1、第六章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)能實(shí)際應(yīng)用的首要條件系統(tǒng)穩(wěn)定。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。勞斯判據(jù):依據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性做出判別，是一種代數(shù)判據(jù)。奈奎斯特判據(jù):依據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖與（1，0）點(diǎn)之間的位置關(guān)系對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判別，是一種幾何判據(jù)。波德判據(jù):是奈奎斯特判據(jù)的另一種描述法，它們之間有著相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系。1跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于1940年7月1日。只要有風(fēng)，這座大橋就會(huì)晃動(dòng)。第一節(jié) 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 21940年11月7日，在一陣每小時(shí)42英里的“和風(fēng)”吹拂下坍塌了。彩色圖為1949年重建的塔科馬。3一穩(wěn)定性概念控制系統(tǒng)的

2、穩(wěn)定性：系統(tǒng)在給定信號(hào)作用下，輸出應(yīng)能達(dá)到新的平衡狀態(tài)；在擾動(dòng)去掉之后，系統(tǒng)的輸出能以足夠的精度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)。曲線1：系統(tǒng)經(jīng)過衰減振蕩后趨于穩(wěn)定曲線2：系統(tǒng)達(dá)到一定的峰值后趨于穩(wěn)定4系統(tǒng)的穩(wěn)定性：系統(tǒng)存在干擾，干擾信號(hào)為脈沖信號(hào)。系統(tǒng)1：衰減振蕩，系統(tǒng)穩(wěn)定；系統(tǒng)2：等幅振蕩，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；系統(tǒng)3：發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定。6穩(wěn)定平衡點(diǎn)a ：作用在小球上的有限干擾力消失以后，小球總能回到a點(diǎn)；不穩(wěn)定平衡點(diǎn)b ：只要有干擾力作用于小球，小球就不會(huì)再回到這點(diǎn)；若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作用下，其過渡過程隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則該系統(tǒng)穩(wěn)定。小球的穩(wěn)定

3、性7撤除擾動(dòng)：根據(jù)齊次微分方程的有關(guān)定義知道，該齊次微分方程的特征方程和解的一般形式為：即：cn為由初始條件決定的積分常數(shù)，sn為特征方程的根。9(2)可改寫成：由(3)、 (4)可知，若si、i都是負(fù)的，則當(dāng)t 時(shí)，y(t) 0。這說明控制系統(tǒng)的特征方程式的根是負(fù)實(shí)根或共軛復(fù)根具有負(fù)實(shí)部時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果(1)中有k個(gè)實(shí)根，2r個(gè)復(fù)根，則(1)可改寫成：10線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（三種說法）：對(duì)于閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征根來說，下述四個(gè)條件缺一不可：沒有零根；沒有共軛純虛根：Re(s)=0，系統(tǒng)等幅振蕩；所有實(shí)根都是負(fù)的；共軛復(fù)根具有負(fù)實(shí)部。 該系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程的所有根必須是負(fù)實(shí)數(shù)

4、或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。該系統(tǒng)全部極點(diǎn)必須位于復(fù)平面的左半部分。11例：某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 其中T、K均大于零，且 ,則系統(tǒng)的 閉環(huán)傳遞函數(shù)： 特征方程式為：特征根為： 因?yàn)樘卣鞣匠谈哂胸?fù)實(shí)部，所以該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。12第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，就是要確定系統(tǒng)特征方程的根是否全部具有負(fù)的實(shí)部，或者說特征根是否全部位于s平面的虛軸左側(cè)。有兩種判別方法：解特征方程確定特征根，對(duì)于高階系統(tǒng)來說是困難的；討論根的分布，研究特征方程的根是否包含右根及有幾個(gè)右根。（逆向思維）勞斯穩(wěn)定判據(jù)是基于特征方程根的分布與系數(shù)間的關(guān)系來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。無需解特征方程而能迅速判定根的分布情況

5、。這是一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的穩(wěn)定性判據(jù)。 13設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為： 則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：1.特征方程的各項(xiàng)系數(shù) 均不為零。2.特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)一致。以上只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充要條件。勞斯穩(wěn)定判據(jù)的必要條件14其它系數(shù)的計(jì)算：由上兩行產(chǎn)生新的一行?？梢缘玫揭粋€(gè)（n+1）行的勞斯陣列。而最后兩行每行只有一個(gè)元素。每行計(jì)算到出現(xiàn)零元素為止。16勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件是：特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列第一列元素符號(hào)一致，則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程中所包含的右根數(shù)目。把a(bǔ)n，an-1，b1，c1，d1，e1 稱為勞斯陣列中的第一列元素。17例6-2 單位負(fù)

6、反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定K值的閉環(huán)穩(wěn)定范圍。解：該單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程式為：閉環(huán)系統(tǒng)要想穩(wěn)定，首先特征方程式的系數(shù)均要為大于零的正數(shù)，即K0，然后進(jìn)一步使用勞斯判據(jù)進(jìn)行判斷。19由穩(wěn)定條件得：做題心得使用勞斯判據(jù)的時(shí)候，使用的一定是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程。勞斯陣列為：20例6-3 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:若要求閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部均小于-1，問K值應(yīng)取在什么范圍？如果要求根的實(shí)部均小于-2，情況又如何？ 我們需要做的工作：開環(huán)閉環(huán)，列出其特征方程；實(shí)部小于1：首先系統(tǒng)要穩(wěn)定，即實(shí)部小于0，其次才是實(shí)部小于1；列寫勞斯陣列。21解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳

7、遞函數(shù)為：系統(tǒng)的特征方程式為： s3+9s2+18s+18K=0令u=s+1得如下u 特征方程：由于要求特征方程式的系數(shù)均為大于零的正數(shù)，所以首先要求18K-100。進(jìn)一步使用勞斯判據(jù)：22因?yàn)樘卣鞣匠痰南禂?shù)的符號(hào)有正有負(fù)，所以由穩(wěn)定條件知：不論K取何值，都不能使原特征方程的根的實(shí)部小于-2。 令u=s+2得如下u 特征方程：勞斯陣列為：23 例 6-4 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函 數(shù)分別是： 試用勞斯判據(jù)分析k分別為6、15時(shí)系 統(tǒng)的穩(wěn)定性。從上述計(jì)算中，你能得 出什么結(jié)論？24(2) 解：故 時(shí)不在(-1，0)范圍內(nèi)，這時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。26勞斯判據(jù)的特殊情況例6-5 設(shè)有特征方程為：

8、試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 某行的第一列元素為零，而其余項(xiàng)不為零的情況如果在計(jì)算勞斯陣列的各元素值時(shí)，出現(xiàn)某行第一列元素為零，則在計(jì)算下一行的各元素值時(shí)將出現(xiàn)無窮大而無法繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。為克服這一困難，計(jì)算時(shí)可用無窮小正數(shù) 來代替零元素，然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。27由于第一列有的元素為負(fù)值，且第一列的元素符號(hào)有兩次變化，即特征方程在s平面的右半平面內(nèi)有兩個(gè)根，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。29某行全部元素值為零的情況這說明在系統(tǒng)的特征根中存在對(duì)稱的根：存在兩個(gè)符號(hào)相異，絕對(duì)值相同的實(shí)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定） ；30存在實(shí)部符號(hào)相異、虛部數(shù)值相同的兩對(duì)共軛復(fù)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定） ；以上幾種根

9、的組合。存在一對(duì)共軛純虛根（系統(tǒng)自由響應(yīng)會(huì)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定）；31在這種情況下，勞斯陣列表將在全為零的一行處中斷；為了寫出下面各行，可將該行的上一行的各項(xiàng)組成“輔助方程式”；輔助方程式中s 的方次均為偶次降；方程式對(duì)s 求導(dǎo)，用求導(dǎo)得到的各項(xiàng)系數(shù)來代替為零的一行系數(shù)；然后繼續(xù)按照勞斯陣列表的列寫方法，計(jì)算余下各行直至計(jì)算完（n+1）行為止。這些大小相等、符號(hào)相反的特征根可由輔助方程得到。解決辦法：32例6-6 設(shè)某一系統(tǒng)的特征方程式為：試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程各系數(shù)為正，勞斯陣列表如下：該行系數(shù)全為零。使用該行寫出一個(gè)輔助方程式，s的最高次數(shù)就是系統(tǒng)虛根的個(gè)數(shù)。33

10、取出全部為零元素前一行的元素，得到輔助方程為：將A(s)對(duì)s求導(dǎo)得：以上式的系數(shù)代替全部為零的一行，然后繼續(xù)作出勞斯陣列表為：34 從勞斯陣列表的第一列可以看出，各項(xiàng)并無符號(hào)變化，因此特征方程無正根和實(shí)部為正的共軛復(fù)根。但因s3行出現(xiàn)全為零的情況，可見必有共軛純虛根存在，通過求解輔助方程A(s)可以得到系統(tǒng)的兩對(duì)共軛虛根為： 這兩對(duì)根，同時(shí)也是原方程的根，它們位于虛軸上，因此該控制系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)（不穩(wěn)定狀態(tài)），等幅振蕩。35例6-7 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖所示。試確定K和a取何值時(shí)，系統(tǒng)將維持以角頻率 =2s-1持續(xù)振蕩。36解：由已知，系統(tǒng)一定存在一對(duì)共軛純虛根 s1,2=2j。由框圖得

11、，系統(tǒng)特征方程為： s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0， 列出勞斯陣列如下：分析：系統(tǒng)持續(xù)振蕩系統(tǒng)存在共軛純虛根角頻率=2s-1共扼純虛根的形式：s1,2=2 j傳遞函數(shù)方框圖閉環(huán)傳遞函數(shù)以及特征方程37 當(dāng)勞斯陣列中S1 行的元素全為0時(shí)，該特征方程才會(huì)有一對(duì)共軛純虛根（因?yàn)橹挥挟?dāng)S1 行的元素全為0時(shí)，使用S2行的作為輔助方程，求出的才是一對(duì)共軛純虛根 ）：3839 例6-8 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程如下，試確定有幾 個(gè)根在右半s平面。(1) 解：第一列元素符號(hào)變化2次，在s右半平面有2個(gè)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。40取全部為零元素前一行的元素，得到輔助方程：(2) 解：41 第一列系數(shù)元素符號(hào)變

12、化1次，在s右半平面有1個(gè)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（另外，通過解輔助特征方程可知，系統(tǒng)還有兩個(gè)位于虛軸上的根s1,2=j和兩個(gè)絕對(duì)值相等的位于實(shí)軸上的根s3,4=2。）42奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)利用系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率域圖解方法，是幾何判據(jù)。第三節(jié)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)不必求取閉環(huán)系統(tǒng)特征根，而是通過系統(tǒng)開環(huán)頻率特性(j)H(j)曲線分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。由于系統(tǒng)的頻率特性可以用實(shí)驗(yàn)方法獲得，所以奈氏判據(jù)對(duì)無法用分析法獲得傳遞函數(shù)的系統(tǒng)來說，具有重要的意義。奈氏判據(jù)能表明系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，即相對(duì)穩(wěn)定性，進(jìn)而指出提高系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑。43如圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：

13、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為：在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中，令s=j，當(dāng)在至范圍內(nèi)變化時(shí)，閉合的奈氏曲線以逆時(shí)針方向繞(1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N，設(shè)開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)為P，若N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 注：N有正負(fù)，逆正順負(fù)44例6-9(a) 如圖所示系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖，開環(huán)傳遞函數(shù)為： 由G(s)H(s)可知，開環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)在s右半平面，即P = 2；當(dāng)頻率由變化至?xí)r，以逆時(shí)針繞點(diǎn)(-1，j0) 2圈，即N =2； N = P，所以對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 試判斷其閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 45由G(s)H(s)可知，開環(huán)傳遞函數(shù)有1個(gè)極點(diǎn)在s右半平面，即P = 1；當(dāng)頻率由變化至?xí)r，以順

14、時(shí)針繞點(diǎn)(-1，j0) 2圈，即N =2； NP，所以對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 例6-9(b) 如圖所示系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖，開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判斷其閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 46例6-10 4個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)系統(tǒng)奈氏曲線如圖(a)-(d)所示。并已知各系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù)P，試判別各閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：a)、b)：N=0 ， P=0， P=N，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。c )： P=0，當(dāng)從-+變化時(shí)，N=2，PN，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。d)：P=2，圖中所示為從0變化，因此由圖知當(dāng)從-+變化時(shí)，N=2，P=N，閉環(huán)穩(wěn)定。 47注 意開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)目P ：虛軸上的開環(huán)極點(diǎn)按左極點(diǎn)處理開環(huán)奈氏曲線圍繞點(diǎn)

15、(-1，j0)的圈數(shù)N ：“穿越” 穿越 ：奈氏曲線穿過(-1，j0)左邊的實(shí)軸(-1，- )。1次正穿越N+：奈氏曲線由上而下穿過(-1，j0)左邊的實(shí)軸一次；1次負(fù)穿越N-：奈氏曲線由下而上穿越一次。半次正穿越：奈氏曲線始于圖a) 上(-1，j0)以左的實(shí)軸，穿越數(shù)為+1/2；半次負(fù)穿越：奈氏曲線止于圖b)上(-1，j0)以左的實(shí)軸，穿越數(shù)為-1/2。48圖a)：P = 1開環(huán)不穩(wěn)定半次正穿越 閉環(huán)穩(wěn)定 圖b)：P = 0開環(huán)穩(wěn)定半次負(fù)穿越 閉環(huán)不穩(wěn)定 493.當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)1/sN( 即含有落在原點(diǎn)的極點(diǎn))，其開環(huán)奈氏曲線不和實(shí)軸封閉，難以說明在零附近變化時(shí)奈氏曲線的變化，以

16、及它們是否包圍了臨界點(diǎn)(-1，j0)，如圖中實(shí)線所示。為此，可以作輔助圓(如圖中虛線所示)，這就很容易看出圖中曲線是否包圍臨界點(diǎn)(-1，j0) 。輔助圓的作法是以無窮大為半徑，從G(j0)H(j0)端實(shí)軸起順時(shí)針補(bǔ)畫無窮大半徑圓心角為N90的圓弧至 G(0+)H(0+) 。 50例6-11若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試用奈氏判據(jù)判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解: 畫出開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖，如圖所示由圖可知，N=1由G(s)H(s)表達(dá)式可知，P=0根據(jù)奈氏判據(jù)有： P-2N=0-2(-1)=2 綜上，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 51對(duì)于最小相位系統(tǒng)來說，P=0 (在s右平面沒有開環(huán)極點(diǎn))，因此閉環(huán)系統(tǒng)如若穩(wěn)定，必須N

17、=0當(dāng)頻率由變化到0，再由0變化到+時(shí)，所對(duì)應(yīng)的奈奎斯特圖是對(duì)稱的，所以只取0到+時(shí)這一頻率段研究即可。最小相位系統(tǒng)的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于最小相位系統(tǒng)而言，如果系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：左圖：開環(huán)極坐標(biāo)圖不包圍(-1，j0)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定右圖：開環(huán)極坐標(biāo)圖包圍(-1，j0)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定中圖：開環(huán)極坐標(biāo)圖通過(-1，j0)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定52穩(wěn)定裕度系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性是有影響的。適當(dāng)選取系統(tǒng)某些參數(shù)，不但可以使系統(tǒng)獲得穩(wěn)定，而且可以使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在線性控制系統(tǒng)中，勞斯判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。而對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定的程度如何及是否具有滿意的動(dòng)態(tài)過程，勞斯

18、判據(jù)無法確定。由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以推知：對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定(P=0)的閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，開環(huán)頻率特性的奈奎斯特曲線距點(diǎn)(-1，j0)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；曲線距點(diǎn)(-1，j0)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。53當(dāng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)曲線包圍(-1，j0 )時(shí)，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)發(fā)散，閉環(huán)不穩(wěn)定(圖(a)；當(dāng)開環(huán)奈奎斯特曲線通過(-1，j0 )時(shí)，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)呈等幅振蕩(圖(b)；當(dāng)開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍(-1，j0 )時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(圖(c)、(d)。(a)(b)(c)(d)P=0P=0P=0P=054由圖(c)、(d)可見，開環(huán)奈奎斯特曲線距(-1，j0 )點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度

19、不同，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的程度也不同（圖(d)較(c) 的穩(wěn)定性高）。這便是通常所說的系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。通常以穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。(c)(d)P=0P=0551. 穩(wěn)定裕度的極坐標(biāo)表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度用相位裕度 和幅值裕度g 來定量描述。 56 相位裕度 如圖所示，以原點(diǎn)為圓心，以單位值為半徑，做單位圓，必通過Q(-1，j0)，并與奈氏曲線交于A點(diǎn)，連接O、A點(diǎn)得OA， OA與負(fù)虛軸的夾角 稱為相位裕度：c ：剪切頻率或幅值穿越頻率，其對(duì)應(yīng)的幅值為1。57幅值裕度g 開環(huán)奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸相交于Q點(diǎn)，該點(diǎn)的頻率g時(shí)的幅值為|G(jg)H(jg)|，其倒數(shù)定義為幅值裕度g ： g

20、： 相位穿越頻率，對(duì)應(yīng)這點(diǎn)的頻率的相角為-180。 系統(tǒng)穩(wěn)定條件：穩(wěn)定系統(tǒng): 0，g1；不穩(wěn)定系統(tǒng): 0，g1。g(dB)=(620)dB =30 60系統(tǒng)的穩(wěn)定程度由 ，g兩項(xiàng)指標(biāo)來衡量，g(dB) 、 越大系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。但穩(wěn)定裕度過大會(huì)影響系統(tǒng)的其它性能，如響應(yīng)的快速性等。工程上一般?。?8穩(wěn)定裕度波德圖表示 幅值裕度g 的分貝值為： 59對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)有0，且Kg1 即Kg(dB)0。如圖(a)所示。在波德圖上， 必在-180線以上； Kg(dB)在0dB線以下。 對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有 0，Kg1即Kg(dB)0。如圖(b)所示。此時(shí)，在極坐標(biāo)圖的負(fù)實(shí)軸以上。在波德圖上， 在18

21、0線以下；Kg在0dB線以上。 60波德圖判據(jù) 利用開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的波德圖，也可以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為對(duì)數(shù)頻率特性判據(jù)，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)判據(jù)或波德判據(jù)，實(shí)質(zhì)上是奈奎斯特判據(jù)的引申。開環(huán)波德圖與開環(huán)極坐標(biāo)圖有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：奈奎斯特圖上的單位圓相當(dāng)于波德圖上的0分貝線，即對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫軸。因?yàn)榇藭r(shí)： 20lg|G(j)H(j)|=20lg1=0dB奈奎斯特上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于波德圖上的-180線。因?yàn)榇藭r(shí)相位 G(j)H(j) 均為-180。 61根據(jù)奈奎斯特判據(jù)和此種對(duì)應(yīng)關(guān)系，波德圖數(shù)判據(jù)可表述如下： 對(duì)開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)(P=0)，從0變化到+時(shí)，在L()0區(qū)間，若相頻特性曲線()不穿越 -

22、180線，系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（圖a），否則不穩(wěn)定（圖b）。 對(duì)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)(P0)，從0變化到+時(shí)，在L()0區(qū)間，相頻特性曲線()在-180線上正負(fù)穿越次數(shù)之差為N=P/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 62例6-12 用波德圖的穩(wěn)定判據(jù)判斷如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 ：系統(tǒng)(a)，根據(jù)已知條件，P=2。在L()0 dB的所有頻率段內(nèi)相頻特性曲線對(duì)-180線的正穿越次數(shù)為1次，負(fù)穿越數(shù)為2次，故總的穿越次數(shù)為1次負(fù)穿越，N=1。所以NP/2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 63系統(tǒng)(b)，根據(jù)已知條件，P=2。在L()0 dB的所有頻段內(nèi)相頻特性曲線對(duì)-180線的正穿越次數(shù)為2次，負(fù)穿越次數(shù)為1次，故總的穿越次數(shù)為1次正穿越， N=1 。所以 N=P/2，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 64例6-13 某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 求K=2和K=20時(shí)，系統(tǒng)的幅值裕度Kg (dB) 和相位裕度 。解法1：由開環(huán)傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定。分別繪制K=2和K=20時(shí)系統(tǒng)的Bode圖，如圖(a)、(b)所示。 當(dāng)K=2時(shí)，Kg(dB)=8(dB)；=21 當(dāng)K=20時(shí)，Kg(dB)=12(dB)，=30 顯然，K=20時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。K=2時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)