1、PAGE |初一數(shù)學基礎(chǔ)-提高-精英學生版| 第1講 第頁 PAGE 頁碼 8 / NUMPAGES 總頁數(shù) 8任意四邊形、梯形與相似模型例題精講六年級奧數(shù)任意四邊形、梯形與相似模型一教師版任意四邊形中的比例關(guān)系“蝴蝶定理”：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面,也可以得到與面積對應的對角線的比例關(guān)系圖中的四邊形土地的總面積是52公頃,兩條對角線把它分成了4個小三角形,其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？ 【考點】任意四邊形模型 【難度】2星 【

2、題型】解答在,中有,所以, 的面積比為同理有,的面積比為所以有=,也就是說在所有凸四邊形中,連接頂點得到2條對角線,有圖形分成上、下、左、右4個部分,有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積 即=,所以有與的面積比為,=公頃,=公頃 顯然,最大的三角形的面積為21公頃【答案】21如圖,某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線AC、BD分成四個部分,AOB面積為1平方千米,BOC面積為2平方千米,COD的面積為3平方千米,公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成,求人工湖的面積是多少平方千米？【考點】任意四邊形模型 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】小數(shù)報根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米,公園

3、四邊形的面積是平方千米,所以人工湖的面積是平方千米【答案】0.58一個矩形分成4個不同的三角形如右圖,綠色三角形面積占矩形面積的15,黃色三角形的面積是21平方厘米問：矩形的面積是多少平方厘米？【考點】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽,第7題黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50,而綠色三角形面積占矩形面積的15,所以黃色三角形面積占矩形面積的501535已知黃色三角形面積是21平方厘米,所以矩形面積等于213560平方厘米【答案】60【鞏固】如圖,四邊形被兩條對角線分成4個三角形,其中三個三角形的面積已知,求：三角形的面積；？【考點】任意四邊形模型 【

4、難度】2星 【題型】解答根據(jù)蝴蝶定理,那么；根據(jù)蝴蝶定理,【答案】四邊形的對角線與交于點如圖所示如果三角形的面積等于三角形的面積的,且,那么的長度是的長度的_倍 【考點】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】填空在本題中,四邊形為任意四邊形,對于這種”不良四邊形”,無外乎兩種處理方法：利用已知條件,向已有模型靠攏,從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件,這可以向模型一蝴蝶定理靠攏,于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,可以得到第二種解法,但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形”,于是可以作垂直于,垂直于,面積比轉(zhuǎn)化為高之比再應用

5、結(jié)論：三角形高相同,則面積之比等于底邊之比,得出結(jié)果請老師注意比較兩種解法,使學生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢,從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題解法一：,解法二：作于,于,【答案】2倍如圖,平行四邊形的對角線交于點,、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【考點】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】解答根據(jù)題意可知,的面積為,那么和的面積都是,所以的面積為；由于的面積為8,的面積為6,所以的面積為,根據(jù)蝴蝶定理,所以,那么【答案】如圖相鄰兩個格點間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為 【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中,入學測試題連接、則可根據(jù)格點

6、面積公式,可以得到的面積為：,的面積為：,的面積為：所以,所以【答案】【鞏固】如圖,每個小方格的邊長都是1,求三角形的面積【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答因為,且,所以,【答案】如圖,邊長為1的正方形中,求三角形的面積 【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】人大附中考題連接因為,所以因為,根據(jù)蝴蝶定理,所以所以,即三角形的面積是【答案】如圖,長方形中,三角形的面積為平方厘米,求長方形的面積 【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答連接,因為,所以因為,所以平方厘米,所以平方厘米因為,所以長方形的面積是平方厘米【答案】72如圖,已知正方形的邊長為

7、10厘米,為中點,為中點,為中點,求三角形的面積 【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答設(shè)與的交點為,連接、由蝴蝶定理可知,而,所以,故 由于為中點,所以,故,由蝴蝶定理可知,所以,那么平方厘米【答案】6.25如圖,在中,已知、分別在邊、上,與相交于,若、和的面積分別是3、2、1,則的面積是 【考點】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空這道題給出的條件較少,需要運用共邊定理和蝴蝶定理來求解根據(jù)蝴蝶定理得 設(shè),根據(jù)共邊定理我們可以得,解得【答案】22.5正六邊形的面積是2009平方厘米,分別是正六邊形各邊的中點；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米 【考點】任意四邊形模型 【難

8、度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,6年級。初賽如圖,設(shè)與的交點為,則圖中空白部分由個與一樣大小的三角形組成,只要求出了的面積,就可以求出空白部分面積,進而求出陰影部分面積連接、設(shè)的面積為”“,則面積為”“,面積為”“,那么面積為的倍,為”“,梯形的面積為,的面積為”“,的面積為根據(jù)蝴蝶定理,故,所以,即的面積為梯形面積的,故為六邊形面積的,那么空白部分的面積為正六邊形面積的,所以陰影部分面積為平方厘米【答案】1148如圖,ABCD是一個四邊形,M、N分別是AB、CD的中點如果ASM、MTB與DSN的面積分別是6、7和8,且圖中所有三角形的面積均為整數(shù),則四邊形ABCD的面積為 【考點】任

9、意四邊形模型 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,高年級組,決賽,12題連接、由于是的中點,所以與的面積相等,而比的面積大1,所以比的面積大1；又由于是的中點,所以的面積與的面積相等,那么的面積比的面積大1,所以的面積為9假設(shè)的面積為,則的面積為根據(jù)幾何五大模型中的蝴蝶定理,可知的面積為,的面積為要使這兩個三角形的面積為整數(shù),可以為1,3或7由于的面積為面積的一半,的面積為面積的一半,所以與的面積之和為四邊形面積的一半,所以與的面積之和等于四邊形的面積,即：,得將、3、7分別代入檢驗,只有時等式成立,所以的面積為7,、的面積分別為8、6、9四邊形ABCD的面積為小結(jié)：本題中“且圖中所有

10、三角形的面積均為整數(shù)”這個條件是多余的【答案】60已知是平行四邊形,三角形的面積為平方厘米。則陰影部分的面積是 平方厘米?！究键c】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯,6年級,第五題連接。由于是平行四邊形,所以,根據(jù)梯形蝴蝶定理,所以平方厘米,平方厘米,又平方厘米,陰影部分面積為平方厘米?！敬鸢浮?1正方形ABCD邊長為6厘米,AEAC,CFBC。三角形DEF的面積為 平方厘米?！究键c】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,五年級,初賽,第13題為,所以三角形的面積為三角形的,即正方形 的。因為,所以三角形的面積為三角形面積的,所以四邊形的面積是三角形面積的,即正方形面積的,因為,所以三角形的面積是正方形面積