1、 單自由度無阻尼自由振動的系統(tǒng)分析在結(jié)構(gòu)動力學(xué)之中，單自由度體系的振動是最簡單的振動，但單自由度體系的頻率計算在結(jié)構(gòu)動力學(xué)計算中有著十分重要的意義，因為從中我們能得到關(guān)于振動理論的一些最基本的概念和分析方法同時也為更復(fù)雜的多質(zhì)點多自由度體系振動問題奠定基礎(chǔ)，同時現(xiàn)實工程中也有許多振動問題可以簡化為單自由度問題近似的利用單自由度振動理論去分析解決。在單層廠房、水塔等建筑物中得到有效的利用結(jié)構(gòu)的自由振動是指結(jié)構(gòu)受到擾動離開平衡位置后，不再受到任何外力影響的振動過程，此處動力系統(tǒng)是否有阻尼項，會直接影響到動力系統(tǒng)的反應(yīng)。在此,我們把自由振動分為無阻尼自由振動與有阻尼的自由振動。一、無阻尼自由系統(tǒng)的振

2、動分析問X目前，以彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)為力學(xué)模型，研究單自由度系統(tǒng)的振動具有非常普遍的實際意義，因為工程中許多問題簡化后，用單自由度體系的振動理論就能得到很好的解決。而對多自由度系統(tǒng)和連續(xù)振動，在特殊坐標(biāo)的考察時，也會顯示出與單自由度系統(tǒng)類似的振動。進(jìn)行無阻尼自由振動分析的主要目的是為了獲得系統(tǒng)固有振動的特性，只有充分地了解系統(tǒng)的自身振動特性才能有效的計算系統(tǒng)的動力響應(yīng)，目前在單質(zhì)點單自由度無阻尼自由振動體系中我們的運動方程為:mu(t)+ku(t)=0(1)或u(t)+u(t)=0(2)其中的3是振動圓頻率，是反應(yīng)系統(tǒng)動力的重要參數(shù)，其計算公式為:1k32=mom由上式可以看出，3只和系統(tǒng)的剛度及

3、質(zhì)量有關(guān)，而與系統(tǒng)所受到的初始受力狀態(tài)無關(guān)。3的量綱與角速度相同為rad/s，它反映了系統(tǒng)自由振動的快慢。自由振動系統(tǒng)的這一特性，我們在日常生活中司空見慣。比如，鍵盤類樂器標(biāo)定后，按動某一個琴鍵，不管你按動的輕重如何，琴鍵所發(fā)出的聲音的頻率是一定的，按得輕或按得重僅影響聲音的強弱。(4)(2)式經(jīng)過三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換可表示為:u(t)=Asin(3t+v)件有關(guān),其通解為u(t)=Acos+A2sinA1F0A2F0/常數(shù)A與A與初始條1一式(4)是標(biāo)準(zhǔn)的簡諧方程其中A是其振幅,則v是其初相角，他們的計算公式A=：X2+(二)2033xv=arctan.oXo對于質(zhì)點振動系統(tǒng)，質(zhì)量越大，則系統(tǒng)的固

4、有頻率越低；剛度越大，則系統(tǒng)的固有頻率越高。在實際工程中，這一規(guī)律在振動與噪聲控制中具有重要意義：通過改變系統(tǒng)的質(zhì)量或剛度，就可以改變系統(tǒng)的固有頻率，使之落于一定的頻帶范圍之外，從而保證在我們關(guān)心的頻帶范圍內(nèi)具有較小的振動或噪聲。二、有阻尼自由系統(tǒng)的振動分析在前面所述的自由振動中，我們略去了運動的阻力。因此振動過程中機械能守恒，系統(tǒng)保持持久的等幅振動。但實際系統(tǒng)振動時不可避免地存在阻力，因mgJ1r而在一定時間內(nèi)振動逐漸衰減直至停止。阻力有多種來源，例如兩個物體之間的干摩擦阻力、氣體或液體介質(zhì)的阻力、有潤滑劑的兩個面之間的摩擦力、由于材料的粘彈性而產(chǎn)生的內(nèi)部阻力等等。在振動中這些阻力統(tǒng)稱為阻尼

5、。其彈簧一質(zhì)量系統(tǒng)模型圖示如右圖，因為有考慮到阻尼的影響故其運動方程應(yīng)為：(5)或mu(t)+cU(t)+ku(t)=0u(t)+2pU(t)+o2u(t)=0其中2Eoc=m式是一個常系數(shù)齊次線性微分方程x2+2血x+o2=0（7）其通解為x=土oJE2-1由上可知，式（6）的解與g的大小有關(guān)。對于g可分為以下四種情況簡要討論：（1）臨界阻尼情況（g=1或C=2ms）在這種情況下特征方程的根是一對重根：X=-1、2式（6）的通解是U=eu0（l+ot）+U0t（8）在這種情況下系統(tǒng)不發(fā)生振動。臨界阻尼就是不產(chǎn)生振動的最小阻尼。（2）超阻尼情況（g1或C2m）此特征根是兩個負(fù)實數(shù)。通解為U+E

6、oU7u（t）=e-Eotuchot+o.shot、0dOd（9）d式中Od=O&21，這種阻尼過大系統(tǒng)的運動是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運動。負(fù)阻尼情況(gVO或CV0)阻尼本來是消耗能量的，負(fù)阻尼則表示系統(tǒng)在不斷增加能量，這種情況下的運動是不穩(wěn)定的，其振幅會越來越大，知道系統(tǒng)振動失效破壞。低阻尼或小阻尼情況(gVl或CV2m)此時特征根是兩個復(fù)數(shù)，式(6)的通解為/、/U+u3.、u(t)=est(oosinet+ucoset)ed0d(10)d式中ed=eJlE2，由此可知，阻尼使系統(tǒng)自振頻率減小，亦即使系統(tǒng)自振周期增大。由上式可看出，阻尼式振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。理論計算和工程應(yīng)用中常采用阻尼

7、比g來表示結(jié)構(gòu)阻尼的大小，阻尼比g是阻尼系數(shù)和臨界阻尼的比值。在實際工程結(jié)構(gòu)中阻尼比g相對較小，最大阻尼比不超過0.20，因此實際工程結(jié)構(gòu)動力計算中常不計阻尼對自振圓頻率的影響，即3=3在我國相關(guān)結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中，對于鋼結(jié)構(gòu)阻尼比g取0.02,鋼筋混凝土d結(jié)構(gòu)阻尼比g取0.05。一般的耗能減震系統(tǒng)，加入阻尼器的動力系統(tǒng)阻尼比g一般為0.10-0.20。阻尼一般來源于材料變形的摩擦，結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦和結(jié)構(gòu)周圍外部介質(zhì)。關(guān)于阻尼力，根據(jù)不同的耗能機理，提出了不同的阻尼理論，其中主要有一下三種：1、粘性阻尼，該理論認(rèn)為阻尼力大小與速度成正比，方向與速度方向相反，也稱為粘滯阻尼，可表示為：FD(t)=

8、cu(t)其中F(t)為阻尼力，cDD為阻尼系數(shù)。2、復(fù)阻尼，又稱為結(jié)構(gòu)阻尼或材料阻尼，該理論認(rèn)為在簡諧振動中阻尼與位移成正比，其相位與速度相同，可表示為：Fd(t)=inku(t)n為復(fù)阻尼系數(shù)，k為勁度系數(shù)，復(fù)阻尼能很好地反應(yīng)材料內(nèi)摩擦的耗能機理，故應(yīng)用較多。3、摩擦阻尼，該理論認(rèn)為阻尼力就等于摩擦力，方向與速度方向相反，也一F(t)=卩NU(t)稱為干摩擦阻尼，可表示為：Du(t)口為摩擦系數(shù)，N為正壓力，摩擦阻尼一般應(yīng)用于摩擦力占主導(dǎo)地位的勁力系統(tǒng)中。由于自由振動反應(yīng)受阻尼比影響較大，阻尼比大的動力系統(tǒng)其自由振動的衰減快于阻尼比小的動力系統(tǒng)，由此，我們可以通過結(jié)構(gòu)的自由振動實驗來獲得結(jié)構(gòu)阻尼比，若設(shè)自由振動的相鄰周期的幅值為u和u，我們能從中計算對數(shù)衰ii