1、 人教版第八章閱讀與思考的延伸與拓展 用矩陣解一次方程組 年級：七年級下 版本：人教版 單位：五大連池市第一中學(xué)校 執(zhí)教：李淑波一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容: 第八章閱讀與思考的延伸與拓展第二課時 2.內(nèi)容分析 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）一次方程組的古今表示及解法選學(xué)為書中的閱讀與思考。一般來說這樣的內(nèi)容老師和學(xué)生是忽略的。在教學(xué)時我讓學(xué)生自學(xué)了這部分內(nèi)容，在閱讀時有學(xué)生提出質(zhì)疑，方程組的系數(shù)和常數(shù)項可以寫成一個矩陣，可寫出這個矩陣有什么用？該不該把用矩陣解一次方程組的知識教給孩子。面對這個質(zhì)疑我思考了良久，畢竟矩陣的初等變換是高等數(shù)學(xué)范疇里的內(nèi)容，在初一這個階段讓學(xué)生接受這樣的一個知

2、識點會不會難度太大。但我知道矩陣的三種初等變換是和方程組的同解原理是一樣的，在這個學(xué)段給學(xué)生介紹矩陣解一次方程組既可以滿足學(xué)生對知識的渴求，也讓學(xué)生今后學(xué)習(xí)任何知識都是建立在基礎(chǔ)知識之上的，它是有根的，也培養(yǎng)學(xué)生對知識有一種溯本求源的精神，也想培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)自己的精神，于是我決定把用矩陣解一次方程組的方法教給孩子。二、目標(biāo)和重點、難點1.教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：（1）會用矩陣解簡單的一次方程組。 （2）理解矩陣在進行初等變換時的原理。過程與方法：因為這節(jié)課的內(nèi)容有一部分隸屬于高等數(shù)學(xué)的范疇，所以更多是讓學(xué)生觀察探究的過程，體會矩陣解一次方程組的優(yōu)勢。情感態(tài)度與價值觀：通過學(xué)生的觀察與嘗試，讓學(xué)生體

3、會數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生對知識有一種溯本求源的精神，培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)自己的精神。2.重點 會用矩陣解二元一次方程組和三元一次方程組。3.難點 用矩陣求一次方程組解時進行的初等變換三、課時安排：一課時四、教具學(xué)具準(zhǔn)備：交互式電子白板五、學(xué)情分析：七年級的學(xué)生對于數(shù)學(xué)的建模思想和轉(zhuǎn)化思想還是正在建立的過程中，只有在原有的模型基礎(chǔ)上逐漸剝繭抽絲幫學(xué)生建立新的模型。矩陣的初等變換隸屬于高等數(shù)學(xué)范疇里，是高等數(shù)學(xué)的常見工具，在初一這個階段讓學(xué)生接受這樣的一個知識點有難度。可矩陣的三種初等變換是和方程組的同解原理是一樣的，在這個學(xué)段給學(xué)生介紹矩陣解一次方程組既可以滿足學(xué)

4、生對知識的渴求，也讓學(xué)生任何高一級的知識都是建立在基礎(chǔ)知識之上的，它是有根的，也想培養(yǎng)學(xué)生以后對知識有一種溯本求源的精神，也想培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)自己的精神,體會數(shù)學(xué)無窮魅力!六、教學(xué)過程設(shè)計（一）立足教材，引出課題下列內(nèi)容出自教材107頁108頁一次方程組的古今表示及解法：設(shè)計意圖：因為我們要延伸的知識是由書中107頁-108頁一次方程組的古今表示及解法這部分閱讀內(nèi)容基礎(chǔ)上進行的，所以先把書中兩個比較重要的內(nèi)容呈現(xiàn)出來，引出今天的課題。（交互式電子白板進行展示。）（二）合學(xué)情，展示目標(biāo)1.會用矩陣解簡單的一次方程組。2.理解矩陣在進行初等變換時的原理。設(shè)計意圖：讓學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容做到心中有數(shù)。

5、（交互式電子白板進行展示。）（三）復(fù)習(xí)提問，溫故知新1.復(fù)習(xí)提問：我們學(xué)過的一次方程組有哪些？我們學(xué)過的解一次方程組的方法有哪些？2.作業(yè)反饋：解下列一次方程組：、設(shè)計意圖：讓學(xué)生對本節(jié)課相關(guān)知識進行回顧，為下一環(huán)節(jié)做好鋪墊。合作交流，探索新知 1.用加減法消元法展示方程組的解題過程。、解+得：得：化簡 得：把 代入得： 所以方程組的解為：設(shè)計意圖：讓學(xué)生最近發(fā)展區(qū)去生成新知識。（此環(huán)節(jié)用交互式電子版展示）2.歸納方程的同解原理交換方程組中任意一個方程的位置、方程組的解不變。方程組中任意一個方程的兩邊都乘以或除以同一個非零數(shù)，方程組的解不變。方程組中任意一個方程的兩邊都加上或減去方程組中的另一

6、個方程，方程的的解不變。3.把方程組轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的矩陣矩陣：像這樣把一次方程組未知數(shù)前面的系數(shù)和常數(shù)項按方程中的未知數(shù)的次序排成的表叫做矩陣。設(shè)計意圖：通過對學(xué)生進行一次方程組寫出對應(yīng)矩陣的訓(xùn)練為學(xué)生歸納總結(jié)矩陣的定義奠定基礎(chǔ)。在歸納定義時為了讓學(xué)生能理解起來容易一些，我采用了和書中相一致的詞語。4.例題講解 初等變換 設(shè)計意圖：通過師生的共同探索、研究，不僅讓學(xué)生能開闊學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的興趣，而且可以讓學(xué)生知道通過矩陣解一次方程組的基本思想。這里進行初等變換時選了一個三元一次方程組進行，就是想選擇一個中等難度的方程組進行變換，為下一環(huán)節(jié)二元一次方程組的獨立求解起到一個拋磚引玉的作用，同時讓

7、學(xué)生在完成當(dāng)堂訓(xùn)練不會覺得太困難。（由于變換時臨時性的情況會比較多，為了呈現(xiàn)變換的整個過程，這一環(huán)節(jié)用黑板進行展示。）（五）嘗試反饋，鞏固知識1.小試牛刀用矩陣解方程組設(shè)計意圖：有了前例的基礎(chǔ)，選擇一道相對簡單的一次方程讓學(xué)生進行初等變換，一是讓學(xué)生初步嘗試一下變換的過程，二是讓培養(yǎng)他們獨立分析問題、解決問題的能力。2.當(dāng)堂訓(xùn)練用矩陣解方程組師生活動：學(xué)生可以獨立進行，也可以通過同學(xué)間合作進行。學(xué)生做題過程中教師可以適當(dāng)點撥指導(dǎo)，后期的變換過程由師生共同完成。設(shè)計意圖：這道題的難度和例題比較相近，就是通過這道題的訓(xùn)練讓學(xué)生進一步體會矩陣在進行初等變換的一些技巧。（六）延伸拓展，培養(yǎng)能力用矩陣解

8、下列方程組學(xué)生活動：如果時間允許學(xué)生合作完成，如果時間緊張就把這個問題留作學(xué)生課后研究性作業(yè)。設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會用矩陣解一次方程組，當(dāng)未知數(shù)的個數(shù)越多，矩陣的作用就會更加明顯，優(yōu)勢就更大，大大提高了解題速度，也讓學(xué)生體會到解法技巧的重要性，體會數(shù)學(xué)無窮魅力!（七）歸納總結(jié)你收獲了什么? 1.用矩陣解一次方程組的時候一定要注意書寫矩陣時未知數(shù)的次序。2.矩陣在進行初等變換時一定要細(xì)心。設(shè)計意圖：這樣總結(jié)，既突出了本課重點，又突出了本節(jié)內(nèi)容中例題、習(xí)題的特點。使學(xué)生在以后解題時有很強的針對性（八）布置作業(yè)必做題：用矩陣解教材107頁的三元一次方程組選做題：用矩陣解教材106頁4題研究型作業(yè)：試情

9、況而定設(shè)計意圖：作業(yè)（一）是為了鞏固本節(jié)所學(xué)知識；作業(yè)（二）有稍有難度，學(xué)生寫矩陣時需要把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式；作業(yè)（三）如果課堂時間緊張延伸拓展的四元一次方程組做為學(xué)生一個研究性作業(yè)。（九）板書設(shè)計 矩陣 的初等變換過程教學(xué)反思： 佐藤學(xué)曾經(jīng)用三種比喻來形容教育研究的視角,他認(rèn)為:教育研究如同是用眼睛在觀察世界,不同的眼睛就代表不同的研究視角,最基本的三種視角是“飛鳥之眼”“蜻蜓之眼”“螞蟻之眼”。也有人說教學(xué)設(shè)計也需要三只慧眼。 一、對于教學(xué)內(nèi)容的總體設(shè)計 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）七年級下第八章107-108頁閱讀與思考內(nèi)容，是了解的內(nèi)容。對學(xué)生要求并不高。這篇短文展示了古代如何用

10、算籌圖表示和解多元一次方程組，然后對照現(xiàn)在學(xué)習(xí)的一次方程組的表示解法，聯(lián)系高等代數(shù)中有關(guān)矩陣的內(nèi)容，指出一次方程組的古今表示法與解法是一脈相承的。在對這個小閱讀在學(xué)習(xí)的時候有學(xué)生就問我：“老師一次方程組未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項是能用矩陣表示，書中說用矩陣可以解一次方程組，怎么解啊？”面對學(xué)生的渴求，我覺得有必要把這部分知識進行一下延伸，因為延伸的內(nèi)容書中沒有，所以讓學(xué)生自學(xué)不太可能，所以在教學(xué)設(shè)計的時候注重在原有基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生生成新知識。這樣就在復(fù)習(xí)三元一次方程組的解法時重點要把方程組的同解原理講解清楚，這樣在進行矩陣的初中變化時學(xué)生理解起來容易一些。在例題的選取上選了一個三元一次方程組，目的就是

11、想為學(xué)生下一環(huán)節(jié)學(xué)生獨立完成二元一次方程組做準(zhǔn)備，為學(xué)生當(dāng)堂訓(xùn)練中解三元一次方程組能順利進行做好鋪墊。這就應(yīng)該是佐藤學(xué)所說的“飛鳥之眼”。 二、教學(xué)設(shè)計的立意上遵循中觀 中觀設(shè)計就是選擇哪些內(nèi)容表現(xiàn)這節(jié)課的主題也就是核心問題。在設(shè)計突出上矩陣的初等變換和方程組的同解原理的一致性。矩陣的初等變換的本質(zhì)就是方程組的同解原理，為了更好的讓學(xué)生理解初等變換我設(shè)計了一個二元一次方程組解法回顧，便于歸納同解原理，為順利進行矩陣的初等變換做準(zhǔn)備。例題的解答我采用師生共同研究的方式進行，目的是讓學(xué)生對規(guī)范的解題過程進行搭建“腳手架”。練習(xí)選了一個二元一次方程組和一個三元的方程組目的是為鞏固所學(xué)內(nèi)容。練習(xí)結(jié)束設(shè)

12、計一道用矩陣解四元一次方程組，因為變換需要時間，另外學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)變換，可能還不熟練，這樣課堂時間會很緊張，如果時間不允許這道拓展題留到課后讓學(xué)生研究，也讓學(xué)生清楚當(dāng)未知數(shù)的個數(shù)越多，矩陣的作用就會更加明顯，優(yōu)勢就更大，大大提高了解題速度，也讓學(xué)生體會到解法技巧的重要性，體會數(shù)學(xué)無窮魅力!這就應(yīng)該是佐藤學(xué)所說的“蜻蜓之眼”。 三、立足學(xué)生，做好設(shè)計前的預(yù)設(shè)數(shù)學(xué)教材是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。教材的素材選擇會考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平和活動經(jīng)驗，對于教材中所提供是操作活動，哪些需要操作，如何操作，就應(yīng)該有更合理的設(shè)計，而不是亦步亦趨地照搬，照套教材。設(shè)計問題時，需要對學(xué)生思考可能存在的困難、可能回答問題的角度，教師如何根據(jù)可能情況進行引導(dǎo)等作出預(yù)設(shè)，如此將有助于我們審視所提問題是否適切，是否接近于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)等。同時還需要對各環(huán)節(jié)可能的教學(xué)用時進行預(yù)設(shè)，如此會有助于完美判斷教學(xué)設(shè)計及時間分配是否合理，從而減少預(yù)定教學(xué)計劃不能完成的可能性。這就應(yīng)該是佐藤學(xué)所說的“螞蟻之眼”。當(dāng)然在授課的過程中還存在很多不足，一是對學(xué)生的期許過高，學(xué)生基本的初等變換他能掌握，但要熟練不是一節(jié)課能完成的，不能快速完成嘗試反饋的內(nèi)容，能力拓展就沒有時間進行，這樣在設(shè)計上出現(xiàn)內(nèi)容過