1、數(shù)列專(zhuān)題3一、裂項(xiàng)乞降法裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，而后從頭組合，使之能消去一些項(xiàng)，最后達(dá)到乞降的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：通項(xiàng)為分式構(gòu)造，分母為兩項(xiàng)相乘，型如：1，an是d0的等差an?an1數(shù)列。常用裂項(xiàng)形式有：111；1k)1(11)；(2n(2n)21)11(11)；n(n1)nn1n(nknnk1)(2n22n12n1n(n111(n1；1)(n2)2n(n1)1)(n2)11ab)；aba(bn1n1(nkn)特別地：n1nn1nkk1二、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側(cè)適合的放大或減小以達(dá)證題目的方法，叫放縮法。1.常有的數(shù)列不等式大多與數(shù)列乞降或求積相關(guān)，其

2、基本構(gòu)造形式有以下4種：nk（k為常數(shù)）；nnnk（k為常數(shù)）.aiaif(n)；aif(n)；aii1i1i1i1放縮目標(biāo)模型可乞降（積）等差模型、等比模型、裂項(xiàng)相消模型幾種常有的放縮方法（1）增添或舍去一些項(xiàng)，如：a21a；n(n1)n（2）將分子或分母放大（或減?。?1111；111)1n1（程度大）n2n(n1)nnn2n(nn11111(11)(n2)（程度?。﹏2n21(n1)(n1)2n1n11111111nn1n2n32nn1n11n1n1或1111111n11n2n32n2n2n2n2n2n1111111nn23nnnnn平方型：14411)；n24n24n212(12n2n

3、1(2n14n2111)1(11)1)24n4n(n4n1n立方型：111)1(n111)(n2)n3n(n221)nn(n指數(shù)型：11(ab1)；11(ab1)nbnn1nn1aa(ab)aba(ab)k1k11；k1k2k利用基本不等式，n(n1)lg3lg52n(n1)，如：lg5()lg15lg16lg422（一）放縮目標(biāo)模型可乞降等比數(shù)列或等差數(shù)列比如：（1）求證：11111(nN*).222232n（2）求證：11123111(nN*).212212n1（3）求證：122233nn2(nN*).212232nn總結(jié)：放縮法證明與數(shù)列乞降相關(guān)的不等式，若ai可直接乞降，就先乞降再放縮

4、；若不可以直接乞降的，i1一般要先將通項(xiàng)an放縮后再乞降.問(wèn)題是將通項(xiàng)an放縮為能夠乞降且“不大不小”的什么樣的bn才行呢？其實(shí)，能乞降的常有數(shù)列模型其實(shí)不多，主要有等差模型、等比模型、錯(cuò)位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等.實(shí)質(zhì)問(wèn)題中，bn大多是等比模型或裂項(xiàng)相消模型.（1）先乞降再放縮2*例1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S組成等比Sannaaa14nnnn125數(shù)列(1)證明：a4a5；21求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)全部正整數(shù)，有1111a1a2a2a3anan12（2）先放縮再乞降比如：求證：11112(nN*).2232n2比如：函數(shù)f(x)4x，求證：f(1)f(2)f(n)

5、n11(nN*).14x2n12例2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，知足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列1）求a1的值；2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；3）證明：對(duì)全部正整數(shù)n，有總結(jié)：一般地，形如ananbn或ananb（這里ab1）的數(shù)列，在證明111ka1a2an（k為常數(shù)）時(shí)都能夠提拿出an利用指數(shù)函數(shù)的單一性將其放縮為等比模型.練習(xí)：1.設(shè)數(shù)列an知足an0，a11，an(12n)anan1an1(n2)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求證：當(dāng)n2時(shí)，n2；Snn1（3）嘗試究：當(dāng)n2時(shí)，能否有6nSn5？說(shuō)明原因.(n1)(2n1)3n（3）形如aif(n)

6、i1比如：設(shè)Sn1223n(n1)，求證：n(n1)Snn(n2)(nN*).22依據(jù)所證不等式的構(gòu)造特點(diǎn)來(lái)選用所需要的不等式，不等式關(guān)系：2aba2b21ab221abab注：應(yīng)注意掌握放縮的“度”：上述不等式右側(cè)放縮用的是均值不等式ab，若放縮成2n(n1)(n3)(n1)2n(n1)n1，則得Snki1，就放過(guò)“度”了。i122n總結(jié)：形如aif(n)的數(shù)列不等式證明：i1設(shè)Sn和Tn分別為數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和，若anbn(nN*)，利用不等式的“同向可加性”這一nf(n)，假如記Tnf(n)看作是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，則基天性質(zhì)，則有SnTn.要證明不等式aii1bnTnTn1(n2

7、)，b1T1，那么只需證其通項(xiàng)知足anbn即可.（二）放縮目標(biāo)模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積相關(guān)的不等式，方法與上邊乞降相近似，只可是放縮后的bn是可求積的模型，能求Cn1（分式型），累乘后約簡(jiǎn)為nCn1積的常有的數(shù)列模型是bnbi.Cni1C1姐妹不等式：bbm(ba0，m0)和bbm(ab0，m0)aamaam記憶口訣：“小者小，大者大”，（解說(shuō)：看b，若b小，則不等號(hào)是小于號(hào)，反之）。比如：求證：1352n11(nN*).2462n2n1111)2n1。比如：求證：(11)(1)(1)(12n351n總結(jié)：形如aif(n)的數(shù)列不等式證明：設(shè)An和Bn分別為數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)積，若i

8、1n0anbn，利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基天性質(zhì)，則有AnBn.要證明不等式aif(n)，i1假如記Bnf(n)看作是數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，則bnBn(n2)，b1B1，那么只需證其通項(xiàng)知足Bn10anbn即可.例3.已知數(shù)列an知足a12an2N*).，an12an(n33（1）求證：1是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)an；an1（2）證明：對(duì)于nN*，a1?a2?a3?an11.n（二）增添或舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。因?yàn)樽C明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或增添一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或減小，利用不等式的傳達(dá)性，

9、達(dá)到證明的目的。比如：已知an2n1(nN*)，求證：n1a1a2an(nN*).23a2a3an1例4.已知數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn知足Snan12().2（I）求an與an1(n2)之間的關(guān)系式，并求an的通項(xiàng)公式；（II）求證1112.S1S2Sn例5.已知數(shù)列：知足：，記.(I)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(II)若對(duì)隨意恒建立，求t的取值范圍；證明:.（三）固定一部分項(xiàng)，放縮此外的項(xiàng)例6.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a11，2Snan11n2n2*，nN.（1）求a2的值；n33（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)全部正整數(shù)n，有11L17.a1a2an4練習(xí)：2.1

10、11，則s的整數(shù)部分是（）設(shè)s1310023.已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a11，Sn1(an1).2an（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)an；（II）求證：1111).2S13S2(n1)Sn2(1Sn1數(shù)列專(zhuān)題3一、裂項(xiàng)乞降法裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，而后從頭組合，使之能消去一些項(xiàng)，最后達(dá)到乞降的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：通項(xiàng)為分式構(gòu)造，分母為兩項(xiàng)相乘，型如：1，an是d0的等差an?an1數(shù)列。常用裂項(xiàng)形式有：11)11；1k)1(11)；(2n)211(11)；n(nnn1n(nknnk(2n1)(2n1)22n12n1n(n12)11(n12)；1)(n2

11、n(n1)1)(n11ab)；aba(bn1n1(nkn)特別地：1n1nkkn1n二、用放縮法證明數(shù)列中的不等式將不等式一側(cè)適合的放大或減小以達(dá)證題目的方法，叫放縮法。1.常有的數(shù)列不等式大多與數(shù)列乞降或求積相關(guān)，其基本構(gòu)造形式有以下4種：nnnnaik（k為常數(shù)）；aif(n)；aif(n)；aik（k為常數(shù)）.i1i1i1i1放縮目標(biāo)模型可乞降（積）等差模型、等比模型、裂項(xiàng)相消模型幾種常有的放縮方法（1）增添或舍去一些項(xiàng)，如：a21a；n(n1)n（2）將分子或分母放大（或減?。?1111；111)1n1（程度大）n2n(n1)nnn2n(nn11111(11)(n2)（程度小）n2n2

12、1(n1)(n1)2n1n11111111n1n1n2n32nn1n1n1n1或1111111n11n2n32n2n2n2n2n2n1111111nn23nnnnn平方型：14411)；n24n24n212(12n2n1(2n14n2111)1(11)1)24n4n(n4n1n立方型：111)1(n111)(n2)n3n(n221)nn(n指數(shù)型：11(ab1)；11(ab1)anbnan1(ab)anban1(ab)k1k11；k1k2k利用基本不等式，n(n1)n(n1)，如：log3lg5(lg3lg5)2lg15lg16lg422（一）放縮目標(biāo)模型可乞降等比數(shù)列或等差數(shù)列比如：（1）求

13、證：11111(nN*).222232n剖析：不等式左側(cè)可用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式乞降。11分析：左側(cè)=2(12n)111112n2表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列乞降。（2）求證：1112311111(nN*).21222n剖析：左側(cè)不可以直接乞降，須先將其通項(xiàng)放縮后乞降，將通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列。11分析：11，左側(cè)11112(12n)1112n222232n112n2n12123n（3）求證：2232(nN*).212232nn剖析：注意到nnn，將通項(xiàng)放縮為錯(cuò)位相減模型。2n2n分析：nn，左側(cè)123n2n222nn2n222232n2nn總結(jié)：放縮法證明與數(shù)列乞降相關(guān)的不等式，若ai可直接乞

14、降，就先乞降再放縮；若不可以直接乞降的，i1一般要先將通項(xiàng)an放縮后再乞降.問(wèn)題是將通項(xiàng)an放縮為能夠乞降且“不大不小”的什么樣的bn才行呢？其實(shí)，能乞降的常有數(shù)列模型其實(shí)不多，主要有等差模型、等比模型、錯(cuò)位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等.實(shí)質(zhì)問(wèn)題中，bn大多是等比模型或裂項(xiàng)相消模型.（1）先乞降再放縮a的前n項(xiàng)和為S，知足4Sa2*，且a，a，a例1.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列組成等比114nnnn25數(shù)列(1)證明：a4a5；21求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)全部正整數(shù)，有11L11a1a2a2a3anan12分析：(1)224a5.a0，a24a15.1221n(2)當(dāng)n2時(shí)，4S22n1n1

15、nn22222由，得4an4Sn4Sn1an1an4，an1an4an4(an2).an0，an1an2，當(dāng)n2時(shí)，a是公差d2的等差數(shù)列a，a，a組成等比數(shù)列，n2514a52a2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23.由(1)可知，4aa254，a1.aa312，a是首項(xiàng)a1，公差d2的等差數(shù)列12121n1數(shù)列n的通項(xiàng)公式為an21.an(3)11L1111L1a1a2a2a3anan11335572n12n11111111L1112335572n2n111111.22n2總結(jié)：（3）問(wèn)左側(cè)可用裂項(xiàng)相消法乞降，先乞降再放縮，表面是證數(shù)列不等式，實(shí)質(zhì)是數(shù)列乞降。（2）先放縮再乞降

16、比如：求證：11112(nN*).2232n2剖析：左側(cè)不可以乞降，應(yīng)先將通項(xiàng)放縮為裂項(xiàng)相消模型后乞降，保存第一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮。分析：111)11(n2)n2n(nn1n左側(cè)1(11)(11)(11)1112(n2)223n1nn當(dāng)n1時(shí)，不等式明顯也建立.比如：函數(shù)f(x)4x，求證：f(1)f(2)f(n)n11(nN*).14x2n12剖析：本題不等式左側(cè)不易乞降，此時(shí)依據(jù)不等式右側(cè)特點(diǎn)，先將分子變成常數(shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，進(jìn)而對(duì)左側(cè)能夠進(jìn)行乞降.若分子，分母假如同時(shí)存在變量時(shí)，要想法使此中之一變成常量，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正的分式，如需放大，只需把分子放大或分母小即可；如需

17、小，只需把分子小或分母放大即可。例2.數(shù)列an的前n和Sn，足，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1的；（2）求數(shù)列an的通公式；（3）明：全部正整數(shù)n，有n+12解：（1）在2Sn=an+12+1中，令n=1得：2S1=a22+1，令n=2得：解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13，又2（a2+5）=a1+a3，解得a1=132S2=a32+1，（2）由2Sn=an+12n+1+1，得n+1an+2=3an+1+2，又a1=1，a2=5也足a2=3a1+21，因此an+1=3an+2nnN*建立，an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，

18、an=3n2n；（3）剖析：（3）左不可以直接乞降，考將通放后乞降。利用指數(shù)函數(shù)的性放等比模型。nnn1n2n32n1n1，（法二）an=32=（32）（3+32+32+2）3+1+=；（法三）an+1=3n+12n+123n2n+1=2an，?，當(dāng)n2，?，?，?，累乘得：?，+1+：一般地，形如ananbn或ananb（里ab1）的數(shù)列，在明111ka1a2an（k常數(shù)）都能夠提拿出an利用指數(shù)函數(shù)的性將其放等比模型.：1.數(shù)列an足an0，a11，an(12n)anan1an1(n2)，數(shù)列an的前n和Sn.（1）求數(shù)列an的通公式；（2）求：當(dāng)n2，n2；Snn16n5？明原因.（3）

19、研究：當(dāng)n2，能否有Sn(n1)(2n1)3n（3）形如aif(n)i1比如：Sn1223n(n1)，求：n(n1)Snn(n2)(nN*).22依據(jù)所不等式的構(gòu)特點(diǎn)來(lái)取所需要的不等式，不等式關(guān)系：2aba2b21ab221abab注：注意掌握放的“度”：上述不等式右放用的是均不等式ab，若放成n(n1)(n3)(n1)22n(n1)n1，得Snki1，就放“度”了。i122n：形如aif(n)的數(shù)列不等式明：i1Sn和Tn分?jǐn)?shù)列an和bn的前n和，若anbn(nN*)，利用不等式的“同向可加性”一nf(n)，假如Tnf(n)看作是數(shù)列bn的前n和，基天性，有SnTn.要明不等式aii1bnT

20、nTn1(n2)，b1T1，那么只需證其通項(xiàng)知足anbn即可.（二）放縮目標(biāo)模型可求積放縮法證明與數(shù)列求積相關(guān)的不等式，方法與上邊乞降相近似，只可是放縮后的bn是可求積的模型，能求Cn1（分式型），累乘后約簡(jiǎn)為nCn1積的常有的數(shù)列模型是bnbi.Cni1C1姐妹不等式：bbm(ba0，m0)和bbm(ab0，m0)aamaam記憶口訣：“小者小，大者大”，（解說(shuō)：看b，若b小，則不等號(hào)是小于號(hào)，反之）。比如：求證：1352n11(nN*).2462n2n1比如：求證：(11)(11)(11)(11)2n1。352n1n總結(jié)：形如aif(n)的數(shù)列不等式證明：設(shè)An和Bn分別為數(shù)列n和n的前n

21、項(xiàng)積，若abi1n0anbn，利用不等式的“正數(shù)同向可乘性”這一基天性質(zhì)，則有AnBn.要證明不等式aif(n)，i1假如記Bnf(n)看作是數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，則bnBn(n2)，b1B1，那么只需證其通項(xiàng)知足Bn10anbn即可.例3.已知數(shù)列an知足a12an2N*).，an1(n32an31是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)an；（1）求證：an1（2）證明：對(duì)于nN*，a1?a2?a3?an11.n（二）增添或舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。因?yàn)樽C明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或增添一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或減小，利用不等式的傳達(dá)性，達(dá)到證明的目的。比如：已知an2n1(n*n1a1a2an(nN*).N)，求證：a2a3an123本題在放縮時(shí)舍去了2k2，進(jìn)而使和式獲得了化簡(jiǎn)。例4.已知數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn知足Sn(an1)2.2（I）求an與an1(n2)之間的關(guān)系式，并求an的通項(xiàng)公式；（II）求證1112.S1S2Sn例5.已知數(shù)列：知足：，記.(I)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(II)若對(duì)隨意恒建立，求t的取值范圍；(III)證明:.解：（）證明：由得即，且數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列（）由(