2025年下學期初中數(shù)學與概率思維試卷一、統(tǒng)計與概率基礎知識點講解（一）數(shù)據(jù)的收集與整理基本概念總體：研究對象的全體，如"全校學生的身高"。個體：總體中的每一個考察對象，如"每個學生的身高"。樣本：從總體中抽取的部分個體，如"隨機抽取的50名學生的身高"。樣本容量：樣本中個體的數(shù)目，如"50"（無單位）。統(tǒng)計圖表條形統(tǒng)計圖：用矩形高度表示數(shù)量多少，適用于比較不同類別數(shù)據(jù)，例如對比班級男女生數(shù)學成績的優(yōu)秀人數(shù)。折線統(tǒng)計圖：用折線起伏表示數(shù)據(jù)變化趨勢，適用于展示時間序列數(shù)據(jù)，例如記錄某城市2025年每月的平均氣溫。扇形統(tǒng)計圖：用扇形面積占比表示各部分與總體的關系，所有扇形百分比之和為100%，例如展示某學校各年級學生人數(shù)占比。（二）數(shù)據(jù)的分析集中趨勢平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個數(shù)，計算公式為$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$。例如，數(shù)據(jù)10,20,30的平均數(shù)為$\frac{10+20+30}{3}=20$。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按大小排序后，位于中間位置的數(shù)（若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則取中間兩數(shù)的平均值）。例如，數(shù)據(jù)1,3,5的中位數(shù)為3；數(shù)據(jù)1,2,3,4的中位數(shù)為$\frac{2+3}{2}=2.5$。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可能不止一個。例如，數(shù)據(jù)2,2,3,3,4的眾數(shù)為2和3。波動程度方差：衡量數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，計算公式為$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$。方差越大，數(shù)據(jù)波動越大。標準差：方差的算術平方根，單位與原數(shù)據(jù)一致，計算公式為$s=\sqrt{s^2}$。（三）概率初步基本概念必然事件：一定發(fā)生的事件，概率為1，如"太陽從東方升起"。不可能事件：一定不發(fā)生的事件，概率為0，如"擲骰子出現(xiàn)7點"。隨機事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，概率介于0和1之間，如"擲硬幣正面朝上"。概率計算古典概型：事件A的概率$P(A)=\frac{事件A包含的等可能結(jié)果數(shù)}{所有等可能結(jié)果總數(shù)}$。例如，擲一枚骰子，出現(xiàn)偶數(shù)點的概率為$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$（偶數(shù)點為2,4,6，共3種結(jié)果）。頻率估計概率：通過大量重復試驗，事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在概率附近。例如，擲硬幣1000次，正面朝上502次，則可估計正面朝上的概率約為0.502。二、典型例題解析（一）統(tǒng)計圖表與數(shù)據(jù)分析例題1：某中學為了解學生每周體育鍛煉時間，隨機抽取200名學生進行調(diào)查，數(shù)據(jù)整理如下表：鍛煉時間（小時）0≤t<22≤t<44≤t<66≤t<88≤t≤10人數(shù)1030805030（1）補全條形統(tǒng)計圖（提示：橫軸為鍛煉時間，縱軸為人數(shù)）。（2）計算這200名學生每周鍛煉時間的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。（3）若該校共有1500名學生，估計每周鍛煉時間不少于6小時的學生人數(shù)。解析：（1）條形統(tǒng)計圖中，各時間段對應的矩形高度分別為10、30、80、50、30。（2）平均數(shù)：$\bar{x}=\frac{1\times10+3\times30+5\times80+7\times50+9\times30}{200}=\frac{10+90+400+350+270}{200}=\frac{1120}{200}=5.6$（小時）。中位數(shù)：將200個數(shù)據(jù)排序后，第100和101個數(shù)據(jù)均落在"4≤t<6"區(qū)間，故中位數(shù)為5小時。眾數(shù)："4≤t<6"區(qū)間人數(shù)最多（80人），故眾數(shù)為5小時。（3）鍛煉時間不少于6小時的人數(shù)占比為$\frac{50+30}{200}=40%$，估計全校人數(shù)為$1500\times40%=600$人。（二）方差的計算與應用例題2：甲、乙兩名運動員在10次射擊訓練中的成績（單位：環(huán)）如下：甲：9,8,10,9,8,9,9,10,10,9乙：8,10,7,10,10,9,10,10,10,9（1）分別計算甲、乙的平均成績；（2）分別計算甲、乙成績的方差，并判斷誰的成績更穩(wěn)定。解析：（1）甲的平均數(shù)：$\bar{x}_甲=\frac{9+8+10+9+8+9+9+10+10+9}{10}=9$（環(huán)）乙的平均數(shù)：$\bar{x}_乙=\frac{8+10+7+10+10+9+10+10+10+9}{10}=9$（環(huán)）（2）甲的方差：$s_甲^2=\frac{1}{10}[(9-9)^2+(8-9)^2+\dots+(9-9)^2]=\frac{1}{10}[0+1+1+0+1+0+0+1+1+0]=0.4$乙的方差：$s_乙^2=\frac{1}{10}[(8-9)^2+(10-9)^2+\dots+(9-9)^2]=\frac{1}{10}[1+1+4+1+1+0+1+1+1+0]=1.2$由于$s_甲^2<s_乙^2$，甲的成績更穩(wěn)定。（三）古典概型與概率應用例題3：一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別。（1）從袋中隨機摸出1個球，求摸到紅球的概率；（2）從袋中隨機摸出2個球，求摸出的2個球都是紅球的概率（用列表法或樹狀圖法）。解析：（1）總球數(shù)為$3+2=5$，紅球有3個，故$P(紅球)=\frac{3}{5}$。（2）列表法：設紅球為R1,R2,R3，白球為W1,W2，所有可能結(jié)果如下：第一次R1R1R1R2R2R2R3R3R3W1W1W1W2W2W2第二次R2R3W1R1R3W1R1R2W1R1R2R3R1R2R3結(jié)果(R1,R2)(R1,R3)(R1,W1)(R2,R1)(R2,R3)(R2,W1)(R3,R1)(R3,R2)(R3,W1)(W1,R1)(W1,R2)(W1,R3)(W2,R1)(W2,R2)(W2,R3)共有20種等可能結(jié)果（考慮順序），其中2個都是紅球的結(jié)果有6種：(R1,R2),(R1,R3),(R2,R1),(R2,R3),(R3,R1),(R3,R2)，故$P(2個紅球)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。另解（組合法）：從5個球中選2個，共有$C_5^2=10$種組合，2個紅球的組合有$C_3^2=3$種，故$P=\frac{3}{10}$。三、綜合應用題例題4：某商場為促銷，設計了兩種抽獎方案：方案A：轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤（等分成4個扇形，分別標有數(shù)字1,2,3,4），指針指向數(shù)字n，則獲得n元獎金；方案B：從裝有2個紅球和1個白球的袋子中隨機摸出2個球，若都是紅球，獲得5元獎金；否則獲得1元獎金。（1）分別計算方案A和方案B的平均獎金；（2）若你是顧客，從平均收益角度考慮，選擇哪種方案更有利？解析：（1）方案A：轉(zhuǎn)盤指針指向每個數(shù)字的概率均為$\frac{1}{4}$，平均獎金為：$E_A=1\times\frac{1}{4}+2\times\frac{1}{4}+3\times\frac{1}{4}+4\times\frac{1}{4}=\frac{1+2+3+4}{4}=2.5$（元）。方案B：摸球所有可能結(jié)果：(紅1,紅2),(紅1,白),(紅2,白)，共3種。都是紅球的概率為$\frac{1}{3}$，獎金5元；其他情況概率為$\frac{2}{3}$，獎金1元。平均獎金為：$E_B=5\times\frac{1}{3}+1\times\frac{2}{3}=\frac{5+2}{3}\approx2.33$（元）。（2）由于$E_A=2.5>E_B\approx2.33$，選擇方案A更有利。四、拓展提升題例題5：在一個不透明的盒子中，裝有除顏色外完全相同的m個黑球和n個白球（m>n≥2）。（1）若從中任意摸出1個球是黑球的概率為$\frac{3}{5}$，求m與n的數(shù)量關系；（2）在（1）的條件下，若再放入2個白球，此時摸出1個球是白球的概率為$\frac{1}{2}$，求m和n的值。解析：（1）由題意得$\frac{m}{m+n}=\frac{3}{5}$，整理得$5m=3(m+n)\Rightarrow2m=3n\Rightarrowm=\frac{3}{2}n$。（2）放入2個白球后，白球總數(shù)為$n+2$，總球數(shù)為$m+n+2$。由題意得$\frac{n+2}{m+n+2}=\frac{1}{2}$，即$2(n+2)=m+n+2\Rightarrowm=n+2$。聯(lián)立$m=\frac{3}{2}n$和$m=n+2$，解得$n=4$，$m=6$。答案：m=6，n=4。五、實踐與探究題例題6：某班級為研究"手機使用時間與數(shù)學成績的關系"，收集了10名學生的日均手機使用時間（單位：小時）和數(shù)學考試成績（單位：分），數(shù)據(jù)如下：學生編號12345678910手機時間12345678910數(shù)學成績90858075706560555045（1）繪制散點圖，觀察手機時間與數(shù)學成績的關系；（2）計算數(shù)學成績y與手機時間x的函數(shù)關系式（提示：為一次函數(shù)關系）；（3）若某學生日均手機使用時間為7.5小時，估計其數(shù)學成績。解析：（1）散點圖中，隨著手機時間增加，數(shù)學成績呈下降趨勢，兩者為線性負相關。（2）設函數(shù)關系式為$y=kx+b$，取兩組數(shù)據(jù)(1,90)和(2,85)代入：$\