1、方差分析（analysis of variance）問題為了研究三種不同教材的質(zhì)量，抽取三個實驗班分別使用其中一種教材，而對其他因素加以控制。經(jīng)過一段時間的教學(xué)后進(jìn)行測試，得到三種實驗處理的數(shù)據(jù)如下：教材A：70 74 72 68 71；平均數(shù)：71教材B：75 80 77 68 75；平均數(shù)：75教材C：70 72 66 72 70；平均數(shù)：70總平均數(shù)：72三種教材的效果有無顯著差異？方差分析（analysis of variance）問題方差分析方差分析的必要性多個樣本的均值之差的顯著性檢驗 t 檢驗的誤差方差分析方差分析的必要性方差分析的目的方差分析的基本功能就在于它能對多組平均數(shù)差異

2、的顯著性進(jìn)行檢驗，而且可以避免多次逐對 t 檢驗所造成的錯誤概率的累積。方差分析的目的方差分析的基本功能就在于它能對多組平均數(shù)差異的方差分析中的幾個概念因素：實驗中的自變量稱為因素（factor）。只有一個自變量的實驗稱為單因素實驗，用單因素方差分析（One-Way ANOVA）。有兩個或兩個以上自變量的實驗稱為多因素實驗，用多因素方差分析。水平：某一個因素的不同情況稱為因素的水平（level）。包括量差或質(zhì)別兩類情況。處理（treatment）：按各個水平條件進(jìn)行的重復(fù)實驗稱為各種處理。方差分析中的幾個概念因素：實驗中的自變量稱為因素（facto方差分析的邏輯方差分析的邏輯方差分析的邏輯組間

3、差異（between-groups variance）組內(nèi)差異（ within-groups variance ）組間差異對組內(nèi)差異的比值越大，則各組平均數(shù)的差異就越明顯。通過對組間差異與組內(nèi)差異比值的分析，來推斷幾個相應(yīng)平均數(shù)差異的顯著性。方差分析的邏輯組間差異（between-groups var方差分析的前提獨(dú)立性正態(tài)性方差齊性方差分析的前提獨(dú)立性方差分析的數(shù)學(xué)模型可以解釋的和不能解釋的General Linear Model方差分析的數(shù)學(xué)模型可以解釋的和不能解釋的單因素完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析為了檢驗?zāi)骋粋€因素多種不同水平間的差異的顯著性，將從同一個總體中隨機(jī)抽取的被試，再隨機(jī)地分入各實

4、驗組，各實驗組隨機(jī)接受不同的實驗處理以后，用方差分析法對這多個獨(dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性進(jìn)行檢驗。Simple randomized participants design單因素完全隨機(jī)設(shè)計的方差分析為了檢驗?zāi)骋粋€因素多種不同水平間單因素方差分析(1)計算（離差）平方和組間平方和：組內(nèi)平方和：總平方和：單因素方差分析(1)計算（離差）平方和計算計算單因素方差分析(2)計算自由度組間自由度：K-1組內(nèi)自由度：N-K總自由度：N-1本例中：K-1=3-1=2N-K=15-3=12單因素方差分析(2)計算自由度單因素方差分析(3)計算均方差組間方差：MSA=SSA/(K-1)組內(nèi)方差：MSE=SSE

5、/(N-K)計算 F 值：MSA/MSE單因素方差分析(3)計算均方差計算計算均方差組間方差： MSA=SSE/(K-1)=70/2=35組內(nèi)方差：MSE=SSE/(N-K)=122/12=10.17計算 F 值：MSA/MSE=35/10.17=3.44查表：F(0.05, 2, 12)=3.88計算計算均方差方差分析表-差異來源平方和自由度方差F值Source SS df MS-組間差異SSAdfA MSAMSA/MSE組內(nèi)差異SSEdfEMSE總差異SSTdft -方差分析表-方差分析表-差異來源平方和自由度方差F值-組間差異 702353.44組內(nèi)差異122 1210.17總差異192

6、 14-方差分析表-完全隨機(jī)設(shè)計的逐對差異檢驗（一）multiple comparison of the meanst 檢驗（LSD檢驗）比較：完全隨機(jī)設(shè)計的逐對差異檢驗（一）multiple comp完全隨機(jī)設(shè)計的逐對差異檢驗（二）q 檢驗（HSD檢驗）完全隨機(jī)設(shè)計的逐對差異檢驗（二）q 檢驗（HSD檢驗）q值表三個條件：組內(nèi)方差的自由度顯著性水平等級數(shù)將要比較的平均數(shù)從小到大排序，并分別賦予等級R。求兩兩逐對比較的平均數(shù)的比較等級 r （等級差+1），r 就是等級數(shù)。q值表三個條件：多組方差的齊性檢驗 哈特萊（Hartley）最大 F 值檢驗法多組方差的齊性檢驗 哈特萊（Hartley）最

7、大 F 值檢驗Fmax值表三個條件：方差的組數(shù)K自由度（最大容量的樣本n-1）顯著性水平Fmax值表三個條件：雙因素方差分析(two-factor ANOVA)兩個因素的情況下，因素A有a個水平，因素B有b個水平，總共將有ab個處理。通過雙因素方差分析，可以推斷這兩個因素對平均數(shù)有無顯著影響(main effect)，以及兩者之間有無交互作用(interaction)。雙因素方差分析(two-factor ANOVA)兩個因素交互作用教材教法因素是否造成顯著差異？教材A教材B教法A7090教法B9070交互作用教材教法因素是否造成顯著差異？教材A教材B教法A70交互作用圖解交互作用圖解無交互作

8、用雙因素方差分析（1）提出假設(shè)：H0：A因素的各種水平之間無顯著差異，B因素的各種水平之間亦無顯著差異；H1：至少有一個因素的各種水平之間有顯著差異。（2）進(jìn)行離差平方和的分解：SST = SSA + SSB + SSE（3）計算自由度組內(nèi)自由度：(a 1) (b 1) = N a b + 1A因素自由度：a 1B因素自由度：b 1（4）計算均方差MSA = SSA / (a 1)MSB = SSB / (b 1)MSE = SSE / (a 1) (b 1)（5）計算F值FA = MSA / MSEFB= MSB / MSE（6）做出統(tǒng)計決斷無交互作用雙因素方差分析（1）提出假設(shè)：有交互作用

9、雙因素方差分析（1）提出假設(shè)：H0：A因素的各種水平之間無顯著差異，B因素的各種水平之間亦無顯著差異，兩因素間無交互作用；H1：至少有一個因素的各種水平之間有顯著差異，或兩因素間有交互作用。（2）進(jìn)行離差平方和的分解：SST = SSA + SSB + SSAB + SSE（3）計算自由度組內(nèi)自由度：N abA因素自由度：a 1B因素自由度：b 1交互作用自由度(a 1) (b 1) （4）計算均方差MSAB= SSAB /(a 1) (b 1) （5）計算F值 FAB = MSAB / MSE（6）做出統(tǒng)計決斷有交互作用雙因素方差分析（1）提出假設(shè)：雙因素方差分析計算平方和（一）雙因素方差分

10、析計算平方和（一）雙因素方差分析計算平方和（二） SSAB= SSTr SSA SSB雙因素方差分析計算平方和（二） 雙因素方差分析計算自由度總自由度：dft = N-1組間自由度：dfb=k-1組內(nèi)自由度：dfw=N-kA因素自由度：dfA=A-1B因素自由度：dfB=B-1AB自由度：dfA*B= dfb - dfA - dfB =(A-1)(B-1) 雙因素方差分析計算自由度雙因素方差分析計算均方差A(yù)因素方差：MSA=SSA/(A-1)B因素方差：MSB=SSB/(B-1)AB因素方差：MSA*B=SSA*B/ dfA*B組內(nèi)方差：MSE=SSE/(N-k)雙因素方差分析計算均方差雙因素

11、方差分析計算F值：FA= MSA/MSEFB= MSB/MSEFA*B= MSA*B /MSE雙因素方差分析計算F值：例題教材A教材B總和教法A64, 62, 70, 60(256)67, 71, 70, 68(276)532教法B89, 76, 81, 92(338)82, 73, 78, 77(310)648總和5945861180例題教材A教材B總和教法A64, 62, 70, 6067,例題教法1教法2教法3教法4總和教材180(163)86(176)92(190)63(132)661教材261(131)78(162)86 83(169)90(185)647教材394(184)53(1

12、07)79(157)89(176)624總和4784455164931932例題教法1教法2教法3教法4總和教材180869263661方差分析表差異來源平方和自由度方差FPA因素87.25243.633.88=.05B因素443.003147.6713.13*.01AB3038.756506.4945.02*.01誤差135.001211.25總計3704.0023方差分析表差異來源平方和自由度方差FPA因素87.25243隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析用方差分析法對多個相關(guān)樣本平均數(shù)差異所進(jìn)行的顯著性檢驗，稱之為隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的方差分析。randomized blocks design隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的

13、方差分析用方差分析法對多個相關(guān)樣本平均數(shù)差異所相關(guān)樣本的人數(shù)分配一個被試作為一個區(qū)組；每一區(qū)組內(nèi)被試的人數(shù)是實驗處理數(shù)的整數(shù)倍；區(qū)組內(nèi)以一個團(tuán)體為一個基本單元。 相關(guān)樣本的人數(shù)分配一個被試作為一個區(qū)組；計算總平方和=組間平方和+區(qū)組平方和+誤差平方和計算總平方和=組間平方和+區(qū)組平方和+誤差平方和例題為了比較四種中學(xué)語文實驗教材的教學(xué)效果，按隨機(jī)區(qū)組實驗設(shè)計原則，將中學(xué)分為重點(diǎn)中學(xué)、普通中學(xué)和薄弱中學(xué)三個區(qū)組，并分別在每個區(qū)組中隨機(jī)地抽取4所學(xué)校，它們分別被隨機(jī)地指派一種教材。經(jīng)過一年教學(xué)后通過統(tǒng)一考試得到各校平均分。問四種教材的教學(xué)效果有無顯著差異？例題為了比較四種中學(xué)語文實驗教材的教學(xué)效果，按隨機(jī)區(qū)組實驗設(shè)教學(xué)效果表ABCD小計I91.064.583.575.5314.5II92.559.091.574.0317.0III91.554.083.571.0300.0小計275.0177.5258.5220.5931.5平均分91.6759.1786.1773.50教學(xué)效果表ABCD小計I91.064.583.575.531方差分析表-差異來源平方和自由度方差F值-組間SSAdfAMSAMSA