1、方差分析 方差分析 什么是方差分析? （一個(gè)例子）表8-1 該飲料在五家超市的銷(xiāo)售情況超市無(wú)色粉色橘黃色綠色1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8【例8.1】某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料。飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明。這四種飲料的營(yíng)養(yǎng)含量、味道、價(jià)格、包裝等可能影響銷(xiāo)售量的因素全部相同?，F(xiàn)從地理位置相似、經(jīng)營(yíng)規(guī)模相仿的五家超級(jí)市場(chǎng)上收集了前一時(shí)期該飲料的銷(xiāo)售情況，見(jiàn)表8-1。試分析飲料的顏色是否對(duì)銷(xiāo)售量產(chǎn)生影響。什么是方差分析? （一

2、個(gè)例子）表8-1 該飲料在五家超什么是方差分析? （例子的進(jìn)一步分析）檢驗(yàn)飲料的顏色對(duì)銷(xiāo)售量是否有影響，也就是檢驗(yàn)四種顏色飲料的平均銷(xiāo)售量是否相同設(shè)1為無(wú)色飲料的平均銷(xiāo)售量，2粉色飲料的平均銷(xiāo)售量，3為橘黃色飲料的平均銷(xiāo)售量，4為綠色飲料的平均銷(xiāo)售量，也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè)H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等檢驗(yàn)上述假設(shè)所采用的方法就是方差分析什么是方差分析? （例子的進(jìn)一步分析）檢驗(yàn)飲料的顏色對(duì)銷(xiāo)售量一、3組以上數(shù)據(jù)采用t檢驗(yàn)的缺點(diǎn)： 1. 檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣 2. 無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低3. 推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的 I 型錯(cuò)誤率大一、3組

3、以上數(shù)據(jù)采用t檢驗(yàn)的缺點(diǎn)： t檢驗(yàn)？由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用 t 檢驗(yàn)，須采用方差分析法。 t檢驗(yàn)？由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用 t ANOVA 由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱(chēng) F 檢驗(yàn) （F test）。用于推斷多個(gè)總體均數(shù)有無(wú)差異 ANOVA 由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)， 這種方法是將k個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，把觀測(cè)值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來(lái)源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來(lái)源總體方差估計(jì)值；通過(guò)計(jì)算這些總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體

4、平均數(shù)是否相等。 “方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開(kāi)來(lái)的方法與技術(shù)”，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析。 這種方法是將k個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待， 幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ): 1. 試驗(yàn)指標(biāo)(experimental index) 為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目稱(chēng)為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不相同。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中常用的試驗(yàn)指標(biāo)有 ：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(血糖含量、體高、體重)等。 幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ): 2. 試驗(yàn)因素(experimental fact

5、or) 試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。如研究如何提高豬的日增重時(shí)，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對(duì)日增重有影響，均可作為試驗(yàn)因素來(lái)考慮。 當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱(chēng)為單因素試驗(yàn)； 若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱(chēng)為兩因素或多因素試驗(yàn)。試驗(yàn)因素常用大寫(xiě)字母A、B、C、等表示。 2. 試驗(yàn)因素(experimental fa 3. 因素水平(level of factor) 試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱(chēng)為因素水平，簡(jiǎn)稱(chēng)水平。 如比較3個(gè)品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個(gè)品種就是奶牛品種這個(gè)試驗(yàn)因素的3個(gè)水平； 研究某種飼料中4種不同能量

6、水平對(duì)肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗(yàn)因素的4個(gè)水平。 3. 因素水平(level of factor) 因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2， ， 來(lái)表示。如 A1 、 A2 、 ， B1 、B2、，等。 4. 試驗(yàn)處理(treatment) 事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理，簡(jiǎn)稱(chēng)處理。 在單因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗(yàn)時(shí)，實(shí)施在試驗(yàn)單位(某種畜禽)上的具體項(xiàng)目就是喂飼某一種飼料。所以進(jìn)行單因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理。 因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2， 在多因素試

7、驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行3種飼料和3個(gè)品種對(duì)豬日增重影響的兩因素試驗(yàn)，整個(gè)試驗(yàn)共有33=9個(gè)水平組合，實(shí)施在試驗(yàn)單位(試驗(yàn)豬)上的具體項(xiàng)目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，在多因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理。 在多因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因 5. 試驗(yàn)單位(experimental unit) 在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。 在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中， 一只家禽、 一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚(yú)，即一個(gè)動(dòng)物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚(yú)，即一組動(dòng)物都可作為試驗(yàn)單位。 試驗(yàn)單位往往也是觀測(cè)數(shù)據(jù)的

8、單位。 5. 試驗(yàn)單位(experimental uni 6. 重復(fù)(repetition) 在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱(chēng)為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱(chēng)為處理的重復(fù)數(shù)。 例如，用某種飼料喂4頭豬，就說(shuō)這個(gè)處理(飼料)有4次重復(fù)。 6. 重復(fù)(repetition) 1 方差分析的基本原理與步驟 本節(jié)結(jié)合單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析介紹其原理與步驟。 一、線性模型與基本假定 假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有nk個(gè)觀測(cè)值。這類(lèi)試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表1所示。1 方差分析的基本原理與步驟 本節(jié)結(jié)合單因素 表1 k個(gè)處理每個(gè)處理有n個(gè)觀測(cè)值的數(shù)據(jù)模式

9、表1 k個(gè)處理每個(gè)處理有n個(gè)觀測(cè)值的數(shù)據(jù)模式 表中 表示第i個(gè)處理的第j個(gè)觀測(cè)值 （i=1,2,k；j=1,2,n）； 表示第i個(gè)處理n個(gè)觀測(cè)值的和； 表示全部觀測(cè)值的總和； 表示第i個(gè)處理的平均數(shù)； 表示全部觀測(cè)值的總平均數(shù)； 可以分解為 表中 表示第i個(gè)處理的第j個(gè)觀測(cè)值 (1) 表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的平均數(shù)。 為了看出各處理的影響大小，將 再進(jìn)行分解，令 (2) (3)則 (4) 其中 表示全試驗(yàn)觀測(cè)值總體的平均數(shù)； ai 是 第 i 個(gè) 處理的效應(yīng) （treatment effects）表示處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。顯然有 (5) ij是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，

10、2）。 （4）式叫做單因素試驗(yàn)的線性模型（linear model）亦稱(chēng)數(shù)學(xué)模型。 在這個(gè)模型中Xii表示為總平均數(shù)、處理效應(yīng)i、試驗(yàn)誤差ij之和。 ai 是 第 i 個(gè) 處理的效應(yīng) （treat 由ij 相 互獨(dú)立且服從正態(tài)分布 N（0，2），可知各處理Ai(i=1，2，k)所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布N(i,2)。盡管各總體的均數(shù) 可以不等或相等，2則必須是相等的。所以，單因素試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型可歸納為： 效應(yīng)的可加 性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質(zhì)性（homogeneity）。這也是進(jìn)行其它類(lèi)型方差分析的前提或基本假定。 由ij 相 互獨(dú)立且

11、服從正態(tài)分布 N（0 若將表（1） 中的觀測(cè)值 xij（i=1,2,k; j=1,2,n）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（模型）用樣本符號(hào)來(lái)表示，則 （6）與 （4）比較可知 若將表（1） 中的觀測(cè)值 xij（i=1,2 （4）、（6）兩式告訴我們： 每 個(gè) 觀 測(cè) 值 都包含處理效應(yīng)（i-或 ），與誤差（ 或 )，故kn個(gè)觀測(cè)值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。 （4）、（6）兩式告訴我們：二、平方和與自由度的剖分 在方差分析中是用樣本方差即均方（mean squares）來(lái)度量資料的變異程度的。 表1中全部觀測(cè)值的總變異可以用總均方來(lái)度量。 總變異處理間變異處理內(nèi)變異總平方和（總df）處理間平

12、方和（處理間df）處理內(nèi)平方和（處理內(nèi)df）二、平方和與自由度的剖分總變異處理間變異處理內(nèi)變異總平方和處 （一）總平方和的剖分 在表6-1中，反映全部觀測(cè)值總變異的總平方和是各觀測(cè)值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，記為SST。即 因?yàn)橐驗(yàn)?其中 所以 （7） （7）式中， 為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映了重復(fù) n 次的處理間變異 ，稱(chēng)為處理間平方和，記為SSt，即 其中 (7)式中， 為 各處 理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即誤差，稱(chēng)為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe，即于是有 SST =SSt+SSe （8） 這個(gè)關(guān)系式中三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式

13、如下： (7)式中， (9) 其中，C= /kn稱(chēng)為矯正數(shù)。（二）總自由度的剖分 在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀測(cè)值要受 這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測(cè)值的總個(gè)數(shù)減1，即kn-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT=kn-1。 dfTkn-1；dftk-1；dfekn-k 因?yàn)?所以 (10) 綜合以上各式得： (11) 因?yàn)?各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方， 分別記為 MST（或 ）、MSt（或 ）和MSe（或 ）。 即 （12） 總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。 各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間 【例1】 某水產(chǎn)研究所為了比較

14、四種不同配合飼料對(duì)魚(yú)的飼喂效果，選取了條件基本相同的魚(yú)20尾，隨機(jī)分成四組，投喂不同飼料，經(jīng)一個(gè)月試驗(yàn)以后，各組魚(yú)的增重結(jié)果列于下表。 表2 飼喂不同飼料的魚(yú)的增重（單位：10g） 【例1】 某水產(chǎn)研究所為了比較四種不同配合飼料對(duì)魚(yú) 這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。各項(xiàng)平方和及自由度計(jì)算如下： 矯正數(shù) 總平方和 這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)k=4，重復(fù)數(shù)n=5。處理間平方和處理內(nèi)平方和處理間平方和處理內(nèi)平方和 總自由度 處理間自由度 處理內(nèi)自由度 用SSt、SSe分別除以dft和dfe便得到處理間均方MSt及處理內(nèi)均方MSe。 因?yàn)榉讲罘治鲋胁簧婕翱偩降臄?shù)值，所以不必計(jì)算之。生

15、物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件三、期望均方方差分析的一個(gè)基本假定是要求各處理觀測(cè)值總體的方差相等， 即 （i=1,2,k）表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的方差。如果所分析的資料滿足這個(gè)方差同質(zhì)性的要求，那么各處理的樣本方差S21 ， S22 ， ，S2k 都是2的無(wú)偏估計(jì)（unbiased estimate）量。 S2i(i=1,2,k) 是由試驗(yàn)資料中第i個(gè)處理的n個(gè)觀測(cè)值算得的方差。 三、期望均方 顯然，各S2i的合并方差 （以各處理內(nèi)的自由度n-1為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)）也是2的無(wú)偏估計(jì)量，且估計(jì)的精確度更高。很容易推證處理內(nèi)均方MSe就是各 的合并。 顯然，各S2i的合并方差 （以各處理內(nèi)的自 其中SSi

16、、dfi（i=1，2，k）分別表示由試驗(yàn)資料中第i個(gè) 處理的n個(gè)觀測(cè)值算得的平方和與自由度。這就是說(shuō)，處理內(nèi)均方MSe是誤差方差2的無(wú)偏估計(jì)量。 試驗(yàn)中各處理所屬總體的本質(zhì)差異體現(xiàn)在處理效應(yīng) 的差異上。我們把 稱(chēng)為效應(yīng)方差，它也反映了各處理觀測(cè)值總體平均數(shù) 的變異程度，記為 。 其中SSi、dfi（i=1，2，k）分別表示 四、F分布與F檢驗(yàn) （一）F分布 設(shè)想我們作這樣的抽樣試驗(yàn)，即在一正態(tài)總體N（，2）中隨機(jī)抽取樣本含量為n的樣本k個(gè)，將各樣本觀測(cè)值整理成 表1 的形式。此時(shí)所謂的各處理沒(méi)有真實(shí)差異，各處理只是隨機(jī)分的組。因此，由（12）式算出的 和 都是誤差方差 的估計(jì)量。以 為分母，

17、為分子，求其比值。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把兩個(gè)均方之比值稱(chēng)為F值。即 四、F分布與F檢驗(yàn) （14）F具有兩個(gè)自由度： 若在給定的k和n的條件下， 繼續(xù)從該總體進(jìn)行一系列抽樣，則可獲得一系列的F值。這些F值所具有的概率分布稱(chēng)為 F 分布（ F distribution）。F分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對(duì)稱(chēng)，如圖1所示。 圖1圖1F分布的取值范圍是（0，+），其平均值 =1。 用 表示F分布的概率密度函數(shù)，則其分布函數(shù) 為： (15) 因而F分布右尾從 到+的概率為： (16) F分布的取值范圍是（0，+），其平均值 =1。 附表4列出的

18、是不同 df1 和 df2 下 ，P（F ）=0.05和P（F ）=0.01時(shí)的F值，即右尾概率=0.05和=0.01時(shí)的臨界F值，一般記作 ， 。 附表4列出的是不同 df1 和 df2 下 ， (二)F檢驗(yàn) 附表4是專(zhuān)門(mén)為檢驗(yàn) 代表的總體方差是否比 代表的總體方差大而設(shè)計(jì)的。 若實(shí)際計(jì)算的F值大于 ，則 F 值在=0.05的水平上顯著，我們以95% 的可靠性(即冒5%的風(fēng)險(xiǎn))推斷 代表的總體方差大于 代表的總體方差。這種用F值出現(xiàn)概率的大小推斷兩個(gè)總體方差是否相等的方法稱(chēng)為 F檢驗(yàn)(F-test)。 (二)F檢驗(yàn) 在方差分析中所進(jìn)行的F 檢驗(yàn)?zāi)康脑谟谕茢嗵幚黹g的差異是否存在，檢驗(yàn)?zāi)稠?xiàng)變異因

19、素的效應(yīng)方差是否為零。因此，在計(jì)算F 值時(shí)總是以被檢驗(yàn)因素的均方作分子，以誤差均方作分母。應(yīng)當(dāng)注意，分母項(xiàng)的正確選擇是由方差分析的模型和各項(xiàng)變異原因的期望均方?jīng)Q定的。 在方差分析中所進(jìn)行的F 檢驗(yàn)?zāi)康脑谟谕茢嗵幚黹g的 在單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析中，無(wú)效假設(shè)為H0：1=2=k，備擇假設(shè)為 HA：各i不全相等，或H0 ： =0,HA: 0； F=MSt/MSe，也就是要判斷處理間均方是否顯著大于處理內(nèi)(誤差)均方。 如果結(jié)論是肯定的，我們將否定H0；反之，不否定H0。 在單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析中，無(wú)效假設(shè)為H0： 反過(guò)來(lái)理解：如果H0是正確的，那么MSt與MSe都是總體誤差2的估計(jì)值，理論上講F

20、值等于1；如果H0是不正確的，那么 MSt之期望均方中的就不等于零，理論上講 F 值就必大于1。但是由于抽樣的原因，即使H0正確，F(xiàn)值也會(huì)出現(xiàn)大于1的情況。所以，只有F值大于1達(dá)到一定程度時(shí)，才有理由否定H0。 反過(guò)來(lái)理解：如果H0是正確的，那么MSt與MS 實(shí)際進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，是將由試驗(yàn)資料所算得的F值與根據(jù)df1=dft (大均方 ，即分子均方的自由度)、df2=dfe(小均方，即分母均方的自由度)查附表4所得的臨界F值 ， 相比較作出統(tǒng)計(jì)推斷的。 若F ， 即P0.05，不能否定H0，統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異不顯著，在F值的右上方標(biāo)記“ns”，或不標(biāo)記符號(hào)； 實(shí)際進(jìn)行F

21、檢驗(yàn)時(shí)，是將由試驗(yàn)資料所算得的F值與根 若 F ， 即0.01P0.05，否定H0，接受HA， 統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異顯著，在F值的右上方標(biāo)記“*”； 若F ，即P0.01，否定H0，接受HA，統(tǒng)計(jì)學(xué)上，把這一檢驗(yàn)結(jié)果表述為：各處理間差異極顯著，在 F 值 的 右上方標(biāo)記“*”。 若 對(duì)于【例1】： 因?yàn)?F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13*； 根據(jù) df1 = dft = 3 ， df2 = dfe = 16 查附表4，得F0.01(3，16)； 因?yàn)?FF0.01(3，16) =5.29, P0.01 表明四種不同飼料對(duì)魚(yú)的增重效果差異極顯著，用不同的

22、飼料飼喂，增重是不同的。 對(duì)于【例1】： 表3 表2資料方差分析表 在方差分析中， 通常將變異來(lái)源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表，見(jiàn)表3。 表3 表2資料方差分析表 在實(shí)際進(jìn)行方差分析時(shí)，只須計(jì)算出各項(xiàng)平方和與自由度，各項(xiàng)均方的計(jì)算及F檢驗(yàn)可在方差分析表上進(jìn)行。 在實(shí)際進(jìn)行方差分析時(shí)，只須計(jì)算出各項(xiàng)平方和與五、多重比較統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱(chēng)為多重比較(multiple comparisons)。多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和 最小顯著極差法(LSR法)五、多重比較統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱(chēng)為多重比較( （一）最小顯著差數(shù)法 (

23、LSD法，least significant difference) 此法的基本作法是： 1、F檢驗(yàn)顯著2、計(jì)算出顯著水平為的3、 與 其比較。 若 LSD時(shí)，則 與 在水平上差異顯著；反之，則在水平上差異不顯著。 （一）最小顯著差數(shù)法 (LSD法，least (17) 式中： 為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為的臨界t值， 為均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤，由(18)式算得。 (18) 其中 為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理的重復(fù)數(shù)。 當(dāng)顯著水平=0.05和0.01時(shí)，從t值表中查出 和 ，代入(17)式得： (19) 生物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件LSD法步驟：(1) 列出平均數(shù)的多重比較表 比較表中各處理按

24、其平均數(shù)從大到小自上而下排列； (2)計(jì)算最小顯著差數(shù) 和 ；(3)將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與 、 比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。 LSD法步驟： 表4 例1中四種飼料平均增重的多重比較結(jié)果 (LSD法) Step 1 表4 例1中四種飼料平均增重的多重比較結(jié)果Step 1計(jì)算 和 查t值表得： t0.05(dfe) =t0.05(16) =2.120 t0.01(dfe) =t0.01(16) =2.921 所以，顯著水平為0.05與0.01的最小顯著差數(shù)為Step 2計(jì)算 和 將表4中的6個(gè)差數(shù)與 ， 比較： 小于 ，標(biāo)記“ns”，或不標(biāo)記符號(hào)； 介于 與 之間標(biāo)記“*”； 大于 ，標(biāo)記

25、“*”。Step 3 將表4中的6個(gè)差數(shù)與 ， 結(jié)果結(jié)果 關(guān)于LSD 法的應(yīng)用有以下幾點(diǎn)說(shuō)明： 1、 LSD 法實(shí)質(zhì)上就是t檢驗(yàn)法。它解決了本章開(kāi)頭指出的檢驗(yàn)法檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣，無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差且估計(jì)誤差的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低這兩個(gè)問(wèn)題。但LSD法并未解決推斷的可靠性降低、犯I型錯(cuò)誤的概率變大的問(wèn)題。 關(guān)于LSD 法的應(yīng)用有以下幾點(diǎn)說(shuō)明： 2、因?yàn)長(zhǎng)SD法實(shí)質(zhì)上是t檢驗(yàn)，故有人指出其最適宜的比較形式是：在進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)就確定各處理只是固定的兩個(gè)兩個(gè)相比，每個(gè)處理平均數(shù)在比較中只比較一次。例如，在一個(gè)試驗(yàn)中共有4個(gè)處理， 設(shè)計(jì)時(shí)已確定只是處理1與處理2、處理3與處理4(或1與3、2與4；或1與4、

26、2與3)比較， 而其它的處理間不進(jìn)行比較。因?yàn)檫@種比較形式實(shí)際上不涉及多個(gè)均數(shù)的極差問(wèn)題，所以不會(huì)增大犯I型錯(cuò)誤的概率。 2、因?yàn)長(zhǎng)SD法實(shí)質(zhì)上是t檢驗(yàn)，故有人指出其最適 綜上所述，對(duì)于多個(gè)處理平均數(shù)所有可能的兩兩比較，LSD法的優(yōu)點(diǎn)在于方法比較簡(jiǎn)便，克服一般檢驗(yàn)法所具有的某些缺點(diǎn)，但是由于沒(méi)有考慮相互比較的處理平均數(shù)依數(shù)值大小排列上的秩次，故仍有推斷可靠性低、犯I型錯(cuò)誤概率增大的問(wèn)題。為克服此弊病，統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了最小顯著極差法。 綜上所述，對(duì)于多個(gè)處理平均數(shù)所有可能的兩兩比較， (二)最小顯著極差法 (LSR法 ,Least significant ranges) LSR法的特點(diǎn)是把平均數(shù)的

27、差數(shù)看成是平均數(shù)的極差， 根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱(chēng)為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做 最小顯著極差LSR。 (二)最小顯著極差法 (LSR法 ,Least 因?yàn)長(zhǎng)SR法是一種極差檢驗(yàn)法，所以當(dāng)一個(gè)平均數(shù)大集合的極差不顯著時(shí)，其中所包含的各個(gè)較小集合極差也應(yīng)一概作不顯著處理。 LSR法克服了LSD法的不足 ，但檢驗(yàn)的工作量有所增加。常用的LSR法有q檢驗(yàn)法和新復(fù)極差法兩種。 1、q檢驗(yàn)法(q test) 此法是以統(tǒng)計(jì)量q的概率分布為基礎(chǔ)的。q值由下式求得： (20) 因?yàn)長(zhǎng)SR法是一種極差檢驗(yàn)法，所以當(dāng)

28、一個(gè)平均數(shù)大 式中，為極差， 為標(biāo)準(zhǔn)誤，分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。 利用q檢驗(yàn)法進(jìn)行多重比較時(shí)，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不是將由(20)式算出的q值與臨界q值比較，而是將極差與 比較，從而作出統(tǒng)計(jì)推斷。 即為水平上的最小顯著極差。 式中，為極差， (21) 當(dāng)顯著水平=0.05和0.01時(shí)， 從 附 表5(q值表)中根據(jù)自由度 及秩次距 k 查出 和 代入(21)式得 (22) 實(shí)際利用q檢驗(yàn)法進(jìn)行多重比較時(shí)，可按如下步驟進(jìn)行： (1)列出平均數(shù)多重比較表； (2)由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計(jì)算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k； (3)將平均數(shù)多重比較表中的各極差

29、與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,k, LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。 對(duì)于【例1】，各處理平均數(shù)多重比較表同表4。 在表4中， 極差1.54、1.68、3.22的秩次距為2；極差3.22、4.90的秩次距為3；極差6.44的秩次距為4。 (1)列出平均數(shù)多重比較表； 因?yàn)椋琈Se=5.34，故標(biāo)準(zhǔn)誤 為 根據(jù)dfe=16，k=2，3，4 由 附表5查出=0.05、0.01水平下臨界q值，乘以標(biāo)準(zhǔn)誤求得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表5。 因?yàn)?，MSe=5.34，故標(biāo)準(zhǔn)誤 為 表5 q值及LSR值 表5 q值及LSR值 將表4中的極差1.54、1.68、3.22 與表5中的最小顯著極差

30、 3.099 、4.266比較 ； 將極差3.22、4.90與3.770、4.948比較； 將極差6.44與4.184、5.361比較。 檢驗(yàn)結(jié)果， 除A4與 A3的差數(shù)3.22由LSD法比較時(shí)的差異顯著變?yōu)椴町惒伙@著外，其余檢驗(yàn)結(jié)果同法。 將表4中的極差1.54、1.68、3.22 與表 2、新復(fù)極差法(new multiple range method) 此法是由鄧肯 (Duncan) 于1955年提出，故又稱(chēng)Duncan法，此法還稱(chēng)SSR法(shortest significant ranges)。 新復(fù)極差法與q檢驗(yàn)法的檢驗(yàn)步驟相同，唯一不同的是計(jì)算最小顯著極差時(shí)需查SSR表(附表6)

31、而不是查q值表。最小顯著極差計(jì)算公式為 (23) 2、新復(fù)極差法(new multiple ran 其中是根據(jù)顯著水平、誤差自由度dfe、秩次距k，由SSR表查得的臨界SSR， 。=0.05 和 =0.01 水平下的最小顯著極差為： (24) 對(duì)于【例6.1】，各處理均數(shù)多重比較表同表4。 已算出 =1.033，依dfe=16 k=2,3,4,由附表6查臨界SSR0.05(16,k)和SSR0.01(16,k)值，乘以 =1.033，求得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表6-6。 其中是根據(jù)顯著水平、誤差自由度dfe、秩次距k 表6 SSR值與LSR值 表6 SSR值與LSR值 將表4中的平均數(shù)差

32、數(shù)(極差)與表6中的最小顯著極差比較，檢驗(yàn)結(jié)果與 q檢驗(yàn)法 相同。 當(dāng)各處理重復(fù)數(shù)不等時(shí)，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不論LSD法還是LSR法，可用(6-25)式計(jì)算出一個(gè)各處理平均的重復(fù)數(shù)n0，以代替計(jì)算 或 所需的n。 (25) 式中k為試驗(yàn)的處理數(shù)， (i=1,2,k)為第i處理的重復(fù)數(shù)。 將表4中的平均數(shù)差數(shù)(極差)與表6中的最小顯著極 以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗(yàn)尺度有如下關(guān)系： LSD法新復(fù)極差法q檢驗(yàn)法 當(dāng)秩次距k=2時(shí)，取等號(hào)； 秩次距 k 3時(shí)，取小于號(hào)。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗(yàn)法尺度最大，新復(fù)極差法尺度居中。用 上述排列順序前面方法檢驗(yàn)顯著的差數(shù)，用后面方法檢驗(yàn)未必顯

33、著；用后面方法檢驗(yàn)顯著的差數(shù)，用前面方法檢驗(yàn)必然顯著。 一般地講，一個(gè) 以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗(yàn)尺度有如下關(guān)系試驗(yàn)資料，究竟采用哪一種多重比較方法，主要應(yīng)根據(jù)否定一個(gè)正確的 H0 和接受一個(gè)不正確的H0的相對(duì)重要性來(lái)決定。如果否定正確的 H0是事關(guān)重大或后果嚴(yán)重的，或?qū)υ囼?yàn)要求嚴(yán)格時(shí)，用檢驗(yàn)法較為妥當(dāng) ；如果接受一個(gè)不正確的H0是事關(guān)重大或后果嚴(yán)重的，則宜用新復(fù)極差法。 生物試驗(yàn)中，由于試驗(yàn)誤差較大，常采用新復(fù)極差法；F檢驗(yàn)顯著后，為了簡(jiǎn)便 ，也可采用LSD法。試驗(yàn)資料，究竟采用哪一種多重比較方法，主要應(yīng)根據(jù)否定一個(gè)正確 (三)多重比較結(jié)果的表示法 各平均數(shù)經(jīng)多重比較后，應(yīng)以簡(jiǎn)明的形

34、式將結(jié)果表示出來(lái)，常用的表示方法有以下兩種。 1、三角形法 此法是將多重比較結(jié)果直接標(biāo)記在平均數(shù)多重比較表上，如表4所示。此法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便直觀，缺點(diǎn)是占的篇幅較大。 2、標(biāo)記字母法 此法是先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列 ； 然后在最大平均數(shù)后標(biāo)記字母， 并 將 該 平 均數(shù)與 以 下 各 平 均 數(shù)依次相比，凡 差 異 不 顯著標(biāo) 記 同 一 字 母 ，直到某一個(gè)與其差異顯著的平均數(shù)標(biāo)記字母b ； (三)多重比較結(jié)果的表示法 再以標(biāo)有字母b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn) ，與上方比它大的各個(gè)平均數(shù)比較，凡差異不顯著一律再加標(biāo)b ，直至顯著為止； 再以標(biāo)記有字母 b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與下面各未標(biāo)記字母的

35、平均數(shù)相比，凡差異不顯著，繼續(xù)標(biāo)記字母b，直至某一個(gè)與其差異顯著的平均數(shù)標(biāo)記c； 如此重復(fù)下去，直至最小一個(gè)平均數(shù)被標(biāo)記、比較完畢為止。這樣，各平均數(shù)間凡有一個(gè)相同字母的即為差異不顯著，凡無(wú)相同字母的即為差異顯著。 用小寫(xiě)拉丁字母表示顯著水平 =0.05 ，用大寫(xiě)拉丁字母表示顯著水平=0.01。 在利用字母標(biāo)記法表示多重比較結(jié)果時(shí)，常在三角形法的基礎(chǔ)上進(jìn)行。此法的優(yōu)點(diǎn)是占篇幅小，在科技文獻(xiàn)中常見(jiàn)。 再以標(biāo)有字母b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn) ，與上方比它大的各個(gè)平均 對(duì)于【例1】，現(xiàn)根據(jù)表4所表示的 用新復(fù)極差法進(jìn)行多重比較結(jié)果用字母標(biāo)記如表7所示(注意，用新復(fù)極差法進(jìn)行多重比較 ， 表4中A4與A3的差數(shù)

36、3.22在=0.05的水平 上不顯著，其余的與LSD法同)。 表7 表4多重比較結(jié)果的字母標(biāo)記(SSR法) 對(duì)于【例1】，現(xiàn)根據(jù)表4所表示的 用新復(fù)極差法進(jìn) 在表7中，先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列。當(dāng)顯著水平=0.05時(shí)， 先 在平均 數(shù)31.18行上標(biāo)記字母a；由于31.18與27.96 之差為3.22， 在=0.05水平上顯著 ， 所以 在 平均數(shù)27.96行上標(biāo)記字母b；然后以標(biāo)記字母b的平均數(shù)27.96 與 其 下方的 平均數(shù) 26.28 比較，差數(shù)為1.68，在=0.05水平上不顯著 ， 所以在平均數(shù)26.28行上標(biāo)記字母b ；再將平均數(shù)27.96與平均數(shù)24.74比較 ，差

37、數(shù)為3.22 ，在=0.05水平上不顯著，所以在平均數(shù)24.74行上標(biāo)記字母b。類(lèi)似地，可以在= 0.01 將 各 處理平均數(shù)標(biāo)記上字母，結(jié)果見(jiàn)表6-7。q檢驗(yàn)結(jié)果與SSR法檢驗(yàn)結(jié)果相同。 在表7中，先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列。 由表7看到，A1飼料對(duì)魚(yú)的平均增重極顯著地高于A2和A3飼料，顯著高于A4飼料；A4、A2、A3 三 種 飼料對(duì)魚(yú)的平均增重差異不顯著。四種飼料其中以A1飼料對(duì)魚(yú)的增重效果最好。 應(yīng)當(dāng)注意，無(wú)論采用哪種方法表示多重比較結(jié)果，都應(yīng)注明采用的是哪一種多重比較法。 由表7看到，A1飼料對(duì)魚(yú)的平均增重極顯著地高于A 七、方差分析的基本步驟 方差分析的基本步驟歸納如下

38、： （一）計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度； （二）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)； （三）若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。 多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法 (LSR法 ：包括q檢驗(yàn)法和新復(fù)極差法) 。表示多重比較結(jié)果的方法有三角形法和標(biāo)記字母法。 七、方差分析的基本步驟 第二節(jié) 單因素試驗(yàn)資料的方差分析根據(jù)各處理內(nèi)重復(fù)數(shù)是否相等，單因素試驗(yàn)資料的方差分析又分為重復(fù)數(shù)相等和重復(fù)數(shù)不等兩種情況。第二節(jié) 單因素試驗(yàn)資料的方差分析根據(jù)各處理內(nèi)重復(fù)數(shù)是否相等一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析 【例3】抽測(cè)5個(gè)不同品種的若干頭母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)，結(jié)果見(jiàn)表12，試檢驗(yàn)不同品種母豬平均窩產(chǎn)仔數(shù)的差異是否

39、顯著。 表12 五個(gè)不同品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析 這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，k=5,n=5?，F(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析如下： 1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，k=5,n=5?，F(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 表13 不同品種母豬的窩產(chǎn)仔數(shù)的方差分析表 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 表13 根據(jù)df1=dft=4,df2=dfe=20查臨界F值 得：F0.05(4,20) =2.87,F0.05(4,20) =4.43 因?yàn)镕F0.01(4,20)，即P0.01，表明品種間產(chǎn)仔數(shù)的差異達(dá)到1%顯著水平。 3、多重比較 采用新

40、復(fù)極差法，各處理平均數(shù)多重比較表見(jiàn)表14。 根據(jù)df1=dft=4,df2=dfe=20查臨 表14 不同品種母豬的平均窩產(chǎn)仔數(shù) 多重比較表(SSR法) 表14 不同品種母豬的平均窩產(chǎn)仔數(shù) 因?yàn)镸Se=3.14,n=5，所以 為： 根據(jù)dfe=20，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出=0.05和=0.01的各臨界SSR值，乘以 =0.7925，即得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表15。 因?yàn)镸Se=3.14,n=5，所以 為： 表15 SSR值及LSR值 表15 SSR值及LSR值二、各處理重復(fù)數(shù)不等的方差分析 設(shè)處理數(shù)為k；各處理重復(fù)數(shù)為n1, n2, nk；試驗(yàn)觀測(cè)值總數(shù)為N=ni。則 (

41、28) 二、各處理重復(fù)數(shù)不等的方差分析 【例4】 5個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，后期30天增重(kg)如表16所示。試比較品種間增重有無(wú)差異。 表16 5個(gè)品種豬30天增重 【例4】 5個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，后期30天增 此例處理數(shù)k=5，各處理重復(fù)數(shù)不等。現(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析如下： 1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 此例處理數(shù)k=5，各處理重復(fù)數(shù)不等?，F(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 臨界F值為：F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43， 因?yàn)槠贩N間的F值 5.99F0.01(4,20)，P0.01，表明品種間差異極顯著。 2、

42、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 表17 5個(gè)品種育肥豬增重方差分析表 表17 5個(gè)品種育肥豬增重方差分析表 3、多重比較 采用新復(fù)極差法，各處理平均數(shù)多重比較表見(jiàn)表18。 因?yàn)楦魈幚碇貜?fù)數(shù)不等，應(yīng)先由 (25)式計(jì)算出平均重復(fù)次數(shù)n0來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)誤 中的n，此例于是，標(biāo)準(zhǔn)誤 為： 3、多重比較 采用新復(fù)極差法，各處理平均數(shù)多表18 5個(gè)品種育肥豬平均增重多重比較表(SSR法)表18 5個(gè)品種育肥豬平均增重多重比較表(SSR法) 根據(jù)dfe=20，秩次距k=2,3,4,5，從附表6中查出=0.05與=0.01的臨界SSR值，乘以 =0.625，即得各最小顯極差，所得結(jié)果列于表19。 根據(jù)dfe=20，

43、秩次距k=2,3,4,5，從附 表19 SSR值及LSR值表 表19 SSR值及LSR值表第三節(jié) 兩因素試驗(yàn)資料的方差分析 兩因素試驗(yàn)資料的方差分析是指對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)同時(shí)受到兩個(gè)試驗(yàn)因素作用的試驗(yàn)資料的方差分析。兩因素試驗(yàn)按水平組合的方式不同，分為交叉分組和系統(tǒng)分組兩類(lèi)，因而對(duì)試驗(yàn)資料的方差分析方法也分為交叉分組方差分析和系統(tǒng)分組方差分析兩種。 第三節(jié) 兩因素試驗(yàn)資料的方差分析 兩因素試驗(yàn) 一、交叉分組資料的方差分析 設(shè)試驗(yàn)考察A、B兩個(gè)因素，A因素分a個(gè)水平，B因素分b個(gè)水平。 所謂交叉分組是指A因素每個(gè)水平與B因素的每個(gè)水平都要碰到，兩者交叉搭配形成ab個(gè)水平組合即處理，試驗(yàn)因素A 、B在試驗(yàn)

44、中處于平等地位。 試驗(yàn)單位分 成 ab 個(gè)組，每組隨機(jī)接受一種處理，因而試驗(yàn)數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組。這種試驗(yàn)以各處理是單獨(dú)觀測(cè)值還是有重復(fù)觀測(cè)值又分為兩種類(lèi)型。 一、交叉分組資料的方差分析 (一)兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料的方差分析 對(duì)于A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素的全部ab個(gè)水平組合，每個(gè)水平組合只有一個(gè)觀測(cè)值， 全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀測(cè)值，其數(shù)據(jù)模式如表20所示。 (一)兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料的方差分析 表20 兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式 表20 兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式表20中 表20中 兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為： (29) 式中，為總平均數(shù)；生物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件 i，j分別為

45、Ai、Bj的效應(yīng): i=i-, j=j-,i、 j分別為Ai、Bj觀測(cè)值總體平均數(shù)， 且i=0,j=0; ijl為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，2)。 i，j分別為Ai、Bj的效應(yīng): 交叉分組兩因素單獨(dú)觀測(cè)值的試驗(yàn)，A因素的每個(gè)水平有b次重復(fù)，B因素的每個(gè)水平有a次重復(fù)，每個(gè)觀測(cè)值同時(shí)受到A、B 兩 因素及隨機(jī)誤差的作用。因此全部 ab 個(gè)觀測(cè)值的總變異可以剖分為 A 因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗(yàn)誤差三部分；自由度也相應(yīng)剖分。平方和與自由度的剖分式如下： 交叉分組兩因素單獨(dú)觀測(cè)值的試驗(yàn)，A因素的每個(gè)水平 (30) 各項(xiàng)平方和與自由度的計(jì)算公式為:矯正數(shù) 總平方和 A因素平方和 B

46、因素平方和 (31) 生物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB 總自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 誤差自由度 dfe= dfT - dfA dfB =(a-1)(b-1) 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SS相應(yīng)均方為相應(yīng)均方為 【例5】 為研究雌激素對(duì)子宮發(fā)育的影響，現(xiàn)有4窩不同品系未成年的大白鼠，每窩3只，隨機(jī)分別注射不同劑量的雌激素，然后在相同條件下試驗(yàn)，并稱(chēng)得它們的子宮重量，見(jiàn)表21，試作方差分析。 【例5】 為研究雌激素對(duì)子宮發(fā)育的影響，現(xiàn)有4窩表21 各品系大白鼠注射不同劑量雌激素的子宮重量(g)

47、表21 各品系大白鼠注射不同劑量雌激素的子宮重量(g) 這是一個(gè)兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料。A因素(品系)有4個(gè)水平，即a=4；B因素(雌激素注射劑量 ) 有 3 個(gè) 水 平 ，即 b = 3 ， 共 有ab=34=12個(gè)觀測(cè)值。方差分析如下： 1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度 這是一個(gè)兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)資料。A因素(品系)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件生物統(tǒng)計(jì)學(xué)：方差分析課件 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 表22 表21資料的方差分析表 2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn) 根據(jù)df1=dfA=3, df2=dfe=6 查 臨界F值，F(xiàn)0.01(3,6)=9.78；根據(jù)df1=dfB=2，df2=dfe=6

48、查臨界F值，F(xiàn)0.01(2,6)=10.92。 因?yàn)?A 因素 的 F 值 23.77 F0.01(3,6)，P0.01，表明不同品系間差異極顯著 ；B 因 素 的 F 值33.54F0.01(2,6)，P0.01，表明不同雌激素劑量間差異極顯著。也就是說(shuō)不同品系和不同雌激素劑量對(duì)大白鼠子宮的發(fā)育均有極顯著影響 ，有 必 要進(jìn)一步對(duì)A、B兩因素不同水平的平均測(cè)定結(jié)果進(jìn)行多重比較。 根據(jù)df1=dfA=3, df2=dfe=6 3、多重比較 （1）不同品系的子宮平均重量比較 表23 各品系子宮平均重量多重比較（q法） 3、多重比較 在兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)情況下，因?yàn)锳因素(本例為品系)每一水平的

49、重復(fù)數(shù)恰為B因素的水平數(shù)b，故A因素的標(biāo)準(zhǔn)誤 ，此例b=3,MSe=90.5556，故 根據(jù)dfe=6，秩次距k=2,3,4從附表5中查出=0.05 和 =0.01的臨界q值，與標(biāo)準(zhǔn)誤 相乘，計(jì)算出最小顯著極差LSR，結(jié)果見(jiàn)表24。 在兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)情況下，因?yàn)锳因素(本例為 表24 q值及LSR值 表24 q值及LSR值 檢驗(yàn)結(jié)果表明，A1、A 3品系與A2、A 4品系的子宮平均重量均有極顯著的差異；但A1與A 3及A2與A4品系間差異不顯著。 (2)不同激素劑量的子宮平均重量比較 檢驗(yàn)結(jié)果表明，A1、A 3品系與A2、A 4品系的 表25 不同雌激素劑量的子宮平均重量 多重比較(q法

50、) 表25 不同雌激素劑量的子宮平均重量 在兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)情況下，B因素(本例為雌激素劑量)每一水平的重復(fù)數(shù)恰為A因素的水平數(shù)a，故 B 因 素 的 標(biāo)準(zhǔn)誤 ，此 例 a=4，MSe=90.5556。故 根據(jù) dfe=6 ，秩次距 k=2,3 查臨界 q 值 并與 相乘，求得最小顯著極差LSR，見(jiàn)表26。 在兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)情況下，B因素(本例為雌激 表26 q值與LSR值 檢驗(yàn)結(jié)果表明，注射雌激素劑量為0.8 mg的大白鼠子宮重量極顯著大于注射劑量為0.4 mg和0.2mg的子宮重量， 而后兩種注射劑量的子宮重量間也有顯著差異。 表26 q值與LSR值 在進(jìn)行兩因素或多因素的試驗(yàn)時(shí)

51、，除了研究每一因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響外，往往更希望研究因素之間的交互作用。例如，通過(guò)對(duì)畜禽所處環(huán)境的溫度、濕度、光照、噪音以及空氣中各種有害氣體等對(duì)畜禽生長(zhǎng)發(fā)育的影響有無(wú)交互作用的研究，對(duì)最終確定有利于畜禽生產(chǎn)的最佳環(huán)境控制是有重要意義的。對(duì)畜禽的不同品種(品系)及其與飼料條件、各種環(huán)境因素互作的研究，有利于 合理 利用品種資源充分發(fā)揮不同畜禽的生產(chǎn) 在進(jìn)行兩因素或多因素的試驗(yàn)時(shí)，除了研究每一因素對(duì)潛能。又如在飼料科學(xué)中，常常要研究各種營(yíng)養(yǎng)成分間有無(wú)交互作用，從而找到最佳的飼料配方，這對(duì)于合理利用飼料原料提高飼養(yǎng)水平等都是非常有意義的。 前面介紹的兩因素單獨(dú)觀測(cè)值試驗(yàn)只適用于兩個(gè)因素間無(wú)交互作用

52、的情況。若兩因素間有交互作用， 則每個(gè)水平組合中只設(shè) 一個(gè)試驗(yàn)單位(觀察單位)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)是不正確的或不完善的。這是因?yàn)椋簼撃?。又如在飼料科學(xué)中，常常要研究各種營(yíng)養(yǎng)成分間有無(wú)交互作用 (1)在這種情況下，(31)式中 SSe,dfe實(shí)際上是A、B 兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方 ，主要反映由交互作用引起的變異。 (2)這時(shí)若仍按 【例5】所采用的方法進(jìn)行方差分析，由于誤差均方值大 ( 包含交互作用在內(nèi))，有可能掩蓋試驗(yàn)因素的顯著性， 從而增大犯型錯(cuò)誤的概率。 (3)因?yàn)槊總€(gè)水平組合只有一個(gè)觀測(cè)值，所以無(wú)法估計(jì)真正的試驗(yàn)誤差，因而不可能對(duì)因素的交互作用進(jìn)行研究。 (1)

53、在這種情況下，(31)式中 SSe,dfe 因此，進(jìn)行兩因素或多因素試驗(yàn)時(shí)，一般應(yīng)設(shè)置 重復(fù)，以便正確估計(jì)試驗(yàn)誤差，深入研究因素間的交 互作用。 (二)兩因素有重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)的方差分析 對(duì)兩因素和多因素有重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)結(jié)果的分析， 能研究因素的簡(jiǎn)單效應(yīng)、主效應(yīng)和因素間的交互作用 (互作)效應(yīng)。現(xiàn)介紹這三種效應(yīng)的意義如下： 因此，進(jìn)行兩因素或多因素試驗(yàn)時(shí)，一般應(yīng)設(shè)置 1、簡(jiǎn)單效應(yīng)(simple effect) 在某因素同一水平上，另一因素不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響稱(chēng)為簡(jiǎn)單效應(yīng)。如在表27中， 在A1(不加賴氨酸)上，B2- B 1=480-470=10；在A2 (加賴氨酸)上，B2- B1=512

54、-472=40；在B1 (不加蛋氨酸)上， A2-A1=472-470=2； 在 B2 (加蛋氨酸)上，A2-A1=512-480=32等就是簡(jiǎn)單效應(yīng)。簡(jiǎn)單效應(yīng)實(shí)際上是特殊水平組合間的差數(shù)。 1、簡(jiǎn)單效應(yīng)(simple effect) 表27 日糧中加與不加賴、蛋氨酸雛雞的增重(g)表27 日糧中加與不加賴、蛋氨酸雛雞的增重(g) 2、主效應(yīng)(main effect) 由于因素水平的改變而引起的平均數(shù)的改變量稱(chēng)為主效應(yīng)。 如在表27中，當(dāng)A因素由A1水平變到A2水平時(shí)，A因素的主效應(yīng)為A2水平的平均數(shù)減去A1水平的平均數(shù)，即 A因素的主效應(yīng)=492-475=17 同理 B因素的主效應(yīng)=496-

55、471=25 主效應(yīng)也就是簡(jiǎn)單效應(yīng)的平均，如 (32+2)2=17，(40+10)2=25。 2、主效應(yīng)(main effect) 由于 3、交互作用 (互作，interaction) 在多因素試驗(yàn)中，一個(gè)因素的作用要受到另一個(gè)因素的影響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，這種現(xiàn)象稱(chēng)為該兩因素存在交互作用。如在表27中： A在B1水平上的效應(yīng)=472-470=2 A在B2水平上的效應(yīng)=512-480=32 B在A1水平上的效應(yīng)=480-470=10 B在A2水平上的效應(yīng)=512-472=40 3、交互作用 (互作，interaction) 顯而易見(jiàn)，A的效應(yīng)隨著B(niǎo)因素水平的

56、不 同而不同，反之亦然，此時(shí)稱(chēng)A、B兩因素間存 在交互作用，記為AB?；蛘哒f(shuō)，某一因素的簡(jiǎn)單效應(yīng)隨著另一因素水平的變化而變化時(shí)，則稱(chēng)該兩因素間存在交互作用。 互作效應(yīng)可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2來(lái)估計(jì)。 表27中的互作效應(yīng)為： (470+512-480-472)/2=15 顯而易見(jiàn)，A的效應(yīng)隨著B(niǎo)因素水平的不 同而不同， 所謂互作效應(yīng)實(shí)際指的就是由于兩個(gè)或兩個(gè)以上試驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。如在表27中： A2B1-A1B1=472-470=2，這是添加賴氨酸單獨(dú)作用的效應(yīng)； A1B2-A1B1=480-470=10，這是添加蛋氨酸單獨(dú)作用的效應(yīng)， 兩者單獨(dú)作用的效應(yīng)

57、總和是2+10=12； 但是，A2B2-A1B1=512-470=42，而不是12； 這就是說(shuō)， 同時(shí)添加賴氨酸、 蛋氨酸產(chǎn)生的 效應(yīng) 所謂互作效應(yīng)實(shí)際指的就是由于兩個(gè)或兩個(gè)以上試驗(yàn)因不是單獨(dú)添加一種氨基酸所產(chǎn)生效應(yīng)的和，而另外多增加了30，這個(gè)30是兩種氨基酸共同作用的結(jié)果。若將其平均分到每種氨基酸上，則各為15，即估計(jì)的互作效應(yīng)。 下面介紹兩因素有重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)結(jié)果的方差分析方法。不是單獨(dú)添加一種氨基酸所產(chǎn)生效應(yīng)的和，而另外多增加了30，這 設(shè)A與B兩因素分別具有a與b個(gè)水平，共有ab個(gè)水平組合，每個(gè)水平組合有n次重復(fù)，則全試驗(yàn)共有abn個(gè)觀測(cè)值。這類(lèi)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)模式如表28所示。 設(shè)A

58、與B兩因素分別具有a與b個(gè)水平，共有ab個(gè)水 表28 兩因素有重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式 表28 兩因素有重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式 表28中 表28中 兩因素有重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為: (32)其中， 為總平均數(shù)； i為Ai的效應(yīng)； j為Bj的效應(yīng)； () ij為Ai與Bj的互作效應(yīng)， 分別為Ai、Bj、Ai Bj觀測(cè)值總體平均數(shù)；且 分別為Ai、Bj、Ai 為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且都服從N(0，2)。 兩因素有重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)結(jié)果方差分析平方和與自由度的剖分式為： (33) 其中，SSAB,dfAB為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。 為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且都服從 若用SSAB,dfA

59、B表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則因處理變異可剖分為A因素、B因素及A、B交互作用變異三部分，于是SSAB、dfAB可剖分為： (34) 各項(xiàng)平方和、自由度及均方的計(jì)算公式如下： 若用SSAB,dfAB表示A、B水平組合間的平方矯正數(shù) B因素平方和與自由度 總平方和與自由度水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度（35）矯正數(shù)總平方和與自由度水平組合平方和與自由度A因素平方和與自 交互作用平方和與自由度 誤差平方和與自由度 相應(yīng)均方為相應(yīng)均方為 【例6】 為了研究飼料中鈣磷含量對(duì)幼豬生長(zhǎng)發(fā)育的影響，將鈣(A)、磷(B)在飼料中的含量各分 4個(gè)水平進(jìn)行交叉分組試

60、驗(yàn)。選用品種、性別、日齡相同，初始體重基本一致的幼豬 48 頭，隨機(jī)分成16組，每組3頭，用能量、蛋白質(zhì)含量相同的飼料在不同鈣磷用量搭配下各喂一組豬，經(jīng)兩月試驗(yàn)，幼豬增重結(jié)果(kg)列于表29，試分析鈣磷對(duì)幼豬生長(zhǎng)發(fā)育的影響。 【例6】 為了研究飼料中鈣磷含量對(duì)幼豬生長(zhǎng)發(fā)育的 本例A因素鈣的含量分4個(gè)水平，即a=4；B因素磷的含量分4個(gè)水平，即b=4；共有ab=44=16個(gè)水平組合；每個(gè)水平組合重復(fù)數(shù)n=3；全試驗(yàn)共有=443=48個(gè)觀測(cè)值。 本例A因素鈣的含量分4個(gè)水平，即a=4；B因 表29 不同鈣磷用量(%)的試驗(yàn)豬增重結(jié)果(kg) 表29 不同鈣磷用量(%)的試驗(yàn)豬增重結(jié)果(kg) 1