1、.11/11高中數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例一、橢圓1.橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定值2a|F1F第二定義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e0e的點(diǎn)的軌跡是橢圓,定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做橢圓的離心率.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸軸,軸,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,短軸長(zhǎng)為焦點(diǎn)、焦距焦距為離心率 0e例1. F1,F2是定點(diǎn),且|F1F2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6,則M點(diǎn)的軌跡方程是橢圓直線圓 線段例2. 已知的周長(zhǎng)是16,B, 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 例3. 若F是橢圓的右焦點(diǎn),F

2、與橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為M,最小值為m,則橢圓上與F點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是 不存在例4 設(shè)F1、F2是橢圓+=1b0的兩個(gè)焦點(diǎn),P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),若PF1F2=5PF2F1 例5.P點(diǎn)在橢圓上,F1、F2是兩個(gè)焦點(diǎn),若,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是.例6. 寫(xiě)出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：長(zhǎng)軸與短軸的和為18,焦距為6;.焦點(diǎn)坐標(biāo)為,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn);.橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,且短軸是長(zhǎng)軸的;_.離心率為,經(jīng)過(guò)點(diǎn);.例7.是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),則的最大值是二、雙曲線1.雙曲線的定義：第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a02a|F1F第二定

3、義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e1的點(diǎn)的軌跡是雙曲線,定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做雙曲線的離心率例8 .命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之差的絕對(duì)值等于2a0；命題乙：點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。則命題甲是命題乙的 充要條件 必要不充分條件 充分不必要條件 不充分也不必要條件例9 到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比等于log23的點(diǎn)的軌跡是圓橢圓雙曲線拋物線例10. 過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程是例11. 雙曲線的兩焦點(diǎn)為在雙曲線上,且滿足,則的面積為例12 設(shè)的頂點(diǎn),且,則第三個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程是_.例13. 根據(jù)下列條件,求雙曲線方程:與雙曲

4、線有共同漸近線,且過(guò)點(diǎn)；與雙曲線有公共焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn).例14. 設(shè)雙曲線上兩點(diǎn)A、B,AB中點(diǎn)M1,2求直線AB方程；注：用兩種方法求解韋達(dá)定理法、點(diǎn)差法三、.拋物線1.拋物線的定義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn), 定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對(duì)稱(chēng)軸軸軸軸軸焦點(diǎn)頂點(diǎn)原點(diǎn)準(zhǔn)線離心率1注: 通徑為2p,這是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦.例15. 頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)是的拋物線方程是x2=8y x2= 8y y2=8x y2=8x例16 拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 0例17. 過(guò)點(diǎn)P與拋物線

5、y2=x有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有4條 3條 2條 1條例18. 過(guò)拋物線0的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn),若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q,則等于2a 例19 若點(diǎn)A的坐標(biāo)為,F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng),為使|PA|+|PF|取最小值,P點(diǎn)的坐標(biāo)為 例20 動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)F且與直線y=-2相切,則圓心M的軌跡方程是.例21 過(guò)拋物線y22px的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線交于兩點(diǎn),設(shè)這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2,則y1y2_.例22 以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,通徑長(zhǎng)為半徑的圓的方程是_.例23. 過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線y2=6x有公共點(diǎn),則直線l的斜率的范圍是.例24 設(shè)是一常數(shù),過(guò)點(diǎn)

6、的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B,以線段AB為直經(jīng)作圓HH為圓心。試證:拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.四、求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題如何求曲線方程,它一般分為兩類(lèi)基本題型：一是已知軌跡類(lèi)型求其方程,常用待定系數(shù)法,如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類(lèi)型,此時(shí)除了用代入法相關(guān)點(diǎn)法外,通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題,化歸為求已知軌跡類(lèi)型的軌跡方程。因此在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的過(guò)程中,一是尋找與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程,側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算,一是尋找與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何條件,側(cè)重于形,重視圖形幾何性質(zhì)的運(yùn)用。求軌跡方程的一般步驟:建、設(shè)、現(xiàn)限、代、化.例25. 已知兩點(diǎn)M2,0,N2,0,點(diǎn)P

7、滿足=12,則點(diǎn)P的軌跡方程為例26. O1與O2的半徑分別為1和2,|O1O2|=4,動(dòng)圓與O1內(nèi)切而與O2外切,則動(dòng)圓圓心軌跡是橢圓拋物線雙曲線雙曲線的一支例27. 動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2=-6x上運(yùn)動(dòng),定點(diǎn)A,線段PA中點(diǎn)的軌跡方程是A2=-12xB2=12xC2=-12xD2=12x例28. 過(guò)點(diǎn)2,0與圓相內(nèi)切的圓的圓心的軌跡是A橢圓B雙曲線C拋物線D圓例29. 已知的周長(zhǎng)是16,B則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 例30. 橢圓中斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程為.例31. 已知?jiǎng)訄AP與定圓C: x2y相外切,又與定直線l：x相切,那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是_._.五、圓錐曲線綜合問(wèn)題直線與圓錐曲線的

8、位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過(guò)消元得到一個(gè)一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、.直線與圓錐曲線相交所得的弦長(zhǎng)直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長(zhǎng)注:實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來(lái)的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已因?yàn)?運(yùn)用韋達(dá)定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.注: 1.圓錐曲線,一要重視定義,這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法,二要數(shù)形結(jié)合,既熟練掌握方程組理論,又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì),以簡(jiǎn)化運(yùn)算

9、。2.當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí),通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點(diǎn)差法.3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問(wèn)題通常從兩個(gè)途徑思考:一是建立函數(shù),用求值域的方法求范圍；二是建立不等式,通過(guò)解不等式求范圍。例32. AB為過(guò)橢圓=1中心的弦,F為橢圓的右焦點(diǎn),則AFB的面積最大值是b2abacbc例33 若直線ykx2與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn),則k的取值范圍是,例34. 若雙曲線x2y2=1右支上一點(diǎn)P到直線y=x的距離為,則ab的值是.或2或2例35 拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線2x- y =4的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是 例36 拋物線y2=4x截直線所得弦長(zhǎng)為3,則k的值是2 -2 4 -4例37 如果

10、直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn),則的取值范圍是 .例38 已知拋物線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),且,那么m的值為.例39 雙曲線3x2-y2=1上是否存在關(guān)于直線y=2x對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A、B?若存在,試求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由.高中數(shù)學(xué)選修2-1圓錐曲線基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例答案一、橢圓例1. D例2. B例3. C 先考慮M+m=2a,然后用驗(yàn)證法例4. B,.例5 或例6. 或; ;或; 或.例7.二、雙曲線：例8. B例9. C 例10. D例11. A假設(shè),由雙曲線定義且,解得而由勾股定理得點(diǎn)評(píng)考查雙曲線定義和方程思想.例12例13.設(shè)雙曲線方程為, 雙曲線方程為;設(shè)雙曲線方程為,解之得k=

11、4, 雙曲線方程為評(píng)注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為,當(dāng)0時(shí),焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)0時(shí),焦點(diǎn)在y軸上。與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線為0,b2-k0。比較上述兩種解法可知,引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量,特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義,可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想.例14 解題思路分析：法一：顯然AB斜率存在設(shè)AB：y-2=k 由得：x2-2kx-k2+4k-6=0當(dāng)0時(shí),設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2則k=1,滿足0直線AB：y=x+1法二：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2則兩式相減得：=x1x2 AB：y=x+1代入得：0評(píng)注：法一為韋達(dá)定理法,法二稱(chēng)為點(diǎn)差法,當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí),常用這兩種途徑

12、處理。在利用點(diǎn)差法時(shí),必須檢驗(yàn)條件0是否成立。2此類(lèi)探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在,然后求出該結(jié)論,并檢驗(yàn)是否滿足所有條件.本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì),以定圓心和定半徑這兩定為中心設(shè)A、B、C、D共圓于OM,因AB為弦,故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦,故圓心M為CD中點(diǎn)。因此只需證CD中點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A-1,0,B3,4又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設(shè)Cx3,y3,Dx4,y4,CD中點(diǎn)Mx0,y0則 M-3,6 |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|= |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、D

13、在以CD中點(diǎn),M-3,6為圓心,為半徑的圓上評(píng)注：充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰,在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視.三、拋物線：例15. B 例16. B例17 B例18. C作為選擇題可采用特殊值法,取過(guò)焦點(diǎn),且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為p,q,則p=q=|FK|,例19. 解析：運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線性質(zhì).答案：B例20.x2=8y例21 p2例22 例23例24. 解：由題意,直線AB不能是水平線,故可設(shè)直線方程為：.又設(shè),則其坐標(biāo)滿足消去x得由此得因此,即.故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H是AB的中點(diǎn),故由前已證OH應(yīng)是圓H的半徑,且.從而當(dāng)k=0時(shí),圓H的半

14、徑最小,亦使圓H的面積最小.此時(shí),直線AB的方程為：x=2p.注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,一般方法是聯(lián)立方程組,消元得一元二次方程,必須討論二次項(xiàng)系數(shù)和判別式,利用韋達(dá)定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關(guān)系求解有時(shí)借助圖形的幾何性質(zhì)更為簡(jiǎn)潔此題設(shè)直線方程為x=ky+2p；因?yàn)橹本€過(guò)x軸上是點(diǎn)Q,通常可以這樣設(shè),可避免對(duì)直線的斜率是否存在討論2凡涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問(wèn)題,利用平方差法；涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理,設(shè)而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算3在引入點(diǎn)參數(shù)時(shí),應(yīng)盡量減少參數(shù)的個(gè)數(shù),以便減少運(yùn)算量由OAOB得x1x2+y1y2=O這個(gè)關(guān)系對(duì)于解決此類(lèi)問(wèn)題十分有用4列出目標(biāo)函數(shù),|OH|=P,運(yùn)用函數(shù)思想解決解析幾何中的最值問(wèn)題是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路,也可利用基本不等式a2+b22ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)=成立求解四、求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題例25.B例26. D例27. C例28. A例29. B例30.9x+16y=0 例31. y8x五、圓錐曲線綜合問(wèn)題例32 解析：SAFB=2