1、收益與風險9.1 收益率率收益 = 股利利收入+資本利得(資本損失)，它是一個個隨機變量收益率(%) rt+1 = = 股利收益益率% + 資本利得收收益率%單期收益率：單期收益：多期收益率：多期收益： 多期收益是是單期收益的的乘積對數(shù)收益： 多期對數(shù)收益： 長期收益益一般研究對對數(shù)收益，短短期收益一般般研究算術收收益。持有期收益率 = (1 + r1)(1 + r2) (11+ rT) -1它是在T時期內(nèi)內(nèi)的總收益率率期望收益率=收收益率的均值值9.2期望效效用原理一一般的效用用函數(shù) 二次效效用函數(shù) (33.6)對數(shù)效用函函數(shù) (3.77)冪函數(shù) (3.8)負指數(shù)函數(shù)數(shù) (3.9)二均值方差

2、準準則的效用函函數(shù)基礎期望效用原理：收益率是r.vv.（隨機變變量） 采用量化指標，期期望收益率，方方差（標準差差）風險假設：不滿足性：在在兩個收益率率中選擇期望望收益較高的的投資風險厭惡：如如果兩個期望望收益率相同同，則選方差差較小的投資資。定義：集合S是是N種證券所所組成的投資資組合， 證券組合： ，稱S為機會集合合。預算約束：給定S.設對SS中的任何兩兩個證券X和和Y，都可以以進行比較，結結果一定是運運行三種結果果之一：X比Y好，記記為.Y比X好，記記為.X和Y無差異異，記為.則這個比較結果果給出了S上上的偏好關系系。假設偏好關系具具有傳遞性，即即,在給定的的偏好關系下下，所有與XX差異

3、證券構成的的集合稱為證證券X的無差差異集，當無無差異集是一一條曲線，稱稱為無差異曲曲線。定義兩個財產(chǎn)博博弈（Gamme）：G(a,b；pp),即它是是一個以概率率p獲得財產(chǎn)產(chǎn)a,以概率率1p獲得得財產(chǎn)b，則則稱F(G(a，b；pp)paa（1pp）b為G的的期望值，如如果博弈G（aa，b；p）使使得EG（aa，b；p）0，稱這個個博弈為統(tǒng)計計上的公平博博弈。（參加加公平博弈的的就是風險不不厭惡者）另外一個博弈GG(a，0；1)確定性性博弈，則EEG(a，00；1)aa設：投資者的效效用函數(shù)為UU（），一個個博弈的效用用U(G(aa，b；p)，因G是是隨機的為了了計算U(GG)對U(GG)作假設

4、。定義：對于如何何兩個博弈，及給定的偏好關系。如果效用函數(shù)U（G）滿足如下條件：則稱U（）為代代表此偏好關關系的期望效效用函數(shù)?？梢宰C明在一般般條件下，代代表偏好關系系的期望效用用函數(shù)是存在在的。雙曲線決定風險險厭惡效用函函數(shù)，b=1,a=2,=2,代入后后恰是二次效效用函數(shù)。9.3 風險及及其度量嚴格個體的風險險厭惡：個體體不愿意接受受任何統(tǒng)計意意義上的公平平博弈。個體的風險厭惡惡：個體不愿愿意接受或至至多無差異于于任何統(tǒng)計意意義上的公平平博弈。設U（）是投資資者效用函數(shù)數(shù)：是未來財財富 r.vv.定義： 一般風風險測度 一一般風險測度度（GRM） (3.122)定理3.1 二 確定性等等價

5、和風險補補償 對于風險 ，它的風風險補償 為 （3.13）定義：G(a，bb；p)是一一個博弈，UU（）是一個個投資者的效效用函數(shù)。0，投資者者是風險厭惡惡的；0，投資者者是風險中立立的；0，投資者者是風險偏好好的。注意: 在均值點展開,由于 ,馬可維茲茲實際上是關關于均值和方方差的函數(shù).定理3.2 如果是嚴格格單調(diào)遞增，且且函數(shù)形式確確定，則 且且 和 是一對對一的變換。（2）作為對風風險厭惡的測測度， 與 是等同同的。定理3.3 如果效用函函數(shù)是線性函函數(shù)，則GRRM將 變成 而 是不變變的。三 一般風風險測度的級級數(shù)展開定理3.4 如果效效用函數(shù) 在附近近能做 展開，概率率分布的 K 階

6、中心矩 存在，則則四 局部風風險厭惡 局部風險厭厭惡的Praatt 測度度 為 （3.16） （3.17）五 一般風風險測度 的一些例例子 效用函數(shù) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 六 兩參數(shù)數(shù)的效用函數(shù)數(shù)兩參數(shù)函數(shù)（TTPFR）是是指期望效用用的如下表示示： （3.18）其中 是是某個函數(shù)， 是分布的均值， 是某風險的測度。廣義馬柯維茲準準則 是期望效用用表達式 （3.19）9.4 收益與與風險的統(tǒng)計計分析預期收益 設收益 是隨機變變量,它的取值為為 ，相應的概率率分布為 ,即 則預期收益 (3.200)收益的均方差或或標準差 (3.22)設 ， 分別為為兩種證券AA,B的收

7、益益率，則稱 （3.23） 為 與 的協(xié)方差。相關系數(shù) （3.24）當 時，稱稱為 與 完全全正相關當 時，稱稱為 與 完全全負相關當 時，稱稱為 與 完全全無關或零相相關9.5市場投投資組合、特特征線市場投資組合是是指包含了經(jīng)經(jīng)濟體系中的的每一個單個個風險資產(chǎn)，以以及他們的投投資所占的份份額等于這種種資產(chǎn)市場價價值對所有風風險資產(chǎn)總市市場價值的比比例。證券的特征線和和貝塔系數(shù)（） 確定證證券的期望收收益率與市場場組合期望收收益率的關系系， 建立模模型： rri=+rM +參數(shù)估計 的估計：取歷史數(shù)據(jù)據(jù)(RM t, RRi t),tt=1,2,T 其中中 ， 分別是ri,rm的樣本均值值。 由

8、此此得到證券 i 的特征線線方程 證券組合P=(X1, X2, XN)T的系數(shù)為： 市場投資組組合M的系數(shù)M=1證券特征線1010.市場組合期望收益率E（Rm）%2025證券期望收益率E（Ri ）%-20-10-15-551525.斜率=1.5特征線3.6 因子子 證券J關于于市場投資組組合的因子的估計：9.7風險厭惡惡投資者的投投資行為研究究假設投資者具有有嚴格的遞增增效用函數(shù)，市市場有N種可可供選擇的風風險資產(chǎn)和一一種無風險資資產(chǎn)，市場無無摩擦。風險資產(chǎn)收益益率，無風險資產(chǎn)收收益率，投資的財富在j風險資產(chǎn)產(chǎn)上的投資量量，j=1,N。無風險資產(chǎn)上上的投資量。期末投資者的總總財富為：在時，投資

9、者面面臨的問題即即：必要條件：，jj=1,N。投資公理1 ：不滿足性。即即如果市場允允許賣空，在在公理下，多多比少好，投投資者存在最最優(yōu)策略，則則。命題：假設市場場可以賣空，在在公理下，風風險厭惡投資資者買入風險險資產(chǎn)至少存存在一種風險險資產(chǎn)收益率率的均值大于于無風險資產(chǎn)產(chǎn)的收益率。*個體風險度量量*下面假設：市場場僅有一個風風險資產(chǎn)和一一個無風險資資產(chǎn)，風險資資產(chǎn)的風險溢溢價。定理：風險厭惡惡投資者至少少把他的全部部財富的部分投入到到風險資產(chǎn)上上當=1時，稱稱為投資者絕絕對風險厭惡惡系數(shù)，記為為上述個體對風險險的厭惡程度度由Arroow(19770)，Prratt(11964)獨獨立提出。r

10、r(.)大的的個體對風險險資產(chǎn)最小風風險溢價要求求大，故r(.)反映了了個體對風險險的厭惡程度度。的特征隨隨資產(chǎn)的增加加，投資于風風險資產(chǎn)的資資金增加。定理證明: 設a為投投資在風險資資產(chǎn)上的資金金數(shù),則在期期末財富為: ,于是投投資至少把他他的財富的投投入部分投入入到風險資產(chǎn)產(chǎn) 將在處展開,*關于整體的風風險度量*定義：投資者ii比投資者kk更加厭惡風風險，是指：，命題：更加厭惡惡風險投資者者在風險資產(chǎn)產(chǎn)上的投資更更加保守。*相對風險度量量*，當，個體是相對對風險厭惡遞遞增的投資者者。當0,即即對每個i, =,()(為I資產(chǎn)上的投投資比例)，在t時總財富由于： 設有n個資產(chǎn)，jj資產(chǎn)收益率率為，投資者者期初選擇組組合，使得這這個期末時，效效用最大化。用用u(w)表表示效用函數(shù)數(shù)，w表示期期末價值。假設：（1）市市場無摩擦；（2）投資資者是價格接接收者；（33）無套利；（4）任意意借貸。投資組合問題，可可表示為投資資者欲形成一一個比例=（x1,x2,xn）使使得: (*)w期初財富，ppii資產(chǎn)價格引理：（Dufffe）若（函數(shù)uu二次可導）