1、相似三角形的18個必考點比例線段對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：bc：d（即adbc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段下面四組線段中，成比例的是（）Aa2，b3，c4，d5Ba1，b2，c2，d4Ca4，b6，c5 d10Da=2，b=3，c3，【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段對選項一一分析，排除錯誤答案【解析】A、2534，故選項錯誤；B、1422，故選項正確；C、41056，故選項錯誤；D、3322【小結(jié)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大

2、的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等同時注意單位要統(tǒng)一已知a，b，c，d是成比例線段，其中a3cm，b2cm，c6cm，則d的長度為（）A4cmB5cmC6cmD9cm【分析】由a、b、c、d四條線段是成比例的線段，根據(jù)成比例線段的定義計算即可【解析】因為a，b，c，d是成比例線段，可得：d=263=4cm，【小結(jié)】此題考查了成比例線段的定義此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例線段的定義若a是2，4，6的第四比例項，則a ；若x是4和16的比例中項，則x 【分析】根據(jù)第四比例項的概念，得2：46：a，則a可求；根據(jù)比例中項的概念，得x2416，則x可求【解析】a是2，4，6的第四比例項，

3、2：46：a，a12；x是4和16的比例中項，x2416，解得x8【小結(jié)】考查了比例線段，此題的重點是理解第四比例項、比例中項的概念，根據(jù)概念正確寫出比例式已知四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為 【分析】根據(jù)對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：bc：d（即adbc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段【解析】四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，a：3（a+1）：4即3（a+1）4a，解得a3【小結(jié)】本題考查了比例線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例線段的定義黃金分割黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC）

4、，且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：ACAC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點其中AC=512AB0.618AB在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么點C叫做線段AB的黃金分割點若點P是線段MN的黃金分割點，當MN1時，【分析】分PMPN和PMPN兩種情況，根據(jù)黃金比值計算【解析】當PMPN時，PM=512當PMPN時，PMMN512MN=35【小結(jié)】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是51如果點C是線段AB的黃金分割點，那么下列線段比的值不可能是51AACBCBBCACCBCAB【分析】根據(jù)把一條線段分成兩部分，使其

5、中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（51【解析】點C是線段AB的黃金分割點，AC2ABBC（ACBC），則ACAB=BCAC=512；或BC2則ACBC=BCAB=512【小結(jié)】此題主要考查了黃金分割比的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵如圖，已知點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AEEB，若S1表示AE為邊長的正方形面積，S2表示以BC為長，BE為寬的矩形面積，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面積，則S3：S2的值為（）A512B5+12C3【分析】根據(jù)黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AC和BC（A

6、CBC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點其中AC=51【解析】如圖，設(shè)AB1，點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AEEB，AEGF=512，BEFHABS3：S2（GFFH）：（BCBE）（512352）：（1【小結(jié)】本題考查了黃金分割、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的一段GN的比例中項，即滿足MGMN=GNMG=512，后人把512這個數(shù)稱為“黃金分

7、割”數(shù)，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點如圖，在ABC中，已知ABAC3，A1045B355C5252【分析】作AHBC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BHCH=12BC2，則根據(jù)勾股定理可計算出AH=5，接著根據(jù)線段的“黃金分割”點的定義得到BE=512BC2【解析】作AHBC于H，如圖，ABAC，BHCH=12在RtABH中，AH=3D，E是邊BC的兩個“黃金分割”點，BE=512BC2（5HEBEBH2522254，DE2HE4SADE=12（458）5=【小結(jié)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：ACAC：BC

8、），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點其中AC=512AB0.618AB比例的基本性質(zhì)解決此類問題通常利用設(shè)k法即可有效解決，注意方程思想以及分類討論思想的靈活運用.已知：a：b：c2：3：5（1）求代數(shù)式3ab+c2a+3bc（2）如果3ab+c24，求a，b，c的值【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)a2k，b3k，c5k（k0），然后代入比例式進行計算即可得解；（2）先設(shè)a2k，b3k，c5k（k0），然后將其代入3ab+c24，即可求得a、b、c的值【解析】（1）a：b：c2：3：5，設(shè)a2k，b3k，c5k（k0），則3ab+c2a+3bc（2）設(shè)a2k，b3k，c5k（k0）

9、，則6k3k+5k24，解得k3則a2k6，b3k9，c5k15【小結(jié)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡便已知a、b、c是ABC的三邊，且滿足a+43=b+32=c+84，且a【分析】令第一個等式等于k，表示出a，b，c，代入第二個等式求出k的值，即可作出判斷【解析】設(shè)a+43=b+32=c+84=k，可得a3k4，代入a+b+c12得：9k1512，解得：k3，a5，b3，c4，則ABC為直角三角形【小結(jié)】此題考查了比例的性質(zhì)，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵已知2ab+c+d=2ba+c+d【分析】依據(jù)等比性質(zhì)可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)

10、=k，分兩種情況討論，即可得到【解析】2ab+c+d=由等比性質(zhì)可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，當a+b+c+d0時，k當a+b+c+d0時，b+c+da，k=2a綜上所述，k的值為23【小結(jié)】本題主要考查了比例的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足a+bcc=ab+c【分析】已知等式利用比例的性質(zhì)化簡表示出a+b，a+c，b+c，代入原式計算即可得到結(jié)果【解析】當a+b+c0時，利用比例的性質(zhì)化簡已知等式得：a+bcc即a+bcc，ab+cb，a+b+ca，整理得：a+b2c，a+c2b，b+c2a，此時原式=8abc當a+b+c

11、0時，可得：a+bc，a+cb，b+ca，則原式1綜上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc【小結(jié)】此題考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例如圖，直線l1l2l3，AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)；AC與DF交于點O已知DE3，EF6，AB4（1）求AC的長；（2）若BE：CF1：3，求OB：AB【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可（2）利用平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可【解析】（1）l1l2l

12、3，DEDF=ABAC，即（2）l1l2l3，BECF=OBOC=13，AB4，AC【小結(jié)】考查平行線分線段成比例定理，解題時注意：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例如圖，已知ABCDEF，它們依次交直線l1、l2于點A、D、F和點B、C、E，如果AD：DF3：1，BE10，那么CE等于（）A103B203C52【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理ADDF=BCCE=3，則BC3CE，利用BC+CE【解析】ABCDEF，ADDF=BCCE=BC+CEBE，3CE+CE10，CE=52選【小結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例如圖，在ABC中，ADB

13、C，點E在AB邊上，EFBC，交AC邊于點F，DE交AC邊于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）AAEBE=AFCFBAGGF=DGEG【分析】由ADEFBC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出對應(yīng)線段成比例，逐一檢查每個選項即可得出正確答案【解析】EFBCAEBE=AF根據(jù)合比性質(zhì)，則有AEAE+BE=AFAF+CF 即：又ADEF，AGGF=DG而AGGF=DGEG=AD【小結(jié)】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，把握定理中對應(yīng)線段成比例的“對應(yīng)”兩個字是解決本題的關(guān)鍵已知，在ABC中，點D為AB上一點，過點D作DEBC，DHAC分別交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交

14、AC于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）AADDB=AEDHBCFDE=DHCG【分析】首先證明四邊形DECH是平行四邊形，再利用平行線分線段成比例定理一一判斷即可【解析】DEBC，DHAC，四邊形DECH是平行四邊形，DHCE，DECH，DEBC，ADDB=AEDHCG，DFFG=DHDEBC，DEBC=AEAC，選B【小結(jié)】本題考查平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型相似三角形的判定相似三角形的判定方法匯總：1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相

15、交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似如圖，下面圖形及各個選項均是由邊長為1的小方格組成的網(wǎng)格，三角形的頂點均在小方格的頂點上，下列四個選項中哪一個陰影部分的三角形與已知ABC相似（）ABCD【分析】根

16、據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可【解析】根據(jù)題意得：AC=12+22=5，AB=12+12=A、三邊之比為1：2：5，選項A符合題意；B、三邊之比2：5：3，選項B不符合題意；C、三邊之比為2：5：17，選項C不符合題意；D、三邊之比為5：5：4，選項D不符合題意選A【小結(jié)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵在ABC中，ACB90，用直尺和圓規(guī)在AB上確定點D，使ACDCBD，根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是（）A BC D【分析】如果ACDCBD，可得CDABDC90，即CD是AB的垂線，根據(jù)作圖痕跡

17、判斷即可【解析】當CD是AB的垂線時，ACDCBDCDAB，CDABDC90，ACB90，A+ACDACD+BCD90，ABCD，ACDCBDA選項中，CD是ACB的角平分線，不符合題意；B選項中，CD不與AB垂直，不符合題意；C選項中，CD是AB的垂線，符合題意；D選項中，CD不與AB垂直，不符合題意；選C【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵如圖，在正方形網(wǎng)格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：ABC，ADE，AEF，AFH，AHG，在至中，與相似的三角形是（）ABCD【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷【解析】由題意

18、：中，ABCADEAFH135，又ABBC=ADDE=FHAF=22，ABAD=【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題如圖，點A、B、C、D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E為頂點的三角形與ABC相似，則點E的坐標不可能是（）A（4，2）B（6，0）C（6，3）D（6，5）【分析】利用A、B、C的坐標得到AB6，BC3，ABC90，然后利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似對各選項進行判斷【解析】點A、B、C的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），AB6，BC3，ABC90，當E點坐標為（4，

19、2），而D（6，1），則CE1，CD2，ECD90，ABCD=BCEC=3，ABCECD當E點坐標為（6，0），而D（6，1），則ED1，CD2，EDC90，ABCD=BCED=3，ABCEDC當E點坐標為（6，3），而D（6，1），則ED2，CD2，EDC90，ABCDBCED，ABCEDC，當E點坐標為（6，5），而D（6，1），則ED4，CD2，EDC90，ABED=BCCD=32，ABC選C【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；也考查了坐標與圖形性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)（周長）掌握相似三角形周長比等于對應(yīng)邊的比是解題關(guān)鍵.如圖，在ABC中，A

20、D平分BAC交BC于點D，點E在AD上，如果ABEC，AE2ED，那么ABE與ADC的周長比為（）A1：2B2：3C1：4D4：9【分析】根據(jù)已知條件先求得SABE：SBED2：1，再根據(jù)三角形相似求得SACD=94S【解析】AD：ED3：1，AE：AD2：3，ABEC，BAECAD，ABEACD，LABE：LACD2：3，選B【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，不同底等高的三角形面積的求法等，等量代換是本題關(guān)鍵如圖，在ABCD中，AB10，AD15，BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BGAE于點G，若BG8，則CEF的周長為（）A16B17C24D25【分析】先計算出A

21、BE的周長，然后根據(jù)相似比的知識進行解答即可【解析】在ABCD中，CDAB10，BCAD15，BAD的平分線交BC于點E，ABDC，BAFDAF，BAFF，DAFF，DFAD15，同理BEAB10，CFDFCD15105；在ABG中，BGAE，AB10，BG8，在RtABG中，AG=AB2BG2=四邊形ABCD是平行四邊形，ABCF，CEFBEA，相似比為5：101：2，CEF周長為16【小結(jié)】本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形和勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，相似三角形的周長比等于相似比，難度較大如圖，點E是ABCD的邊AD上的一點，且D

22、EAE=12，連接BE并延長交CD的延長線于點F，若DE3，DFA21B28C34D42【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得ABCD，再由平行線得相似三角形，根據(jù)相似三角形求得AB，AE，進而根據(jù)平行四邊形的周長公式求得結(jié)果【解析】四邊形ABCD是平行四邊形，ABCF，ABCD，ABEDFE，DEAEDE3，DF4，AE6，AB8，ADAE+DE6+39，平行四邊形ABCD的周長為：（8+9）234選C【小結(jié)】考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答如圖，已知平行四邊形ABCD，點E在DC上，DE：EC2：1，連接AE交BD于點F，則DEF與BAF的周長之比

23、為（）A4：9B1：3C1：2D2：3【分析】可證明DFEBFA，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比即可得出答案【解析】四邊形ABCD為平行四邊形，DCAB，DFEBFA，DE：EC2：1，DE：DC2：3，DE：AB2：3，CDFE：CBFA2：3 選D【小結(jié)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，注：相似三角形的面積之比等于相似比的平方相似三角形的性質(zhì)（面積）掌握相似三角形面積比是對應(yīng)邊比的平方的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.如圖，在ABC中，DEBC，BE和CD相交于點F，且SEFC3SEFD，則SADE：SABC的值為（）A1：3B1：8C1：9D1：4【分析】易證DEFCBF同理可

24、證ADEABC，根據(jù)相似三角形面積比是對應(yīng)邊比例平方即可解題【解析】SEFC3SDEF，DF：FC1：3 （兩個三角形等高，面積之比就是底邊之比），DEBC，DEFCBF，DE：BCDF：FC1：3同理ADEABC，SADE：SABC1：9，選C【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面積比是對應(yīng)邊比例的平方的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在DA的延長線上，且AE=13AD，連接CE交BD于點F，交AB于點G，則SBGC：S四邊形A35B53C57【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ADBC，ADBC，ABCD，再證明AEGBCG

25、，利用相似的性質(zhì)得到SAEGSBCG=19，證明EAGEDC，利用相似比得到SEAGSEDC=116，所以S四邊形ADCG15【解析】四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，ADBC，ABCD，AEBC，AEGBCG，SAEGSBCG=（AEBC）2（AEAD）2（13）2=19AGCD，EAGEDC，SEAGSEDC=（EAED）2（EAEA+AD）2（14）2=116S四邊形ADCG15SEAG，SBGC：S四邊形ADCG9SAEG：15SEAG3：5選A【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用

26、，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也考查了平行四邊形的性質(zhì)如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點，且DEAC，AE、CD相交于點O，若SDOE：SCOA1：25，則SDOE與SCOE的比是（）A1：25B1：5C1：4D1：3【分析】通過證明DOECOA，可得SDOESCOA=（ODOC）【解析】DEAC，DOECOA，SDOESCOA=（ODOC）SDOE與SCOE的比為1：5，選B【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵已知如圖，DE是ABC的中位線，點P是DE的中點，CP的延長線交A

27、B于點Q，那么SCPE：SABC 【分析】連結(jié)AP并延長交BC于點F，則SCPESAEP，SAEPSADP，可得SCPE：SADE1：2，由DEBC可得ADEABC，可得SADE：SABC1：4，則SCPE：SABC1：8【解析】連結(jié)AP并延長交BC于點F，DE是ABC的中位線，E是AC的中點，SCPESAEP，點P是DE的中點，SAEPSADP，SCPE：SADE1：2，DE是ABC的中位線，DEBC，DE：BC1：2，ADEABC，SADE：SABC1：4，SCPE：SABC1：8【小結(jié)】本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識相

28、似基本模型（A字型）基礎(chǔ)模型： A字型（平行） 反A字型（不平行）已知：如圖，點D，F(xiàn)在ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DEAB，CD2CFCA（1）求證：EFBD；（2）如果ACCFBCCE，求證：BD2DEBA【分析】（1）由平行線分線段成比例可得CDAC=CECB，由CD2CFCA，可得CFCD（2）通過證明BADDBE，可得BABD【解析】證明：（1）DEAB，CDACCD2CFCACDAC=CFCD，CFCD（2）EFBD，CEFCBD，ACCFBCCE，ACBC=CECF，且CC，CEFCAB，CEFA，DEAB，EDBDBA，且DBEA，BADDBE，BABD=BDDEBD2【

29、小結(jié)】考查相似三角形判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型如圖：ADEGBC，EG交DB于點F，已知AD6，BC8，AE6，EF2（1）求EB的長；（2）求FG的長【分析】（1）由EGAD可得出BADBEF，利用相似三角形的性質(zhì)可求出EB的長；（2）由EGBC可得出AEGABC，利用相似三角形的性質(zhì)可求出EG的長，再結(jié)合FGEGEF可求出FG的長【解析】（1）EGAD，BADBEF，BEBA=EFAD，即（2）EGBC，AEGABC，EGBC=AEAB，即EG8=66+3，EG=【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用相似三角形的性質(zhì)，求

30、出EB的長；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出EG的長如圖所示，在ABC中，DEBC，AD5，BD10，AE3（1）求CE的長（2）在ABC中，點D，E，Q分別是AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于點P小明認為DPBQ【分析】（1）證明ADEABC，所以ADAD+BD=AE（2）在ABQ中，由于DPBQ，所以ADPABQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案【解析】（1）由DEBC，ADEABC，ADAD+BDAD5，BD10，AE3，CE6（2）結(jié)論正確，理由如下，在ABQ中，由于DPBQ，ADPABQ，DPBQ同理可得：EPCQ=【小結(jié)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形

31、的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型如圖，在ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AEDB，線段AG分別交線段DE，BC于點F，G，且ADAC（1）求證：ADFACG；（2）若ADAC=3【分析】（1）由AEDB、DAECAB利用相似三角形的判定即可證出ADEACB；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)再得出ADFC，即可證出ADFACG；（2）由（1）的結(jié)論以及相似三角形的性質(zhì)即可求出答案【解析】（1）證明：AEDB，DAECAB，AEDABC，ADFC，又ADAC=DFCG，（2）ADFACG，ADACADAC=37，【小結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題

32、相似基本模型（X字型）基礎(chǔ)模型： X字型（平行） 反X字型（不平行）如圖，AD與BC交于點O，EF過點O，交AB與點E，交CD與點F，BO1，CO3，AO=32，DO（1）求證：AD（2）若AEBE，求證：CFDF【分析】（1）證明OABODC，可得出結(jié)論；（2）證得ABCD，可得AEDF=OE【解析】證明：（1）BO1，CO3，AO=32，DO=9AOBCOD，OABODC，AD（2）AD，ABCD，AEDF=OEOF，AEBE，CFDF【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理熟練掌握定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵如圖：已知ABCD，過點A的直線交BC的延長線于E，交BD、CD于

33、F、G（1）若AB3，BC4，CE2，求CG的長；（2）證明：AF2FGFE【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ABCD，證明EGCEAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可；（2）分別證明DFGBFA，AFDEFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明【解析】（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，EGCEAB，CGAB=EC解得，CG1；（2）證明：ABCD，DFGBFA，F(xiàn)GFA=DFFB，AFDEFB，AFFE=DFFB，F(xiàn)GFA=AFFE【小結(jié)】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵如圖，AGBD，AF：FB1：2，B

34、C：CD2：1，求GEED【分析】證明AFGBFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG【解析】AGBD，AFGBFD，AGBDBCCD=2，CD=13AGBD，AEGCED，GEED【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識如圖，已知在ABC中，BE平分ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BABCBDBE（1）求證：ABDEBC；（2）求證：AD2BDDE【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定證明ABDEBC即可；（2）由相似三角形的判定證明ABDEBC，ADEBEC，AEDABD，再利用相似三角形的性質(zhì)證明即可【解析】證明：（1）BE平分ABC

35、，ABDEBC，BABCBDBE即ABBC=BDBE，（2）ABDEBC，BADBEC，ADBBCE，AEDBEC，BADAED，ADEBEC，AEDABD，ADBD=DEAD，即AD2【小結(jié)】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定方法解答相似基本模型（AX型）A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化.如圖，ABC中，DE分別是AB、AC上的點，且BD2AD，CE2AE（1）求證：ADEABC；（2）若DF2，求FC的長度【分析】（1）由BD2AD，CE2AE可得出ADAB=AEAC，結(jié)合DAEBAC可證出（2）由ADEABC，利用相似三角形的性質(zhì)可得出DEBC=13及

36、ADEABC，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出DEBC，進而可得出DEF【解析】（1）證明：BD2AD，CE2AE，ADAB又DAEBAC，ADEABC；（2）ADEABC，DEBC=ADAB=13，ADEDEFCBF，DFCF=DECB，即【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證出ADEABC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)及平行線的判定定理，找出DEBC如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結(jié)AE并延長，交對角線BD于點F、DC的延長線于點G如果CEBE=2【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得出ADBC

37、，ADBC，由ADBE可得出BEFDAF，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合CEBE=23可得出AE=83EF，由CEAD可得出CEGDAG，利用相似三角形的性質(zhì)可得出GE=25GA=【解析】四邊形ABCD為平行四邊形，ADBC，ADBCADBE，BEFDAF，EFAF又BCBE+CE，CEBE=23，BE=35BC=35DA，EF=CEAD，CEGDAG，GEGA=CEDA=22+3，GE=25GAFEEG【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)，找出AE=83EF及GE=已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，E是邊BA延長線上的一點，連接EM

38、，分別交線段AD于點F、AC于點G（1）求證：AFGCMG；（2）求證：GFGM【分析】（1）可得出FAGMCG，又AGFCGM，則結(jié)論得證；（2）由（1）可得出GFGM=AFCM，證明AEFBEM，可得出AFBM【解析】（1）證明：ADBC，F(xiàn)AGMCG，AGFCGM，AFGCMG；（2）證明：AFGCMG，GFADBC，AEFBEM，AF又CMBM，AFCM=EF【小結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型如圖，已知ABCD，AC與BD相交于點E，點F在線段BC上，ABCD=1（1）求證：ABEF；（2）求SABE：SEBC

39、：SECD【分析】（1）只要證明BEED=BFFC=（2）設(shè)ABE的面積為m利用相似三角形的性質(zhì)，等高模型求出BCE，ECD的面積即可解決問題；【解析】（1）證明：ABCD，ABCDBFCF=12，BEED=BFFC，（2）設(shè)ABE的面積為mABCD，ABECDE，SABESEDC=（ABCD）2=14AECE=ABCD=12SABE：SEBC：SECDm：2m：4m1：2：4【小結(jié)】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型相似基本模型（作平行線）解決此類問題的關(guān)鍵是作平行線去構(gòu)造相似三角形從而利用

40、相似三角形的性質(zhì)去解決問題.基礎(chǔ)模型：如圖，ABC中，D為BC中點，E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，則AFFCA1：5B1：4C1：3D1：2【分析】過D作BF的平行線，交AC邊于G，即：DGBF，又D為BC中點可得出：CDGCBF，即：CDCB=CGCF=12，CG=12FCFG；同理可得：AEFADG，AF=12AG【解析】過D作BF的平行線，交AC邊于G，如下圖所示：D為BC中點，DGBF，CGDCFB，又CC，CDGCBFCGCF=CDCB=1又E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，DGBF同理可得：AEFADG，AEAD=AFAG=1AFFGGC，AFFC=AF2AF【小結(jié)

41、】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于找出條件判斷兩個三角形相似，再運用相似三角形的性質(zhì)求解如圖，D、E分別是ABC的邊BC、AB上的點，AD、CE相交于點F，AE=15EB，BD=13BC，則CF：【分析】作EHBC，根據(jù)AEHABD，得到HEBD=AEAB=【解析】作EHBC交AD于H，則AEHABD，HEBDBD=13BC，CD2BD，EHBC，CFDEFH，CFEF=CDHE=【小結(jié)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握作輔助線構(gòu)造相似三角形的一般方法是解題的關(guān)鍵如圖，AD是ABC的中線，點E是線段AD上的一點，且AE=13AD，CE交AB于點F若AF2cm，則AB 【分析

42、】過A作AGBC，交CF的延長線于G，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到AGDC=AEDE=12，進而得出BF【解析】如圖所示，過A作AGBC，交CF的延長線于G，AE=13AD，AGBC，AEGDEC，又AD是ABC的中線，BC2CD，AGBCAGBC，AFGBFC，AFBF=AGBC=14，BF4AF8cm，AB【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，過A作AGBC，構(gòu)造相似三角形是解決此題的關(guān)鍵如圖，等邊三角形ABC中，AB3，點D是CB延長線上一點，且BD1，點E在直線AC上，當BADCDE時，AE的長為 【分析】分兩種情形分別畫出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可【解析

43、】ABC是等邊三角形，ABCACB60，ACBCAB3，ABD120，當點E在邊AC上時作EFAB交BC于F，如圖1所示：則EFC是等邊三角形CFE60，EFCFCE，BFE120ABD，BADCDE，ABDDFE，ABBD=DFEF，即31=DFEF，DF3EF，BC3，BD1，CDBC+BD4，CF1，CE1，AEACCE2；點E在AC的延長線上時如圖2所示：ABDDCE120，BADCDE，ABDDCE，ABCD=BDCE，即3AEAC+CE3+4綜上所述，當BADCDE時，AE的長為2或133【小結(jié)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的

44、思想思考問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題相似基本模型（雙垂直型）直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形與原三角形相似，即ACDABCCBD.如圖，在ABC中，ACB90，CD是AB邊上的高如果BD4，CD6，那么BC：AC是（）A3：2B2：3C3：13D2：【分析】只要證明ACDCBD，可得ACBC【解析】ACB90，CD是AB邊上的高，ADCCDBACB90，A+B90，A+ACD90，ACDB，ACDCBD，ACBC=CDBD=6【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點，BFAC

45、，垂足為E，ADAB=12，CEF的面積為S1，AEB的面積為SA116B15C14【分析】根據(jù)已知條件設(shè)ADBCa，則ABCD2a，由勾股定理得到AC=5a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC2CECA，AB2AEAC求得CE=5a5，AE【解析】ADAB=12，設(shè)ADBCa，則ABCD2a，BFAC，CBECAB，AEBABC，BC2CECA，AB2AEACa2CE5a，4a2AE5a，CE=5a5，AE=CEFAEB，S1S2=（CEAE）2【小結(jié)】本題考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定，能夠牢記射影定理的內(nèi)容對解決本題起到至關(guān)重要的作用，難度不大邊長為1的正方形ABCD，在BC邊上取一動點E

46、，連接AE，作EFAE，交CD邊于點F，若CF的長為316，則CE的長為 【分析】由正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出BAE+AEB90，結(jié)合AEB+CEF90可得出BAECEF，由BC，BAECEF可證出ABEECF，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長【解析】四邊形ABCD為正方形，BC90，BAE+AEB90EFAE，AEF90，AEB+CEF90，BAECEF，ABEECF，CEBA=CFBE，即CE1=3【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用“兩角對應(yīng)相等的三角形相似”找出ABEECF是解題的關(guān)鍵如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過點B作

47、BEAC于點E，BE的延長線交AD于點F，若DFEF，BC2，則AF的長為 【分析】設(shè)AFx，所以FD2x，由題意可知：EFFD2x，易證AFECBE，所以BE=2(2x)x，再證明AFEBFA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可列出方程求出【解析】設(shè)AFx，F(xiàn)D2x，EFFD2x，ADBC，AFECBE，AFBC=EFBE，x2=2xBE，BE=AFEAFB，AEFBAF90，AFEBFA，AF2EFBF，x2=4x2x（2x【小結(jié)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型相似基本模型（手拉手型）基礎(chǔ)模型： 旋轉(zhuǎn)放縮變換， 圖中必有兩對相似三角形.如圖，在ABC

48、與ADE中，ACBAED90，ABCADE，連接BD、CE，若AC：BC3：4，則BD：CE為（）A5：3B4：3C5：2D2：3【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出ABC與ADE相似，利用相似三角形的性質(zhì)得出BACDAE，進而證明AEC與ABD相似，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可【解析】ACBAED90，ABCADE，ABCADE，BACDAE，ACABBAC+BAEDAE+BAE，即CAEBAD，ACAB=AEAD，ACEAC：BC3：4，ACBAED90，AC：BC：AB3：4：5，BD：CE5：3，選A【小結(jié)】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定得出ABC與ADE相似如

49、圖，AB3，AC2，BC4，AE3，AD4.5，DE6，BAD20，則CAE的度數(shù)為（）A10B20C40D無法確定【分析】證明ABCADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BACDAE，結(jié)合圖形解答即可【解析】ACAE=23，ABADABCADE，BACDAE，BACDACDAEDAC，CAEBAD20，【小結(jié)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵如圖，ABCADE，BACDAE90，AB與DE交于點O，AB4，AC3，F(xiàn)是DE的中點，連接BD，BF，若點E是射線CB上的動點，下列結(jié)論：AODFOB，BODEOA，F(xiàn)DB+FBE90，BF=56ABCD【

50、分析】首先證明AODEOB，推出BODEOA，再證明DBE90，可得正確，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷正確【解析】ABCADE，ADOOBE，AODBOE，AODEOB，ODOBODOA=OBOE，BODAOE，BODAODEOB，BODEOA，ADOEBO，AEODBO，ADO+AEO90，DBEDBO+EBO90，DFEF，F(xiàn)DFBFE，F(xiàn)DBFBD，F(xiàn)DB+FBEFBD+FBE90，故正確，在RtABC中，AB4，AC3，BC=3ABCADE，DEAE=BCAC=53，BF=12DEADOOBE，ADOOBF，無法判斷AODFOB，故錯誤選D【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)

51、，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型已知：如圖，在ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，點F在DE的延長線上，ADAF，AECEDEEF（1）求證：ADEACD；（2）如果AEBDEFAF，求證：ABAC【分析】（1）由AECEDEEF，推出AEFDEC，可得FC，再證ADFC，即可解決（2）欲證明ABAC，利用相似三角形的性質(zhì)證明BC即可；【解析】證明：（1）ADAF，ADFF，AECEDEEF，AEDE又AEFDEC，AEFDEC，F(xiàn)C，ADFC，又DAECAD，ADEACD（2）AEBDEFAF，AEAFADAF，AEADAEFEA

52、D+ADE，ADBEAD+C，AEFADB，AEFADB，F(xiàn)B，CB，ABAC【小結(jié)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型相似基本模型（一線三等角型）基礎(chǔ)模型：如圖1，B=C=EDF推出BDECFD（一線三等角）如圖2，B=C=ADE推出ABDDCE（一線三等角）如圖3，特別地，當D時BC中點時：BDEDFECFD推出ED平分BEF，F(xiàn)D平分EFC.如圖，在ABC中，ABAC6，D是AC中點，E是BC上一點，BE=52，AEDB，則A152B223C365【分析】證明BAECED，推出BACE【解析】ABAC，BC

53、，AECAED+DECB+BAE，AEDB，DECBAE，BAECED，BACEABAC6，ADDC3，BE=52，6CE=523【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型如圖，在等邊ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且APD60，BP2，CD1，則ABC的邊長為（）A3B4C5D6【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出ABBCAC，BC60，推出BAPDPC，即可證得ABPPCD，據(jù)此解答即可，【解析】ABC是等邊三角形，ABBCAC，BC60，BAP+APB18060120，APD60，APB+DPC180601

54、20，BAPDPC，即BC，BAPDPC，ABPPCD；ABPCBP2，CD1，ABAB2=21，AB4，ABC【小結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出ABPPCD，主要考查了學生的推理能力和計算能力如圖，已知在ABC中，ABAC6，BC5，D是AB上一點，BD2，E是BC上一動點，聯(lián)結(jié)DE，并作DEFB，射線EF交線段AC于F（1）求證：DBEECF；（2）當F是線段AC中點時，求線段BE的長；（3）聯(lián)結(jié)DF，如果DEF與DBE相似，求FC的長【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC，由三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到DEFB，根據(jù)相似

55、三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（3）當BEDEDF，得到DFBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ADFB，AFDC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF2；當DFEBED，推出點E在BDF與DFC的角平分線上，過E 作EMAB于M，ENAC于N，EGDF于G，連接AE，得到AE是BAC的角平分線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論【解析】（1）ABAC6，BC，BDE180BBED，CEF180DEFBED，DEFB，BDECEF，DBEECF；（2）DBEECF，BDCEF是線段AC中點，CF=12AC3，25BE（3）DEF與DBE相似，BEDEDF，或DFEBED，當BE

56、DEDF，DFBC，ADFB，AFDC，ADFAFD，ADAF4，AC6，CF2；當DFEBED，DBEECF，BEDCFE，DFECFE，BDEFDE，點E在BDF與DFC的角平分線上，過E 作EMAB于M，ENAC于N，EGDF于G，連接AE，EMEGEN，AE是BAC的角平分線，BECE=5DBEECF，BDCE=BECF，即2綜上所述，F(xiàn)C的長為2或258【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵已知：ABC，ABAC，BAC90，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上（點E不與點A、B重合），點F在邊AC上

57、，聯(lián)結(jié)DE、DF（1）如圖1，當EDF90時，求證：BEAF；（2）如圖2，當EDF45時，求證：DE【分析】（1）連接AD，證BDEADF（ASA），即可得出結(jié)論；（2）證明BDECFD得出BECD=BDCF=DEDF【解析】證明：（1）連接AD，如圖1所示：在RtABC中，ABAC，BAC90，BC45，點D是邊BC的中點，AD=12BCBD，ADBC，BADCAD45，BEDF90，ADF+ADE90BDE+ADE90，BDEADF，在BDE和ADF中，B=CADBD=ADBDE=ADF，BDEADF（ASA），BE（2）BDFBDE+EDF，BDFC+CFD，BDE+EDFC+CFD又

58、CEDF45，BDECFD，BDECFDBECD=BDCF=DEDF，BE【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵相似三角形中的動點問題如圖，RtABC，C90，AC10cm，BC8cm點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止（1）求經(jīng)過幾秒后，PCQ的面積等于ABC面積的25（2）經(jīng)過幾秒，PCQ與ABC相似？【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，PCQ的面積等于ABC面積

59、的25（2）根據(jù)相似三角形的判定得出兩種情況，再求出t即可【解析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，PCQ的面積等于ABC面積的25122x(8x)=1210825答：經(jīng)過4秒后，PCQ的面積等于ABC面積的25（2）設(shè)經(jīng)過t秒，PCQ與ABC相似，因為CC，所以分為兩種情況：PCBC=CQAC，2tPCAC=CQBC，2t答：經(jīng)過167秒或4013秒時，PCQ與【小結(jié)】本題考查了三角形的面積，直角三角形，相似三角形的判定等知識點，能得出關(guān)于x的方程是解（1）的關(guān)鍵，能求出符合的所有情況是解（2）的關(guān)鍵如圖所示，在等腰ABC中，ABAC10cm，BC16cm點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點

60、B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0t10），解答下列問題：（1）當t為何值時，BDE的面積為7.5cm2；（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得BDE與ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形BDE邊BE的高即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)分兩種情況說明即可【解析】（1）分別過點D、A作DFBC、AGBC，垂足為F、G如圖DFAG，DFABAC10，BC16BG8，AG6ADBEt，BD10t，DF6=10t10。解得DFS