1、 七年級數(shù)學上冊知識點總結第一章第一章有理數(shù) 一.正數(shù)和負數(shù) 正數(shù)和負數(shù)的概念 負數(shù)：比0小的數(shù) 正數(shù)：比0大的數(shù) 0既不是正數(shù)，也不是負數(shù) 留意：字母a可以表示任意數(shù)，當a表示正數(shù)時，-a是負數(shù);當a表示負數(shù)時，-a是正數(shù);當a表示0時，-a仍是0。(假如出推斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負號的數(shù)是負數(shù)，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡潔推斷) 正數(shù)有時也可以在前面加“+”，有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。 2.具有相反意義的量 若正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如： 零上8表示為：+8;零下8表示為：-8 支出與收入;增加與削

2、減;盈利與虧損;北與南;東與西;漲與跌;增長與降低等等是相對相反量，它們計數(shù)： 比原先多了的數(shù),增加增長了的數(shù)一般記為正數(shù);相反，比原先少了的數(shù)，削減降低了的數(shù)一般記為負數(shù)。 3.0表示的意義 0表示“ 沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人; 0是正數(shù)和負數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。 二.有理數(shù) 1.有理數(shù)的概念 正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)) 正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù) 正整數(shù)，0，負整數(shù)，正分數(shù)，負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。 理解：只有能化成分數(shù)的數(shù)才是有理數(shù)。是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

3、都可化成分數(shù)，都是有理數(shù)。 留意：引入負數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5也是奇數(shù)。 2. (1)凡能寫成形式的數(shù)，都是有理數(shù).正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù);正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù);整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù).留意：0即不是正數(shù)，也不是負數(shù);-a不肯定是負數(shù)，+a也不肯定是正數(shù);p不是有理數(shù); (2)有理數(shù)的分類: 按正、負分類: 按有理數(shù)的意義來分: 總結：正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負整數(shù)(也叫自然數(shù)) 負整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負有理數(shù) 負有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù) (3)留意：有理數(shù)中，1、0、-1是三個特別的數(shù)，它們有自己的特性;這

4、三個數(shù)把數(shù)軸上的數(shù)分成四個區(qū)域，這四個區(qū)域的數(shù)也有自己的特性; (4)自然數(shù)? 0和正整數(shù);a0 ? a是正數(shù);a0 ? a是負數(shù); a0 ? a是正數(shù)或0 ? a是非負數(shù);a 0 ? a是負數(shù)或0 ? a是非正數(shù). 三.數(shù)軸 數(shù)軸的概念 規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。 留意：數(shù)軸是一條向兩端無限延長的直線;原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不行;同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一;數(shù)軸的三要素都是依據(jù)實際需要規(guī)定的。 2.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關系 全部的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負有理數(shù)可用原點左邊的點表示，0用原點表示。 全部的有理數(shù)都

5、可以用數(shù)軸上的點表示出來，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應關系。(如，數(shù)軸上的點不是有理數(shù)) 3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小 在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大; 正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于負數(shù); 兩個負數(shù)比較，距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。 4.數(shù)軸上特別的最大(小)數(shù) 最小的自然數(shù)是0，無最大的自然數(shù); 最小的正整數(shù)是1，無最大的正整數(shù); 最大的負整數(shù)是-1，無最小的負整數(shù) 5.a可以表示什么數(shù) a0表示a是正數(shù);反之，a是正數(shù)，則a0; a0表示a是負數(shù);反之，a是負數(shù)，則a0 a=0表示a是0;反之，a是0,，則a=0 6.數(shù)軸上點

6、的移動規(guī)律 依據(jù)點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。 四.相反數(shù) 相反數(shù) 只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。 留意：相反數(shù)是成對消失的;相反數(shù)只有符號不同，若一個為正，則另一個為負; 0的相反數(shù)是它本身;相反數(shù)為本身的數(shù)是0。 2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定 任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個; 0的相反數(shù)是0; 互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=0 3.相反數(shù)的幾何意義 在數(shù)軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數(shù)，是互為相反數(shù);互為相反數(shù)的兩個數(shù)，在數(shù)軸上的對應點

7、(0除外)在原點兩旁，并且與原點的距離相等。0的相反數(shù)對應原點;原點表示0的相反數(shù)。 說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點關于原點對稱。 4.相反數(shù)的求法 求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負號“-”即可求得(如：5的相反數(shù)是-5);0的相反數(shù)還是0; 求多個數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號括起來再添“-”，然后化簡(如;5a+b的相反數(shù)是-(5a+b)。化簡得-5a-b);留意： a-b+c的相反數(shù)是-a+b-c;a-b的相反數(shù)是b-a;a+b的相反數(shù)是-a-b; 求前面帶“-”的單個數(shù)，也應先用括號括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數(shù)是-(-5)，化簡得5);)相反數(shù)的和為0 ?

8、 a+b=0 ? a、b互為相反數(shù) 5.相反數(shù)的表示（方法） 一般地，數(shù)a 的相反數(shù)是-a ，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)或0。 當a0時，-a0(正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)) 當a0時，-a0(負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)) 當a=0時，-a=0，(0的相反數(shù)是0) 6.多重符號的化簡 多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數(shù)不影響化簡的結果，可以直接省略;“-”號的個數(shù)打算最終化簡結果;即：“-”的個數(shù)是奇數(shù)時，結果為負，“-”的個數(shù)是偶數(shù)時，結果為正。 五.肯定值 肯定值的幾何定義 一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的肯定值，記作|a|。 2.肯定值的代數(shù)定義 一個正數(shù)的肯定值是它本身; 一個

9、負數(shù)的肯定值是它的相反數(shù); 0的肯定值是0. 可用字母表示為： 假如a0，那么|a|=a; 假如a0，那么|a|=-a; 假如a=0，那么|a|=0。 可歸納為：a0， |a|=a (非負數(shù)的肯定值等于本身;肯定值等于本身的數(shù)是非負數(shù)。) a0， |a|=-a (非正數(shù)的肯定值等于其相反數(shù);肯定值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。) 3.肯定值的性質(zhì) 任何一個有理數(shù)的肯定值都是非負數(shù)，也就是說肯定值具有非負性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|0。即 (1)正數(shù)的肯定值是其本身，0的肯定值是0，負數(shù)的肯定值是它的相反數(shù);留意：肯定值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點離開原點的距離;肯定值是0的數(shù)是0.即：a=0

10、 |a|=0; 一個數(shù)的肯定值是非負數(shù)，肯定值最小的數(shù)是0.肯定值可表示為：或 ;即：|a|0;肯定值的問題常常分類爭論; 任何數(shù)的肯定值都不小于原數(shù)。即：|a|a; ; ; 肯定值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a(a0)，則x=a; 互為相反數(shù)的兩數(shù)的肯定值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|;|a|是重要的非負數(shù)，即|a|0;留意：|a|b|=|ab|, 肯定值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b; 若幾個數(shù)的肯定值的和等于0，則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。 (非負數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個

11、非負數(shù)的和為0，則有且只有這幾個非負數(shù)同時為0) 4.有理數(shù)大小的比較 利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較，左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小，或者右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大 利用肯定值比較兩個負數(shù)的大小：兩個負數(shù)比較大小，肯定值大的反而小;異號兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負數(shù)。 (3)正數(shù)的肯定值越大，這個數(shù)越大; (4)正數(shù)永久比0大，負數(shù)永久比0小; (5)正數(shù)大于一切負數(shù); (6)大數(shù)-小數(shù) 0，小數(shù)-大數(shù) 0. 5.肯定值的化簡 當a0時， |a|=a ; 當a0時， |a|=-a 6.已知一個數(shù)的肯定值，求這個數(shù) 一個數(shù)a的肯定值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，一般地，肯定值為同一個正數(shù)

12、的有理數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，肯定值為0的數(shù)是0，沒有肯定值為負數(shù)的數(shù)。 六.有理數(shù)的加減法. 1.有理數(shù)的加法法則 同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把肯定值相加; 肯定值不相等的異號兩數(shù)相加，取肯定值較大的加數(shù)的符號，并用較大的肯定值減去較小的肯定值; 互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零; 一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。 2.有理數(shù)加法的運算律 加法交換律：a+b=b+a 加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在運用運算律時，肯定要依據(jù)需要敏捷運用，以達到化簡的目的，通常有下列規(guī)律： 互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加“相反數(shù)結合法”; 符號相同的兩個數(shù)先相加“同號結合法”; 分母相同的數(shù)先相加“同分母

13、結合法”; 幾個數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法”; 整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結合法”。 3.加法性質(zhì) 一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大;加負數(shù)后的和比原數(shù)小;加0后的和等于原數(shù)。即： 當b0時，a+ba 當b0時，a+b 4.有理數(shù)減法法則 減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。 5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義 在有理數(shù)加減法混合運算中，依據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再根據(jù)加法法則進行計算。 在和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的讀

14、法：按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和” 按運算意義讀作“負8減7減6加5” 6.有理數(shù)加減混合運算中運用結合律時的一些技巧： 七.有理數(shù)的乘除法 1.有理數(shù)的乘法法則 法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把肯定值相乘;(“同號得正，異號得負”專指“兩數(shù)相乘”的狀況，假如因數(shù)超過兩個，就必需運用法則三) 法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0; 法則三：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù);負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù); 法則四：幾個數(shù)相乘，假如其中有因數(shù)為0,則積等于0. 2.倒數(shù) 乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a=1(a0

15、)，就是說a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。 互為倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù);留意：0沒有倒數(shù);若 a0，那么的倒數(shù)是;倒數(shù)是本身的數(shù)是1;若ab=1? a、b互為倒數(shù);若ab=-1? a、b互為負倒數(shù). 留意：0沒有倒數(shù); 求假分數(shù)或真分數(shù)的倒數(shù)，只要把這個分數(shù)的分子、分母點顛倒位置即可;求帶分數(shù)的倒數(shù)時，先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，再把分子、分母顛倒位置; 正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。(求一個數(shù)的倒數(shù)，不轉(zhuǎn)變這個數(shù)的性質(zhì)); 倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。 3.有理數(shù)的乘法運算律 乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba 乘法

16、結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc). 乘法安排律：一般地，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理數(shù)的除法法則 (1)除以一個不等0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù);留意：零不能做除數(shù)， (2)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把肯定值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0 5.有理數(shù)的乘除混合運算 (1)乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最終求出結果。 (2)有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則根據(jù)先乘除，后加減的挨次進行。 八.有理數(shù)的乘方

17、 1.乘方的概念 求n 個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在 中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)。 (1)a2是重要的非負數(shù)，即a20;若a2+|b|=0 ? a=0,b=0; (2)據(jù)規(guī)律 底數(shù)的小數(shù)點移動一位，平方數(shù)的小數(shù)點移動二位 2.乘方的性質(zhì) (1)負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪的正數(shù);留意：當n為正奇數(shù)時: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 當n為正偶數(shù)時: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . (2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。 九.有理數(shù)的混合運算 做有理數(shù)的混合運算時，應留意以下運算挨次： 1.先乘方，再乘除，最終加減; 2.同級運算，從左到右進行; 3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。 十.科學記數(shù)法 把一個大于10的數(shù)表示成 的形式(其中， n是正整數(shù)