1、四年級(jí)奧數(shù)春季班速算與巧算計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。在三年級(jí)已經(jīng)講過一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法。例 1 四年級(jí)一班第一小組有 10 名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)（分?jǐn)?shù)）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。求這 10 名同學(xué)的總分。分析與解：通常的做法是將這 10 個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無章，直接相加既繁且易錯(cuò)。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)

2、，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)”，比如以“80”作基準(zhǔn)，這 10 個(gè)數(shù)與 80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比 80 小。于是得到總和=8010（6-2-3311-8009809。實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與 80 的差逐一累加。為了清楚起見，將這一過程表示如下：通過口算，得到差數(shù)累加為 9，再加上 8010，就可口算出結(jié)果為 809。例 1 所用的方法叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。作為“基準(zhǔn)”的數(shù)（如例 1 的 80）叫做基準(zhǔn)數(shù)，各數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差的和叫做累計(jì)

3、差。由例 1 得到：總和數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)加數(shù)的個(gè)數(shù)+累計(jì)差，平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+累計(jì)差加數(shù)的個(gè)數(shù)。在使用基準(zhǔn)數(shù)法時(shí)，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)數(shù)，這樣才容易計(jì)算累計(jì)差。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。例 2 某農(nóng)場(chǎng)有 10 塊麥田，每塊的產(chǎn)量如下（：千克）：462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。求平均每塊麥田的產(chǎn)量。解：選基準(zhǔn)數(shù)為 450，則累計(jì)差=123073023211811251150，平均每塊產(chǎn)量=4505010455（千克）。答：平均每塊麥田的產(chǎn)量為 455 千克。熟知，如 7749（七七四

4、十九）。對(duì)于兩位數(shù)的平求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的九九表中已經(jīng)被方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了 1020 的平方，而 2199 的平方就不大熟悉了。有沒有什么竅門，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向介紹法湊整補(bǔ)零法。所謂湊整補(bǔ)零法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。下面通過例題來說明這一方法。例 3 求 292 和 822 的值。解：292=2929（291）（29-1）1230281840+1841。8228282（822）（822）22808446720+46724。由上例看出，因?yàn)?29 比 30 少 1，所以給 29“補(bǔ)”

5、1，這叫“補(bǔ)少”；因?yàn)?82 比 80 多 2，所以從 82 中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)相同數(shù)相乘，所以對(duì)其中一個(gè)數(shù)“移多補(bǔ)少”后，還需要在另一個(gè)數(shù)上“找齊”。本例中，給一個(gè) 29 補(bǔ) 1，就要給另一個(gè) 29 減 1；給一個(gè) 82 減了 2，就要給另一個(gè) 82 加上 2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的數(shù)的平方。由湊整補(bǔ)零法計(jì)算 352，得3535403052=1225。這與三年級(jí)學(xué)的個(gè)位數(shù)是 5 的數(shù)的平方的速算方法結(jié)果相同。這種方法不僅適用兩位數(shù)的平方值，也適用三位數(shù)或位數(shù)的平方值。例 4 求 9932 和 20042 的值。解：9932=993993（9937）（993-7）+7

6、210009864998600049986049。20042=20042004（2004-4）（2004+4）4220002008164016000164016016。下面，介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請(qǐng)看下面的算式：6646，7388，1944。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為 10。這類算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。例 5 8864？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到8864（808）（604）（808）60（808）480608608048480608068048480（6064）8480（6010）848（

7、61）100+84。于是，得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為 84；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為 10 的因數(shù)”的十位數(shù)加 1 的乘積，本例為 8（61）。例 6 7791？解：由例 3 的解法得到由上式看出，當(dāng)兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積是一位數(shù)時(shí)，應(yīng)在十位上補(bǔ)一個(gè) 0，本例為 7107。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算。練求下面 10 個(gè)數(shù)的總和：165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。農(nóng)業(yè)科研小組測(cè)定麥苗的生長(zhǎng)情況，量出 12 株麥苗的高度分別為（

8、：厘米）：26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。求這批麥苗的平均高度。3.某車間有 9 個(gè)工人加工零件，他們加工零件的個(gè)數(shù)分別為：68，91，84，75，78，81，83，72，79。他們共加工了多少個(gè)零件？計(jì)算：131610+1117121512161312。計(jì)算下列各題：（1）372； （2）532； （3）912；（4）682： （5）1082； （6）3972。計(jì)算下列各題：（1）7728；（2）6655；（3）3319；（4）8244；（5）3733；（6）4699。練1.1596。 2.26 厘米。3.711 個(gè)。 4.147。5.（1）1369；

9、 （2）2809； （3）8281；（4）4624； （5）11664； （6）157609。6.（1）2156； （2）3630； （3）627；（4）3608； （5）1221； （6）4554。速算與巧算（二）介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法。上一講兩個(gè)數(shù)之和等于 10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會(huì)遇到像 7278，2686 等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。7278 的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子稱為“頭相同、尾互補(bǔ)”型；2686 的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同

10、，這類式子稱為“頭互補(bǔ)、尾相同”型。計(jì)算這兩類題目，有非常簡(jiǎn)捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。例 1 （1）7674？ （2）3139？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7674（76）（70+4）（706）70（76）470706707046470（7064）6470（7010）647（7+1）10064。于是，得到下面的速算式：（2）與（1）類似到下面的速算式：由例 1 看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ) 0，如 1909），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）

11、的十位數(shù)與十位數(shù)加 1 的乘積?！巴a(bǔ)”速算法簡(jiǎn)單地說就是：積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭+1）”。在三年級(jí)時(shí)學(xué)到的 1515，2525，9595 的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。例 2 （1）7838？ （2）4363？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838（708）（308）（708）30（708）87030+8307088870308（3070）8873100810088（738）10088。于是，得到下面的速算式：（2）與（1）類似到下面的速算式：由例 2 看出，在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位

12、數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ) 0，如 3309），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)?！把a(bǔ)同”速算法簡(jiǎn)單地說就是：積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭+尾”。例 1 和例 2 介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？先將互補(bǔ)的概念推廣一下。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是 10，100，1000，時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)。如43 與 57 互補(bǔ)，99 與 1 互補(bǔ)，555 與 445 互補(bǔ)。在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時(shí)，這個(gè)算式就是“同補(bǔ)”型，即兩位數(shù)互補(bǔ)，77“頭相同，

13、尾互補(bǔ)”型。例如， 因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是23100，所以是“同補(bǔ)”型。又如等都是“同補(bǔ)”型。，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，等都是“補(bǔ)同”型。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例 1 的方法仍然適用。例 3 （1）702708=？ （2）17081792？解：（1）（2）計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，將“頭（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個(gè)互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是 n 位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后 2n 位，不足的位補(bǔ)“0”。在計(jì)算多位數(shù)的“補(bǔ)同”型乘法時(shí)，如果“補(bǔ)”與“同”，即“頭”

14、與“尾”的位數(shù)相同，那么例 2 的方法仍然適用（見例 4）；如果“補(bǔ)”與“同”的位數(shù)不相同，那么例 2 的方法不再適用，因?yàn)闆]有簡(jiǎn)捷實(shí)用的方法，所以就不再了。例 4 28657265？解：練習(xí) 2計(jì)算下列各題：1.6862；3.2787；5.4262；2.9397；4.7939；6.603607；7.693607； 8.40856085。速算與巧算（二）【經(jīng)典例題一】32525【思路導(dǎo)航】在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，商不變。32525=（3254）（254）=1300100=13【練一練 1】（1）45025（3）3500125（5）49500900（2）52525（4）1

15、0000625（6）9000225【經(jīng)典例題二】計(jì)算 2512548【思路導(dǎo)航】如果先把 25 與 4 相乘，可以得到 100，同時(shí)把 125 與 8 相乘，可以得到 1000；再把 100和 1000 相乘就可以了。運(yùn)用了乘法交換律和結(jié)合律。2512548=（254）（1258）=1001000=100000【練一練 2】（1）1251584（4）7516（2）2524（5）1252532（3）12516（6）25564125【經(jīng)典例題三】計(jì)算：（1）12534+12566【思路導(dǎo)航】利用乘法分配律來計(jì)算這兩題（1）12534+12566（2）4311+4336+4352+43（2）4311

16、+4336+4352+43=125（34+66）=125100=12500=43（11+36+52+1）=43100=4300【練一練 3】計(jì)算下面各題：（1）12564+12536（3）2173+2621+21（2）6445+6471-6416【經(jīng)典例題四】計(jì)算（1）（360+108）36（2）12+32+52+72【思路導(dǎo)航】?jī)蓚€(gè)數(shù)的和、差除以一個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去除這兩個(gè)數(shù)，再求出兩個(gè)商的和（差）。利用這一性質(zhì)，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。（1）（360+108）36=36036+10836=10+3=13（2）12+32+52+72=（1+3+5+7）2=162=8【練一練 4】（1）（720

17、+96）24（3）634221（2）（4500-90）45（4）881189（5）7336+10536+14636【經(jīng)典例題五】15861793（6）（10000-1000-100-10）10【思路導(dǎo)航】在乘除混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號(hào)，計(jì)算式可以根據(jù)運(yùn)算定律和性質(zhì)調(diào)換乘數(shù)或者除數(shù)的位置，只要計(jì)算：數(shù)字跟著前面的符號(hào)一起移動(dòng)。15861793=15879613=2613=366【練一練 5】計(jì)算下面各題：（1）238361195（3）624483128（2）138276950（4）406312104203【經(jīng)典例題六】計(jì)算下面各題：（1）1039616【思路導(dǎo)航】這兩道題都是乘除法混合運(yùn)算

18、，（2）200（254）可以根據(jù)這兩道題的特點(diǎn)，采用加括號(hào)和去括號(hào)的方法，使計(jì)算簡(jiǎn)便?？梢愿爬椋豪ㄌ?hào)前是乘號(hào)，加、去括號(hào)不，括號(hào)前是除號(hào)，田、去括號(hào)要。（1）1039616=103（9616）=1036=618（2）200（254）=200254=84=32【練一練 6】計(jì)算下面各題：（1）612366183（3）（13856）（456）（2）1000（1254）（4）241345678345（678241）【經(jīng)典例題七】計(jì)算：（1）6862（2）8585【思路導(dǎo)航】這兩題的形式叫做“頭同尾合十”它們的計(jì)算方法是：先用兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)相乘，并把積直接寫在末尾，如果積不滿 10，十位上要補(bǔ)寫

19、0，然后再將兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)乘它本身加 1 的和，積寫在兩個(gè)個(gè)位數(shù)積的前面。（1）6862第一步 82=16，第二步 6（6+1）=42，合起來是 4216（2）8585第一步 55=25，第二步是 8（8+1）=72，合起來是 7225【練一練 7】（1）2327（3）5555（2）4644（4）9199【經(jīng)典例題八】計(jì)算：2611【思路導(dǎo)航】一個(gè)兩位數(shù)乘 11的方法是：用兩位數(shù)的頭作積的頭，用兩位數(shù)的尾作積的尾，用這個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和作積的中間數(shù)（如果相加滿十，則把和的十位數(shù)“1”加到頭上。2611第一步 2 作積的頭，第二步 6 作積的尾，第三步 2+6=8 作中間，合起來是 286?！揪氁痪?8】計(jì)算（1）5311（3）6511（2）3911（4）9811【經(jīng)典例題九】計(jì)算：35811【思路導(dǎo)航】三位數(shù)乘 11，用三位數(shù)的頭作積的頭，用三位數(shù)的尾作積的尾，用