1、專題12 導數中的“距離”問題 【題型歸納目錄】題型一：曲線與直線的距離題型二：曲線與點的距離題型三：曲線與圓的距離題型四：曲線與拋物線的距離題型五：曲線與曲線的距離題型六：橫向距離題型七：縱向距離【典例例題】題型一：曲線與直線的距離例1已知函數，若存在，使得，則實數的值是【解答】解：，函數可看作動點與動點之間距離的平方，動點在的圖像上，在的圖像上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由，得，則，故曲線上的點，到直線距離的最小值是，則，根據題意若存在，使得，則，此時恰為垂足，由，故，解得：，故答案為：例2已知函數，若存在，使得，則實數的值為【解答】解：函數，函數可以看作是動點與動點之間距

2、離的平方，動點在函數的圖象上，在直線的圖象上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由得，解得，所以曲線上點到直線的距離最小，最小距離，則，根據題意，要使，則，此時恰好為垂足，由，解得故答案為：例3若實數，滿足，則的最小值為【解答】解：實數，滿足，分別設，設直線與曲線相切于點，則，解得，點到直線的距離則的最小值為故答案為：例4設函數，其中，存在使得成立，則實數的值是【解答】解：函數可以看作是動點與動點之間距離的平方，動點在函數的圖象上，在直線的圖象上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由得，解得，曲線上點到直線的距離最小，最小距離，則，根據題意，要使，則，此時恰好為垂足，由可得，實

3、數的值是5故答案為：5例5已知函數的最小值是，則的值是 【解答】解：函數，可得表示兩點，的距離的平方，即有函數，圖象上的兩點距離的最小值的平方為，設直線與函數的圖象相切，設切點為，可得，解得，即有切點為，則，解得，則的值為0.3例6設函數，其中，若存在正數，使得成立，則實數的值是ABCD1【解答】解：函數可以看作是動點與動點之間距離的平方，動點在函數的圖象上，在直線的圖象上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由得，解得，曲線上點到直線的距離，則，根據題意，要使，則，此時恰好為垂足，由，解得故選：例7設函數 ，其中，存在使得成立，則實數的最小值為ABCD1【解答】解：函數可以看作動點，

4、與點的距離的平方，點在曲線 上，點在直線上，問題轉化為直線上的點到曲線上的點的距離的最小值，由 求導可得，令，解得，此時 ，則，所以點到直線的距離即為直線與曲線之間最小的距離，故由于存在使得，則，即，故選：例8已知函數，若對任意的正實數，在上都是增函數，則實數的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：，又對任意的正實數，在上都是增函數，在上恒成立，即在上恒成立，的幾何意義為動點到直線，即上點的距離的平方，其最小值為令，當時，當時，（1），則的最小值為實數的取值范圍是故選：例9已知實數，滿足，則的最小值為AB8C4D16【解答】解：由題意可知，的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，不

5、妨設曲線，直線，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設切點為，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8故選：題型二：曲線與點的距離例10若點與曲線上點距離最小值為，則實數為ABCD【解答】解：設點坐標為，其中，過點的切線斜率為，當直線與過點的切線垂直時，點與點間的距離最小，此時，點與點間的距離最小值，即，解得：，又，故選：例11若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數的值為ABCD【解答】解：的導數為，設，可得過的切線的斜率為，當垂直于切線時，取得最小值，可得，且，可得，解得舍去），即有，解得，故選：題型三：曲線與圓的距離例12已知點為函數的圖象上

6、任意一點，點為圓任意一點，則線段的長度的最小值為ABCD【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心，到函數圖象上一點的距離的最小值設圖象上一點，由的導數為，即有切線的斜率為，可得，即有，由，可得，當時，遞增又（e），可得處點到點的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為，即故選：例13已知點為函數圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為ABCD【解答】解：設，又圓的圓心為，令，單調遞增，而（e）在遞減，在遞增，（e），則線段的長度的最小值為，故選：例14已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為ABCD【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心，到函數圖象上

7、一點的距離的最小值設圖象上一點，由的導數為，即有切線的斜率為，可得，即有，由，可得，當時，遞增又（e），可得處點到點的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為故選：例15已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為AB1CD【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數圖象上一點的距離的最小值設圖象上一點，由的導數為，即有切線的斜率為，可得，即有，由，可得，遞增又，可得處點到點的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為，故選：題型四：曲線與拋物線的距離例16設，當，變化時的最小值為【解答】解：設，則表示函數上一點與函數上一點之間的距離，又函數表示焦點為，準線為的拋物線，由拋

8、物線的定義可得，的幾何意義即為，作出示意圖如下，由圖觀察可知，當點運動至點，且垂直于過點的函數的切線，點為線段與函數的交點時，最小，設，則，解得，即，的最小值為故答案為：例17設，則的最小值為AB1CD2【解答】解：，其幾何意義為：兩點，的距離的平方，由的導數為，點在曲線上，令，則，而是拋物線上的點到準線的距離，即拋物線上的點到焦點的距離，則可以看作拋物線上的點，到焦點距離和到上的點的距離的和，即，由兩點之間線段最短，得的最小值是點到上的點的距離的最小值，由點到直線上垂線段最短，這樣就最小，即取，則，垂直，則，解得，到的距離就是點到上的點的距離的最小值，的最小值為故選：題型五：曲線與曲線的距離

9、例18設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為A 2B C 2D 【解答】解：，該函數的定義域為，值域為，函數與互為反函數，其圖象關于直線對稱，兩曲線上點之間的最小距離就是與上點的最小距離的2倍設上點，處的切線與直線平行，則，點，到的距離為，則的最小值為故選：例19設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為ABCD【解答】解：與互為反函數，它們圖象關于直線對稱；又，由直線的斜率，得，所以切線方程為，則原點到切線的距離為，的最小值為故選：例20設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為ABCD【解答】解：解：與互為反函數，先求出曲線上的點到直線的最小距離設與直線平行且與曲線相切的切點，解得得到切點，到直線

10、的距離，的最小值為，故選：例21設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為ABCD【解答】解：與互為反函數，先求出曲線上的點到直線的最小距離設與直線平行且與曲線相切的切點，解得得到切點，到直線的距離最小值為故選：例22設滿足方程的點，的運動軌跡分別為曲線，若在區(qū)間，內，曲線，有兩個交點（其中是自然對數的底數），則實數的最大值為A4BCD【解答】解：，依題意，曲線，曲線，其中曲線可化為：，其圖象如圖，要使在區(qū)間，內曲線，有兩個交點，則必有曲線在取時的值需小于或等于，故要使得最大，只需，解得：，故選：題型六：橫向距離例23已知直線與函數和分別交于，兩點，若的最小值為2，則【解答】解：設，可設，則，令，則

11、，由的最小值為2，可得，函數在上單調遞減，在，上單調遞增，時，函數取得極小值，且為最小值2，即有，解得，由，則，可得故答案為：2例24已知直線與函數和的圖象分別交于、兩點，若的最小值為3，則【解答】解：設，則，則，則，設，則，的最小值為3，的根為，且函數在，上遞增，則上遞減，則函數的最小值為即即，則得，此時，則，即，故答案為：1例25設直線與函數，的圖象分別交于，兩點，則的最小值為ABCD【解答】解：直線直線與函數，的圖象分別交于，兩點，其中，且，設函數（a），（a），令（a），解得，當（a），即時，函數在，單調遞增，當（a），即時，函數在單調遞減，故時，函數有最小值，最小值為，故線段的長度的

12、最小值為故選：例26已知函數，的圖象分別與直線交于，兩點，則的最小值為A1BCD【解答】解：由題意，其中，且，所以，令，則時，解得，所以時，；時，則在上單調遞減，在，上單調遞增，所以當時，故選：題型七：縱向距離例27直線分別與直線，曲線交于、兩點，則最小值為【解答】解：令，則，當時，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，即時，取得最小值（1），的最小值為4故答案為：4例28直線分別與曲線，交于、兩點，則的最小值為A3B2CD【解答】解：令，則，當時，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，即時，取得最小值（1），的最小值為3故選：例29直線分別與曲線，相交于，兩點，則的最小值為A1B2CD【

13、解答】解：令，則，當時，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，即時，取得最小值（1），的最小值為2故選：【過關測試】一、單選題1若x、a、b為任意實數，若，則最小值為()AB9CD【答案】C【解析】【分析】由題可知，問題可轉化為圓上動點到函數ylnx圖像上動點距離的最小值，即求函數ylnx上動點到圓心距離的最小值，數形結合可知當ylnx在處的切線與和連線垂直時為最小值，據此求出m的值，即可得到答案【詳解】由可得在以為圓心，1為半徑的圓上，表示點與點的距離的平方，即表示圓上動點到函數ylnx圖像上動點距離的平方設為ylnx上一點，且在處的ylnx的切線與和連線垂直，可得，即有，由在時遞增，且，

14、可得m1，即切點為，圓心與切點的距離為，由此可得的最小值為故選：C2已知實數滿足，則的最小值為（）AB1CD2【答案】D【解析】【分析】理解原代數式的含義，轉化為函數形式，再分析其幾何意義，構造函數即可求解.【詳解】 ，令 ，則，其幾何意義為點A 與點 之間距離的平方，設 ，則點A和B分別在 和 的圖像上，如下圖，顯然 和互為反函數，其圖像關于y=x對稱，則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點A與點B關于y=x對稱，不妨設 ，則 ， ，設 ， ，當 ， ，在x=1處取得最小值 ，即 ，當 取最小值時，即是 取得最小值， 的最小值為 ；故選：D.3設直線與函數的圖像分別交于點，則的最小值

15、為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】列出的表達式，利用導數方法，分析其單調性求最小值即可【詳解】由題意，所以，令，則，當時，當時，所以，即的最小值為，故選：A.4已知函數，若成立，則的最小值是ABCD【答案】A【解析】【詳解】分析：設，則，把用表示，然后令，由導數求得的最小值詳解：設，則，令，則，是上的增函數，又，當時，當時，即在上單調遞減，在上單調遞增，是極小值也是最小值，的最小值是故選A點睛：本題易錯選B，利用導數法求函數的最值，解題時學生可能不會將其中求的最小值問題，通過構造新函數，轉化為求函數的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數的單調區(qū)間也很容易出錯5設.，則的最小值為AB1C

16、D2【答案】C【解析】【詳解】由題可得：設，所以為上任意一點到上任一點及拋物線焦點的距離之和，所以距離表達式為,令，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為點睛：本題的解題關鍵是要將題意轉化為拋物線上的點到lnx上的點距離與焦點的距離之和，然后借助導數求最值即可解決問題，此題較難6已知直線分別與直線和曲線相交于點，則線段長度的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據題意設兩交點分別為，可得，長度，考查函數求最值即可得解.【詳解】已知直線與直線，曲線分別交點，設，則有，變形可得，又由，設，則當時，函數在為減函數，當時，函數在為增函數，則有最小值，且，則，即線段長度的最小值是.故選：A.7已知函

17、數，對任意，存在，使得，則的最小值為（）A1BCD2【答案】D【解析】【分析】設換元，問題轉化為對任意，存在，使得，則的最小值，利用的關系把轉化為一元函數，然后求最小值【詳解】設，設，對任意，存在，使得，即，所以，令，易知是增函數，時，遞減，時，遞增，所以時，所以的最小值是1，的最小值是2故選：D【點睛】本題考查用導數求最值，解題關鍵是化二元函數為一元函數，題中解法是換元后直接利用把用表示，然后轉化為一元函數，另外也可以設（），把都用表示，化為的一元函數，然后由導數得最小值8已知曲線上一點，曲線上一點，當時，對任意，都有恒成立，則的最小值為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據題中條件，得

18、到，推出，；證明，得到，推出，分離參數得，構造函數求出的最大值，即可得出結果.【詳解】因為當時，對于任意，都有恒成立，所以有：，令，則，所以當時，則單調遞增；當時，則單調遞減；因此，即顯然恒成立；因為，所以，即；為使恒成立，只需恒成立；即恒成立；令，則，由解得；由解得；所以在上單調遞增；在上單調遞減；所以；，因此的最小值為.故選：【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于將問題轉化為不等式恒成立求參數范圍的問題，根據，只需，分離參數后，即可根據導數的方法求解.9已知函數，若成立，則的最小值為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】令，得到關于t的函數式，進而可得關于t的函數式，構造函數利用導數研究單

19、調性并確定最值，即可求的最小值.【詳解】令，則，即，若，則，有，當時，單調遞減；當時，單調遞增；，即的最小值為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：令確定關于t的函數式，構造函數并利用導數求函數的最小值.10已知函數，若成立，則的最小值是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】設，構造函數，利用導函數求出最小值即可得解.【詳解】由題設，即，所以，令，所以在單調遞增，且，所以由得，由得，所以在單調遞減，單調遞增，所以即的最小值.故選：B【點睛】此題考查利用導函數求最值，關鍵在于根據題意準確轉化，對于導函數的零點不易求解的情況，考慮“試根”結合單調性解不等式.11設動直線x=t與曲線以及曲線分別交于P，Q

20、兩點，表示的最小值，則下列描述正確的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據條件將表示為函數的形式，然后利用導數研究對應函數的單調性并分析的取值范圍.【詳解】根據條件可知，所以，不妨令，則，又因為，所以存在，使得，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得最小值，且，根據對勾函數的單調性可知：在上單調遞減，所以，所以有，故選：B【點睛】本題考查利用導數解決函數的最值問題，對學生的轉化與化歸能力要求較高，其中對于極值點范圍的分析是一個重點，難度較難.12設，則的最小值是（）ABCD1【答案】A【解析】【分析】函數表示點和的距離加上的橫坐標，根據拋物線定義轉化求最小值，設函數，計算得到，得到答案.【

21、詳解】，函數表示點和的距離加上的橫坐標，畫出和的圖像，如圖所示：故，當共線時等號成立.設，則，且恒成立，故單調遞增，故當時，單調遞增；當時，單調遞減；，故.綜上所述：的最小值是.故選：.【點睛】本題考查了函數的最值問題，轉化為對應的幾何意義是解題的關鍵.13已知函數，若成立，則的最小值為（）ABCD【答案】C【解析】【詳解】設，則，令，又是增函數，在上遞減，在上遞增，即的最小值為，故選C.【方法點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性進而求最值，屬于難題. 求最值問題往往先將所求問題轉化為函數問題，然后根據:配方法、換元法、不等式法、三角函數法、圖像法、函數單調性法求解，利用函數的單調性求最

22、值，首先確定函數的定義域，然后準確地找出其單調區(qū)間 ，最后再根據其單調性求函數的最值即可.14直線分別與曲線交于點，則的最小值為ABCD【答案】A【解析】【詳解】試題分析:設,則,令,則,函數在上單調遞減,在上單調遞增,時,函數的最小值為，所以A選項是正確的.考點：導數與函數的單調性二、填空題15若，則的最小值是_【答案】【解析】由目標式的形式：可看作兩點的距離，而可看作兩點的距離，問題轉化為的最小值；是上的點，對于在坐標系存在使得，可聯(lián)想拋物線：以為焦點，為準線的拋物線，即問題最終為求拋物線上一點到定點與上的一點的距離之和最小，結合拋物線、函數圖象及利用導數求最小值.【詳解】由，記，則，即原

23、問題轉化為拋物線上到定點與上的的距離之和最小，當且僅當共線時等號成立.令，則且，由于單調增，則是唯一零點，即有在上單調遞減，在上單調遞增，則，即最小值為.則故答案為：.【點睛】本題考查了利用幾何法求代數式的最值，綜合拋物線的性質、兩點距離公式、數形結合、導數研究函數最值的應用，屬于難題.16已知實數滿足，則對任意的正實數，的最小值為_.【答案】8【解析】【分析】求出圓心到曲線上的點的距離最值后可求的最小值.【詳解】因為實數滿足，故在圓：上.而，設，則表示到曲線上的點的距離的平方.又，因為在為增函數，且，故當時，即；當時，即；故在上為減函數，在為增函數，故的最小值為.故到曲線上的點的距離最小值為

24、，而圓的半徑為，故圓上的點到曲線上的點的距離最小值為，故的最小值 為.故答案為：.【點睛】思路點睛：與圓有關的最值問題，往往需要轉化到圓心到幾何對象的最值問題來處理，另外注意代數式對應的幾何意義.17設，則的最小值為_【答案】【解析】設點、，則表示再加上點的橫坐標，利用拋物線的定義可得出（其中為拋物線的焦點），利用導數求出的最小值，即可得解.【詳解】.設點、，則表示再加上點的橫坐標，其中點為拋物線上的一點，該拋物線的焦點為，準線為.作出函數與拋物線的圖象如下圖所示： 過點作拋物線的準線的垂線，垂足為點，設交軸于點，則，當且僅當、三點共線時，等號成立，下面利用導數求出的最小值，構造函數，其中，且

25、函數單調遞增，當時，；當時，.所以，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.，因此，的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題從代數式的幾何意義出發(fā)，利用數形結合思想轉化為折線段和的最小值問題來求解，同時又考查了拋物線定義的應用，在求解的最值時，充分利用了導數來求解.18已知點在圓上，點在曲線上，則線段的長度的最小值為_【答案】【解析】【分析】由題可得，圓的半徑設，令，首先求得的最小值，然后求解線段的長度的最小值即可.【詳解】由題可得，圓的半徑設，令，則，所以令 ，易知函數在上單調遞增，且，所以當時，；當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以因為，所以線段的長度的最小值為【點睛】本題主要考查等價轉化的數學思想，導函數求解函數的最值問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19設，當a，b變化時，的最小值為_.【答案】.【解析】【分