1、2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何22021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2核心素養(yǎng) 1.會用向量工具推導(dǎo)點到直線的距離公式.(邏輯推理)2.掌握點到直線、兩條平行直線之間的距離公式.(數(shù)學(xué)抽象)3.能應(yīng)用兩個距離公式解決有關(guān)距離問題.(數(shù)學(xué)運算)思維脈絡(luò)核心素養(yǎng) 1.會用向量工具推導(dǎo)點到直線的距離公式.(邏輯推理激趣誘思知識點撥某人在一片丘陵上開墾了一塊田地,在丘陵的上方架有一條直的水渠,此人想從水渠上選擇一個點,通過一條管道把水引到田地中的一個點P處,要想使這個管道的長度理論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計?激趣誘思知識點撥某人在一片丘陵上開墾了一塊田地,在丘陵的上方激趣誘思知識點撥1

2、.點到直線的距離(1)定義:平面內(nèi)點到直線的距離,等于過這個點作直線的垂線所得垂線段的長度.(2)圖示:名師點析 (1)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.激趣誘思知識點撥1.點到直線的距離名師點析 (1)運用此公式激趣誘思知識點撥微判斷答案:微練習(xí)點(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是()答案:C微思考激趣誘思知識點撥微判斷激趣誘思知識點撥2.兩條平行直線之間的距離(1)定義:兩條平行線之間的距離,等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.(2)圖示:(3)求法:可以轉(zhuǎn)化為點到直

3、線的距離,也可以直接套用公式.(4)公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距名師點析 (1)把直線方程化為直線的一般式方程;(2)兩條直線方程中x,y的系數(shù)必須分別相等.激趣誘思知識點撥2.兩條平行直線之間的距離激趣誘思知識點撥微判斷(1)一條直線被兩條平行線所截,截得的線段的長為這兩條平行線間的距離.()(2)兩平行線間的距離是一條直線上任一點到另一條直線的距離,也可以看作是兩條直線上各取一點的最短距離.()答案:(1)(2)微練習(xí)答案:B 激趣誘思知識點撥微判斷答案:B 激趣誘思知識點撥微思考直線l關(guān)于點P的對稱直線l與已知直線l的位置關(guān)系是怎樣的?

4、提示:直線l關(guān)于點P的對稱直線l與已知直線l平行,且點P到兩直線的距離相等.激趣誘思知識點撥微思考探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測點到直線的距離例1(1)求點P(2,-3)到下列直線的距離.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測點到直線的距離探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)已知直線l經(jīng)過點M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.解:(方法一)當(dāng)過點M(-1,2)的直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當(dāng)過點M(-1,2)的直線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y-2=k(x+1),即

5、kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,得即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)已知直線l經(jīng)過點M(-1,探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法二)由題意得lAB或l過AB的中點.當(dāng)lAB時,設(shè)直線AB的斜率為kAB,即x+3y-5=0.當(dāng)l過AB的中點(-1,4)時,直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法二)由題意得lAB或l過探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟 1.應(yīng)用點到直線的距離公式時應(yīng)注意的三個問題(1)直線方程

6、應(yīng)為一般式,若給出其他形式應(yīng)化為一般式.(2)點P在直線l上時,點到直線的距離為0,公式仍然適用.(3)直線方程Ax+By+C=0,當(dāng)A=0或B=0時公式也成立,但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直),故也可用數(shù)形結(jié)合求解.2.用待定系數(shù)法求直線方程時,首先考慮斜率不存在是否滿足題意.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟 1.應(yīng)用點到直線的距離探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究 若將本例(2)改為“已知直線l經(jīng)過點M(-1,2),點A(2,3),B(-4,5)在l的同側(cè)且到該直線l的距離相等”,則所求l的方程為.解析:將本例(2)中的x=-1這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點在直線l異側(cè)的情況

7、.答案:x+3y-5=0探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究 若將本例(2)改為“已探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩條平行直線之間的距離例2(1)已知兩平行直線l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,則l1與l2間的距離為.(2)直線3x+y-3=0和直線6x+my-1=0平行,則它們之間的距離為.(3)已知直線l與兩直線l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0間的距離相等,則直線l的方程為.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩條平行直線之間的距離探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂

8、檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)A(2)B(3)x+2y-3=0 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測答案:(1)A(2)B(3)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測易錯點因?qū)π甭实那闆r考慮不全面而致錯案例 求經(jīng)過點P(-3,5),且與原點距離等于3的直線l的方程.錯解:設(shè)所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.錯因分析本題出錯的根本原因在于思維不嚴密,求直線的方程時直接設(shè)為點斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測易錯點因?qū)π甭实那闆r考慮不全探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測正解:當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)所求直線方程為y-5=k

9、(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.當(dāng)直線的斜率不存在時,直線方程為x=-3也滿足題意.故滿足題意的直線l的方程為8x+15y-51=0或x=-3.防范措施在根據(jù)距離確定直線方程時,易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯誤的方法是當(dāng)用點斜式或斜截式表示直線方程時,應(yīng)首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設(shè)條件,然后再求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測正解:當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)所求探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.點(1,-1)到直線y=1的距離是() 答案:D 答案:B 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.點(1,-1)到直線y=1的探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已

10、知點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數(shù)a的值等于()答案:C 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.已知點A(-3,-4),B(探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.直線3x-4y-27=0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標是.解析:由題意知過點P作直線3x-4y-27=0的垂線,設(shè)垂足為M,則|MP|最小,答案:(5,-3) 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.直線3x-4y-27=0上到探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.若直線l1:x+my+6=0與l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,則m的值為,它們之間的距離為.解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-

11、1.經(jīng)過驗證,m=3時兩條直線重合,舍去.m=-1.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.若直線l1:x+my+6=0探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測6.已知直線l經(jīng)過點P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.解:(方法一)點A(1,1)與B(-3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等,直線l的斜率存在,設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,直線l的方程是y=2或x-y+2=0.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測6.已知直線l經(jīng)過點P(0,2)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法二)當(dāng)直線l過線段AB的中點時,A,