1、專(zhuān)題14 拋物線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、定直線(xiàn)問(wèn)題一、單選題1已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線(xiàn)，與分別交于，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（ ）ABCD2已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，且，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（ ）ABCD3已知曲線(xiàn)：，過(guò)它的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，弦的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，可證明是一個(gè)定值，則（ ）AB1C2D4已知拋物線(xiàn)，過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若常數(shù)，則常數(shù)的值是（ ）A1B2C3D45拋物線(xiàn)x22y與過(guò)點(diǎn)P(0，1)的直線(xiàn)l交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，如果OA與OB的斜率之和為1，則直線(xiàn)l的方程是()AY=x1BY=x1CY=x1DY=x16設(shè)點(diǎn)為拋

2、物線(xiàn)的焦點(diǎn)，三點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且四邊形為平行四邊形，若對(duì)角線(xiàn)（點(diǎn)在第一象限），則對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為ABCD7已知?jiǎng)狱c(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切.若存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）ABCD8已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)（ ）ABCD二、多選題9拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)且，直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)BCD若于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是圓10已知拋物線(xiàn)方程為，直線(xiàn)，點(diǎn)為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為AB，則以下選項(xiàng)正確的是（ ）A當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為B直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)C中點(diǎn)軌跡為拋物線(xiàn)D的面

3、積的最小值為11已知拋物線(xiàn)，過(guò)焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，以下結(jié)論正確的有（ ）A沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值BCDE.若直線(xiàn)l的傾斜角為，則12已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A拋物線(xiàn)方程為B直線(xiàn)的方程為CD三、填空題13經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交此拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)在，兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)必定在直線(xiàn)_上（寫(xiě)出此直線(xiàn)的方程）14已知點(diǎn)P為直線(xiàn)l：x2上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)y22px(p0)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2為定值，則該定值為_(kāi)15過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P(

4、4，4)作兩條直線(xiàn)PA，PB，且它們的斜率之積為定值4，則直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)_.16已知為拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，則的值為_(kāi)四、解答題17在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到x軸的距離大1.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)分別交曲線(xiàn)C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，且.證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).18設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率k的直線(xiàn)與交于A(yíng)，D兩點(diǎn)，.（1）求；（2）若在上，過(guò)點(diǎn)作的弦，若，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).19已知F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)且.（1）求C的方程.（2）若直線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，且

5、與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線(xiàn)上.20已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大1.（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)；若，求直線(xiàn)的方程；過(guò)兩點(diǎn)分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求證：的交點(diǎn)恒在一條定直線(xiàn)上.21在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)F(1，0)，D為直線(xiàn)l:x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作l的垂線(xiàn)，該垂線(xiàn)與線(xiàn)段DF的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)OP，OQ與直線(xiàn)x=1分別交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為點(diǎn)在上， （1）求;（2）過(guò)作兩條互相

6、垂直的直線(xiàn)，與交于兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，判斷是否為定值?若是，求出其值；若不是，說(shuō)明理由專(zhuān)題14 拋物線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、定直線(xiàn)問(wèn)題一、單選題1已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線(xiàn)，與分別交于，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（ ）ABCD【解析】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，解得：，則拋物線(xiàn)的方程為，由題意知：直線(xiàn)斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，則，解得：或；又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).故選：A.2已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率分別為，且，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（ ）ABCD【解析】設(shè)直線(xiàn)為,聯(lián)立,消去可得,設(shè),所以,因?yàn)?即,所以,所以,所以,所以直

7、線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn),故選:C3已知曲線(xiàn)：，過(guò)它的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于，兩點(diǎn)，弦的垂直平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，可證明是一個(gè)定值，則（ ）AB1C2D【解析】設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，代入整理得. 設(shè)，則，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，弦的垂直平分線(xiàn)方程為，令得，所以，又，顯然，即.故選：A.4已知拋物線(xiàn)，過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若常數(shù)，則常數(shù)的值是（ ）A1B2C3D4【解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為（為參數(shù)，是直線(xiàn)的傾斜角），代入拋物線(xiàn)方程得，此值與的取值無(wú)關(guān)，則，即故選：A5拋物線(xiàn)x22y與過(guò)點(diǎn)P(0，1)的直線(xiàn)l交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，如果OA與OB的斜率之和為1，則直線(xiàn)l的方程是()Ay=x1By=x1Cy=x1Dy=x1【解析

8、】由題意可得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，可得，和的斜率之和為，即，直線(xiàn)的方程為，故選C.6設(shè)點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，三點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且四邊形為平行四邊形，若對(duì)角線(xiàn)（點(diǎn)在第一象限），則對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為ABCD【解析】如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，.有，且.所以，所以，所以.對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，即.故選：B.7已知?jiǎng)狱c(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切.若存在定點(diǎn)，使得為定值，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）ABCD【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是線(xiàn)段的中點(diǎn)，又因?yàn)橐詾閳A心的圓過(guò)兩點(diǎn)，所以有，因此有，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以.

9、又因?yàn)橐詾閳A心的圓與直線(xiàn)相切，所以有，把、代入中，得：，化簡(jiǎn)得：，因此點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)，該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，由拋物線(xiàn)的定義可知：，所以有，由題意可知存在定點(diǎn)，使得當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值，因此一定有，此時(shí)定點(diǎn)是該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).故選：B.8已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)（ ）ABCD【解析】當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，所以直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)其方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以設(shè)，所以，解得或又因?yàn)閮牲c(diǎn)位于軸的兩側(cè)，所以聯(lián)立得，所以，即，所以直線(xiàn)的方程為，所以直線(xiàn)一定過(guò)點(diǎn)故選：A二、多選題9拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩

10、點(diǎn)且，直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)BCD若于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是圓【解析】由題意，若，則，即，又聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有，則，而，即，故過(guò)定點(diǎn)，A正確；若，由：，可得，則；由：，可得，則；，而且，故，B正確；，C錯(cuò)誤；在直線(xiàn)上，又過(guò)定點(diǎn)且，故在以為直徑的圓上，D正確；故選：ABD10已知拋物線(xiàn)方程為，直線(xiàn)，點(diǎn)為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為AB，則以下選項(xiàng)正確的是（ ）A當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為B直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)C中點(diǎn)軌跡為拋物線(xiàn)D的面積的最小值為【解析】，設(shè)，則，即，同理，都過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)，即，當(dāng)時(shí)，.故A正確；，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；聯(lián)立，消去得，中點(diǎn)坐標(biāo)為，故其

11、軌跡方程為，故C正確；，當(dāng)時(shí)，故D正確；故選：ACD11已知拋物線(xiàn)，過(guò)焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，以下結(jié)論正確的有（ ）A沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值 BC D【解析】由題意知，直線(xiàn)AB的斜率不可能為0，故可設(shè)其方程為，聯(lián)立，消去x，得，即選項(xiàng)C正確；由拋物線(xiàn)的定義知，即選項(xiàng)B正確；，有最小值，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；又，即選項(xiàng)D正確；故選：BCD.12已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)分別與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A拋物線(xiàn)方程為B直線(xiàn)的方程為CD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，所以，拋物線(xiàn)的方程為，故A錯(cuò)誤.設(shè)，則拋物線(xiàn)在，兩點(diǎn)處的切線(xiàn)方程分別為，根

12、據(jù)，化簡(jiǎn)可得，同理可得，因?yàn)閮芍本€(xiàn)均過(guò)點(diǎn)，所以，則點(diǎn)，均在直線(xiàn)上，所以直線(xiàn)的方程為，即，故B正確.聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得得，所以，所以，所以，故C正確.又，所以，所以，所以.故選：BCD.三、填空題13經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交此拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)在，兩點(diǎn)處的切線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)必定在直線(xiàn)_上（寫(xiě)出此直線(xiàn)的方程）【解析】拋物線(xiàn)中，焦點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)方程為，代入拋物線(xiàn)整理得，設(shè)，則，由得，過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)斜率為，切線(xiàn)方程為，即，同理過(guò)點(diǎn)切線(xiàn)方程為，兩式相除得，整理得，解得，所以點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)上故答案為：14已知點(diǎn)P為直線(xiàn)l：x2上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)y22px(p0)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，

13、B(x2，y2)，若x1x2為定值，則該定值為_(kāi)【解析】設(shè)過(guò)A(x1，y1)的切線(xiàn)方程為xmymy1x1由得y22pmy2pmy12px10，4p2m24×2p(my1x1)0，解得m因此切線(xiàn)方程為y1ypxpx1，同理，過(guò)B(x2，y2)的切線(xiàn)方程為y2ypxpx2，又兩切線(xiàn)的交點(diǎn)P在直線(xiàn)l：x2上，故設(shè)P(2，t)，則消去t得從而，化簡(jiǎn)得(x1x24)(x2x1)0，又x2x1不恒為0，故x1x240恒成立故x1x2為定值415過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P(4，4)作兩條直線(xiàn)PA，PB，且它們的斜率之積為定值4，則直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)_.【解析】設(shè)A，B，則kPA=，同理，kPB=，kAB=.因

14、為kPA·kPB=4，所以·=4，所以y1y2+4(y1+y2)+12=0.所以y1y2=-12-4(y1+y2).直線(xiàn)AB的方程為y-y1=，即(y1+y2)y-y1y2=4x.將y1y2=-12 -4(y1+y2)代入上式得:(y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(3,-4).16已知為拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線(xiàn)，直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，則的值為_(kāi)【解析】由題設(shè)，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，將它們聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，整理得，顯然，則，即由拋物線(xiàn)定義知：，整理得，顯然，則，即由拋物線(xiàn)定義知：，有，.四、解答題17在平面直

15、角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到x軸的距離大1.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)分別交曲線(xiàn)C于不同于N的A，B兩點(diǎn)，且.證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）解：由題意可知：，化簡(jiǎn)可得曲線(xiàn).（2）證明：由題意可知，是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，設(shè)，則，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)C的方程，解得，同理可得，而，又，由整理可得，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).18設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率k的直線(xiàn)與交于A(yíng)，D兩點(diǎn)，.（1）求；（2）若在上，過(guò)點(diǎn)作的弦，若，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意得，的方程為，設(shè)，由，得，故，所以，解得(舍)，.（2）因?yàn)樵谏?，所以，設(shè)直線(xiàn)的方程為，.聯(lián)立，得，由得

16、，.因?yàn)?，所?所以，又因?yàn)?，所以，所以或，所以?因?yàn)楹愠闪?，所以，所以直線(xiàn)的方程，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).19已知F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)與C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)且.（1）求C的方程.（2）若直線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線(xiàn)上.【解析】（1）解：設(shè)，由，得，則，從而，解得，故的方程為.（2）證明：設(shè)，.因?yàn)椋?根據(jù)得，則，同理得.又兩式相加得，即，由于，所以.故點(diǎn)在定直線(xiàn)上.20已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大1.（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）過(guò)作斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)；若，求直線(xiàn)的方程；過(guò)兩點(diǎn)分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，求證：的交點(diǎn)恒在一條定直線(xiàn)上.【解析】（1）設(shè)曲線(xiàn)上的點(diǎn)，由

17、題可知到的距離與到直線(xiàn)的距離相等，所以，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，的方程為：.（2）設(shè)：過(guò)的斜率為的直線(xiàn)方程為：，由消可得.令，由題可知：若，即，即得，消去，得：，所求直線(xiàn)的方程為：.證明由題知：，令，設(shè)與相交于點(diǎn).方程為：，方程為：，相減得：，代入相加得：，的交點(diǎn)恒在一條定直線(xiàn)上.21在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)F(1，0)，D為直線(xiàn)l:x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作l的垂線(xiàn)，該垂線(xiàn)與線(xiàn)段DF的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，記M的軌跡為C.（1）求C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于P，Q兩點(diǎn)，直線(xiàn)OP，OQ與直線(xiàn)x=1分別交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）連接，則，則根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)則點(diǎn)的軌跡的方程為（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立,整理得，直線(xiàn)的方程為，同理：直線(xiàn)的方程為，令得，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以圓的半徑為所以為直徑的圓的方程為展開(kāi)可得，令，可得，解得或所以以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和22已知