1、第 15 章 電 磁 感 應本章主要內(nèi)容15.1 Faraday電磁感應定律15.2 動生電動勢15.3 感生電動勢和感生電場15.4 互感15.5 自感15.6 磁場的能量第15章 電磁感應Oersted: 電流磁效應（1820）Faraday: 磁的電效應（1824-1831）電與磁之間的對稱性電流 磁場產(chǎn)生作用產(chǎn)生？第15章 電磁感應15.1 Faraday電磁感應定律英國物理學家和化學家，電磁理論的創(chuàng)始人之一.他創(chuàng)造性地提出場的思想，最早引入磁場這一名稱. 1831年發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象，后又相繼發(fā)現(xiàn)電解定律，物質(zhì)的抗磁性和順磁性，及光的偏振面在磁場中的旋轉.法拉第（Michael Far

2、aday, 17911867）一 電磁感應現(xiàn)象 當穿過閉合回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生感應電動勢，且感應電動勢正比于磁通量對時間變化率的負值.二 電磁感應定律國際單位制韋 伯伏 特（1）閉合回路由 N 匝密繞線圈組成 磁通匝數(shù)（磁鏈）（2）若閉合回路的電阻為 R ，感應電流為說明： 應用定律中的約定處理 的方向或 增大或 減小 1）先選定一回路的繞行方向：電動勢方向與繞行方向一致時為正； 2）當磁力線方向與繞行方向成右手螺旋關系時，磁通量為正。15.1 Faraday電磁感應定律 感應電動勢的方向與回路取向相反 與回路成右螺旋NS磁鐵由下而上運動NS三 楞次定律 閉合的導線回路

3、中所出現(xiàn)的感應電流，總是使它自己所激發(fā)的磁場反抗任何引發(fā)電磁感應的原因（反抗相對運動、磁場變化或線圈變形等）.NS用楞次定律判斷感應電流方向NS 楞次定律是能量守恒定律的一種表現(xiàn) 維持滑桿運動必須外加一力，此過程為外力克服安培力作功轉化為焦耳熱.機械能焦耳熱例如 例 在勻強磁場中，置有面積為 S 的可繞 軸轉動的N 匝線圈. 若線圈以角速度 作勻速轉動. 求線圈中的感應電動勢.解設 時,與 同向 , 則令則交流電例2 直導線通交流電，置于磁導率為 的介質(zhì)中，求：與其共面的N匝矩形回路中的感應電動勢。已知，其中I0 和 是大于零的常數(shù)。解：設當I 0時，電流方向如圖設回路L方向如圖建坐標系Ox如

4、圖在任意坐標處取一面元交變的電動勢15.2 動生電動勢 （1）穩(wěn)恒磁場中的導體運動 ，或者回路面積變化、取向變化等 動生電動勢 （2）導體不動，磁場變化 感生電動勢引起磁通量變化的原因 電動勢+-I 閉合電路的總電動勢 : 非靜電力的電場強度. OP動生電動勢動生電動勢的非靜電力場來源 洛倫茲力- -+ +平衡時設桿長為 OP- -+ +解 根據(jù)楞次定律，判斷感應電動勢的方向 例1 一長為 的銅棒在磁感強度為 的均勻磁場中，以角速度 在與磁場方向垂直的平面上繞棒的一端轉動，求銅棒兩端的感應電動勢. OP 方向 O P OP 方向 O P例2 在空間均勻的磁場中 ，導線ab繞Z軸以 勻速旋轉，導

5、線ab與Z軸夾角為，設 。求：導線ab中的電動勢。解：建坐標如圖。在距a點 處取 ，其旋轉半徑為 。方向從 a b 例3 一導線矩形框的平面與磁感強度為 的均勻磁場相垂直.在此矩形框上，有一質(zhì)量為 長為 的可移動的細導體棒 ； 矩形框還接有一個電阻 ，其值較之導線的電阻值要大得很多. 開始時，細導體棒以速度 沿如圖所示的矩形框運動，試求棒的速率隨時間變化的函數(shù)關系. +方向沿 軸反向解如圖建立坐標棒中且由+則 例 4 圓盤發(fā)電機 ，一半徑為R1的銅薄圓盤，以角速率 ，繞通過盤心垂直的金屬軸 O轉動 ，軸的半徑為R2，圓盤放在磁感強度為 的均勻磁場中， 的方向亦與盤面垂直. 有兩個集電刷a，b分

6、別與圓盤的邊緣和轉軸相連. 試計算它們之間的電勢差，并指出何處的電勢較高. .解因為 ，所以不 計圓盤厚度.如圖取線元圓盤邊緣的電勢高于中心轉軸的電勢.15.3 感生電動勢和 感生電場一 感生電動勢 產(chǎn)生感生電動勢的 非靜電場 感生電場 麥克斯韋假設 變化的磁場在其周圍空間激發(fā)一種電場感生電場 .閉合回路中的感生電動勢其中S是以L為邊界的任意面積總電場 滿足：又感生電場也稱渦旋電場。15.3 感生電動勢和感生電場感生電場靜電場非保守場保守場由變化的磁場產(chǎn)生由電荷產(chǎn)生感生電場和靜電場的對比特殊情況下感生電場的計算設場點距軸心為r，根據(jù)對稱性，取以對稱軸為中心，過場點的圓周環(huán)路L，則空間均勻的磁場

7、限制在半徑為R的圓柱內(nèi)， 的方向平行柱軸，且有 ， 求 的分布。由對稱性分析得 線如圖（c 0）15.3 感生電動勢和感生電場例1 空間均勻的磁場限制在半徑為R的圓柱內(nèi)， 的方向平行柱軸，且有 ， 今有一 長度為R的金屬棒與磁場垂直放置，一端在磁場區(qū)的邊緣，另一端伸出磁場區(qū)域之外。在磁場區(qū)內(nèi)、外的長度均為 R。求金屬棒中的感應電動勢。 感生電場的方向沿同心圓的切向，并指向逆時針方向；大小：解：方法一先求 ，再用積分求感生電動勢。方法二作輔助回路求，再用Faraday電磁感應定律。連接Oa和Oc，得回路Oabc，取逆時針為回路正方向。方向為 ， c 點電勢高。例2. 在長直電流I旁放一與之共面的

8、直角三角形ABC。平行于直電流的AC邊長為b，垂直于直電流的BC邊長為a，斜邊AB長為c，如上圖所示。若線圈以速度v垂直于直電流向右平移，求B端點與直電流相距為d時，三角線圈內(nèi)感應電動勢的大小和方向。解：建立坐標如圖，原點在長直電流導線上，則斜邊方程為y=(bx a)(br a)，其中取t瞬時線圈左端距直電流為r(圖中瞬時r=d)。則磁通量為 感應電動勢的方向為：順時針繞向 （感應電流產(chǎn)生的磁場阻止線圈磁通減少）討論：因電流強度I不隨時間變化，則周圍的磁場也不變化，線圈中的感應電動勢是由于其相對于磁場的運動而產(chǎn)生，特稱之為動生電動勢若本題中的電流強度 I=Iocost，則t瞬時磁通量仍為上式，

9、式中I=I(t)，r= r(t)。 上式中的第一項是將位置變量r視為常量，電流強度I作為變量(磁場變化)，對時間求導所得；相當于在靜止回路中,因磁場的變化而產(chǎn)生的電動勢,稱之為感生電動勢。第二項是將電流強度I視為常量(磁場不變)，位置r作為變量，對時間求導所得；相當于在不變的磁場內(nèi)，運動的導體中產(chǎn)生的電動勢，稱之為動生電動勢。在最后一步中代入了關系 I=Iocost，r=d，dr d t=v。例3. 一長直導線中通有直流電流I，旁邊有一與它共面的矩形線圈，長為l，寬為(b-a)，線圈共有N匝，以速度v離開直導線。求線圈中的感應電動勢的大小和方向。解法一：用法拉第定律計算。直導線產(chǎn)生的磁感強度為

10、bavIABCDlb+vta+vtvIABCDO線圈中的總磁通量線圈內(nèi)的感應電動勢為解法二：用“ 切割磁感線” 的概念計算其方向為的方向，即由B指向A。其方向由C指向D。每匝線圈中的動生電動勢為線圈中總的動生電動勢為方向為順時針方向。從上述解題中看到：對于磁場不變而線圈運動這種情況，用“ 切割磁感線”的解法比較簡單。 對于習題冊中的20.18，只需把本例題中電流強度I=Iosint 帶入，而線框的寬度由b-a改為b，則相應的積分上下限分別為a+vt和a+b+vt，即線圈中的感應電動勢為例4. 金屬桿AOC以恒定速度v在均勻磁場B中垂直于磁場方向運動，已知AO=OC=L，求桿中的動生電動勢。解：

11、金屬桿在磁場中運動，切割磁感線，產(chǎn)生動生電動勢AO段產(chǎn)生的動生電動勢為OC段產(chǎn)生的動生電動勢為金屬桿中的動生電動勢為其方向為由O指向C。AOCv例5. 如圖所示，一長直導線中通有電流I=10A，在其附近有一長l=0.2m的金屬棒AB，以v=2m/s的速度平行于長直導線作勻速運動，如棒的近導線的一端距離導線d=0.1m，求金屬棒中的動生電動勢。解 由于金屬棒處在通電導線的非均勻磁場中，因此必須將金屬棒分成很多長度元dx，這樣在每一個dx處的磁場可以看作是均勻的，其磁感應強度的大小為IlvxdxABdi的指向是從B到A的，也就是A點的電勢比B點的高。由于所有長度元上產(chǎn)生的動生電動勢的方向都是相同的

12、，所以金屬棒中的總電動勢為式中x為長度元dx與長直導線之間的距離。根據(jù)動生電動勢的公式，可知dx小段上的動生電動勢為15.4 互 感 互感電動勢 互感 在 電流回路中所產(chǎn)生的磁通量 在 電流回路 中所產(chǎn)生的磁通量 7/27/2022（1 ）互感系數(shù) 注意 互感僅與兩個線圈形狀、大小、匝數(shù)、相對位置以及周圍的磁介質(zhì)有關. 互感系數(shù)問：下列幾種情況互感是否變化？ （1）線框平行直導線移動； （2）線框垂直于直導線移動； （3）線框繞 OC 軸轉動； （4）直導線中電流變化.OC（2）互感電動勢 例1 兩同軸長直密繞螺線管的互感 有兩個長度均為l，半徑分別為r1和r2（ r1 a) 的大線圈共面且同

13、心。固定大線圈，并在其中維持恒定電流 I，使小線圈繞其直徑以角速度 轉動，如圖所示。求：（1）小線圈中的電流；（2）為使小線圈保持勻角速度 轉動，需對它施加的力矩； （3）大線圈中的感應電動勢 。 解：（1）設小線圈感應電動勢的參考方向為逆時針，兩線圈法線夾角為，則（2）要保持小線圈勻速轉動，對線圈施加的力矩應等于它所受的磁力矩，即（3）例3 兩根足夠長、電阻忽略不計的直導線相距l(xiāng) ，下端連接在一起，它們構成的平面與水平面成 角。勻強磁場鉛直向上，大小為 B。一根質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒ab兩端恰好搭在平行導線上，并與導線垂直，如圖所示。開始時金屬棒靜止，此后由于重力的作用無摩擦地下滑。求此

14、后金屬棒中的感應電動勢隨時間的關系。水平面 解：因回路有感應電流，金屬棒下滑時要受到磁場的安培力作用，它阻礙金屬棒下滑的速度。 做受力分析：金屬棒下滑時的加速度在斜面內(nèi)，取在斜面向下為 x 軸方向。在 x 軸方向應用牛頓運動定律：其中例4. 均勻磁場B被限制在半徑R10cm的無限長圓柱空間內(nèi)，方向垂直紙面向里，取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如圖所示。設磁場以dB / dt =1T / s 的勻速率增加，已知 ，Oa = Ob =6cm ，求等腰梯形回路中感生電動勢的大小和方向解：由法拉第電磁感應定律有感生電動勢大小例5. 長直同軸電纜。已知R1、R2

15、，填充介質(zhì)均勻各向同性，電流在兩柱面上均勻分布。 求：（1）l 長段電纜Wm ；（ 2.）電纜的自感系數(shù)L解：法1 Hwm Wm L = 0 （ 其 他 ）R2R1rl I 0 （其他） 0 （ 其 他 ）解 法1 H wm Wm LR2R1rl I 解：法2 H B L WmdS= ldrl I 0 （ 其 他 ）例6. 一截面為矩形的螺線環(huán)，高為h，內(nèi)外半徑分別為a和b，環(huán)上均勻密繞N匝線圈。在環(huán)的軸線上有一條長直導線AB，如圖所示。求：(1)當螺線環(huán)導線中電流為I0時，螺線環(huán)儲存的磁場能量;解:(1)螺繞環(huán)電流為I0 時,內(nèi)部磁感應強度如何?磁能密度：磁場的能量（2）計算螺繞環(huán)的自感系數(shù)ahbr選擇環(huán)行體元dV如圖:dV=2 r hdr .場能即自感磁能環(huán)的導線中通以電流 i =I0- t 時,在環(huán)內(nèi)產(chǎn)生磁場 這個磁場穿過無限長導線所圍回路面積的磁通量方向向下.ahb (3)當螺線環(huán)導線中電流以 i= I0 - t 的規(guī)律隨時間變化時(I0, 均為大于零的常量),長直導線中感應電動勢的表達式及方向；(4)螺線環(huán)與長直導線間的互感系數(shù)。