1、2022/9/171自動控制原理 第五章 頻域分析滿招損，謙受益。 尚書 大禹謨 言必行，行必果。 論語 子路 禮記 中庸2022/9/172自動控制原理 第五章 頻域分析5.4 頻域穩(wěn)定性判據(jù)引言映射定理（幅角定理）Nyquist穩(wěn)定判據(jù)虛軸上有開環(huán)極點的Nyquist穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)2022/9/173自動控制原理 第五章 頻域分析引 言控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設計所需要解決的首要問題。兩種常用的頻域穩(wěn)定判據(jù)：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（簡稱乃氏或奈氏判據(jù)）和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。 Nyquist判據(jù)根據(jù)開環(huán)幅相曲線判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bo

2、de圖）判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；兩種頻率穩(wěn)定判據(jù)沒有本質(zhì)區(qū)別。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點：根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并能確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。2022/9/174自動控制原理 第五章 頻域分析Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的優(yōu)點圖解法，簡單、直觀，是一種幾何判據(jù)（勞斯/赫爾維茨判據(jù)是代數(shù)判據(jù)）。系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可用解析法或?qū)嶒灧ǐ@得，方便、實用。對于一些復雜對象，可以不必知道系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)，因此便于工程應用。有助于建立相對穩(wěn)定性的概念。Nyquist判據(jù)的數(shù)學基礎：復變函數(shù)論中的映射定理，又稱幅角定理。 2022/9/175自動控制原理 第五章 頻域分析一、映射定理（幅角定理） 1

3、. s 平面和F(s)平面 之間的映射關(guān)系 設有一復變函數(shù) s為復變量，以 s 復平面上的 s=+j表示。F(s)為復變函數(shù)，記 F(s)U + jV 。若s平面上除了有限奇點之外的任一點s，復變函數(shù)F(s)為解析函數(shù)（單值、連續(xù)的正則函數(shù)），那么可以證明，對 s 平面上的每一解析點，在F(s)平面上必定有一個對應的映射點（s平面和F(s)平面之間的對應關(guān)系）。 2022/9/176自動控制原理 第五章 頻域分析因此，如果在s平面畫一條封閉曲線s，并使其不通過F(s)的任一奇點，則在F(s)平面上必有一條對應的映射曲線F，如下圖所示 s 平面與F(s) 平面的映射關(guān)系2022/9/177自動控

4、制原理 第五章 頻域分析其特征方程為：函數(shù)F(s)在s平面內(nèi)除了奇點-1和-2外處處解析。對于s平面上的每一個解析點，F(xiàn)(s)平面上必有一點與之對應。這樣，對于s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過任何奇點，在F(s)平面上就必有一個封閉曲線與之對應。如果取s=1+2j，則F(s)為：考慮取s= - 3或 1，則2022/9/178自動控制原理 第五章 頻域分析s平面上的圖形在F(s)平面上的變換（映射）示意圖上半s平面內(nèi)的直線= -3，1和= -2在F(s)平面上的變換002022/9/179自動控制原理 第五章 頻域分析00當s平面上的圖形包圍兩個F(s)的極點時F(s)的軌跡將逆時針方

5、向包圍F(s)平面上的原點兩次2022/9/1710自動控制原理 第五章 頻域分析ABFEDCA1B1F1E1D1C1當s平面上的圖形包圍F(s)的兩個極點和兩個零點時，相應的F(s)的軌跡將不包圍原點。 002022/9/1711自動控制原理 第五章 頻域分析00封閉曲線ABCD只包圍一個零點，其對應的F(s)的軌跡將順時針包圍原點一次； 封閉曲線EFGH既不包圍零點又不包圍極點，F(xiàn)(s)的軌跡將永遠不會包圍F(s)平面上的原點。 2022/9/1712自動控制原理 第五章 頻域分析上述討論是映射定理的圖解說明。Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)正是建立在映射定理的基礎上。 如果在s平面上曲線包圍k個

6、零點和k個極點(k=0, 1, 2)，即包圍的零、極點數(shù)相同，則在F(s)平面上相應的封閉曲線不包圍F(s)平面上的原點。2022/9/1713自動控制原理 第五章 頻域分析兩點說明：若在s平面上的封閉曲線s 是沿著順時針方向運動的，則在F(s)平面上的映射曲線F的運動方向可能是順時針的，也可能是逆時針的，這取決于F(s)函數(shù)的特性; 我們感興趣的不是映射曲線F的形狀，而是它包圍坐標原點的次數(shù)和運動方向，因為這兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)（都與F(s)的相角變化有關(guān)系）。 2022/9/1714自動控制原理 第五章 頻域分析2. 復變函數(shù)F(s)的相角表示及其變化 復變函數(shù)F(s)的相角可表示為

7、假定在s平面上的封閉曲線s包圍了F(s)的一個零點z1，而其他零極點都位于封閉曲線之外；當s沿著s平面上的封閉曲線s順時針方向移動一周時，向量(s-z1)的相角變化-2 弧度，而其他各向量的相角變化為零；這就意味著在F(s)平面上的映射曲線F 沿順時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn)了一周，也就是向量 F(s) 的相角變化了-2 弧度。 2022/9/1715自動控制原理 第五章 頻域分析封閉曲線包圍 z1 時的映射情況 s-z1 s-p1 s-z2 s-p2 向量 s-z1的相角變化了-2 弧度，其余三個向量的相角變化均為0。2022/9/1716自動控制原理 第五章 頻域分析若s平面上的封閉曲線s 包圍

8、著F(s)的 Z 個零點，則在F(s) 平面上的映射曲線F 將按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉(zhuǎn) Z 周； 用類似分析方法可以推論，若s平面上的封閉曲線s 包圍了F(s) 的 P 個極點，則當s 沿著s 順時針移動一周時，在 F(s) 平面上的映射曲線F 將按逆時針方向圍繞著原點旋轉(zhuǎn) P 周。 2022/9/1717自動控制原理 第五章 頻域分析3. 映射定理映射定理：設s平面上的封閉曲線s包圍了復變函數(shù)F(s)的 P 個極點和 Z 個零點，并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點和極點，則當復變量s沿著封閉曲線s 順時針方向移動一周時，在F(s)平面上的映射曲線F 按逆時針方向包圍坐標原點 P-Z 周

9、?？梢姡現(xiàn)(s)平面上曲線繞原點的周數(shù)和方向與s平面上封閉曲線包圍F(s)的零、極點數(shù)目有關(guān)。 2022/9/1718自動控制原理 第五章 頻域分析二、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù) 1. 輔助函數(shù) 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 如下的F(s)稱為輔助函數(shù)2022/9/1719自動控制原理 第五章 頻域分析輔助函數(shù)特點：輔助函數(shù)是閉環(huán)與開環(huán)特征多項式之比。F(s)的零點為系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點）s1、s2、sn，而F(s)的極點則為系統(tǒng)的開環(huán)極點 p1、p2、pn。 F(s) 的零點和極點個數(shù)相同。 F(s) 與開環(huán)傳函只差 1， F(s) - G(s) H(s) =1。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，特

10、征方程的根，即 F(s) 的零點，都位于s 平面的左半部。 2022/9/1720自動控制原理 第五章 頻域分析2. Nyquist（乃氏）回線為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗F(s)是否具有位于s 平面右半部的零點。Nyquist回線(簡稱乃氏回線)：一條包圍整個 s 平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線。2022/9/1721自動控制原理 第五章 頻域分析2022/9/1722自動控制原理 第五章 頻域分析Nyquist 回線由兩部分組成：一部分是沿著虛軸由下向上移動的直線段 Cl，在此線段上 sj， 由變到。另一部分是半徑為無窮大的半圓C2。如此定義的封閉曲線肯定包圍了 F(s) 位

11、于 s 平面右半部的所有零點和極點。 2022/9/1723自動控制原理 第五章 頻域分析3. Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)設復變函數(shù) F(s) 在 s 平面的右半部有 Z 個零點和 P 個極點。根據(jù)映射定理，當s沿著s平面上的 Nyquist 回線移動一周時，在 F(s) 平面上的映射曲線 CF 將按逆時針方向圍繞坐標原點旋轉(zhuǎn) N = PZ 周由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，F(xiàn)(s) 在s 平面右半部無零點，即Z0。因此可得以下的穩(wěn)定判據(jù): 2022/9/1724自動控制原理 第五章 頻域分析Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（第一種表述方法）: 如果在s平面上，s沿著Nyquist回線順時針方向移動一周時，

12、在F(s)平面上的映射曲線CF圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) N=P 周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的（P為不穩(wěn)定開環(huán)極點的數(shù)目）。 如果NP，說明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半s平面的極點數(shù) ZP N。如果開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線CF圍繞坐標原點的圈數(shù)為 N=0。2022/9/1725自動控制原理 第五章 頻域分析根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有這意味著F(s)的映射曲線CF圍繞原點運動的情況，相當于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞著(1，j0)點的運動情況。 Nyquist曲線映射在 F(s) 平面和 G(s)H(s) 平面上2022/9/1726自動控制原理 第五章 頻域分析

13、F(s)與G(s)H(s)的關(guān)系圖2022/9/1727自動控制原理 第五章 頻域分析繪制映射曲線CGH 的方法是：對應于CF的映射曲線：sj代入G(s)H(s)，得到開環(huán)頻率特性G(j)H(j)，畫Nyquist圖，再畫出其對稱于實軸的、 從0變到的那部分曲線。對應于 的映射曲線：實際系統(tǒng)中nm，當nm時G(s)H(s)趨近于零，nm時G(s)H(s) 為實常數(shù)。因此，繪制出從變化到的開環(huán)頻率特性，就構(gòu)成了完整的映射曲線 CGH 。2022/9/1728自動控制原理 第五章 頻域分析Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（第二種表述方法）：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，當 從-變化到時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率

14、特性G(j)H(j)按逆時針方向包圍(-1, j0)點 NP 周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點數(shù)目。如果NP，說明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半s平面的極點數(shù) ZP-N。如果開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線CGH圍繞(-1, j0)的圈數(shù)為 N=0。 2022/9/1729自動控制原理 第五章 頻域分析例5-9 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制 (1) K=5，(2) K=15時的 Nyquist 圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2022/9/1730自動控制原理 第五章 頻域分析2022/9/1731自動控制原理 第五章 頻域分析圖5-37 例5-9的Nyquist圖圖5-38

15、MATLAB繪制例5-9的Nyquist圖2022/9/1732自動控制原理 第五章 頻域分析三、虛軸上有開環(huán)極點的 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)虛軸上有開環(huán)極點的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的時候，即在s平面的坐標原點有開環(huán)極點。這時不能直接應用前面給出的Nyquist回線。（因為映射定理要求此回線不經(jīng)過F(s)的奇點！）為了在這種情況下應用Nyquist判據(jù)，可以選擇新的Nyquist回線。2022/9/1733自動控制原理 第五章 頻域分析虛軸上有開環(huán)極點的Nyquist回線虛軸上無開環(huán)極點的Nyquist回線2022/9/1734自動控制原理 第五章 頻域分析兩種Nyquist回線的

16、區(qū)別僅在于：虛軸上有開環(huán)極點的Nyquist回線經(jīng)過以坐標原點為圓心，以無窮小量為半徑的，在s 平面右半部的小半圓，繞過了開環(huán)極點所在的原點。當0 時，此小半圓的面積也趨近于零。因此，F(xiàn)(s)的位于s平面右半部的零點和極點均被新的Nyquist回線包圍在內(nèi)。而將位于坐標原點處的開環(huán)極點劃到了復平面的左半部。這樣處理滿足了Nyquist判據(jù)的要求（應用Nyquist判據(jù)時，必須首先明確位于s平面右半部和左半部的開環(huán)極點的數(shù)目）。 2022/9/1735自動控制原理 第五章 頻域分析半徑無窮小半圓對應的G(s)H(s)曲線 當s沿著上述小半圓移動時，有 當 從 0- 沿小半圓變到 0+ 時，s 按

17、逆時針方向旋轉(zhuǎn)了180。 G(s)H(s)在其平面上的映射為 為開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。 2022/9/1736自動控制原理 第五章 頻域分析可見，當 s 沿著小半圓從=0- 變化到=0+ 時，角從90經(jīng) 0變化到90，這時在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從 90經(jīng) 0轉(zhuǎn)到90。即 ：0-0+； ：90090； () ：90 090 2022/9/1737自動控制原理 第五章 頻域分析例5-10 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 的Nyquist圖，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別 起點在第III象限，在第象限趨向終點(0, j0) 202

18、2/9/1738自動控制原理 第五章 頻域分析 因為相角范圍從90到270，所以必有與負實軸的交點。由()=180得 即=1.414，此時A()=1.67。因此Nyquist圖與實軸的交點為(1.67，j0)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有一極點在 s 平面的原點處，因此Nyquist回線中，半徑為無窮小量的半圓弧對應的映射曲線是一個半徑為無窮大的圓?。?：0-0+； ：90090； () ：90 090 2022/9/1739自動控制原理 第五章 頻域分析因為s平面右半部開環(huán)極點數(shù)P0，且Nyquist曲線順時針包圍(1, j0) 點 2 次，即 N=2，則 ZPN=2，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)極點在

19、s平面右半部 。 例 5-10 的 Nyquist 圖2022/9/1740自動控制原理 第五章 頻域分析例5-11 繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為 的 Nyquist 圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 開環(huán)幅頻特性和相頻特性分別 故Nyquist圖起點在第象限；在第象限趨向終點(0，j0) 。2022/9/1741自動控制原理 第五章 頻域分析系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有2個極點在s平面的原點處，因此Nyquist回線中半徑為無窮小量的半圓弧對應的映射曲線是一個半徑為無窮大的圓弧 ：0-0+； ：90090； () ：180 0180 開環(huán)系統(tǒng)Nyquist圖如下所示：2022/9/1742自動控制原理 第五章 頻域

20、分析因為 s 平面右半部的開環(huán)極點數(shù) P0，且Nyquist曲線順時針包圍 (1，j0) 點 2 次，N = 2，則 ZPN=2，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)極點在 s 平面右半部。 例5-10的Nyquist圖2022/9/1743自動控制原理 第五章 頻域分析例 設開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出該系統(tǒng)的Nyquist圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1) T1T2 時，G(s)H(s)的軌跡順時針包圍（-1, j0）點兩次。 因此系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點位于右半s平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2022/9/1745自動控制原理 第五章 頻域分析例 設一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)（非最小相位系統(tǒng)），試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定

21、性。G(s)H(s)在右半s平面內(nèi)有一個極點(s=1/T)，P=1，即開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由圖， G(s)H(s)的軌跡順時針方向包圍點（-1, j0）一次，N= -1。因此Z=P-N=2，說明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個極點位于位于右半s平面內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2022/9/1746自動控制原理 第五章 頻域分析例 設一個閉環(huán)系統(tǒng)具有下列開環(huán)傳遞函數(shù)：試確定該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。G(s) H(s)在右半s平面內(nèi)有一個極點(s=1)，P=1，即開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由圖， G(s)H(s)軌跡逆時針方向包圍點（-1, j0）一次，N=1。因此Z=P-N=0，說明1+G(s)H(s)沒有零點位于右半s平面，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)

22、定。這是一個開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，但是回路閉合后，變成穩(wěn)定系統(tǒng)的例子。 2022/9/1747自動控制原理 第五章 頻域分析四、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù) 對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是Nyquist判據(jù)的另一種形式，即利用開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 1. 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的Nyquist圖和Bode圖之間的對應關(guān)系：Nyquist圖上以原點為圓心的單位圓 Bode圖上對數(shù)幅頻特性的 0 分貝線單位圓以外 L()0的部分單位圓內(nèi)部 L() 0范圍內(nèi)-180線的穿越點。正穿越（相角增大）對應Bode圖L() 0范圍內(nèi)隨著的增加相頻特性從下而上穿過-180線； 負穿越（相角減?。狟ode圖L() 0范圍內(nèi)隨著的增加相頻特性從上而下穿過-180線。2022/9/1750自動控制原理 第五章 頻域分析G(j)H(j)的曲線從（, 1）的負實軸開始向下（向上）稱為半個正（負）穿越。Bode圖相頻曲線圖上，()從180線開始往上稱為半個正穿越， ()從180線開始往下稱為半個負穿越。 +1/2次穿越-1/2次穿越2022/9/1751自動控制原理 第五章 頻域分析 例 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 概略繪制幅相特性