1、常微分方程方法與應(yīng)用基本知識數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 張齊鵬電話箱：微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.第一節(jié) 微分方程的基本概念一、問題的提出一、問題的提出解一、問題的提出微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程.例實質(zhì): 聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、微分方程的定義分類1: 常微分方程, 偏微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.例如:(2x+y)dx + xdy = 0;都是常微分方程.本章只討論常微分方程. 微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之.偏微分方程一階微

2、分方程高階(n)微分方程分類2:例1 中的方程 是一階微分方程；例2 中的方程 是二階微分方程.微分方程的解:代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之. 三、主要問題-求方程的解例如: 對于微分方程考慮函數(shù) y = sinx因為 (sinx) + sinx = sinx + sinx = 0所以 y = sinx 是方程 的解.(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解.微分方程的解的分類：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.求微分方程滿足初始條件的特解的問題稱為初值問題.如例1 是一個初值問題.例2 也是一個初值問題.微分方程解的圖形稱為微分方程的

3、積分曲線. 通解的圖形是積分曲線族,特解的圖形是積分曲線族中的一條積分曲線.例: 已知一條曲線通過(1, 2). 且在該曲線上任意點M(x,y)處的切線斜率為2x, 求這條曲線.x0 xy(1, 2)解: 設(shè)所求的曲線為 y =y (x), 則y=x2 + C,y = 2x其中C是任意常數(shù).又曲線過定點(1, 2). 即,2=1+C , 得 C = 1故所求曲線方程為y=x2 +1注: 微分方程解的圖形稱為微分方程的積分曲線.補充:微分方程的初等解法: 初等積分法.求解微分方程求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)微分方程在實際工作中有著廣泛的應(yīng)用.我們研究微分方程的主要問題是：1.根據(jù)實際問題的要求和條件，建立反映變量間內(nèi)在聯(lián)系的微分方程，并列出初始條件；2.求出微分方程通解及滿足初始條件的特解；3.研究解的性質(zhì)或物理意義.在這里我們主要討論上述第二個問題.從微分方程作為解決實際問題的重要工具這一要求來說，微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解;初始條件；特解；初值