1、數(shù)學(xué)各個(gè)研究方向 數(shù)論 人類(lèi)從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開(kāi)始就一直和自然數(shù)打交道了，后來(lái)由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來(lái)叫做整數(shù)。 對(duì)于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無(wú)阻礙地進(jìn)行。也就是說(shuō)，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無(wú)阻礙地進(jìn)行。 人們?cè)趯?duì)整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類(lèi)奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱(chēng)為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用

2、整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來(lái)許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。 數(shù)論這門(mén)學(xué)科最初是從研究整數(shù)開(kāi)始的，所以叫做整數(shù)論。后來(lái)整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說(shuō)，數(shù)論就是一門(mén)研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況 自古以來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說(shuō)還沒(méi)有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。 自我國(guó)古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問(wèn)題等等。在國(guó)外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)論中一個(gè)最基本的問(wèn)題整除性問(wèn)

3、題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來(lái)應(yīng)用了。后來(lái)的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對(duì)整數(shù)性質(zhì)的研究做出過(guò)重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。 在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。 到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識(shí)已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門(mén)系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫(xiě)了一本書(shū)叫做算術(shù)探討，1800年寄給了法國(guó)科學(xué)院，但是法國(guó)科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部

4、著作。這部書(shū)開(kāi)始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。 在算術(shù)探討中，高斯把過(guò)去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問(wèn)題和意志的方法進(jìn)行了分類(lèi)，還引進(jìn)了新的方法。數(shù)論的基本內(nèi)容 數(shù)論形成了一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來(lái)說(shuō)，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。 初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來(lái)研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國(guó)古代有名的“中國(guó)剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。 解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對(duì)象的、在極限

5、概念的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題是由歐拉奠基的，俄國(guó)數(shù)學(xué)家車(chē)比雪夫等也對(duì)它的發(fā)展做出過(guò)貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。比如，對(duì)于“質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無(wú)窮級(jí)數(shù)的若干知識(shí)。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對(duì)于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在解決“哥德巴赫猜想”問(wèn)題中也使用的是解析數(shù)論的方法。 代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。 幾何數(shù)論是由德國(guó)數(shù)學(xué)

6、家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開(kāi)創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對(duì)象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)?？臻g格網(wǎng)對(duì)幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問(wèn)題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。 數(shù)論是一門(mén)高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長(zhǎng)期以來(lái)，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對(duì)于大多數(shù)人來(lái)講并不清楚它的實(shí)際意義。 由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國(guó)家應(yīng)

7、用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。 數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問(wèn)題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢　薄Ｏ旅婧?jiǎn)要列出幾顆“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問(wèn)題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問(wèn)題、完全數(shù)問(wèn)題 在我國(guó)近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開(kāi)始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布

8、等方面都有過(guò)重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專(zhuān)家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績(jī)。 特別是陳景潤(rùn)在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國(guó)際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤(rùn)的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。 拓?fù)鋵W(xué)的由來(lái) 幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)

9、了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。 哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單有很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。看來(lái)要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨(dú)特

10、的方法給出了解答。歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。 在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體

11、、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問(wèn)題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題。四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。 四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。” 1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。

12、但后來(lái)數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。 進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話(huà)的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。 上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖

13、形有關(guān)的問(wèn)題，但這些問(wèn)題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。什么是拓?fù)鋵W(xué)？ 拓?fù)鋵W(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類(lèi)似的有關(guān)學(xué)科。我國(guó)早期曾經(jīng)翻譯成“形勢(shì)幾何學(xué)”、“連續(xù)幾何學(xué)”、“一對(duì)一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的數(shù)學(xué)名詞把它確定為拓?fù)鋵W(xué)，這是按音譯過(guò)來(lái)的。 拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)。

14、舉例來(lái)說(shuō)，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的時(shí)候，他畫(huà)的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。 拓?fù)湫再|(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià)，這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。 在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。左圖的三樣?xùn)|西

15、就是拓?fù)涞葍r(jià)的，換句話(huà)講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。 在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來(lái)，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓?fù)渥儞Q下，點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來(lái)的數(shù)目一樣，這就是拓?fù)涞葍r(jià)。一般地說(shuō)，對(duì)于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓?fù)渥兓?，就存在拓?fù)涞葍r(jià)。 應(yīng)該指出，環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì)。比如像左圖那樣，把環(huán)面切開(kāi)，它不至于分成許多塊，只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形，對(duì)于這種情況，我們就說(shuō)球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。 直線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓?fù)渥儞Q下不變，這是拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也

16、是拓?fù)湫再|(zhì)。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(17901868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來(lái)涂滿(mǎn)兩個(gè)側(cè)面。 拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不在介紹。 拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。 二十世紀(jì)以來(lái)，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問(wèn)題都可以應(yīng)用集合來(lái)論述。 因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣

17、泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。本世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門(mén)數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來(lái)研究取線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門(mén)學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。 拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來(lái)研究的，叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另

18、一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來(lái)研究的，叫做代數(shù)拓?fù)洹，F(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。 拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。作者: 葉脈書(shū)簽發(fā)布日期: 2006-8-20射影幾何 射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過(guò)射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過(guò)它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)。射影幾何的發(fā)展簡(jiǎn)況 十七世紀(jì)，當(dāng)?shù)芽▋汉唾M(fèi)爾馬創(chuàng)立的解析幾何問(wèn)世的時(shí)候，還有一門(mén)幾何學(xué)同時(shí)出現(xiàn)在人們的面前。這門(mén)幾何學(xué)和畫(huà)圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時(shí)期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的

19、注意，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起，給這門(mén)幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長(zhǎng)準(zhǔn)備了充分的條件。這門(mén)幾何學(xué)就是射影幾何學(xué)。 基于繪圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，古希臘幾何學(xué)家就開(kāi)始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來(lái)研究。在4世紀(jì)帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。 在文藝復(fù)興時(shí)期，人們?cè)诶L畫(huà)和建筑藝術(shù)方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實(shí)物的圖形。那時(shí)候，人們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)畫(huà)家要把一個(gè)事物畫(huà)在一塊畫(huà)布上就好比是用自己的眼睛當(dāng)作投影中心，把實(shí)物的影子影射到畫(huà)布上去，然后再描繪出來(lái)。在這個(gè)過(guò)程中，被描繪下來(lái)的像中的各個(gè)元素的相對(duì)大小和位置關(guān)系，有的變化了，有的卻保

20、持不變。這樣就促使了數(shù)學(xué)家對(duì)圖形在中心投影下的性質(zhì)進(jìn)行研究，因而就逐漸產(chǎn)生了許多過(guò)去沒(méi)有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門(mén)學(xué)科。 射影幾何真正成為獨(dú)立的學(xué)科、成為幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，主要是在十七世紀(jì)。在17世紀(jì)初期，開(kāi)普勒最早引進(jìn)了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。稍后，為這門(mén)學(xué)科建立而做出了重要貢獻(xiàn)的是兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一個(gè)自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，他年輕的時(shí)候當(dāng)過(guò)陸軍軍官，后來(lái)鉆研工程技術(shù)，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來(lái)證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作試論圓錐曲線和平面的相交所得結(jié)果的初稿，書(shū)中他引入了許多幾何學(xué)的新概念。他的朋友笛卡爾、帕

21、斯卡、費(fèi)爾馬都很推崇他的著作，費(fèi)爾馬甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無(wú)窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。 帕斯卡也為射影幾何學(xué)的早期工作做出了重要的貢獻(xiàn)，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)共線?！边@條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學(xué)中的一條重要定理。1658年，他寫(xiě)了圓錐曲線論一書(shū)，書(shū)中很多定理都是射影幾何方面的內(nèi)容。迪沙格和他是朋友，曾經(jīng)敦促他

22、搞透視學(xué)方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡(jiǎn)化成少數(shù)幾個(gè)基本命題作為目標(biāo)。帕斯卡接受了這些建議。后來(lái)他寫(xiě)了許多有關(guān)射影幾何方面的小冊(cè)子。 不過(guò)迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)而不涉及度量性質(zhì)(長(zhǎng)度、角度、面積)。但他們?cè)谧C明中卻用到了長(zhǎng)度概念，而不是用嚴(yán)格的射影方法，他們也沒(méi)有意識(shí)到，自己的研究方向會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生一個(gè)新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。 射影幾何的主要奠基人是19世紀(jì)的彭賽列。他是畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人蒙日的學(xué)生。蒙日帶動(dòng)了他的許多學(xué)生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長(zhǎng)期忽視了，

23、前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。 1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認(rèn)識(shí)到射影幾何是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的第一個(gè)數(shù)學(xué)家。他通過(guò)幾何方法引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對(duì)應(yīng)并用它來(lái)確立對(duì)偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡(jiǎn)單圖形產(chǎn)生較復(fù)雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進(jìn)的。為了擺脫坐標(biāo)系對(duì)度量概念的依賴(lài)，施陶特通過(guò)幾何作圖來(lái)建立直線上的點(diǎn)坐標(biāo)系，進(jìn)而使交比也不依賴(lài)于長(zhǎng)度概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標(biāo)系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。 另方面，運(yùn)用解析法來(lái)研究射影幾何也有長(zhǎng)足進(jìn)展。首先是莫比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標(biāo)系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類(lèi)型

24、，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進(jìn)丁另一種齊次坐標(biāo)系，得到了平面上無(wú)窮遠(yuǎn)線的方程，無(wú)窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)的坐標(biāo)。他還引進(jìn)了線坐標(biāo)概念，于是從代數(shù)觀點(diǎn)就自然得到了對(duì)偶原理，并得到了關(guān)于一般線素曲線的一些概念。 在19世紀(jì)前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭(zhēng)論異常激烈；有些數(shù)學(xué)家完全否定綜合法，認(rèn)為它沒(méi)有前途，而一些幾何學(xué)家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅(jiān)持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認(rèn)綜合法有其局限性，在研究過(guò)程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來(lái)論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個(gè)優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實(shí)形象鮮明，有些問(wèn)題論證直接而簡(jiǎn)潔。1882年

25、帕施建成第一個(gè)嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。 射影幾何學(xué)的發(fā)展和其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展有密切的關(guān)系，特別是“群”的概念產(chǎn)生以后，也被引進(jìn)了射影幾何學(xué)，對(duì)這門(mén)幾何學(xué)的研究起了促進(jìn)作用。 把各種幾何和變換群相聯(lián)系的是克萊因，他在埃爾朗根綱領(lǐng)中提出了這個(gè)觀點(diǎn)，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關(guān)系變得十分明朗。這個(gè)綱領(lǐng)產(chǎn)生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個(gè)分類(lèi)法。后來(lái)嘉當(dāng)?shù)仍谕貜V幾何分類(lèi)的方法中作出了新的貢獻(xiàn)。 射影幾何學(xué)的內(nèi)容 概括的說(shuō)，射影幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，它是專(zhuān)門(mén)研究圖形的位置關(guān)系的，也是專(zhuān)門(mén)用來(lái)討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)

26、。 在射影幾何學(xué)中，把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)”。通常的直線再加上一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)就是無(wú)窮遠(yuǎn)直線，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過(guò)同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。 在引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線后，原來(lái)普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過(guò)去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。 由于經(jīng)過(guò)同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個(gè)圖形映成另一個(gè)圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。 射影變換有兩個(gè)重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線

27、，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說(shuō)明兩個(gè)平面點(diǎn)之間的射影對(duì)應(yīng)。 在射影幾何里，把點(diǎn)和直線叫做對(duì)偶元素，把“過(guò)一點(diǎn)作一直線”和“在一直線上取一點(diǎn)”叫做對(duì)偶運(yùn)算。在兩個(gè)圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c(diǎn)和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個(gè)圖形。這兩個(gè)圖形叫做對(duì)偶圖形。在一個(gè)命題中敘述的內(nèi)容只是關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算的時(shí)候，結(jié)果就得到另一個(gè)命題。這兩個(gè)命題叫做對(duì)偶命題。 這就是射影幾何學(xué)所特有的對(duì)偶原則。在射影平面上，如

28、果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，這叫做平面對(duì)偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，叫做空間對(duì)偶原則。 研究在射影變換下二次曲線的不變性質(zhì)，也是射影幾何學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。 如果就幾何學(xué)內(nèi)容的多少來(lái)說(shuō)，射影幾何學(xué) 仿射幾何學(xué) 歐氏幾何學(xué)，這就是說(shuō)歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學(xué)的內(nèi)容最貧乏。比如在歐氏幾何學(xué)里可以討論仿射幾何學(xué)的對(duì)象(如簡(jiǎn)比、平行性等)和射影幾何學(xué)的對(duì)象(如四點(diǎn)的交比等)，反過(guò)來(lái)，在射影幾何學(xué)里不能討論圖形的仿射性質(zhì)，而在仿射幾何學(xué)里也不能討論圖形的度量性質(zhì)。 1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在愛(ài)爾朗根大學(xué)提出著名的愛(ài)爾朗根計(jì)劃書(shū)中提出用變換

29、群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。作者: 葉脈書(shū)簽發(fā)布日期: 2006-8-20微分方程的概念 方程對(duì)于學(xué)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。 但是在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問(wèn)題。比如：物質(zhì)在一定條件下的運(yùn)動(dòng)變化，要尋求它的運(yùn)動(dòng)、變化的

30、規(guī)律；某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等。 物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和它的變化規(guī)律在數(shù)學(xué)上是用函數(shù)關(guān)系來(lái)描述的，因此，這類(lèi)問(wèn)題就是要去尋求滿(mǎn)足某些條件的一個(gè)或者幾個(gè)未知函數(shù)。也就是說(shuō)，凡是這類(lèi)問(wèn)題都不是簡(jiǎn)單地去求一個(gè)或者幾個(gè)固定不變的數(shù)值，而是要求一個(gè)或者幾個(gè)未知的函數(shù)。 解這類(lèi)問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問(wèn)題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式。但是無(wú)論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面，都和初等數(shù)學(xué)中的解方程有許多不

31、同的地方。 在數(shù)學(xué)上，解這類(lèi)方程，要用到微分和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)。因此，凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微

32、分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。 牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。常微分方程的內(nèi)容 如果在一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程就叫做常微分方程，也可以簡(jiǎn)單地叫做微分方程。 一般地說(shuō)，n 階微分方程的

33、解含有 n個(gè)任意常數(shù)。也就是說(shuō)，微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的解數(shù)相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構(gòu)成一個(gè)函數(shù)族。 如果根據(jù)實(shí)際問(wèn)題要求出其中滿(mǎn)足某種指定條件的解來(lái)，那么求這種解的問(wèn)題叫做定解問(wèn)題，對(duì)于一個(gè)常微分方程的滿(mǎn)足定解條件的解叫做特解。對(duì)于高階微分方程可以引入新的未知函數(shù)，把它化為多個(gè)一階微分方程組。常微分方程的特點(diǎn) 常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類(lèi)及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡(jiǎn)述一下，以了解常微分方程的特點(diǎn)。 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問(wèn)題所需要的

34、特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對(duì)某些參數(shù)的依賴(lài)情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。 后來(lái)的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實(shí)際應(yīng)用中所需要的多是求滿(mǎn)足某種指定條件的特解。當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到定解問(wèn)題上來(lái)。 一個(gè)常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個(gè)呢？這是微分方程論中一個(gè)基本的問(wèn)題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因?yàn)槿绻麤](méi)有解，而我們要去求解，那是沒(méi)有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對(duì)于微分方程的求解是十分重要的。 大部分的常微分方程求不出十分

35、精確的解，而只能得到近似解。當(dāng)然，這個(gè)近似解的精確程度是比較高的。另外還應(yīng)該指出，用來(lái)描述物理過(guò)程的微分方程，以及由試驗(yàn)測(cè)定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。 現(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門(mén)學(xué)科的理論更加完善。作者: 葉脈書(shū)簽發(fā)布日期: 2006-8-20非歐幾何

36、的來(lái)源 非歐幾何學(xué)是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。 歐幾里得的幾何原本提出了五條公設(shè)，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來(lái)，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn)。 有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在幾何原本一書(shū)中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒(méi)有使用。也就是說(shuō)，在幾何原本中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。 因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四

37、個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭(zhēng)論了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。 由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對(duì)不對(duì)？第五公設(shè)到底能不能證明？ 到了十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，他走了另一條路子。他提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來(lái)代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開(kāi)一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。 但是，在他極為細(xì)致深入的推理過(guò)程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺(jué)上匪夷所思，但在邏輯上毫無(wú)矛

38、盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論： 第一，第五公設(shè)不能被證明。 第二，在新的公理體系中展開(kāi)的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無(wú)矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。 這種幾何學(xué)被稱(chēng)為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱(chēng)羅氏幾何。這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。 從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。 幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過(guò)程中也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對(duì)待。他的父

39、親數(shù)學(xué)家鮑耶法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無(wú)功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。 那個(gè)時(shí)代被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開(kāi)發(fā)表自己的研究成果，只是在書(shū)信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來(lái)公開(kāi)支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。羅式幾何 羅式幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐式幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來(lái)代替，其他公理基本相同。

40、由于平行公理不同，經(jīng)過(guò)演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。 我們知道，羅式幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明： 歐式幾何 同一直線的垂線和斜線相交。 垂直于同一直線的兩條直線或向平行。 存在相似的多邊形。 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。 羅式幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。 不存在相似

41、的多邊形。 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。 從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來(lái)解釋羅式幾何是正確的。 1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文非歐幾何解釋的嘗試，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒(méi)有矛盾，非歐幾何也就自然沒(méi)有矛盾。 人們既然承認(rèn)歐幾里是沒(méi)有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何沒(méi)

42、有矛盾了。直到這時(shí)，長(zhǎng)期無(wú)人問(wèn)津的非歐幾何才開(kāi)始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。黎曼幾何 歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過(guò)直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個(gè)問(wèn)題。 黎曼幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)中明確的提出另一種

43、幾何學(xué)的存在，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。 黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無(wú)限演唱，但總的長(zhǎng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。 近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛(ài)因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋?zhuān)∏∈呛屠杪鼛缀蔚挠^念是相似的。 此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何

44、的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。三種幾何的關(guān)系 歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿(mǎn)足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。 在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。作者: 葉脈書(shū)簽發(fā)布日期: 2006-8-20什么是計(jì)算數(shù)學(xué) 現(xiàn)代的科學(xué)技術(shù)發(fā)展十分迅速，他們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是都有大量的數(shù)據(jù)問(wèn)題。 比如，發(fā)射一顆探測(cè)宇宙奧秘的衛(wèi)星，從

45、衛(wèi)星世紀(jì)開(kāi)始到發(fā)射、回收為止，科學(xué)家和工程技術(shù)人員、工人就要對(duì)衛(wèi)星的總體、部件進(jìn)行全面的設(shè)計(jì)和生產(chǎn)，要對(duì)選用的火箭進(jìn)行設(shè)計(jì)和生產(chǎn)，這里面就有許許多多的數(shù)據(jù)要進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算。發(fā)射和回收的時(shí)候，又有關(guān)于發(fā)射角度、軌道、遙控、回收下落角度等等需要進(jìn)行精確的計(jì)算。 有如，在高能加速器里進(jìn)行高能物理試驗(yàn)，研究具有很高能量的基本粒子的性質(zhì)、它們之間的相互作用和轉(zhuǎn)化規(guī)律，這里面也有大量的數(shù)據(jù)計(jì)算問(wèn)題。 計(jì)算問(wèn)題可以數(shù)是現(xiàn)代社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域普遍存在的共同問(wèn)題，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等等，那一行那一業(yè)都有許多數(shù)據(jù)需要計(jì)算，通過(guò)數(shù)據(jù)分析，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律。 研究計(jì)算問(wèn)題的解決方法和有關(guān)數(shù)學(xué)理論

46、問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科就叫做計(jì)算數(shù)學(xué)。 計(jì)算數(shù)學(xué)屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的范疇，它主要研究有關(guān)的數(shù)學(xué)和邏輯問(wèn)題怎樣由計(jì)算機(jī)加以有效解決。計(jì)算數(shù)學(xué)的內(nèi)容 計(jì)算數(shù)學(xué)也叫做數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值分析。主要內(nèi)容包括代數(shù)方程、線性代數(shù)方程組、微分方程的數(shù)值解法，函數(shù)的數(shù)值逼近問(wèn)題，矩陣特征值的求法，最優(yōu)化計(jì)算問(wèn)題，概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算問(wèn)題等等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問(wèn)題。 我們知道五次及五次以上的代數(shù)方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數(shù)方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數(shù)值分析的方法。對(duì)于一般的超越方程，如對(duì)數(shù)方程、三角方程等等也只能采用數(shù)值分析的辦法。怎樣找出比較簡(jiǎn)潔、誤差比較

47、小、花費(fèi)時(shí)間比較少的計(jì)算方法是數(shù)值分析的主要課題。 在求解方程的辦法中，常用的辦法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的計(jì)算是比較簡(jiǎn)單的，是比較容易進(jìn)行的。迭代法還可以用來(lái)求解線性方程組的解。求方程組的近似解也要選擇適當(dāng)?shù)牡剑沟檬諗克俣瓤?，近似誤差小。 在線性代數(shù)方程組的解法中，常用的有塞德?tīng)柕?、共軛斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比較古老的普通消去法，如高斯法、追趕法等等，在利用計(jì)算機(jī)的條件下也可以得到廣泛的應(yīng)用。 在計(jì)算方法中，數(shù)值逼近也是常用的基本方法。數(shù)值逼近也叫近似代替，就是用簡(jiǎn)單的函數(shù)去代替比較復(fù)雜的函數(shù)，或者代替不能用解析表達(dá)式表示的函數(shù)。數(shù)值逼近的基本方法是插

48、值法。初等數(shù)學(xué)里的三角函數(shù)表，對(duì)數(shù)表中的修正值，就是根據(jù)插值法制成的。 在遇到求微分和積分的時(shí)候，如何利用簡(jiǎn)單的函數(shù)去近似代替所給的函數(shù)，以便容易求到和求積分，也是計(jì)算方法的一個(gè)主要內(nèi)容。微分方程的數(shù)值解法也是近似解法。常微分方程的數(shù)值解法由歐拉法、預(yù)測(cè)校正法等。偏微分方程的初值問(wèn)題或邊值問(wèn)題，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。 有限差分法的基本思想是用離散的、只含有限個(gè)未知數(shù)的差分方程去代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件。求出差分方程的解法作為求偏微分方程的近似解。 有限元素法是近代才發(fā)展起來(lái)的，它是以變分原理和剖分差值作為基礎(chǔ)的方法。在解決橢圓形方程邊值問(wèn)題上得到了廣泛的應(yīng)用。穆恰，有許

49、多人正在研究用有限元素法來(lái)解雙曲形和拋物形的方程。 計(jì)算數(shù)學(xué)的內(nèi)容十分豐富，它在科學(xué)技術(shù)中正發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。作者: 葉脈書(shū)簽發(fā)布日期: 2006-8-20在中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，曾經(jīng)有過(guò)一次流傳后世的賽馬比賽，相信大家都知道，這就是田忌賽馬。田忌賽馬的故事說(shuō)明在已有的條件下，經(jīng)過(guò)籌劃、安排，選擇一個(gè)最好的方案，就會(huì)取得最好的效果?？梢?jiàn)，籌劃安排是十分重要的。 現(xiàn)在普遍認(rèn)為，運(yùn)籌學(xué)是近代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要是將生產(chǎn)、管理等事件中出現(xiàn)的一些帶有普遍性的運(yùn)籌問(wèn)題加以提煉，然后利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決。前者提供模型，后者提供理論和方法。 運(yùn)籌學(xué)的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。敵我雙方交戰(zhàn)，要克敵制勝就要在了解

50、雙方情況的基礎(chǔ)上，做出最優(yōu)的對(duì)付敵人的方法，這就是“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”的說(shuō)法。 但是作為一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，用純數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決最優(yōu)方法的選擇安排，卻是晚多了。也可以說(shuō)，運(yùn)籌學(xué)是在二十世紀(jì)四十年代才開(kāi)始興起的一門(mén)分支。 運(yùn)籌學(xué)主要研究經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和軍事活動(dòng)中能用數(shù)量來(lái)表達(dá)的有關(guān)策劃、管理方面的問(wèn)題。當(dāng)然，隨著客觀實(shí)際的發(fā)展，運(yùn)籌學(xué)的許多內(nèi)容不但研究經(jīng)濟(jì)和軍事活動(dòng)，有些已經(jīng)深入到日常生活當(dāng)中去了。運(yùn)籌學(xué)可以根據(jù)問(wèn)題的要求，通過(guò)數(shù)學(xué)上的分析、運(yùn)算，得出各種各樣的結(jié)果，最后提出綜合性的合理安排，已達(dá)到最好的效果。 運(yùn)籌學(xué)作為一門(mén)用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)科，在處理千差萬(wàn)別的各種問(wèn)題時(shí)，一般有以下幾個(gè)步驟：

51、確定目標(biāo)、制定方案、建立模型、制定解法。 雖然不大可能存在能處理及其廣泛對(duì)象的運(yùn)籌學(xué)，但是在運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展過(guò)程中還是形成了某些抽象模型，并能應(yīng)用解決較廣泛的實(shí)際問(wèn)題。 隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展，運(yùn)籌學(xué)已滲入很多領(lǐng)域里，發(fā)揮了越來(lái)越重要的作用。運(yùn)籌學(xué)本身也在不斷發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)是一個(gè)包括好幾個(gè)分支的數(shù)學(xué)部門(mén)了。比如：數(shù)學(xué)規(guī)劃（又包含線性規(guī)劃；非線性規(guī)劃；整數(shù)規(guī)劃；組合規(guī)劃等）、圖論、網(wǎng)絡(luò)流、決策分析、排隊(duì)論、可靠性數(shù)學(xué)理論、庫(kù)存論、對(duì)策論、搜索論、模擬等等。各分支簡(jiǎn)介 數(shù)學(xué)規(guī)劃的研究對(duì)象是計(jì)劃管理工作中有關(guān)安排和估值的問(wèn)題，解決的主要問(wèn)題是在給定條件下，按某一衡量指標(biāo)來(lái)尋找安排的最優(yōu)方案。它可以表示

52、成求函數(shù)在滿(mǎn)足約束條件下的極大極小值問(wèn)題。 數(shù)學(xué)規(guī)劃和古典的求極值的問(wèn)題有本質(zhì)上的不同，古典方法只能處理具有簡(jiǎn)單表達(dá)式，和簡(jiǎn)單約束條件的情況。而現(xiàn)代的數(shù)學(xué)規(guī)劃中的問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)和約束條件都很復(fù)雜，而且要求給出某種精確度的數(shù)字解答，因此算法的研究特別受到重視。 這里最簡(jiǎn)單的一種問(wèn)題就是線性規(guī)劃。如果約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是呈線性關(guān)系的就叫線性規(guī)劃。要解決線性規(guī)劃問(wèn)題，從理論上講都要解線性方程組，因此解線性方程組的方法，以及關(guān)于行列式、矩陣的知識(shí)，就是線性規(guī)劃中非常必要的工具。 線性規(guī)劃及其解法單純形法的出現(xiàn)，對(duì)運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展起了重大的推動(dòng)作用。許多實(shí)際問(wèn)題都可以化成線性規(guī)劃來(lái)解決，而單純形法有是一個(gè)行

53、之有效的算法，加上計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使一些大型復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的解決成為現(xiàn)實(shí)。 非線性規(guī)劃是線性規(guī)劃的進(jìn)一步發(fā)展和繼續(xù)。許多實(shí)際問(wèn)題如設(shè)計(jì)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)平衡問(wèn)題都屬于非線性規(guī)劃的范疇。非線性規(guī)劃擴(kuò)大了數(shù)學(xué)規(guī)劃的應(yīng)用范圍，同時(shí)也給數(shù)學(xué)工作者提出了許多基本理論問(wèn)題，使數(shù)學(xué)中的如凸分析、數(shù)值分析等也得到了發(fā)展。還有一種規(guī)劃問(wèn)題和時(shí)間有關(guān)，叫做“動(dòng)態(tài)規(guī)劃”。近年來(lái)在工程控制、技術(shù)物理和通訊中的最佳控制問(wèn)題中，已經(jīng)成為經(jīng)常使用的重要工具。 排隊(duì)論是運(yùn)籌學(xué)的又一個(gè)分支，它有叫做隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。它的研究目的是要回答如何改進(jìn)服務(wù)機(jī)構(gòu)或組織被服務(wù)的對(duì)象，使得某種指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的問(wèn)題。比如一個(gè)港口應(yīng)該有多少個(gè)碼頭，一個(gè)工廠

54、應(yīng)該有多少維修人員等。 排隊(duì)論最初是在二十世紀(jì)初由丹麥工程師艾爾郎關(guān)于電話(huà)交換機(jī)的效率研究開(kāi)始的，在第二次世界大戰(zhàn)中為了對(duì)飛機(jī)場(chǎng)跑道的容納量進(jìn)行估算，它得到了進(jìn)一步的發(fā)展，其相應(yīng)的學(xué)科更新論、可靠性理論等也都發(fā)展起來(lái)。 因?yàn)榕抨?duì)現(xiàn)象是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，因此在研究排隊(duì)現(xiàn)象的時(shí)候，主要采用的是研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率論作為主要工具。此外，還有微分和微分方程。排隊(duì)論把它所要研究的對(duì)象形象的描述為顧客來(lái)到服務(wù)臺(tái)前要求接待。如果服務(wù)臺(tái)以被其它顧客占用，那么就要排隊(duì)。另一方面，服務(wù)臺(tái)也時(shí)而空閑、時(shí)而忙碌。就需要通過(guò)數(shù)學(xué)方法求得顧客的等待時(shí)間、排隊(duì)長(zhǎng)度等的概率分布。 排隊(duì)論在日常生活中的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，比如水庫(kù)水量

55、的調(diào)節(jié)、生產(chǎn)流水線的安排，鐵路分成場(chǎng)的調(diào)度、電網(wǎng)的設(shè)計(jì)等等。 對(duì)策論也叫博弈論，前面講的田忌賽馬就是典型的博弈論問(wèn)題。作為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，博弈論的發(fā)展也只有幾十年的歷史。系統(tǒng)地創(chuàng)建這門(mén)學(xué)科的數(shù)學(xué)家，現(xiàn)在一般公認(rèn)為是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)之父馮諾依曼。 最初用數(shù)學(xué)方法研究博弈論是在國(guó)際象棋中開(kāi)始的如何確定取勝的著法。由于是研究雙方?jīng)_突、制勝對(duì)策的問(wèn)題，所以這門(mén)學(xué)科在軍事方面有著十分重要的應(yīng)用。近年來(lái)，數(shù)學(xué)家還對(duì)水雷和艦艇、殲擊機(jī)和轟炸機(jī)之間的作戰(zhàn)、追蹤等問(wèn)題進(jìn)行了研究，提出了追逃雙方都能自主決策的數(shù)學(xué)理論。近年來(lái)，隨著人工智能研究的進(jìn)一步發(fā)展，對(duì)博弈論提出了更多新的要求。 搜索論是由于第二次

56、世界大戰(zhàn)中戰(zhàn)爭(zhēng)的需要而出現(xiàn)的運(yùn)籌學(xué)分支。主要研究在資源和探測(cè)手段受到限制的情況下，如何設(shè)計(jì)尋找某種目標(biāo)的最優(yōu)方案，并加以實(shí)施的理論和方法。在第二次世界大戰(zhàn)中，同盟國(guó)的空軍和海軍在研究如何針對(duì)軸心國(guó)的潛艇活動(dòng)、艦隊(duì)運(yùn)輸和兵力部署等進(jìn)行甄別的過(guò)程中產(chǎn)生的。搜索論在實(shí)際應(yīng)用中也取得了不少成效，例如二十世紀(jì)六十年代，美國(guó)尋找在大西洋失蹤的核潛艇“打谷者號(hào)”和“蝎子號(hào)”，以及在地中海尋找丟失的氫彈，都是依據(jù)搜索論獲得成功的。 運(yùn)籌學(xué)有廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域，它已滲透到諸如服務(wù)、庫(kù)存、搜索、人口、對(duì)抗、控制、時(shí)間表、資源分配、廠址定位、能源、設(shè)計(jì)、生產(chǎn)、可靠性、等各個(gè)方面。作者: 葉脈書(shū)簽發(fā)布日期: 2006-8

57、-20普通幾何學(xué)研究的對(duì)象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點(diǎn)、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時(shí)空。最近十幾年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)，空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個(gè)分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者的極大關(guān)注。分形幾何的產(chǎn)生 客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無(wú)窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。不少?gòu)?fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類(lèi)層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。 客觀事物有它自己的特征長(zhǎng)度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y(cè)量。用尺來(lái)測(cè)量萬(wàn)里長(zhǎng)城，嫌太短；用尺來(lái)測(cè)量大腸桿菌，又嫌太長(zhǎng)。從而產(chǎn)生了特征長(zhǎng)度。還有的事物沒(méi)有特

58、征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做“無(wú)標(biāo)度性”的問(wèn)題。 如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過(guò)大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運(yùn)動(dòng)，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助“無(wú)標(biāo)度性”解決問(wèn)題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。 在二十世紀(jì)七十年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌_特在他的著作中探討了英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問(wèn)題這依賴(lài)于測(cè)量時(shí)所使用的尺度。 如果用公里作測(cè)量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會(huì)被忽略；改用米來(lái)做單位，測(cè)得的總長(zhǎng)度會(huì)增

59、加，但是一些厘米量級(jí)以下的就不能反映出來(lái)。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個(gè)方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個(gè)突出的點(diǎn)，用直線把它們連起來(lái)，得到海岸線長(zhǎng)度的一種下界。使用比這更長(zhǎng)的尺度是沒(méi)有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒(méi)有意義的。在這兩個(gè)自然限度之間，存在著可以變化許多個(gè)數(shù)量級(jí)的“無(wú)標(biāo)度”區(qū)，長(zhǎng)度不是海岸線的定量特征，就要用分維。 數(shù)學(xué)家寇赫從一個(gè)正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無(wú)限曲線，其長(zhǎng)度也不斷增加，并趨向于無(wú)窮大。以后可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于

60、1到2之間。 這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動(dòng)和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對(duì)象。這些促使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何學(xué)。 電子計(jì)算機(jī)圖形顯示協(xié)助了人們推開(kāi)分形幾何的大門(mén)。這座具有無(wú)窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個(gè)角落里都存在無(wú)限嵌套的迷宮和回廊，促使數(shù)學(xué)家和科學(xué)家深入研究。 法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌_特這位計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)兼通的人物，對(duì)分形幾何產(chǎn)生了重大的推動(dòng)作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書(shū)，特別是分形形、機(jī)遇和維數(shù)以及自然界中的分形幾何學(xué)，開(kāi)創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支分形幾何學(xué)