1、期末模擬卷5一選擇題（共8小題）1復數(shù)z滿足（1+2i）4+3i，則z等于（）A2iB2+iC1+2iD12i【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出【解答】解：（1+2i）4+3i，2i，z2+i故選：B2某制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有1000名志愿者服用此藥，體重變化結(jié)果統(tǒng)計如表：體重變化體重減輕體重不變體重增加人數(shù)600200200如果另有一人服用此藥，估計這個人體重減輕的概率約為（）A0.1B0.2C0.5D0.6【分析】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，可得結(jié)論【解答】解：由題意可得，這個人體重減輕的概率約為 0.6，故選：D3若圓錐W的底面半徑與高均為1，則圓錐W

2、的表面積等于（）ABC2D【分析】求出圓錐的母線長，再計算圓錐的側(cè)面積和表面積【解答】解：圓錐的軸截面如圖所示，則圓錐的母線為l，所以該圓錐的側(cè)面積為S側(cè)面積rl1，圓錐的表面積為S表面積S側(cè)面積+S底面積+12（+1）故選：A4不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（）A2張卡片都不是紅色B2張卡片不都是紅色C2張卡片至少有一張紅色D2張卡片至多有1張紅色【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接判斷【解答】解：不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，對于A，2張卡片都不是紅色與事件“2張

3、卡片都為紅色”互斥而不對立的事件，故A正確；對于B，2張卡片不都是紅色與事件“2張卡片都為紅色”是對立的事件，故B錯誤；對于C，2張卡片至少有一張紅色與事件“2張卡片都為紅色”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故C錯誤；對于D，2張卡片至多有1張紅色現(xiàn)事件“2張卡片都為紅色”是對立事件，故D錯誤故選：A5ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c若A45，B60，則b的值為（）ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求解【解答】解：因為A45，B60，所以由正弦定理，可得b故選：B6在三棱柱ABCA1B1C1中，上下底面均為等腰直角三角形，且平面ABC，若該三棱柱存在內(nèi)切球，則AA1（）A2BCD【分

4、析】易知，AB，BCAC1，由三角形內(nèi)切圓的半徑公式，可得ABC內(nèi)切圓的半徑r，而內(nèi)切球的半徑Rr，棱柱的高h2R，再由AA1平面ABC，可推出該三棱柱為直三棱柱，故AA1h【解答】解：由題可知，ABC為等腰直角三角形，ABBC，AB，BCAC1，ABC內(nèi)切圓的半徑r，此三棱柱存在內(nèi)切球，內(nèi)切球的半徑Rr，且棱柱的高h2R2，AA1平面ABC，該三棱柱為直三棱柱，AA1h2故選：B7甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，破譯的概率分別為，則密碼被破譯的概率為（）ABCD1【分析】密碼被破譯的對立事件是甲、乙同時不能破譯密碼，由此利用對立事件概率計算公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出密碼被破譯的概率【

5、解答】解：甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，設事件A表示甲能破譯密碼，事件B表示乙能破譯密碼，則P（A），P（B），密碼被破譯的對立事件是甲、乙同時不能破譯密碼，密碼被破譯的概率為：P1P（）1P（）P（）1（1）（1）故選：B8設m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（）A若m，mn，n，則B若，m，m，則mC若m，m，則D若，m，n，則mn【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解【解答】解：若m，mn，n，則由平面與平面垂直的判定定理得，故A正確；若，m，m，則由直線與平面平行的判定定理得m，故B正確；若m，m，則由平面與平面垂直的判定定理得，故C正確；若，m

6、，n，則m與n相交、平行或異面，故D錯誤故選：D二多選題（共4小題）9如圖，在四棱錐BACDE中，AECD，CD2AE，點M，N分別為BE，BA的中點，若DMCNP，DECAQ，則下述正確的是（）AB直線DE與BC異面CMNCDDB，P，Q三點共線【分析】對于A，；對于B，由條件可知直線DE與BC是異面直線；對于C，由MNAE，AECD，得MNCD；對于D，B，P，Q是平面ABC和平面BDE的公共點，從而B，P，Q三點共線【解答】解：在四棱錐BACDE中，AECD，CD2AE，點M，N分別為BE，BA的中點，DMCNP，DECAQ，對于A，故A錯誤；對于B，DE平面ACDE，BC平面ACDE于

7、C，CDE，由異面直線判定定理得直線DE與BC是異面直線，故B正確；對于C，點M，N分別為BE，BA的中點，MNAE，AECD，MNCD，故C正確；對于D，DMCNP，DECAQ，平面ABC平面BDEB，B，P，Q是平面ABC和平面BDE的公共點，B，P，Q三點共線，故D正確故選：BCD10某地區(qū)公共部門為了調(diào)查本地區(qū)中學生的吸煙情況，對隨機抽出的編號為11000的1000名學生進行了調(diào)查調(diào)查中使用了兩個問題，問題1：您的編號是否為奇數(shù)？問題2：您是否吸煙？被調(diào)查者隨機從設計好的隨機裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球100個，紅球100個）中摸出一個小球：若摸出白球則回答問題1，若摸出紅球則回答

8、問題2，共有270人回答“是”，則下述正確的是（）A估計被調(diào)查者中約有520人吸煙B估計約有20人對問題2的回答為“是”C估計該地區(qū)約有4%的中學生吸煙D估計該地區(qū)約有2%的中學生吸煙【分析】根據(jù)題意知被調(diào)查者回答第一個問題的概率為，其編號是奇數(shù)的概率也是，計算可得隨機抽出的1000名學生中回答第一個問題且為“是”的學生數(shù)，由此求出回答第二個問題且為是的人數(shù)，由此估計此地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比，進而估計出被調(diào)查者中吸煙的人數(shù)，判斷選項可得結(jié)論【解答】解：隨機抽出的1000名學生中，回答第一個問題的概率是 ，其編號是奇數(shù)的概率也是，所以回答問題1且回答是的人數(shù)為1000250；所以回答第二個問

9、題，且為是的人數(shù)27025020；由此估計此地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的百分比為4%估計被調(diào)查者中約有10004%40人吸煙故表述正確的是BC故選：BC11ABC中，D為邊AC上的一點，且滿足，若P為邊BD上的一點，且滿足（m0，n0），則下列結(jié)論正確的是（）Am+2n1Bmn的最大值為C的最小值為6+4Dm2+9n2的最小值為【分析】利用向量共線定理可得：m+3n1，再利用基本不等式以及“乘1法”逐一判斷即可【解答】解：因為，所以，所以 m+3n，因為B、P、D三點共線，所以m+3n1，故A錯誤；則3mn，則mn，即mn最大值為，當且僅當m3n，即m，n時取等號，故B正確；（）（m+3n）+74+7

10、，當且僅當 時取等號，所以的最小值為4+7，故C錯誤；m2+9n2（m+3n）26mn16mn16，當且僅當m，n時取等號，所以m2+9n2的最小值為，故D正確故選：BD12如圖，線段AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，EFAB，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB2，EFAD1，則下述正確的是（）AOF平面BCEBBF平面ADFC點A到平面CDFE的距離為D三棱錐CBEF外接球的體積為【分析】利用直線與平面平行的判定判斷A；證明直線與平面垂直判斷B；利用等體積法求B到平面CDFE的距離，可得點A到平面CDFE的距離判斷C；找出三棱錐CBEF外接球的球心，求出半徑，進一步求得外接球的

11、體積判斷D【解答】解：EFAB，EFOB，又AB2，EF1，EFOB1，則四邊形OFEB為平行四邊形，得OFEB，而OF平面BCE，BE平面BCE，OF平面BCE，故A正確；DAAB，平面ABCD平面AFEB，且平面ABCD平面AFEBAD，AD平面AFEB，則ADBF，由BFAF，ADAFA，BF平面ADF，故B正確；由ABEF，AB平面CEF，EF平面CEF，可得AB平面CEF則點A到平面CDFE的距離等于B到平面CDFE的距離在OEF中，由已知可得OEOFEF1，則OEF為等邊三角形，由對稱性可知BOEAOF60，而OAOFOEOB，則AOF與BOE也是等邊三角形，且邊長均為1可知BEE

12、F1，BF，BEF120，由已知結(jié)合勾股定理求得，CF2，EF1，則cosCEF，sinSCEF，設B到平面CDFE的距離為h，由VCBEFVBCEF，得，h，故C正確；BEF外接圓的圓心為O，則矩形ABCD對角線長的一半為三棱錐CBEF外接球的半徑等于，則三棱錐CBEF外接球的體積為V，故D錯誤故選：ABC三填空題（共4小題）13向量是單位向量，|2，則|【分析】由題意可得，進行向量的模的運算帶入求值即可得答案【解答】解：；|故答案為：14正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長和高均為2，點D為側(cè)棱CC1的中點，連接AD，BD，則C1D與平面ABD所成角的正弦值為【分析】建立空間直角坐標系Ox

13、yz，求出平面ABD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解C1D與平面ABD所成角的正弦值即可【解答】解：如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，O為A1B1的中點，由已知，A（1，0，2），B（1，0，2），所以，設平面ABD的法向量為（x，y，z），由，令y1，則z，所以平面ABD的法向量為，則C1D與平面ABD所成角的正弦值為：故答案為：15設角A，B，C是ABC的三個內(nèi)角，已知向量，且則角C的大小為【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標表示及正弦定理，余弦定理即可求解【解答】解：由已知可得，sin2Asin2C+sin2BsinAsinB0，所以sin2Asin2C+sin2BsinAsinB，由正

14、弦定理可得，a2+b2c2ab，所以cosC，因為C為三角形的內(nèi)角，所以C；故答案為：16某人有3把鑰匙，其中2把能打開門，如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，那么第二次才能打開門的概率為；如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為【分析】（1）第二次才能打開門是指第一次沒有打開門，第二次打開門，由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出第二次才能打開門的概率；（2）試過的鑰匙又混進去，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出第二次才能打開門的概率【解答】解：（1）某人有3把鑰匙，其中2把能打開門，隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能打開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門是指第一次沒有打

15、開門，第二次打開門，第二次才能打開門的概率為P；（2）試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為：P故答案為：，四解答題（共6小題）17已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)（1）求|Z1|，|Z2|，|Z3|，|Z4|；（2）隨機從復數(shù)Z2，Z3，Z4中有放回的先后任取兩個復數(shù)，求所取兩個復數(shù)的模之積等于1的概率【分析】（1）利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解|Z1|，|Z2|，|Z3|，|Z4|；（2）寫出隨機從復數(shù)Z2，Z3，Z4中有放回的先后任取兩個復數(shù)的事件數(shù)，求出所取兩個復數(shù)的模之積等于1的事件數(shù)，再由古典概型概率公式求解【解答】解：（1）由題意知：|Z1|1，；（2）設隨

16、機從復數(shù)Z2，Z3，Z4中有放回的任取兩個復數(shù)的樣本點為（a，b），則該隨機試驗的樣本空間為（Z2，Z2），（Z2，Z3），（Z2，Z4），（Z3，Z2），（Z3，Z3），（Z3，Z4），（Z4，Z2），（Z4，Z3），（Z4，Z4）所以n（）9，設事件A“所取兩個復數(shù)的模之積等于1”，則事件A（Z2，Z4），（Z3，Z4），（Z4，Z2），（Z4，Z3），n（A）4，故18已知在四面體ABCD中，ABAC，DBDC，點E，F(xiàn)，G，M分別為棱AD，BD，DC，BC上的點，且BMMC，DF2FB，DG2GC，AEAD（01）（）當時，求證：AM平面EFG；（）當變化時，求證：平面ADM平面EFG

17、【分析】（）當時，推導出EFAB，EGAC，從而平面ABC平面EFG，由此能證明AM平面EFG（）推導出AMBC，DMBC，BCGF，從而BC平面ADM，GF平面ADM，由此能證明當變化時，平面ADM平面EFG【解答】證明：（）當時，四面體ABCD中，ABAC，DBDC，點E，F(xiàn)，G，M分別為棱AD，BD，DC，BC上的點，BMMC，DF2FB，DG2GC，EFAB，EGAC，又EFEGE，ABACA，平面ABC平面EFG，AM平面ABC，AM平面EFG（）ABAC，DBDC，點E，F(xiàn)，G，M分別為棱AD，BD，DC，BC上的點，BMMC，DF2FB，DG2GC，AEAD（01）AMBC，DM

18、BC，BCGF，AMDMM，BC平面ADM，GFBC，GF平面ADM，GF平面EFG，當變化時，平面ADM平面EFG19在；這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中，并進行作答在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，_（1）求角A，B，C的大?。唬?）求ABC的周長和面積【分析】（1）若選擇：利用三角函數(shù)恒等變換的應用，結(jié)合范圍B+C（0，），可求，利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求cos（BC）1，結(jié)合，可求BC0，可得；若選擇：（法一）由題意，利用基本不等式可求，可得，利用三角形的內(nèi)角和定理可求A的值；（法二）設tanB，tanC為方程，的兩根，利用一元二次方程的解法可得，且B，C（0，

19、），可求，利用三角形的內(nèi)角和定理可求A的值；（2）由正弦定理可求bc2，利用三角形的面積公式即可求解【解答】解：（1）若選擇：因為，所以（2分）所以，因為B+C（0，），所以，（4分）又因為cos（BC）cosBcosC+sinBsinC1，所以BC0，（6分）若選擇：（法一）由題意知，tanB0，tanC0，所以（2分）因為當且僅當時，上式的等號成立，且B，C（0，）（3分）所以（5分）所以（6分）（法二）設tanB，tanC為方程，的兩根（2分）解得，且B，C（0，）（4分）所以（5分）所以（6分）（2）由正弦定理知：（7分）因為，所以bc2（9分）所以ABC的周長為（10分）所以ABC的

20、面積（12分）20如圖1，ABC是等腰直角三角形CAB90，AC2a，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點，沿EF將CEF折起，得到如圖2所示的四棱錐CABFE（）求證：AB平面AEC；（）當四棱錐CABFE體積取最大值時，（i）若G為BC中點，求異面直線GF與AC所成角；（ii）在CABFE中AE交BF于C，求二面角ACCB的余弦值【分析】（）推導出EFAE，EFCE，從而EF平面AEC，由此能證明AB平面AEC（）（i）取AC中點D，連接DE，EF，F(xiàn)G，GD，推導出四邊形DEFG 為平行四邊形，直線GF 與AC所成角就是DE 與AC所成角，由此能求出直線GF 與AC所成角（ii） 分別以EA、E

21、F、EC所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面CAE與平面CBF的平面角的夾角的余弦值【解答】證明：（）因為ABC 是等腰直角三角形，CAB90，E，F(xiàn) 分別為AC，BC 的中點，所以EFAE，EFCE又因為AECEE，所以EF平面AEC由于EFAB，所以有AB平面AEC4分解：（）（i）取AC中點D，連接DE，EF，F(xiàn)G，GD，由于GD 為ABC中位線，以及EF 為ABC 中位線，所以四邊形DEFG 為平行四邊形直線GF 與AC所成角就是DE 與AC所成角所以四棱錐CABFE 體積取最大值時，CE 垂直于底面ABFE此時AEC為等腰直角三角形，ED 為中線

22、，所以直線EDAC又因為EDGF，所以直線GF 與AC所成角為10分 （ii） 因為四棱錐CABFE 體積取最大值，分別以EA、EF、EC所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系如圖，則C（0，0，a），B（a，2a，0），F(xiàn)（0，a，0），CB（a，2a，a），CF（0，a，a）設平面CBF 的一個法向量為（x，y，z），由得，取y1，得（1，1，1）平面CAE 的一個法向量（0，1，0）所以cos，故平面CAE與平面CBF的平面角的夾角的余弦值為14分21有一種魚的身體吸收汞，當這種魚身體中的汞含量超過其體重的1.00ppm（即百萬分之一）時，人食用它，就會對人體產(chǎn)生危害現(xiàn)從一

23、批該魚中隨機選出30條魚，檢驗魚體中的汞含量與其體重的比值（單位：ppm），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖：0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68（1）求上述數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、極差，并估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)；（2）有A，B兩個水池，兩水池之間有10個完全相同的小孔聯(lián)通，所有的小孔均在水下，且可以同時通過2條魚（）將其中汞的含量最低的2條魚分別放入A

24、水池和B水池中，若這2條魚的游動相互獨立，均有的概率進入另一水池且不再游回，求這兩條魚最終在同一水池的概率；（）將其中汞的含量最低的2條魚都先放入A水池中，若這2條魚均會獨立地且等可能地從其中任意一個小孔由A水池進入B水池且不再游回A水池，求這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率【分析】（1）由所給數(shù)據(jù)能求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)的眾數(shù)，數(shù)據(jù)的極差，能估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)（2）（）記“兩魚最終均在A水池”為事件A，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，利用相互獨立事件概率乘法公式求出P（A），P（B），由事件A與事件B互斥，能求出兩條魚最終在同一水池的概率（）記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事

25、件C1，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件C2，依此類推由兩魚的游動獨立，得到，由事件C1，事件C2，互斥，得到，記“兩條魚由不同小孔進入B水池”為事件C，由C與C1C2C10對立，能求出這兩條魚由不同小孔進入B水池的概率【解答】解：（1）由題意知，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.82，數(shù)據(jù)的極差為1.680.071.61，估計這批魚該項數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)約為；（2）（）記“兩魚最終均在A水池”為事件A，則，記“兩魚最終均在B水池”為事件B，則，因為事件A與事件B互斥，所以兩條魚最終在同一水池的概率為（）記“兩魚同時從第一個小孔通過”為事件C1，“兩魚同時從第二個小孔通過”為事件C2，依此類推因為兩魚的游動獨立，所以，因為事件C1，事件C2，互斥，所以，記“兩條魚由不同小孔進入B水池”為事件C，則C與C1C2C10對立，所以22某學校高一100名學生參加數(shù)學競賽，成績均在40分到100分之間學生成績的頻率分布直方圖如圖：（1）估計這100名學生分數(shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；（精確到0.1）（2）某老師抽取了1