1、理科數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)PAGE PAGE 18溫故而知新，下筆如有神！專(zhuān)題十三推理與證明探考情 悟真題【真題探秘】【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.合情推理與演繹推理(1)了解合情推理的含義,能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.(2)了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.(3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2019課標(biāo),4,5分運(yùn)用黃金分割估計(jì)身高不等式性質(zhì)2017課標(biāo),7,5分根據(jù)給出的說(shuō)法進(jìn)行推理2016課標(biāo),15,5分根據(jù)給出的說(shuō)法進(jìn)行推理2.直接證明與間接證明 (1)了解直接證明的兩種基

2、本方法分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn).(2)了解間接證明的一種基本方法反證法;了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)2018江蘇,19,16分直接證明利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)3.數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題2017浙江,22,15分用數(shù)學(xué)歸納法證明 數(shù)列及不等式的性質(zhì)分析解讀1.能利用已知結(jié)論類(lèi)比未知結(jié)論或歸納猜想結(jié)論并加以證明.2.了解直接證明與間接證明的基本方法,體會(huì)數(shù)學(xué)證明的思想方法.3.掌握“歸納猜想證明”的推理方法及數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟.4.歸納推理與類(lèi)比推理是高考的熱點(diǎn).本章在高考中的推理問(wèn)題一般以填空題形式出現(xiàn),分值約為5分,屬中檔

3、題;證明問(wèn)題一般以解答題形式出現(xiàn),分值約為12分,屬中高檔題.破考點(diǎn) 練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2019湖南株洲模擬,5)下面四個(gè)推理中,不屬于演繹推理的是()A.因?yàn)楹瘮?shù)y=sin x(xR)的值域?yàn)?1,1,2x-1R,所以y=sin(2x-1)(xR)的值域?yàn)?1,1B.昆蟲(chóng)都是6條腿,竹節(jié)蟲(chóng)是昆蟲(chóng),所以竹節(jié)蟲(chóng)有6條腿C.在平面中,對(duì)于三條不同的直線a,b,c,若ab,bc,則ac,將此結(jié)論放到空間中也是如此D.如果一個(gè)人在墻上寫(xiě)字的位置與他的視線平行,那么,墻上字跡離地的高度大約是他的身高,兇手在墻上寫(xiě)字的位置與他的視線平行,福爾摩斯量得墻壁上的字跡距地面六尺多,

4、于是,他得出了兇手身高六尺多的結(jié)論答案C2.(2019安徽阜陽(yáng)模擬,6)“結(jié)繩計(jì)數(shù)”是遠(yuǎn)古時(shí)期人類(lèi)智慧的結(jié)晶,人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量.如圖所示是一位農(nóng)民記錄自己采摘果實(shí)的個(gè)數(shù).在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié),滿(mǎn)四進(jìn)一.根據(jù)圖示可知,農(nóng)民采摘的果實(shí)個(gè)數(shù)是()A.493B.383C.183D.123答案C3.(2019江西贛州一模,14)我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱(chēng)為直線的法向量.在平面直角坐標(biāo)系中,利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法,可以求出過(guò)點(diǎn)A(-2,3)且法向量為n=(4,-1)的直線(點(diǎn)法式)方程為4(x+2)+(-1)(y-3)=0,化簡(jiǎn)得4x-y+11=0.類(lèi)比以上方法,在空

5、間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,3,4)且法向量為n=(-1,-2,1)的平面(點(diǎn)法式)方程為.答案x+2y-z-4=0考點(diǎn)二直接證明與間接證明1.(2019湖南張家界模擬,5)用反證法證明命題“已知a、b、c為非零實(shí)數(shù),且a+b+c0,ab+bc+ca0,求證a、b、c中至少有兩個(gè)為正數(shù)”時(shí),要做的假設(shè)是()A.a、b、c中至少有兩個(gè)為負(fù)數(shù)B.a、b、c中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)C.a、b、c中至多有兩個(gè)為正數(shù)D.a、b、c中至多有兩個(gè)為負(fù)數(shù)答案A2.(2018湖北普通高中聯(lián)考,7)分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明:設(shè)abc,且a+b+c=0,求證:b2-ac0B.c-a0C.(c-b)(c-a

6、)0D.(c-b)(c-a)0答案C考點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法(2020屆吉林延邊二中高三開(kāi)學(xué)考試,4)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+3+n3=n6+n32,nN*”,則當(dāng)n=k+1(kN*)時(shí),左端應(yīng)在A.(k3+1)+(k3+2)+(k+1)3B.(k3+1)+(k3+2)+(k3+k+1)C.(k+1)3D.(答案A煉技法 提能力【方法集訓(xùn)】方法歸納推理與類(lèi)比推理的應(yīng)用1.(2019湖南邵陽(yáng)二模,9)在平面幾何里有射影定理:設(shè)三角形ABC的兩邊ABAC,D是A點(diǎn)在BC上的射影,則AB=BDBC.拓展到空間,在四面體ABCD中,AD面ABC,點(diǎn)O是A在面BCD內(nèi)的射影,且O在BCD內(nèi),類(lèi)比平面三角形射影

7、定理,得出正確的結(jié)論是()A.SABC2=SBCOSBCDB.SABD2=SC.SADC2=SDOCSBOCD.SBDC2=S答案A2.(2019安徽六安高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試,16)觀察下列等式:13+273+83+103163+173+193+203+則當(dāng)n0,判斷是否存在b0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)存在“S點(diǎn)”解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題的能力以及邏輯推理能力.(1)證明:函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,則f (x)=1,g(x)=2x+2,由f(x)=g(x)且f (x)=g(x),得x=x因此, f(x

8、)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”.(2)函數(shù)f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,則f (x)=2ax,g(x)=1x設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,由f(x0)=g(x0)且f (x0)=g(x0),得ax02得ln x0=-12,即x0=e-12,則a=當(dāng)a=e2時(shí),x0=e-12滿(mǎn)足方程組(*),即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”,因此(3)f (x)=-2x,g(x)=bex(x-1)x2,x0, f (x0)=g(x0)bf(x0)=g(x0)-x02+a=bex0 x0=-令h(x)=x2-2x2x-1設(shè)m(x)=-x3+3x2+ax-a,x(0,1),a

9、0,則m(0)=-a0m(0)m(1)0,存在b0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.思路分析本題是新定義情境下運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,前兩問(wèn)只需按新定義就能解決問(wèn)題,第三問(wèn)中先利用f (x0)=g(x0)對(duì)x0加以限制,然后將f(x0)=g(x0)轉(zhuǎn)化成a=x02-2x02x0-1,從而轉(zhuǎn)化為研究h(x)=-x3+3x2+ax-a1-x,x(0,1),a0考點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法(2017浙江,22,15分)已知數(shù)列xn滿(mǎn)足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).證明:當(dāng)nN*時(shí),(1)0 xn+10.當(dāng)n=1時(shí),x1=10.假設(shè)n=k時(shí),xk0,那么n=

10、k+1時(shí),若xk+10,則00.因此xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0 xn+1xn(nN*).(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,xnxn+1-4xn+1+2xn=xn+12-2xn+1+(xn+1記函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x0),f (x)=2x函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1故2xn+1-xnxnxn+12(3)因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn12由xnxn

11、+122xn+1-xn得1x所以1xn-1221xn-1-1故xn12n-2.綜上,12n-1x方法總結(jié)1.證明數(shù)列單調(diào)性的方法.差比法:作差an+1-an,然后分解因式,判斷符號(hào),或構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域,從而判斷其符號(hào).商比法:作商an+1an,判斷an+1an與數(shù)學(xué)歸納法.反證法:例如求證:nN*,an+1k)總成立,則稱(chēng)數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”.(1)證明:等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”;(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:an是等差數(shù)列.證明本小題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)

12、題的能力.(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則an=a1+(n-1)d,從而,當(dāng)n4時(shí),an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”.(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,因此,當(dāng)n3時(shí),an-2+an-1+an+1+an+2=4an,當(dāng)n4時(shí),an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4a

13、n+1-(an-1+an).將代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d.在中,取n=4,則a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d,在中,取n=3,則a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d,所以數(shù)列an是等差數(shù)列.方法總結(jié)數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路:1.閱讀審清“新定義”;2.結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí);3.利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí),求解證明相關(guān)結(jié)論.3.(2017北京,20,13分)設(shè)an和bn是兩個(gè)等差數(shù)列,記cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-a

14、nn(n=1,2,3,),其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并證明cn是等差數(shù)列;(2)證明:或者對(duì)任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)nm時(shí),cnnM;或者存在正整數(shù)m,使得cm,cm+1,cm+2,解析本題考查等差數(shù)列,不等式,合情推理等知識(shí),考查綜合分析,歸納抽象,推理論證能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2.當(dāng)n3時(shí),(bk+1-nak

15、+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n0時(shí),取正整數(shù)md2d1,則當(dāng)nm時(shí),nd1d2,因此cn=b1此時(shí),cm,cm+1,cm+2,是等差數(shù)列.當(dāng)d1=0時(shí),對(duì)任意n1,cn=b1-a1n+(n-1)maxd2,0=b1-a1+(n-1)(maxd2,0-a1).此時(shí),c1,c2,c3,cn,是等差數(shù)列.當(dāng)d1d2d1時(shí),有nd1所以cnn=n(-d1)+d1-a1+d2+bn(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.對(duì)任意正數(shù)M,取正整數(shù)mmaxM+故當(dāng)nm時(shí),cn解后反思解決數(shù)列的相關(guān)題時(shí),可通過(guò)對(duì)某些項(xiàng)的觀察,分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或變化

16、規(guī)律,再利用綜合法進(jìn)行推理論證.4.(2016浙江,20,15分)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足an-an+12(1)證明:|an|2n-1(|a1|-2),nN*;(2)若|an|32n,nN*,證明:|an|2,nN證明(1)由an-an+121得|an|-故|an|2n-|an所以|a1|21-|an|2n=|a1|21因此|an|2n-1(|a1|-2).(2)任取nN*,由(1)知,對(duì)于任意mn,|an|2n-|am|2m=|an|2n-|故|an|n,均有|an|2,取正整數(shù)m0log34|an0|-22n0且m0n0,則2綜上,對(duì)于任意nN*,均有|an|2.考點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法(2015江蘇,23

17、,10分)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),設(shè)Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫(xiě)出f(6)的值;(2)當(dāng)n6時(shí),寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解析(1)f(6)=13.(2)當(dāng)n6時(shí),f(n)=n+2+n2+n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n=6時(shí), f(6)=6+2+62+63=13,假設(shè)n=k(k6)時(shí)結(jié)論成立,那么n=k+1時(shí),Sk+1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中產(chǎn)生,分以下情形討論:1)若k+1=6t,則k=6(t-1)+5,此時(shí)有f(k+1)=f

18、(k)+3=k+2+k-12=(k+1)+2+k+12+k+12)若k+1=6t+1,則k=6t,此時(shí)有f(k+1)=f(k)+1=k+2+k2+k=(k+1)+2+(k+1)-123)若k+1=6t+2,則k=6t+1,此時(shí)有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-12=(k+1)+2+k+12+(k4)若k+1=6t+3,則k=6t+2,此時(shí)有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k2+k=(k+1)+2+(k+1)-125)若k+1=6t+4,則k=6t+3,此時(shí)有f(k+1)=f(k)+2=k+2+k-12=(k+1)+2+k+12+(k6)若k+1=6t+5,則k=6t+4,此時(shí)有f(

19、k+1)=f(k)+1=k+2+k2+k=(k+1)+2+(k+1)-12綜上所述,結(jié)論對(duì)滿(mǎn)足n6的自然數(shù)n均成立.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2020屆安徽A10聯(lián)盟上學(xué)期摸底考試,7)中國(guó)古代近似計(jì)算方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng),早在八世紀(jì),我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張遂在編制大衍歷中發(fā)明了一種二次不等距插值算法:若函數(shù)y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1x2x3)處的函數(shù)值分別為y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3),則在區(qū)間x1,x3上f(x)可以用二次函數(shù)來(lái)近似代替:f(x)y1+k1(x-x1)+k2(x-x1)(x-x2),其中k1=y2-y1x2-x1,k

20、=y3-y2x3-x2,k2=k-kA.1425B.35C.1625答案C2.(2020屆河南新鄉(xiāng)9月調(diào)研,10)觀察下列各式110248=248,11248=2 728,112248=30 008,113248=330 088,114248=3 630 968,則1199248的十位數(shù)是()A.2B.4C.6D.8答案C3.(2020屆河南南陽(yáng)中學(xué)第二次開(kāi)學(xué)考試,11)從A地到B地有三條路線:1號(hào)路線,2號(hào)路線,3號(hào)路線.小王想自駕從A地到B地,因擔(dān)心堵車(chē),于是向三位司機(jī)咨詢(xún),司機(jī)甲說(shuō):“2號(hào)路線不堵車(chē),3號(hào)路線不堵車(chē).”司機(jī)乙說(shuō):“1號(hào)路線不堵車(chē),2號(hào)路線不堵車(chē).”司機(jī)丙說(shuō):“1號(hào)路線堵車(chē)

21、,2號(hào)路線不堵車(chē).”如果三位司機(jī)只有一位說(shuō)法是完全正確的,那么小王最應(yīng)該選擇的路線是()A.1號(hào)路線B.2號(hào)路線C.3號(hào)路線D.2號(hào)路線或3號(hào)路線答案B4.(命題標(biāo)準(zhǔn)樣題,3)2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式.孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一,可以這樣描述:存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2是素?cái)?shù),素?cái)?shù)對(duì)(p, p+2)稱(chēng)為孿生素?cái)?shù).則由不超過(guò)20的素?cái)?shù)組成的孿生素?cái)?shù)共有()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)答案C5.(2019安徽蚌埠模擬,7)設(shè)x,y,zR+,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,則a,b,c三數(shù)A.都小于2B.都大于2C.至少

22、有一個(gè)不大于2D.至少有一個(gè)不小于2答案D6.(2019福建泉州一模,10)田忌賽馬是中國(guó)古代對(duì)策論與運(yùn)籌思想的著名范例.故事中齊將田忌與齊王賽馬,孫臏獻(xiàn)策以下馬對(duì)齊王上馬,以上馬對(duì)齊王中馬,以中馬對(duì)齊王下馬,結(jié)果田忌一負(fù)兩勝?gòu)亩@勝.該故事中以局部的犧牲換取全局的勝利成為軍事上一條重要的用兵規(guī)律.在比大小游戲中(大者為勝),已知我方的三個(gè)數(shù)為a=cos ,b=sin +cos ,c=cos -sin ,對(duì)方的三個(gè)數(shù)以及排序如表:第一局第二局第三局對(duì)方2tan sin 當(dāng)04時(shí),我方必勝的排序是(A.a,b,cB.b,c,aC.c,a,bD.c,b,a答案D7.(2019江西吉安教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),9)斐波那契數(shù)列,又稱(chēng)黃金分割數(shù)列,指的是這樣一個(gè)數(shù)列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列an定義為:a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,斐波那契數(shù)列有種看起來(lái)很神奇的巧合,如根據(jù)an+2=an+an+1可得an=an+2-an+1,所以a1+a2+an=(a3-a2)+(a4-a3)+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,類(lèi)比這一方法,可得a12+a22+A.714B.1 870