1、第六微分法在幾何上的應(yīng)第六微分法在幾何上的應(yīng)一、空間曲線的切線與法平x(ty 一、空間曲線的切線與法平x(ty (tz (tz(1)式中的三個(gè)函數(shù)均可導(dǎo)Mx0y0z0),t t0M(x0 x,y0 y,z0 z)MMoyx對應(yīng)于t t.0zMMM y zxMoyx割線趨近于極限位置x y zzMMM y zxMoyx割線趨近于極限位置x y z 上式分母同除以t,當(dāng)M M,即t 01、曲線在Mx (t0 y (t0 z當(dāng)M M,即t 01、曲線在Mx (t0 y (t0 z (t0 .切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量(t),(t )(tT000切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量

2、：切線的方向向量稱為曲線的切向量(t ),(t),(t )T0002、法平面：過M點(diǎn)且與切線垂直的平面(t0)(x x0)(t0)(y y0)(t0)(zz0)t求曲線x ucosudu，y 2sin例0cost,zt求曲線x ucosudu，y 2sin例0cost,z1e3t在t 0處的切線和法平面方程t求曲線x ucosudu，y 2sin例0costt求曲線x ucosudu，y 2sin例0cost,z1e3t在t 0處的切線和法平面方程當(dāng)t 0 x 0y 1z 解y 2costsint,xetcost,z 3e3ty(0) z(0) x(0) x0 y1 z2123x2(y1)3(

3、z2) x2y 3z8 ,x)在0,x z , ,x)在0,x z ,切線方程 ( 1)y z )0.0F(x,y,z) G(x,y,z) x y z ,GyGxGxGy000(F(x,y,z) G(x,y,z) x y z ,GyGxGxGy000(y y ) (x x ) (z )000GGGGGGyzxyzx000 求曲線x2 y2 z2 求曲線x2 y2 z2 6x yz 0例2求曲線x2 y2 z2 6x yz 0例2求曲線x2 y2 z2 6x yz 0例2直接利用公式將所給方程的兩邊對dy z xydy zdz y x ,dxy dx(1,2,dx(1,2,T dx(1,2,dx

4、(1,2,T 1,x1y2 z1,10(x1)0(y2)(z1) xz 二、曲面的切平面與法二、曲面的切平面與法F(x,y,z)x(ty (t (tT (t0),(t0),(t0),Mn(,),F (,),F (, ,)令x00n(,),F (,),F (, ,)令x000y000z000nT由于曲線是曲面上通過M的任意一條曲線，它們在M 的切線都與同一向垂直n面上通過M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一平面上，這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)M的切平面Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0Fz(x0,y0,z0)(zz0)通過點(diǎn)Mx0, y0z0 )2稱為曲面在該點(diǎn)的法線x

5、y zFx(x0,y0,z0Fy通過點(diǎn)Mx0, y0z0 )2稱為曲面在該點(diǎn)的法線x y zFx(x0,y0,z0Fy(x0,y0,z0Fz(x0,y0,z0n(,),F (,),F (, ,)x000y000z000y2z10在點(diǎn)求旋轉(zhuǎn)拋物面 x2處的切平面及法線方程y2z10在點(diǎn)求旋轉(zhuǎn)拋物面 x2處的切平面及法線方程求旋轉(zhuǎn)拋物面z x y2 1在點(diǎn)例3處的切平面及法線方程f(x,y)求旋轉(zhuǎn)拋物面z x y2 1在點(diǎn)例3處的切平面及法線方程f(x,y) x2 y2 解 2x, 2y, 4,2,1n(4(x2)2(y1)(z4) 4x2y z6 x2 y1 z442z f(x,y)F(x,y,

6、z)f(x,y) z,令fx(x0,y0)(xz f(x,y)F(x,y,z)f(x,y) z,令fx(x0,y0)(x x0)fy(x0,y0)(y y0) z z0 x y z .fx(x0,y0fy(x0,y0函數(shù)zf x,函數(shù)zf x, y)在點(diǎn)x0 y0的全微z fx, y)在x0y0)z fx, y在點(diǎn)x y z 處的000zfx(x0,y0)(x x0) fy(x0,y0)(y y0若 、 、 表示曲面的法向量的方向角并假定法向量的方向是向上的，即使得它與軸的正向所成的角是銳角，則法向量的方向fxcos ,12x2yfffcos ,fx 若 、 、 表示曲面的法向量的方向角并假定

7、法向量的方向是向上的，即使得它與軸的正向所成的角是銳角，則法向量的方向fxcos ,12x2yfffcos ,fx fy 12x2yfffx(x0,y0fy(x0,y01.12x2yff求曲面zez 2xy 3在點(diǎn)(1,2,0)處的求曲面zez 2xy 3在點(diǎn)(1,2,0)處的例4求曲面zez 2xy 3在點(diǎn)(1,2,0)處的例4F(x,y,z) 求曲面zez 2xy 3在點(diǎn)(1,2,0)處的例4F(x,y,z) zez 2xy令解(1,2,0) 2(1,2,0) Fx(1,2,0) 2y(1,2,0) F1ez z(1,2,0)(1,2,0)4(x1)2(y2)0(z0) 2x y4 x1y

8、2 z0210求曲面 x2 2y2 3z2 21平行于平面例5x 4y 6求曲面 x2 2y2 3z2 21平行于平面例5x 4y 6z 0的各切平面方程平行于平面求曲23例x 解5yz 0 xy0 0) 曲面上的切點(diǎn)切平面方程0( yz602()0依題意，切平面方程平行于已知平面24平行于平面求曲23例x 解5yz 0 xy0 0) 曲面上的切點(diǎn)切平面方程0( yz602()0依題意，切平面方程平行于已知平面242 .000146因?yàn)閤0y0z0因?yàn)閤0y0z0)x0 2(x1)8(y2)12(z2)x4y6z 2(x1)8(y2)12(z2)x4y6z 關(guān)鍵：關(guān)鍵：思思考如果平面3xy3z16 0與橢球面 3x2 y2 z2 16相切，求.設(shè)切y0, 332 , z 0 依題意知切向量,6x yz設(shè)切y0, 332 , z 0 依題意知切向量,6x yz,000003切點(diǎn)滿足曲面和平面方, ., y 1 tz t2再對應(yīng)于t , y 1 tz t2再對應(yīng)于t 1的點(diǎn)處切線t1x 1 t方程法平面方程(2,1,0) 2ez xy 法線方程二、 求出曲線x t, y t2z t3線平行于平面x 2y z 4.求球面 x2 y2 z2 6與拋物面 z x2 y的交線在.四、求橢球面x2 2y四、求橢球面x2 2y2 z2 1上