1、5.3.1不定方程及其應(yīng)用講義學(xué)生版Page PAGE 11 of NUMPAGES 11不定方程及其應(yīng)用不定方程及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛黑體小四一、不定方程的概念楷體五號(hào)我們?cè)?jīng)學(xué)過一元一次方程，例如，解這個(gè)方程可得如果未知數(shù)的個(gè)數(shù)不只一個(gè)，而是二個(gè)或更多個(gè)，就變成為二元一次方程或多元一次方程，例如就是一個(gè)二元一次方程這個(gè)方程有無數(shù)多組解比如，等這類未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的方程（或方程組）就叫做不定方程（或方程組）初中范圍內(nèi)通常只討論這類方程（組）的正整數(shù)解或整數(shù)解黑體小四二、不定方程整數(shù)解的判定楷體五號(hào)不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)；如果不定方程有整數(shù)解，

2、采取正確的方法，求出全部整數(shù)解如果方程的兩端對(duì)同一個(gè)模（常數(shù)）不同余,顯然,這個(gè)方程必?zé)o整數(shù)解而方程如有解則解必為奇數(shù)、偶數(shù)兩種，因而可以在奇偶分析的基礎(chǔ)上應(yīng)用同余概念判定方程有無整數(shù)解黑體小四三、不定方程整數(shù)解的求法楷體五號(hào)不定方程沒有統(tǒng)一的解法，常用的特殊方法有:配方法、因式（質(zhì)因數(shù)）分解法、不等式法、奇偶分析法和余數(shù)分析法對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?并正確應(yīng)用整數(shù)的性質(zhì)是解不定方程的基本思路定理1：若二元一次不定方程，整數(shù)和的最大公約數(shù)不能整除，則方程沒有整數(shù)解定理2：若整數(shù),互質(zhì)，則方程有整數(shù)解，同時(shí)方程也有整數(shù)解若是方程的一個(gè)整數(shù)解，則，是方程的一個(gè)整數(shù)解定理3：整系數(shù)方程有整數(shù)解定理4：

3、如果是滿足整系數(shù)方程的一組整數(shù)解，則（其中為任意整數(shù)）也是滿足上式的整數(shù)解這表明，滿足方程的整數(shù)解有無窮組，并且在時(shí)，可選擇為正（負(fù)）數(shù)，此時(shí)為相應(yīng)的為負(fù)（正）數(shù)這個(gè)結(jié)論可以通過把這組解直接代入已知方程進(jìn)行證明由這個(gè)定理，只要能夠觀察出二元一次方程的一組整數(shù)解，就可以得到它的全部整數(shù)解例如，方程的一組解為，則此方程的所有整數(shù)解可表示為：注意：定理2和定理3都是“裴蜀定理”的內(nèi)容黑體小四例題精講例題精講黑體小四一、不定方程整數(shù)解的求法楷體五號(hào)1一次不定方程整數(shù)解的求法楷體五號(hào)求方程的整數(shù)解求的整數(shù)解求的所有正整數(shù)解求方程的所有正整數(shù)解求的整數(shù)解求的整數(shù)解求方程組的正整數(shù)解楷體五號(hào)2二次不定方程整

4、數(shù)解的求法楷體五號(hào)求不定方程的整數(shù)解求方程的整數(shù)解求方程的整數(shù)解黑體小四二、不定方程整數(shù)解的判定楷體五號(hào)下列不定方程（組）中，沒有整數(shù)解的是（ ）ABCD滿足方程的正整數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D無限個(gè)E不確定求不定方程的正整數(shù)解的組數(shù)證明方程無整數(shù)解不存在整數(shù)使方程成立求證：方程沒有各不相同的正整數(shù)解黑體小四三、不定方程的應(yīng)用楷體五號(hào)有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共張，購買一把價(jià)值為元的雨傘，不同的付款方式共有（ ）A1種B2種C3種D4種某國硬幣有分和分兩種，問用這兩種硬幣支付分貸款，有多少種不同的方法？大約年以前，我國古代數(shù)學(xué)家張丘建在他編寫的張丘建算經(jīng)里，曾經(jīng)提出并解決了“百錢買

5、百雞”這個(gè)有名的數(shù)學(xué)問題：今有公雞每只五個(gè)錢，母雞每只三個(gè)錢，小雞每個(gè)錢三只用個(gè)錢買只雞，問公雞、母雞、小雞各買了多少只？小明玩套圈游戲，套中小雞一次得分，套中小猴一次得分，套中小狗一次得分小明共套次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次小明套次共得分，問：小雞至少被套中幾次？今有濃度為、的甲、乙、丙三種鹽水分別為克、克、克現(xiàn)要配制成濃度為的鹽水克，問甲種鹽水最多可用多少克？最少可用多少克？甲、乙兩個(gè)糧庫原來各存有整數(shù)袋的糧食如果從甲庫調(diào)袋到乙?guī)?，則乙?guī)齑婕Z是甲庫的倍；如果從乙?guī)煺{(diào)若干袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓谋秵柤讕煸瓉碜钌俅婕Z多少袋？旅游團(tuán)一行人到一旅館住宿，旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每天元，二人間的每人每天元，單人間的每天元，如果旅游團(tuán)共住滿了間客房，問三種客房各住幾間？怎樣消費(fèi)最低？試證明存在自然數(shù)，使得的后三位數(shù)字是某自然數(shù)與的和是的倍數(shù)，并且與的差是的倍數(shù)，求這樣的自然數(shù)中最小的個(gè)設(shè)是正整數(shù)，記為（例如，），若存在整數(shù)、滿足，這里，求黑體小四家庭作業(yè)家庭作業(yè)黑體小四求方程的整數(shù)解：求的非負(fù)整數(shù)解滿足聯(lián)立方程的正整數(shù)的組數(shù)是（ ）A0B1C2D3E4已知兩個(gè)自然數(shù)和及素?cái)?shù)滿足方程證明：這時(shí)有及把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分顆，就剩下顆；如果每只猴子分顆，那么最后一只猴子得不到顆，那么，