上上。對此此，高斯斯在18817年年曾經說說過：“真理只只存在于于算術之之中?！钡?，我我們將會會看到，這這一發(fā)展展過程并并不是一一蹴而就就的。有兩位數學學家對于于分析學學的嚴格格化做出出了最重重要的貢貢獻，即即

35、柯西（AAuguustiin CCaucchy, 17789-18557）和和維爾斯斯特拉斯斯（Kaarl Weiiersstraass, 18815-18997）。應應該說明明的是，在在此之前前，歐拉拉在其發(fā)發(fā)表于117555年的微微分學中中引入了了無窮小小的不同同階零的的理論；拉格朗朗日（JJ.L. Laagraangee, 117366-18813）則則在其117977年的解解析函數數論中中把微積積分歸結結為“純粹的的代數分分析藝術術”。他們們的形式式化觀點點加上達達朗貝爾爾于17754年年引入的的比較明明確的極極限觀點點，對于于柯西等等人的工工作起到到了奠基基性的作作用。另另一個應應該

36、指出出的人是是波爾察察諾（BB.Boolzaano, 17781-18448），他他在18817年年發(fā)表了了純粹粹分析證證明，對對函數的的連續(xù)性性、導數數等概念念做出了了合適的的定義，得得到了很很多實質質上和柯柯西相同同的結果果。但由由于他的的工作長長期湮沒沒無聞，對對當時的的數學界界并沒有有產生什什么影響響?？挛魃皩憣懥艘幌迪盗械闹鳎淦渲凶罹呔叽硇孕缘氖?18211年的分分析教程程和118233年的無無窮小計計算教程程概論。他他的著作作以嚴格格性為目目標，對對微積分分的基本本概念，如如變量、函函數、極極限、連連續(xù)、導導數、微微分、收收斂等等等給出了了明確的的定義。例例如，他他把變量

37、量定義為為“依次取取許多互互不相同同的值的的量”，進而而把函數數定義為為變量之之間的某某種聯(lián)系系（即由由自變量量表示的的那些量量），這這樣，按按照柯西西的定義義，無窮窮級數就就可以表表示一個個函數了了，而且且還突破破了在他他之前數數學家們們一直堅堅持的函函數必須須有解析析表達式式的限制制；然后后，以變變量為基基礎，柯柯西定義義了極限限，并把把無窮小小量定義義為極限限為零的的變量，繼繼而又用用無窮小小量定義義了連續(xù)續(xù)函數，等等等。在以上基本本定義的的基礎上上，柯西西嚴格地地表述并并證明了了微積分分基本定定理、中中值定理理等一系系列重要要定理。此此外，柯柯西還對對無窮級級數進行行了嚴格格的處理理，

38、明確確地定義義了無窮窮級數的的收斂性性，并建建立了判判別級數數收斂的的一個法法則，即即柯西收收斂準則則。很明顯，柯柯西的工工作使分分析學向向全面的的嚴格化化邁出了了關鍵的的一步。事事實上，他他的研究究成果也也很快就就在科學學界產生生了轟動動效應。據據說，柯柯西在巴巴黎科學學院的一一次會議議上宣讀讀第一篇篇關于無無窮級數數收斂性性的論文文時，當當時年高高望重的的拉普拉拉斯（PP.S.M.dde LLapllacee, 117499-18827）大大為震驚驚，他在在會議之之后急急急忙忙趕趕回家，仔仔細檢查查其5大卷的的名著天天體力學學，并并慶幸自自己所用用的無窮窮級數都都是收斂斂的。但是，柯西西的

39、工作作雖然在在很大程程度上澄澄清了在在微積分分基礎問問題上長長期存在在的混亂亂，但它它也并非非是完美美無缺的的。例如如，柯西西使用了了許多諸諸如“無限趨趨近、”“想要要多小就就多小”等依賴賴于直覺覺的語言言進行描描述；另另外，他他也混淆淆了連續(xù)續(xù)和一致致連續(xù)這這兩個不不同的概概念并錯錯誤地認認為連續(xù)續(xù)函數一一定可導導。更重重要的是是，柯西西的幾個個重要證證明都依依賴于實實數的完完備性，但但在當時時，實數數系的這這一基本本性質還還沒有建建立起來來，對此此，我們們在后面面還要進進行仔細細地討論論。微積分進一一步嚴格格化的重重任落在在了維爾爾斯特拉拉斯的肩肩上。在在數學史史上，維維爾斯特特拉斯關關于

40、分析析嚴格化化的貢獻獻給他帶帶來了“現代分分析之父父”的稱號號，現代代分析學學中普遍遍使用的的語言就就是他創(chuàng)創(chuàng)造的。他他批評柯柯西等人人使用的的“無限趨趨近”、“想要多多小就多多小”等說法法具有明明顯的運運動學涵涵義，并并用其靜靜態(tài)的、不不依賴于于直觀的的語言重重新定義義了極限限、連續(xù)續(xù)、導數數等分析析學的基基本概念念。另外外，維爾爾斯特拉拉斯引入入了一直直被忽視視的一致致收斂的的概念，最最終消除除了微積積分中不不斷出現現的各種種異議和和混亂現現象?？煽梢哉f，微微積分能能達到今今天所具具有的嚴嚴密形式式，本質質上應該該歸功于于維爾斯斯特拉斯斯。1872年年，維爾爾斯特拉拉斯發(fā)表表了他構構造的一

41、一個處處處連續(xù)但但卻處處處不可微微分的函函數，這里，是奇奇數，為為常數，。其實，維爾斯特拉斯在1861年的課堂上就已經給學生舉出了這個例子；更早的波爾察諾也給出了一個具有同樣性質但沒有解析表達式的例子，但如前所述，數學界直到很晚才知道他的工作。維爾斯特拉拉斯的例例子使數數學界大大為震驚驚，它否否定了長長期以來來數學家家們一貫貫堅信不不移的直直覺，即即認為連連續(xù)函數數一定可可以微分分，所以以，這種種函數被被數學界界稱為“病態(tài)函函數”。當時時的數學學界甚至至掀起了了一股尋尋找這種種病態(tài)函函數的熱熱潮，作作為結果果之一，人人們意外外地發(fā)現現了存在在無窮多多間斷點點、但可可以積分分的函數數。更出出乎意

42、料料的是，數數學家們們發(fā)現這這些病態(tài)態(tài)函數遠遠比他們們一直在在研究的的、具有有好的性性質的那那些函數數更為普普遍。這這些例子子促使人人們得出出結論，即即必須徹徹底擺脫脫對幾何何直覺的的依賴性性，重新新認識和和考察分分析學的的基礎。這這方面的的努力在在19世紀紀后期促促成了數數學史上上著名的的“分析算算術化”運動。3. 萬物物皆數維爾斯特拉拉斯在119世紀紀中期就就已經認認識到，微微積分計計算是在在實數舞舞臺上進進行的，連連續(xù)和極極限等基基本概念念都建立立在實數數的基礎礎上，或或者說，實實數才是是分析學學最根本本的基礎礎。但當當時的數數學家們們對于實實數系本本身仍然然是以直直觀的方方式去理理解的

43、，因因此，要要使分析析嚴格化化，必須須先使實實數系本本身嚴格格化。為為此，最最可靠的的辦法是是，按照照嚴密的的推理將將實數歸歸結為整整數（或或有理數數，我們們在第一一次數學學危機中中已經知知道，有有理數可可以歸結結為整數數的比），繼繼而歸結結為自然然數。因因為，對對于數學學家們來來說，只只有自然然數才是是最可信信賴的。克克羅內克克（Leeopoold Kroonecckerr, 118233-18891）曾曾經說過過：“上帝創(chuàng)創(chuàng)造了自自然數，剩剩下的都都是人的的工作?！边@樣，對實實數的探探究不可可避免地地又把無無理數推推到了歷歷史的前前臺。如如前所述述，在第第一次數數學危機機中發(fā)現現的無理理數

44、并沒沒有被希希臘幾何何學家接接受，但但是數學學家對于于它的使使用卻從從來沒有有間斷過過。直到到文藝復復興以及及其后更更晚的一一段時期期，數學學家們對對無理數數的感情情仍然是是十分復復雜的。例例如，斯斯蒂費爾爾（Miichaael Stiifell,1448615667）曾曾經自由由地使用用各種無無理數，他他甚至還還用過這這種在當當時來說說是新的的類型的的無理數數。但是是，他同同時也承承認：“當我們們想把它它們數出出來（用用十進制制小數的的形式）時時，卻發(fā)現現它們無無止境地地往遠處處跑，因因而沒有有一個無無理數實實質上能能被我們們準確地地掌握住住而本本身缺乏乏準確性性的東西西，就不不能稱其其為真

45、正正的數因此此，正如如無窮大大不是數數一樣，無無理數也也不是真真正的數數，而是是隱藏在在一種迷迷霧后面面的東西西?！睂o理理數的普普遍接受受要等到到17世紀紀末期，因為直到那時候人們才認為數和代數獨立于幾何。那么，無理理數到底底是什么么呢？我我們知道道，在自自然數中中引入減減法就能能得到所所有的整整數，在在整數中中引入除除法就能能得到所所有的有有理數。經經過這種種處理，我我們實際際上使數數系得到到了擴張張，即從從自然數數系擴張張到整數數系，繼繼而又擴擴張到有有理數系系。而希希臘人所所發(fā)現的的形如的的無理數數以及它它的各種種推廣形形式（如如前面提提到的）和和有理數數合在一一起也可可以構成成一個新

46、新的數系系，它可可以看作作是通過過在有理理數中引引入開方方和乘方方運算得得到的。所所以，基基于和前前面兩種種情況的的對比，我我們當然然希望這這個數系系就是實實數系，或或者說，所所有的無無理數都都可以用用根式來來表示，我我們把這這種無理理數稱為為“根式無無理數”。如果果真是這這樣，那那么一切切問題都都解決了了。然而，222歲的阿阿貝爾（N.H. Abel, 1802-1829）1824年在其自費出版的一本小冊子論代數方程，證明一般五次方程的不可解性引入了“域”（field）這個重要的近世代數概念，證明了一般的5次以上的代數方程沒有根式解。而在其后不久，更年輕的伽羅瓦（E.Galois, 1811

47、-1832）在1829-1831年間完全解決了歷時三百多年的代數方程根式可解性的難題。他開創(chuàng)了群論，指出只有當方程的伽羅瓦群（即方程根的置換群的某個子群，在它的作用下，經過有限次加、減、乘、除的運算，方程的根之間的代數關系保持不變）是可解群的時候，方程的解才能用根式表示。但是，不能用根式表示，并不代表方程的實數解不存在。如果我們在坐標系中表示一般的5次以上的代數函數，將很容易發(fā)現它們和橫軸一般來說都有交點，也就是說，對應的代數方程有實根存在，不過這種實根既不是有理數，也不是根式無理數，我們把這種實根表示的無理數稱為“非根式無理數”。至此，我們們已經知知道，實實數中包包含有理理數、根根式無理理數

48、和非非根式無無理數，但但所有這這些是否否就構成成了全體體實數呢呢？對于于這個問問題的回回答自然然就引出出了所謂謂的代數數數理論論。這個個理論經經過歐拉拉、勒讓讓德（AA.M. Leegenndree, 11752218833）、庫庫默爾（E.E. Kummer, 1810-1893）和戴德金（Julius Dedekind, 1831-1916）等人的努力，已經發(fā)展成現代數學的一個重要分支，即代數數論。所謂代數數數，是指指整系數數多項式式方程（）的根?？梢砸钥闯?，代代數數同同時包含含了有理理數、根根式無理理數和非非根式無無理數（請請注意，代代數數和和下文將將要述及及的超越越數中還還含有虛虛數，

49、如如方程的的根就是是代數數數，但為為了我們們的目的的，本講講中只介介紹關于于實數的的理論，一一般不專專門涉及及虛數）。另另外，在在這里也也體現了了數學的的抽象性性，即數數學家們們已經不不在乎他他們的數數到底是是什么樣樣子，而而只在乎乎這種數數的確是是存在的的。所以以，如果果我們仍仍然把代代數數看看作是有有理數的的某種擴擴張，我我們也很很難再像像前述那那樣把這這種擴張張的規(guī)則則簡單地地表達出出來。但是，實代代數數是是否就是是所有的的實數呢呢？這突突出地表表現在人人們對于于實數和和e的認識識上。勒勒讓德曾曾經猜測測可能不不是代數數數，歐歐拉也指指出它們們“超越了了代數方方法的能能力”。于是是，數學

50、學家們開開始把無無理數分分為代數數數和超超越數（指指不是代代數數的的數，它它不能通通過有限限次代數數運算得得到）。但但是，在在相當長長的一段段時間里里，超越越數只是是數學家家們的一一種猜測測。直到到18444年，劉劉維爾（Joseph Liouville, 18091882）才第一次真正展示了超越數的存在性，他證明了所有形如的數都是超超越數。此此后，埃埃爾米特特（Chharlles Herrmitte,和林林德曼（C.L.F. Lindemann）分別于1873年和1882年證明了e和的超越性。這樣，在歐拉和蘭伯特（J.G. Lambert, 1728-1777）分別

51、于1737年和1761年證明了e和的無理性之后的一百多年，數學家們對這兩個重要常數的了解終于邁上了一個新的臺階。仍然有悖于我們的直覺的是，經過千辛萬苦才找出來的超越數甚至比代數數更普遍?？梢哉f，到到現在為為止我們們已經找找到了所所有的無無理數，雖雖然對其其中的絕絕大部分分我們仍仍然是一一無所知知?；蛟S許這樣說說更合適適，即我我們只是是找到了了無理數數的一個個分類標標準。然然而，即即便是這這一點，當當代的很很多數學學家（尤尤其是構構造主義義學派）也也并不是是特別滿滿意。從從本質上上來講，超超越數的的定義是是一種否否定式的的定義，我我們并不不能從這這種定義義中得到到關于超超越數到到底是什什么的任任何啟發(fā)發(fā)。正如如反對反反證法一一樣，這這些數學學家也反反對“超越數數”這個概概念本身身。從這個意義義上講，給給無理數數或者實實數一個個合適的的、統(tǒng)一一的定義義，它的的意義將將是多么么不同尋尋常！讓我們再回回到維爾爾斯特拉拉斯。早早在18857年年，他就就給出了了第一個個嚴格的的實數定定義，大大致來說說，維爾爾斯特拉拉斯先從從自然數數出發(fā)定定義正有有理數，然然后再通通過無窮窮多個有有理數的的集合來來定義實實數。不不過，他他只是在在課堂上上講述了了這一結