1、多元函數(shù)的偏導數(shù)第1頁第1頁 對一元函數(shù)：導數(shù)描述了函數(shù)在處瞬時改變率，它幾何意義就是函數(shù)曲線上點處切線斜率。 對于多元函數(shù)，我們同樣感興趣它在某處瞬時改變率問題，以二元函數(shù) 為例，我們分別討論：相對于以及相對于瞬時改變率偏導數(shù) 偏導數(shù)定義第2頁第2頁時改變率。沿 軸方向改變率，即當沿 軸方向改變率，即當時改變率。考察處在斜率斜率第3頁第3頁 偏導數(shù)定義設(shè)函數(shù)在點某一鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱此極限為或若存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對 偏導數(shù)，記作函數(shù)在點處對 偏導數(shù)，記作或第4頁第4頁假如函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)每一點處對 和對 偏導數(shù)都存在，那么我們就說函數(shù)在 D 內(nèi)可導，它在 D 內(nèi)偏導數(shù)仍是

2、和二元函數(shù)，稱為偏導函數(shù)，簡稱偏導數(shù)，記為或求偏導辦法：只需將其它變量視為常數(shù)，按一元函數(shù)求導則可。 偏導數(shù)定義第5頁第5頁例1 求下列多元函數(shù)偏導數(shù)解 解 第6頁第6頁例1 求下列多元函數(shù)偏導數(shù)解 第7頁第7頁例1 求下列多元函數(shù)偏導數(shù)解 第8頁第8頁例2 討論 在點處連續(xù)性和可導性。解 令則 極限與相關(guān)，故極限不存在，即函數(shù)在點處不連續(xù)。但即函數(shù)在點處可導。由此知，偏導存在未必連續(xù)。第9頁第9頁但：連續(xù)偏導數(shù)存在。連續(xù)偏導數(shù)存在。連續(xù)，可導對比一元函數(shù)，我們有：可導連續(xù)，不 同 ！ 第10頁第10頁例3 求曲線 在點處切線與 軸正方向所成傾角是多少？解所求傾角 偏導數(shù)幾何意義（演示） 第1

3、1頁第11頁 高階偏導數(shù) 由于二元函數(shù)偏導數(shù)仍是二元函數(shù)，故可據(jù)實際需要再求偏導數(shù)，稱之為二階偏導數(shù)，同理有三階、四階等高階偏導數(shù)。例4 求下列二元函數(shù)所有二階偏導數(shù)解 第12頁第12頁例4 求下列二元函數(shù)所有二階偏導數(shù)若二元函數(shù)兩個混合偏導在區(qū)域 D 上連續(xù)，則它們必相等。解 第13頁第13頁 全微分相關(guān)概念如同一元函數(shù)，為處理函數(shù)增量近似計算問題，引入全微分。設(shè)二元函數(shù)為 全增量：稱 為函數(shù)在點 處全增量。 關(guān)于x偏增量：稱 為函數(shù)在點 處關(guān)于x偏增量。 關(guān)于y偏增量：稱 為函數(shù)在點 處關(guān)于y偏增量。 第14頁第14頁 全微分則稱函數(shù)在 處可微，并稱為函數(shù)在 處全微分，記為：顯然有：又能夠表示成 若二元函數(shù) 在點 處全增量只要特取 即能夠推出第15頁第15頁 全微分、偏導數(shù)、連續(xù)性之間關(guān)系 連續(xù)可微偏導存在全微分存在第16頁第16頁例1（1）求：解第17頁第17頁例2 求函數(shù) 全微分 解 由于