1、光纖的非線性傳輸特性簡(jiǎn)介光纖1.光纖的歷史早期的工作：為了得到低損耗的光纖早在19世紀(jì)，人們已經(jīng)知道光纖中引導(dǎo)光傳播的基本原理是全內(nèi)反射。在19世紀(jì)20年代制成了無(wú)包層的玻璃纖維。直到20世紀(jì)50年代，才知道包層的使用能夠改善光纖的特性，從而誕生了光纖光學(xué)這個(gè)領(lǐng)域。20世紀(jì)60年代，當(dāng)時(shí)主要為了利用光纖束傳輸圖像，促使光纖領(lǐng)域迅速發(fā)展。這些早期的光纖按現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)看具有很高的損耗，用當(dāng)時(shí)最好的光學(xué)玻璃做成的光學(xué)纖維損耗也達(dá)到1000dB/km。1966年高錕解決了石英光纖損耗的理論問(wèn)題，提出了研制低損耗光纖的可能性。1970年，美國(guó)康寧公司研制成功了第一根低損耗光纖，石英光纖的損耗下降到了20d

2、B/km的水平。隨著光纖制造技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，到1979年，已將1.55un波長(zhǎng)附近的損耗降低到約0.2dB/km。低損耗光纖的獲得，使得光纖中光傳輸時(shí)的非線性效應(yīng)相對(duì)而言變得不可忽略。早在1972年，已有人研究了單模光纖中的受激拉曼敞射和受激布里淵散射，這些上作促進(jìn)了諸如光感應(yīng)雙折射、參量四波混頻和白相位調(diào)制等其他非線性現(xiàn)象的研究。1973年，有人提出了“通過(guò)色散和非線性效應(yīng)的互作用將會(huì)導(dǎo)致光纖產(chǎn)生類孤子脈沖”這樣一個(gè)重要結(jié)論。1980年，在實(shí)驗(yàn)中觀察到了光孤子，并在20世紀(jì)80年代導(dǎo)致了超短光脈沖的產(chǎn)生和控制方面的一些成就。另一個(gè)同樣重要的進(jìn)展是將光纖用于光脈沖壓縮和光開關(guān)。1987年，利

3、用光纖非線性效應(yīng)的壓縮技術(shù)已產(chǎn)生了短到6fs的脈沖。非線性光纖光學(xué)領(lǐng)域在20世紀(jì)90年代繼續(xù)得到發(fā)展，當(dāng)在光纖中摻人稀土元素并用其制作放大器和激光器時(shí)，又增添了一個(gè)新的研究?jī)?nèi)容。盡管早在1964年就開始制造光纖放大器，但僅在1987年以后才得到快速發(fā)展。由于EDFA能工作在1.55um波長(zhǎng)區(qū)并能補(bǔ)償光纖通信系統(tǒng)的損耗，因此引起人們的極大關(guān)注。到1995年，這種器件已達(dá)到商品化程度，EDFA的使用導(dǎo)致了多信道光波系統(tǒng)設(shè)計(jì)上的革命。光纖放大器的研究進(jìn)展同時(shí)加快了光孤子的研究，最終導(dǎo)致色散管理孤子概念的建立。另一重大進(jìn)展是光纖光柵，光纖光柵始造于1978年，在20世紀(jì)90年代得到發(fā)展，并成為光波技術(shù)

4、不可分割的一部分。自1996年以來(lái)，光纖光柵和光子晶體光纖的非線性引起廣泛關(guān)注。很顯然，非線性光纖光學(xué)領(lǐng)域在20世紀(jì)90年代得到巨大發(fā)展，并將在21世紀(jì)繼續(xù)得到發(fā)展。無(wú)論是在基本原理還是在技術(shù)方面，都產(chǎn)生了許多重大成就。2.光纖的結(jié)構(gòu)、材料和制造兩種光纖：階躍折射率光纖和梯度折射率光纖兩種光纖雙可分為多模光纖和單模光纖bitsCNTCom多模光纖單模比纖用于制造低損耗光纖的材料是由熔SiO2分子組成的石英玻璃。纖芯和包層折射率的差別是通過(guò)制造過(guò)程中選擇摻雜物來(lái)實(shí)現(xiàn)的。摻雜CeO2和P2O5可以提高純石英的折射率，因而適合做纖芯；而硼和氟用來(lái)做包層摻雜物，因?yàn)樗軠p小石英的折射率。對(duì)于特殊的應(yīng)用

5、，可以采用另外一些摻雜物。例如，為制作光纖放大器和激光器，可以利用ErCl3和Nd2O3這樣的摻雜物，在石英光纖的纖芯中同時(shí)摻入稀土離子。與此類似，有時(shí)摻雜Al2O3來(lái)控制光纖放大器的增益譜。石英光纖的制造分兩階段：第一階段，汽相沉積法(CVD)用來(lái)制造圓柱體預(yù)制棒，典型尺寸為直徑2cm,長(zhǎng)1m。第二階段，利用精密進(jìn)給裝置，以適當(dāng)?shù)乃俣劝杨A(yù)制棒進(jìn)給到高溫爐拉成纖維。GeClHePOCIGasmixtu6sfg2.斤02.HeSootRibercitaticniReactionZoneTraversinghightemperaturetorchADepositingparticlesMixing

6、valvesMCVD過(guò)程的示意圖。在此過(guò)程中，在1800C高溫下，siC14和o2混合氣體通過(guò)熔石英管，在其內(nèi)壁沉積了一層Sio。為確保其均勻性，多嘴火焰在石英管長(zhǎng)度范圍內(nèi)來(lái)回移動(dòng)。包層的折射率通過(guò)向管中通入氟來(lái)控制。當(dāng)內(nèi)壁形成了充分厚度的包層后，GeCl4或POCl3蒸氣加入到混合蒸氣中去形成纖芯。當(dāng)各層均沉積好后，提高火焰的溫度，使石英管發(fā)生坍塌形成固態(tài)棒狀預(yù)制棒。3.光脈沖在光纖中傳輸時(shí)最主要的傳輸特性：損耗：主要來(lái)自材料吸收和瑞利散射P二Pexp(-aL)T0習(xí)慣損耗用a(dB/km)表示：dB%=-10lg(P-)=4.343a02o.1000110012001SOO14001500

7、16001700單模石英光纖典型損耗曲線色散：由于介質(zhì)響應(yīng)與光波頻率有關(guān)。不同的頻譜分量對(duì)應(yīng)于由c/n(3)給定的一同的傳輸速度。卩()二n()c（一）2P+02（一）3B+.03P=（2旦+2cdd2nd2dndP2表示群速度色散。非線性：石英光纖只考慮三階非線性效應(yīng)，或者更高階，石英CSiO2)分子是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，不顯示二階非線性效應(yīng)。三階非線性效應(yīng)有三次諧波、四波混頻以及非線性折射率。二光脈沖在光纖中的傳輸方程1光纖中的模式從麥克斯韋方程組可以得到光纖中光傳輸?shù)牟ǚ匠蹋篤xVx（2.1）E=一十連-R竺c2dt20dt2電極化強(qiáng)度為：P(r,t)=P(r,t)+P(r,t)(2.2)LNL上

8、面是處理光纖中三階非線性效應(yīng)的一般公式，求解比較復(fù)雜，可以根據(jù)光纖的實(shí)際情況做一些簡(jiǎn)化近似。石英光纖中非線性效應(yīng)相當(dāng)弱，非線性極化看成極化強(qiáng)度的微擾：P(r,t)=0NL此時(shí)，在頻域內(nèi)光傳輸?shù)牟ǚ匠套兂蒝xVxE(r,)-s)E(r,)=0(2.3)c2s(w)二1+/(i)()為介電系數(shù)，它的實(shí)部和虛部分別與折射率n(w)及吸收系數(shù)A(w)有關(guān)：n(w)=1+-Re%(i)(w)(2.4ab)2wa(w)=Im%(i)(w)nc光纖的損耗很小，E(W)的虛部相對(duì)于實(shí)部可以忽略，可用n2(w)代替E(w)，以微擾的方式將光纖損耗包括進(jìn)去；在階躍光纖的纖芯和包層中由于折射率與n(W)方位無(wú)關(guān)VD

9、=8VE=0,于是：VxVxE三V(VE)-V2E=-V2E(2.5)經(jīng)過(guò)以上三步簡(jiǎn)化近似，(2.3)化成：w2V2E(w)+n2(w)E(w)=0(2.6)c2由電磁場(chǎng)的邊界條件，E(w)和H(w)在纖芯包層界面處的切向分量是連續(xù)的。在這個(gè)邊界條件下解(2.6)，可以得到某些特定的電場(chǎng)強(qiáng)度分布E(r,w)，這些特定的電場(chǎng)強(qiáng)度分布就是光纖模式。對(duì)于任何頻率w,光纖僅能容納有限個(gè)光纖模式。一種特殊的情況就是，光纖僅能容納一個(gè)光纖模式，即基模(HE)。這樣的光纖就是單模光纖。在給定波長(zhǎng)的情況下，特定光纖所容納的模式數(shù)依賴于其設(shè)計(jì)參數(shù)，即纖芯半徑a和纖芯一包層折射率差n1-n2。對(duì)折射率差的典型值n

10、ln2=0.005,纖芯a=4um及入c=1.2um。結(jié)果表明，這樣的單模光纖只適合于維持波長(zhǎng)入$1.2um的單模。(HE)模對(duì)應(yīng)的場(chǎng)強(qiáng)分布E(r,W)有三個(gè)非零分量，在直角坐標(biāo)系中為Ex,Ey,Ez。在這些分量中，Ex,Ey起主要作用。在理想情況下，單模光纖的兩個(gè)正交偏振模是簡(jiǎn)并的(即它們有相同的傳輸常數(shù))。實(shí)際上，像纖芯形狀和大小沿長(zhǎng)度方向隨機(jī)變化的不規(guī)則性破壞了簡(jiǎn)并性，入射光在沿光纖傳輸過(guò)程中引起兩偏振分量的隨機(jī)混合，造成入射光偏振態(tài)的混亂。保偏光纖的設(shè)計(jì)通過(guò)引入強(qiáng)雙折射來(lái)解除模簡(jiǎn)并。當(dāng)入射光的偏振方向和這種光纖的一個(gè)主軸方向一致時(shí)，入射光在光纖內(nèi)傳輸時(shí)能保持其線偏振特性。假如入射光是沿

11、光纖的一個(gè)主軸方向偏振的(比如選擇x軸)，光纖基模HE11的場(chǎng)強(qiáng)近似為E(r,w)=xA(w)F(x,y)expi卩(w)z(2.7)J0(Kp),Pa0模分布F(x,y)較復(fù)雜，通常采用高斯形分布擬合：F(x,y)=exp-(x2+y2)/2(2.9)2.非線性脈沖傳輸方程光纖中大多數(shù)非線性效應(yīng)的研究涉及到脈寬范圍為l0nsl0fs的短脈沖的應(yīng)用。當(dāng)這樣的光脈沖在光纖內(nèi)傳輸時(shí)，色散和非線性效應(yīng)將影響其形狀和頻譜。本節(jié)將推導(dǎo)光脈沖在非線性色散光纖中傳輸?shù)幕痉匠?。波?dòng)方程(2.1)可寫成如下形式WE-d2E-1c2dt2NL(2.10)加為解方程(2.10)，需做幾個(gè)假設(shè)來(lái)簡(jiǎn)化之：把PNL處理

12、成PL的微擾，實(shí)際上，折射率的非線性變化小于10-6;假定光場(chǎng)沿光纖長(zhǎng)度方向其偏振態(tài)不變，因而其標(biāo)量近似有效，事實(shí)并非如此，除非采用保偏光纖，但這種近似非常有效；假定光場(chǎng)是準(zhǔn)單色的，即對(duì)中心頻率為30的頻譜，其譜寬為,且厶W/301。因?yàn)?0約為1015Hz,這個(gè)假定對(duì)脈寬$0.1ps的脈沖是成立的。在慢變包絡(luò)近似下，把電場(chǎng)的快變化部分分開，寫成E(r,t)=1eE(r,t)exp(-it)+c.c.(2.11)2x0e為假定沿x方向偏振的光的單位偏振矢量，E(r,t)為時(shí)間的慢變化函數(shù)(相對(duì)于光周期)。類似地，可把極化強(qiáng)度分量PL，PNL表示成P(r,t)=1eP(r,t)exp(it)+c

13、.c.(2.12)L2xL0P(r,t)=eP(r,t)exp(it)+c.c.(2.13)線性極化分量PLP(r,t)=s卜XL0g2兀gNL2xNL0(1)(t-1)-E(r,t)expi(t-1)dt(2.14)XX0X(1)()-E(r,-)exp-i(-)tdXX00式中，E(r,3)為E(r,t)的傅里葉變換。假定非線性響應(yīng)是瞬時(shí)作用的，因而有P=(r,t)=%:E(r,t)E(r,t)E(r,t)(2.15)NL瞬時(shí)非線性響應(yīng)的假定相當(dāng)于忽略了分子振動(dòng)對(duì)X的影響(拉曼效應(yīng))。一般地說(shuō)，電子和原子核對(duì)光場(chǎng)的響應(yīng)都是非線性的，原子核的響應(yīng)應(yīng)比電子的響應(yīng)慢。對(duì)石英光纖，振動(dòng)或拉曼響應(yīng)在

14、60fs-70fs時(shí)間量級(jí)，這樣方程在脈寬大于lps時(shí)，基本有效。下一小節(jié)的討論將包括拉曼影響。把方程(2.11)代入(2.15)。發(fā)現(xiàn)PNL(r,t)有一項(xiàng)在30處振蕩，另一項(xiàng)在三次諧波330處振蕩，后一項(xiàng)由于需要相位匹配，在光纖中通常被忽略。利用方程(2.13)得出PNL(r,t)的表達(dá)式P(r,t)E(r,t)(2.16)NL0NL式中NL為介電常數(shù)的非線性部分，由下式給定3=%(3)1E(r,t)b(2.17)NL4xxxx為得到慢變化振幅E(r,t)的波動(dòng)方程，在頻域內(nèi)進(jìn)行推導(dǎo)更為方便，但一般是不可能的，因?yàn)镋nl對(duì)場(chǎng)強(qiáng)的依賴關(guān)系，方程(2.10)是非線性的。一種處理辦法是，在推導(dǎo)E

15、(r，t)波動(dòng)方程的過(guò)程中，把Enl處理成常量，這種方法從慢變包絡(luò)近似以及PNL的擾動(dòng)特性來(lái)看，可認(rèn)為是合理的。把方程(2.11)(2.13)代人(2.10)，傅里葉變換為E(r,330)：E(r,)e(r,tM(-g)tdt(2.18)g并滿足亥姆霍茲方程V2E(r,e)+)k2E(r,w)(2.19)0式中，k0=3/c，且(w)=1+%(1)(w)+(2.20)xxNL為介電常數(shù)，其非線性部分由式(2.17)給定?？捎媒殡姵?shù)定義折射率n(3)和吸收系數(shù)a(3)。然而，由于NL的緣故，n(3)ffa(3)都與場(chǎng)強(qiáng)有關(guān)，習(xí)慣上采用這樣的定義n=n+n|E|22&=a+a|E|2(2.21)

16、2可得出非線性折射率系數(shù)n2和雙光子吸收系數(shù)a23=Re(%)8nxxxx3w(X=024ncIm(%(3)(2.22)xxxx方程(2.19)可利用分離變量法求解。假定解的形式為E(r,w-w)=F(x,y)A(z,ww)exp(ipz)(2.23)000式中，A(z,3)是z的慢變函數(shù)，po是波數(shù)，它將在以后確定。方程(2.19)分離成兩個(gè)方程d2Fd2F+(w)k2p2F=0(2.24ab)dx2dy202iP+(P2p2)A=00Rz0在推導(dǎo)方程(2.24b)的過(guò)程中，由于假定A(z,3)為z的慢變化函數(shù)，因而忽略了其二階偏導(dǎo)數(shù)。利用上一節(jié)中用到過(guò)的類似的過(guò)程，通過(guò)光纖模式的本征方程(

17、2.24a)確定波數(shù)p。方程(2.24a)中的介電常數(shù)(3)近似為=(n+An)2un2+2nAn(2.25)式中，An為微擾，其表達(dá)式為.inAn=nIE|2+-(2.26)22k0方程(2.24a)可通過(guò)一階微擾理論求解。首先用n2代替求解方程，得到模分布函數(shù)F(x,y)和對(duì)應(yīng)的波數(shù)0(3)。對(duì)單模光纖，F(xiàn)(x,y)對(duì)應(yīng)由方程(2.8)或是由高斯近似(2.9)給出的光纖基模HE的模分布。然后對(duì)方程(2.24a)考慮的影響，根據(jù)一階微擾理論，不會(huì)影響模分布。然而，本征值0將變?yōu)橼喽?)+A卩(2.27)式中kJJAn|F(x,y)卩dxdy0Ap=s(2.28)JJ|F(x,y)|2dxd

18、ys這一步完成了最低階微擾PNL下方程(2.10)的形式解。利用方程(2.11)及(2.22),可得電場(chǎng)強(qiáng)度1E(r,t)=eF(x,y)A(z,t)expi(Pzot)+c.c.(2.29)2x00滿足方程(2.24b)的慢變振幅A(z,t)的傅里葉變換A(z,3-30)可表達(dá)為力A-=ip(o)+AppA(2.30)dz022這里，用到了方程(2.27)，把p-p近似為2P(卩-P)。此方程的物理意義很明000顯，即脈沖沿光纖傳輸時(shí)，其包絡(luò)內(nèi)的每一譜成分都得到一個(gè)與頻率和強(qiáng)度有關(guān)的相移。方程(2.30)的傅里葉逆變換給出了A(z，t)的傳輸方程。然而，很少能知道0(3)的準(zhǔn)確函數(shù)形式，為達(dá)

19、到這個(gè)目的，在頻率30處把0(3)展成泰勒級(jí)數(shù)11P(o)=P+(00)P+(00)2p+_(oo)3p+.(2.31)0012這里dnBd0n(2.32)0=00若譜寬厶330,則展開式中的三次項(xiàng)及更高次項(xiàng)通常被忽略，這些項(xiàng)的忽略與在方程(2.30)的推導(dǎo)過(guò)程中用到的準(zhǔn)單色假定是一致的。對(duì)某些特定的30值，若02=0(即在光纖的零色散波長(zhǎng)附近)，需考慮三次項(xiàng)。把式(2.31)代入式(2.30),利用1f(z,t)=Js(z,00)expi(00)td0(2.33)2兀s00做傅里葉變換的逆變換。在傅里葉變換中，用微分算符i(a/at)代替000得到g=-P1警-iP2塞+iAP-SIP項(xiàng)包括

20、了光纖的損耗及非線性效應(yīng)。利用方程(2.26)及(2.28)可導(dǎo)出，把它代入(2.34)可得里+卩色+1卩空dz1dt22dt2a+-A=iYIA|2A(2.35)式中，Y為非線性系數(shù)，定義為cAo(2.36)effAeff為有效纖芯截面。方程(2.35)描述了皮秒光脈沖在單模光纖內(nèi)的傳輸，它有時(shí)也稱為非線性薛定諤方程，因?yàn)樵谝欢ǖ臈l件下，它可以簡(jiǎn)化成非線性薛定諤方程。方程中的a反映了光纖的損耗，PP2反映了光纖的色散，Y則是考慮了光纖的非線性特性。總之，當(dāng)群速度色散(GVD)是由02引起時(shí)，脈沖包絡(luò)以群速度vg=l/01移動(dòng)。群速度色散參量02可正可負(fù)，由光波長(zhǎng)是大于還是小于光纖的零色散波長(zhǎng)

21、入D決定。標(biāo)準(zhǔn)光纖在可見(jiàn)光區(qū)02約為50ps2/km；而在入=1.55卩rn處變?yōu)?20ps2/km，且在1.3rn附近改變符號(hào)。3高階非線性效應(yīng)盡管傳輸方程(2.35)已成功地解釋了許多非線性效應(yīng)，但它仍然需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況來(lái)改進(jìn)。例如，方程(2.35)沒(méi)有包含像SRS,SBS那樣的受激非彈性散射。若入射脈沖的峰值功率超過(guò)其閾值，SRS，SBS就會(huì)把泵浦能量傳遞給與泵浦脈沖同向或反向共同傳輸?shù)乃雇锌怂姑}沖，通過(guò)拉曼或是布里淵增益及XPM,兩脈沖會(huì)相互作用。當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)不同波長(zhǎng)的脈沖(其頻率間隔大于單個(gè)脈沖譜寬)入射到光纖中，會(huì)發(fā)生類似的情形。光纖內(nèi)多脈沖的同時(shí)傳輸由一組與方程(2.35)相似、

22、包含了XPM及拉曼或布里淵增益的方程組來(lái)描述。方程(2.35)對(duì)脈寬小于lps的超短脈沖也需要改進(jìn)，這類脈沖的譜寬可與其載頻相當(dāng)，那么在推導(dǎo)(2.35)過(guò)程中的幾個(gè)近似就出問(wèn)題了。已證明最重要的限制是忽略了拉曼效應(yīng)。對(duì)譜寬大于0.1THz的脈沖，通過(guò)從同一脈沖的高頻分量轉(zhuǎn)移能量，其拉曼增益能放大其低頻分量，這種效應(yīng)有時(shí)被稱為脈沖內(nèi)拉曼散射。脈沖內(nèi)拉曼散射的結(jié)果是，脈沖在光纖內(nèi)傳輸過(guò)程中，脈沖頻譜移向紅光一側(cè)，這種現(xiàn)象稱為自頻移。這一結(jié)果的物理起源與拉曼響應(yīng)的延遲特性有關(guān)。在數(shù)學(xué)處理上，就是在方程(2.35)的推導(dǎo)過(guò)程中不能用方程(2.15)，而必須用非線性極化強(qiáng)度的一般形式。起點(diǎn)仍是波方程(2

23、.10)，非線性極化強(qiáng)度的一般形式描述很寬范圍的三階非線性現(xiàn)象，很多與目前討論的現(xiàn)象無(wú)關(guān)。例如，像三次諧波產(chǎn)生和四波混頻等，只有在適當(dāng)?shù)南辔黄ヅ錀l件滿足時(shí)才能發(fā)生的非線性現(xiàn)象。通過(guò)假設(shè)二階極化具有如下形式，可將非諧振的不相干的(強(qiáng)度有關(guān)的)非線性效應(yīng)包括進(jìn)去咒(tt,tt,tt)=%R(tt)8(tt)8(tt)(2.37)123123這樣考慮之后，并作一些合理的假定，對(duì)于脈寬5ps的光脈沖，同樣可以得到光脈沖在單模光纖內(nèi)的傳輸方程：dz2+Y|A|2A=0(2.38)其中有一個(gè)變換，是引入了以群速度Vg移動(dòng)的參考系：T二t-z/v=t卩zg1這個(gè)方程稱為非線性薛定諤方程(NLS)，是非線性科

24、學(xué)的一個(gè)基本方程。它包含光脈沖在光纖中傳輸時(shí)的損耗項(xiàng)、色散項(xiàng)和非線性項(xiàng)，是以下討論的基礎(chǔ)。三光脈沖在光纖中的色散1不同的傳輸區(qū)域在第二章中，得到了描述光脈沖在單模光纖內(nèi)傳輸?shù)腘LS方程，對(duì)脈寬大于5ps的脈沖，可由方程(2.38)描述理=i巴A+dz2Pd2A22dT2YIA|2A(3.1)式中，A為脈沖包絡(luò)的慢變振幅，T是隨脈沖以群速度vg移動(dòng)的參考系中的時(shí)間量度(T=t-z/vg)。方程(3.1)右邊的二項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)于光脈沖在光纖中傳輸時(shí)的吸收效應(yīng)、色散效應(yīng)和非線性效應(yīng)。根據(jù)入射脈沖的初始寬度T0和峰值功率P0，決定脈沖在光纖內(nèi)演變過(guò)程中是色散還是非線件效應(yīng)起主要作用。在此引入兩個(gè)稱為色散長(zhǎng)

25、度LD和非線性長(zhǎng)度Lnl的長(zhǎng)度量。根據(jù)LD,Lnl和光纖長(zhǎng)度L的相對(duì)大小，脈沖演變可分成四種不同的傳輸區(qū)。引入一個(gè)對(duì)初始脈寬T0歸一化的時(shí)間量T=T0(3.2)tz/vgT0同時(shí)，利用下面的定義，引入一歸一化振幅uA(z,T)=Jpe-Qz/2U(z,T)(3.3)式中，P0為入射脈沖的峰值功率，指數(shù)因子代表光纖的損耗。利用方程(3.1)-(3.3),U(Z,T)滿足方程i巴=sgn竺*IU|2U(3.4)dz2L氏2LTOC o 1-5 h zDNL式中，sgn(p2)=1，根據(jù)GVD參量02的符號(hào)確定，且T21L=-0L=(3.5)DIPINLYP20色散長(zhǎng)度LD和非線性長(zhǎng)度Lnl給出了沿

26、光纖長(zhǎng)L方向脈沖演變過(guò)程的長(zhǎng)度量，它說(shuō)明在此過(guò)程中色散或是非線性效應(yīng)哪個(gè)更重要。根據(jù)之間的相對(duì)大小，傳輸特性可分為四類:LLD、LLNL，色散和非線性效應(yīng)都不起重要作用。LLNL、LLD,GVD起主要作用，非線性效應(yīng)相對(duì)較弱。LLD、LLNL，非線性效應(yīng)起主要作用，GVD相對(duì)較弱。LLD、LLNL,色散和非線性效應(yīng)將共同起作用。2色散引起的脈沖展寬本節(jié)將通過(guò)令方程中的Y=0來(lái)考慮線性色散介質(zhì)中脈沖傳輸時(shí)的GVD效應(yīng)。如果根據(jù)方程定義歸一化振幅U(z,T)，則U(z,T)滿足線性偏微分方程i巴旦竺(3.6)dz2dT2利用傅里葉方法已經(jīng)解決了方程(3.6)的求解問(wèn)題。若U(z,3)是U(z,T)

27、的傅里葉變換，這樣，它滿足常微分方程.dU(z,)idz蟲2U(z,)(3.7)其解為U(z,=U(0,)e2映2z(3.8)式(3.8)表明，GVD改變了脈沖的每個(gè)頻譜分量的相位，且其改變量依賴于頻率及傳輸距離。盡管這種相位變化不會(huì)影響脈沖頻譜，但它卻能改變脈沖形狀。對(duì)其做傅里葉反變換，就可以得到方程(3.6)的通解U(z,T)二JsU(0,)exp(-P2z向T)d&(3.9)2兀一s22U(0,e)=JsU(0,T)exp(血T)dT(3.10)s考慮一個(gè)入射光場(chǎng)為高斯脈沖的情況U(0,T)=exp()(3.11)2T20通過(guò)(3.10)和(3.9)，得到沿光纖方向任一點(diǎn)z處的振幅U(z

28、,T)二(77養(yǎng)exp(莎加)(3-0202根據(jù)色散長(zhǎng)度的定義L二，上式高斯脈沖在傳輸過(guò)程中的寬度可寫出:D|P|2T(z)=T1+(z/L)2i/2(3.13)10D方程(3.13)表明，GVD展寬了脈沖，其展寬程度取決于色散長(zhǎng)度LD。對(duì)一給定長(zhǎng)度的光纖，由于短脈沖有較短的色散長(zhǎng)度LD，因而其展寬程度較大。在z=LD處，高斯脈沖的脈寬展寬廳倍。比較方程(3.11)和方程(3.12)可以看出，盡管入射脈沖是不帶啁啾的(無(wú)相位調(diào)制)，但經(jīng)光纖傳輸后的脈沖變成了啁啾脈沖，這一點(diǎn)通過(guò)把U(z,T)寫成下面的形式就能清楚地看出：U(z,T)=1U(z,T)lexpi(z,T)(3.14ab)(z,T)

29、=-聘畀l)T2+2arctan(:)D0D與時(shí)間有關(guān)的相位屮（z,T）隱含了中心頻率為3的脈沖從中心到兩側(cè)有不同的瞬時(shí)頻率，頻率差63恰好是時(shí)間的導(dǎo)數(shù)-別/dT（負(fù)號(hào)是由于方程（2.11）選用了exp(-i30t)5w(t)=-|T=2sgn(卩)(z/L)T2D-1+(z/L)2T2D0(3.15)方程（3.15）表明，脈沖的頻率變化是線性的，這稱為線性頻率啁啾。啁啾63的符號(hào)依賴于02的符號(hào)。在正常色散區(qū)（020），脈沖前沿（TvO）的63為負(fù)，向后沿63線性增大；而在反常色散區(qū)（0產(chǎn)0），則正好相反。由于GVD效應(yīng)，脈沖的不同頻率分量在光纖內(nèi)以略微不同的速度傳輸，因而色散所致脈沖展寬就

30、很好理解了。更準(zhǔn)確地說(shuō)，在正常色散區(qū)紅光分量較藍(lán)光分量傳輸?shù)每?，而在反常色散區(qū)則正好相反。僅當(dāng)所有的頻譜分量同時(shí)到達(dá)時(shí)，脈沖寬度才能保持不變。不同頻譜分量在傳輸過(guò)程中的任何延遲都將導(dǎo)致脈沖展寬。0800.205高斯脈沖因?yàn)樯⒍箤捤墓饷}沖的自相位調(diào)制根據(jù)方程(3.3)定義的歸一化振幅U(z,t),傳輸方程(3.4)在02=0的極限條件下變?yōu)?U=ieaz|U|2U(4.1)ozLNL式中，a代表光纖損耗，非線性長(zhǎng)度L=(P)-1(4.2)NL0式中，P0是峰值功率，Y由方程(2.36)給出，它與非線性折射率系數(shù)n2有關(guān)。用U=Vexp(i)做代換，并令方程兩邊的實(shí)部和虛部分別相等，則有NL譽(yù)

31、=0O0e-azNL=V2(4.3)OzLNL由于振幅V不隨光纖長(zhǎng)度L變化，直接對(duì)相位方程進(jìn)行積分，可以得到通解為U(L,T)二U(0,T)exp詢(L,T)(4.4)NL0(厶T)=1U(0,T)|2(L/L)(4.5)NLeffNL有限長(zhǎng)度L=1exp(-aL)/a(4.6)eff方程(4.4)表明，SPM產(chǎn)生隨光強(qiáng)變化的相位，但脈沖形狀保持不變。非線性相移0隨光纖長(zhǎng)度L的增大而增大。參量Lff為有效長(zhǎng)度，由于光纖的損耗,NLeff它比實(shí)際距離L要小。當(dāng)光纖無(wú)損耗時(shí)，即a=0，則Leff=L。最大相移0maxNL出現(xiàn)在脈沖的中心，即T=0處，因?yàn)閁是歸一化的，則|U(0,0)|=1.因而0

32、=L/L=yPL(4.7)maxeffNL0eff非線長(zhǎng)度的物理意義可從方程(4.7)看山，它是當(dāng)屮max=1時(shí)的有效傳輸距離。若取1.55波長(zhǎng)區(qū)非線性參量的典型值Y=2W-lkm-1，當(dāng)P=10mW時(shí)，LNL=50km；進(jìn)一步增大P0，LNL反而下降。SPM致頻譜展寬是0(L,T)與時(shí)間有關(guān)而引起的，它可以這樣來(lái)理解，瞬NL時(shí)變化的相位說(shuō)明光脈沖的中心頻率30與兩側(cè)有不同的瞬時(shí)光頻率，其差值為。0LQ血(T)=呂=(嚴(yán))芬|U(0,T)|2(4.8)oTLoTNL五一種特殊的光脈沖光孤子所謂孤子，是一種特殊形態(tài)的脈沖波，它在傳播過(guò)程中保持其形狀不變，而且相互碰撞以后并不影響各自的波形和傳播。

33、光纖可以支持孤子，在理論上當(dāng)光纖剛問(wèn)世的l970年即已解決，1980年實(shí)驗(yàn)證實(shí)了光孤子脈沖可以在光纖中長(zhǎng)距離傳輸。光孤子實(shí)際上就是非線性薛定諤方程的一個(gè)不彌散解。由于光孤子在傳播過(guò)程中可以保持其形狀不變，若采用光孤子作為信息載體，則可以從根本上克服色散對(duì)通信容量的制約，所以對(duì)光孤子傳輸?shù)难芯恳恢笔枪饫w光學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)。本節(jié)將介紹光纖中非線性薛定諤方程的孤子解、光孤子的傳輸特性以及光孤子通信中的主要概念。1.孤子方程和孤子解在上上節(jié)中，引進(jìn)了歸一化脈沖參量TOC o 1-5 h zAzTU二,g二,p二， HYPERLINK l bookmark211 衛(wèi)LTD0如果忽略光纖損耗，光信號(hào)脈沖包絡(luò)的

34、傳播方程可以寫成為.dU1d2Ui=sgn(p)-N21UI2U(5.1)Qg223t2這個(gè)方程就是非線性薛定諤方程。式中A7LyPT2N2=D=嚴(yán)(5.2)LIpINL2作變換YT2u-NU-廿1/2a(5.3)并取sgn(p2)為正，2方程(5.1)可寫成.du1d2ui+1u|2u=0(5.4)dg2dT2這時(shí)是在反常色散區(qū)考察光脈沖的傳播。上式就是孤子方程。在求解孤子方程時(shí)可用逆散射方法得到孤子解。在這里我們根據(jù)孤子概念用更為直接的方法得到基態(tài)孤子解。假設(shè)(5.4)式有孤子解。根據(jù)孤子定義，孤子脈沖在傳播過(guò)程中保持其形狀不變，因而無(wú)論在頻域還是在時(shí)域，z=0處的信號(hào)和z=L處的信號(hào)除了

35、一個(gè)與時(shí)間T無(wú)關(guān)的相移以外都是一樣的，即可以將孤子解寫成U(g,T)二V(t)exp詢化)(5.5)V(T)是一個(gè)與歸一化坐標(biāo)g無(wú)關(guān)的脈沖包絡(luò)函數(shù),(P(g)是一個(gè)只與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。將其代人(5.4)式可得1d2V2VdT2+1V|2=dQ(g)dg(5.6)按分離變量法，它們只能等于一個(gè)共同的常數(shù)K：以及(5.7)式的解為=K(5.7)dgd2V=2VK-21V|2V(5.8)dT2(g)二Kg(5.9)脈沖包絡(luò)函數(shù)是實(shí)函數(shù)，所以(5.8)式又可以寫成d2VdT2=2V(K-V2)兩邊同乘2(dV/dT)得ddVdV()2二4V(KV2)-dTdTdT對(duì)T積分dV()2二2KV2V4+

36、CdT由于V(T)是脈沖包絡(luò)函數(shù)，T=0是脈沖頂點(diǎn)，顯然丨T|-時(shí)V0、dV/dT=0,因而滿足此定解條件的常數(shù)C=0。另外假設(shè)包絡(luò)函數(shù)是歸一化的，即T=0時(shí)V=1、dV/dT=0,由此得到K=1/2，于是1e(g)-2g1-V2在上式右邊取“+”號(hào)（取“”號(hào)時(shí)得到同樣的結(jié)果）,則dVT=Jf1-V2作變換V=sint,則dV=costdt,于是dttt=J=Intansint2得噸二eT由三角函數(shù)關(guān)系2tan2sint=1+tan22可得到V=2=sech(T)1+e2c于得到基態(tài)孤子解U(g,t)=sech(T)exp(ig/2)(5.10)sech(x)函數(shù)(紅)和exp(-xA2)函數(shù)

37、(藍(lán))這意味著雙曲正割脈沖能在N=l條件下，在傳播過(guò)程中保持其脈沖形狀不變。上面求解基態(tài)孤子解的條件是N=l,即LyPT2D二0-二1LIpINL2就是存給定雙曲正割脈沖的寬度條件下，其峰值功率應(yīng)為IpI2yT203.11IpI2yT2FWHMTFWHM=1.76T0是脈沖的半高全寬。對(duì)于常規(guī)單模光纖，在1.55m波段，如果脈沖寬度在1ps左右，要形成基態(tài)孤子則要求脈沖峰值功率為數(shù)瓦，但脈沖寬度在l0ps左右時(shí)，脈沖峰值功率僅為數(shù)十毫瓦。如果采用色散位移光纖，假設(shè)其色散系數(shù)為一lps2/km，則對(duì)于10ps寬的脈沖，形成基態(tài)孤子僅需幾毫瓦的功率，可以由半導(dǎo)體激光器產(chǎn)生。如果在光纖輸入端，輸入雙

38、曲正割脈沖的幅度不為1，而是2、3等其他正整數(shù)，即u(0,T)=Nsech(T)(5.12)則將在光纖中產(chǎn)生高階孤子。高階孤子解無(wú)法采用求解基態(tài)孤子的方法求得，它必須采用求解非線性薛定諤方程的更一般方法，即所謂逆散射法。這里直接給出N=2,即二階孤子解u(g，工)=(5.13)4cosh(3)+3exp(i4g)cosh(t)expig/2cosh(4i)+4cosh(2t)+3cos(4g)(5.14)考查二階孤子，發(fā)現(xiàn)脈沖包絡(luò)|u(g,t)|2是以4g0=2n，即g0=n/2為周期的周期函數(shù)。即當(dāng)g0=n/2時(shí)，二階孤子恢復(fù)其初始形狀。三階及更高階的孤子的表達(dá)式更為復(fù)雜，但它們有一個(gè)共同特

39、點(diǎn)，就是高階孤子都以g0=n/2為周期。回到原來(lái)的坐標(biāo)系，高階孤子的周期為z=-L下圖給出了一個(gè)三階孤子在一個(gè)周期內(nèi)的演化過(guò)程。在傳播的初期，脈沖被壓縮，在z=0.25z0時(shí)脈沖變得最窄，此后在z=0.5zo處脈沖分裂成兩個(gè)脈沖，然后重復(fù)前半段過(guò)程，在z=z0時(shí)脈沖恢復(fù)其初始形狀。高階孤子形狀的演化過(guò)程在物理上可以這樣理解，在傳輸?shù)某跗冢捎贚d/LNl=N21，所以非線性即SPM起主導(dǎo)作用，光信號(hào)由于SPM有一個(gè)很大的正的頻率啁啾，脈沖前沿頻率紅移，而脈沖后沿頻率藍(lán)移，由于光纖處在反常色散區(qū)，所以脈沖波壓縮，在z=0.25zo時(shí)脈沖最窄。當(dāng)繼續(xù)前進(jìn)時(shí)，脈沖后沿將超過(guò)前沿，形成脈沖分裂，但在脈

40、沖變窄的同時(shí)，色散的作用將更加突出，線性色散的作用則是將脈沖展寬，在一個(gè)周期處脈沖恢復(fù)原來(lái)的形狀。三階孤子在一個(gè)周期內(nèi)的演化2.暗孤子在反常色散區(qū)，一個(gè)光脈沖如果其初始形狀為雙曲正割形，而且其峰值功率滿足(5.11)式的條件，將形成基態(tài)孤子，它是一個(gè)暗背景中的亮脈沖，因而可稱為亮孤子。在正常色散區(qū)(02)不可能形成亮孤子，但早在20世紀(jì)70年代就已發(fā)現(xiàn)，正常色散條件也可形成孤子，只不過(guò)它是亮背景下的暗點(diǎn)，因而稱為暗孤子。在020時(shí)，孤子方程為d2U2+1u|2u=0(5.15)與亮孤子類似，可以假設(shè)上式有形如u(g,t)=V(t)expK的形式解，其中K是一個(gè)常數(shù)，將其代人(5.15)式，可以

41、得到V(t)的常微分方程d2V=2VK-V3(5.16)dt2這個(gè)方程的通解為丄Au(g,t)=AB-2sech(At)bexp帥(t)+i(0)2g(5.17)00B式中A2丄匕t=At+o(1B2)2g0B(t)=sin-1Btanh(T)/(1-B2sech2(t)2AO和B是兩個(gè)積分常數(shù)。暗孤子是亮背景下的暗點(diǎn)，A0即為表示背景亮度的參量，而B則為表示暗點(diǎn)中心凹限深度的參量，也可稱為黑度參數(shù)，而且BW1。如果B=l，貝V(5.17)式成為u(g,t)二Atanh(At)exp(iAg)(5.18)OOOB=1確定的暗孤子，在其中心t=O處，強(qiáng)度為零，即中心處它是全“黑”的，所以又稱黑孤

42、子。而Bl時(shí)，脈沖中心處強(qiáng)度不為零，有時(shí)又稱這種孤子為灰孤子。方程(5.17)描述了一個(gè)暗孤子族。如果暗孤子族的脈寬相等，則其背景亮度不一樣。如果令A(yù)0=B,則所有灰孤子背景亮度一樣，但其寬度隨B變化，下圖給出了背景亮度相同，但B不一樣的幾種暗孤子的相對(duì)強(qiáng)度。圖具有不同黑度參數(shù)的暗孤子在(5.16)式中令A(yù)0=l，B=l，得到基態(tài)暗孤子u(g,t)=tanh(T)exp(ig)(5.19)也就是說(shuō)，如果在正常色散光纖中輸入一個(gè)中心凹限的雙曲正切脈沖，而且滿足N=1的條件，則此脈沖將在光纖中無(wú)形變傳輸。近年的數(shù)值仿真表明，暗孤子在存在噪聲和光纖損耗條件下，孤子脈沖展寬得更慢。正是由于暗孤子的這些

43、優(yōu)異的傳輸特性，使得它在光通信中的潛在應(yīng)用價(jià)值成為研究熱點(diǎn)。但其在通信中的實(shí)際應(yīng)用恐怕尚待時(shí)日，所以后面主要研究亮孤子的傳播及應(yīng)用。3.基態(tài)光孤子的傳播特性基態(tài)光孤子作為信息的傳輸載體具有優(yōu)異的性能，這早已為人們所認(rèn)識(shí)。但真正要將基態(tài)孤子作為信息載體，發(fā)展孤子通信技術(shù)，還必須對(duì)孤子的傳輸特性進(jìn)行深入研究。光孤子的特性主要包括如下幾個(gè)方面。.孤子的穩(wěn)定性問(wèn)題從前面的討論可知，孤子形成條件是苛刻的。其輸入脈沖波形必須是雙曲正割形，而且峰值功率及脈沖寬度應(yīng)滿足N=1的條件。問(wèn)題是，如果這些條件有一些偏差，會(huì)出現(xiàn)什么情況？如果在傳播過(guò)程中這些偏差導(dǎo)致孤子脈沖距理想狀態(tài)越來(lái)越遠(yuǎn)，則孤子是不穩(wěn)定的。如果傳

44、播過(guò)程孤子脈沖會(huì)調(diào)整自己的狀態(tài)向理想孤子狀態(tài)靠近，則孤子是穩(wěn)定的?？紤]入射光脈沖為高斯脈沖的情形如果脈沖的形狀不是雙曲正割的，而是別的形狀，例如注入高斯脈沖，情形又如何呢？這可在孤子方程給定初始條件T2u（0，T）=exp（-M然后用數(shù)值方法求解孤子方程，在前面已解得N=1時(shí)高斯脈沖在反常色散光纖中的演化情況，如圖所示。高斯脈沖在反常色散光纖中演化為孤子脈沖由圖可見(jiàn)在傳播過(guò)程中，脈沖變寬，其形狀向雙曲正割函數(shù)演變。數(shù)值計(jì)算表明，大約在Z=5LD時(shí)，高斯脈沖在N=1條件下會(huì)演化為孤子脈沖。其他形狀的脈沖，如超高斯脈沖也有類似的演化過(guò)程。從上面的討論可知，當(dāng)孤子形成的條件有偏差時(shí)，脈沖在傳播過(guò)程中

45、會(huì)向孤子這種穩(wěn)定狀態(tài)演化，或者說(shuō)孤子的形成條件是一個(gè)對(duì)微擾不敏感的條件，這就為孤子的應(yīng)用提供了良好的基礎(chǔ)。盡管如此，在實(shí)際應(yīng)用光孤子作為信息載體注入光纖時(shí)，還是應(yīng)盡量接近孤子狀態(tài)。這是因?yàn)榉枪伦訝顟B(tài)在向孤子狀態(tài)轉(zhuǎn)化過(guò)程中，伴隨著能量的損失，初始脈沖的一部分能量將以耗散波的形式離開孤子脈沖。光纖損耗的影響基態(tài)孤子是光纖中的色散和非線性在特定條件下相互達(dá)到平衡的產(chǎn)物。為了維持孤子的特性，孤子脈沖的峰值功率應(yīng)始終保持不變，否則在傳播過(guò)程中孤子脈沖峰值功率將按指數(shù)規(guī)律下降。由于脈沖峰值功率的下降，必然導(dǎo)致傳播過(guò)程中脈沖的形變。在有損耗的情形下，非線性薛定諤方程應(yīng)存在一個(gè)損耗項(xiàng)，即.dU1d2Uii+N

46、21UI2U=aLU(5.20)淹2St22d令N=1,u=NU=U，則得到Su1S2ui+1uI2u=iTu(5.21)庵2St2式中=aLD/2是歸一化的衰減系數(shù)。如果僅是一個(gè)弱微擾，即在損耗很小的情形下，則(5.21)式仍可用逆散射法求解。如果輸入孤子脈沖u(0,T)=sech(T)，則(5.21)式的一階近似解為u(g,t)二usech(ut)exp(i(g)(5.22)11式中U=exp(2Tg)=exp(az)0(g)=Q-exp(4Tg)8T這說(shuō)明在存在損耗的條件下，輸入理想的孤子脈沖以后，其幅度將按指數(shù)規(guī)律衰減，脈沖寬度則為T=Texp(2Tg)=Texp(az)(5.23)1

47、0即脈沖寬度按指數(shù)規(guī)律展寬。但這種指數(shù)規(guī)律的展寬不可持續(xù)很長(zhǎng)的距離，當(dāng)z較大時(shí)，脈寬將遵從線性色散條件下的線性規(guī)律展寬。為了補(bǔ)償光纖的損耗引起的孤子脈沖展寬，必須在傳播過(guò)程中為孤子脈沖補(bǔ)充能量，以便恢復(fù)其脈沖形狀。目前由于光放大技術(shù)已趨成熟，所以為光孤子補(bǔ)充能量在技術(shù)上已無(wú)問(wèn)題。用光放大器放大光孤子脈沖，既可以采用拉曼光纖放大器，也可以采用摻鉺光纖放大器。前者是分布式光纖放大器，可以對(duì)光脈沖連續(xù)放大。就維持孤子脈沖形狀不變考慮，這是一種十分合適的放大方式。但拉曼放大器需要中心波長(zhǎng)在1.45pm左右輸出數(shù)百mW的泵浦激光器，這為在通信中大量應(yīng)用增加了困難。摻鉺光纖放大器(EDFA)是集總放大器，由于其優(yōu)異的