1、2022年高考重難點截面問題10類題型解題方法與技巧目錄一、十大題型精講【題型一】做截面的基本功：補全截面方法【題型二】截面形狀的判斷【題型三】平行關系確定截面【題型四】垂直關系確定的截面【題型五】求截面周長【題型六】求截面面積【題型七】球截面【題型八】截面分體積【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）【題型十】截面最值二、最新模擬試題精練一、十大題型精講【題型一】做截面的基本功：補全截面方法【典例分析】在長方體A5CD-A1叢GA中，A5=44i=2, AD=3,點E、F分別是A5、A4的中點，點E、F、Ge平面a,直線4。皿平面a=P，則直線8P與直線C5所成角的余弦值是解析：如圖，計算可得余弦

2、值是迪，故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律截面訓練基礎：模型：如下圖E、尸是幾等分點，不影響作圖.可以先默認為中點，等學生完全理解了，再改成任意等分點方法：兩點成線相交法或者平行法特征：1、三點中，有兩點連線在表面上.本題如下圖是EF （這類型的關鍵；2、“第三點”是在外棱上，如。，注意：此時合格。點特殊，在于它是幾何體頂點，實際上無論它在何 處，只要在棱上就可以.【變式演練】.如圖，在正方體ABCD A4GR中，M、M P分別是棱GR、AA、BC的中點，則經過M. N、P的平面與正方體ABC。-4B|GR相交形成的截面是一個（）A.三角形B.平面四邊形C.平面五邊形D.平面六邊形【分析】分別取 A

3、A、AB. GC 的中點尸、H、E,連接 M尸、FN、NH、HP、PE、EM、AC、NE、B,先證明、P、M、尸四點共面，再證明Nw平面"PM尸，Pe平面“PA"可得答案.【詳解】如圖，分別取A。、48、GC的中點F、H、E,連接Mb、FN、NH、HP、PE、EM、4G、AC、NE、AtB ,且 M、N、P 分別是棱 G。、AA, 8c 的中點，所以AG 尸M、HP!/AC,且4£4C,所以HP/FM ,即“、P、M、尸四點共面，因為AF8P, A,F=BP ,所以四邊形4FP8是平行四邊形，所以又因為 A/NH,得 NH/FP,且 FPu平面 HPMF, H w

4、平面 HPMF ,所以NH u平面HPMF ,得Ng平面HPMF ,因為MC/BH, MCi=BH ,所以四邊形是平行四邊形，所以GW/MH,又因為C|BEP,得MHIIEP,又MHu平面HPMF,26平面/，所以PEu平面"PW,得Ew平面HPMF,所以、P、E、M、F、N六點共面，平面六邊形"PEMFN即為經過M、N、P與正方體A5CO-44GA相交形成的截面，故選：D.2.如圖,在正方體ABC。-A&G2中，E是棱CG的中點，則過三點4、。1、E的截面過)A.A8中點B.8C中點C. CO中點D. BBi中點【分析】根據(jù)截面特點結合正方形結構性質求解.【詳解】

5、取3C的中點F,連接瓦AF，如圖,則 EF / ADt,所以尸在截面上, 故選：B3.如圖正方體ABC。-A與GQ ,棱長為1, P為BC中點,。為線段CG上的動點，過人P、。的平面截該正方體所得的截面記為。.若& =,則下列結論錯誤的是（）A.當九0,；）時，。為四邊形B.當/l = g時，Q為等腰梯形C.當卜寸，。為六邊形 D.當4 = 1時，。的面積為當【分析】根據(jù)題意，依次討論各選項，作出相應的截面，再判斷即可.【詳解】當0<之<1時，如下圖1,。是四邊形，故A正確；當/ =；時，如下圖2, Q為等腰梯形，B正確：3當:<2 <1時，如下圖3,。是五邊形

6、，C錯誤；4當；1 = 1時，。與C1重合，取的中點凡 連接A尸，如下圖4,由正方體的性質易得PCJIBMIIAF ,且花；=AF ,截面。為APG尸為菱形，其面積為工尸產=逅，D正確.212故選：c高中數(shù)學教研群QQ群號929518278精品資料每天更新【題型二】截面形狀的判斷【典例分析】一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有個內切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內部,且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截而，所得截面圖形是（）【分析】根據(jù)題意可知，該二棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中心，即可判斷出選項8正確.【詳解】如圖所示：因為三棱錐的各棱

7、長均相等，所以該三棱錐為正四面體,內切球與各面相切各個面的中心, 即可知過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面,所得截面圖形是.【提分秘籍】基本規(guī)律一些容易出錯誤的地方1 .截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面?zhèn)€數(shù).2 .不會與同一個表面有兩條交線.3 .與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）4 .截面截內切球或者外接球時，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關系關注微信公眾號：高斯課堂下載更多精品資料第8頁共66頁【變式演練】4.如圖，正四棱錐?一 ABC。的高為12, AB = 6五,E, F分別為F4, PC的中點，過點B, E,尸的截面交P。于點M,截面E3RW將四棱錐分成上下兩個部

8、分，規(guī)定B方為主視圖方 向，則幾何體CDA8-的俯視圖為（）戶'、/： 【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計算可知M點投影位置，即可得出答案.【詳解】研究平面OPB,設AC與8。的交點為。，BM與EF交點、為N、.E,尸為PA PC的中點，.N為PO的中點，PO = 2,：.ON = OB = 6,pn 12又因為 tan ZPDB = = = 2, OD 6過點M作MG _L 03 ,設 G8 = x,.Z/VBO = 45°, ：.GB = MG = x,又*;DB = 12, ：.DG = 2-x,rtan NPDB = 2,2-xx = GB - 8

9、,.OG為4個格，G8為8個格，故選：C【方法點評】研究并計算平面尸。8,確定點M在底面上的投影G的位置，是解題的關鍵.5 .用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（）A.直角三角形B.直角梯形C,正五邊形D.正六邊形【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，然后逐一 與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項.【詳解】當截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)直角梯形；當截面為五邊形時，不可能出現(xiàn)正五邊形; 截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形， 故選：ABC.6 .在正方體

10、AC；中，M為AB中點,N為BC中點,P為線段CQ上一動點（不含C）過“、N、P 與正方體的截面記為a ,則下面三個判斷，其中正確判斷的序號有.當尸為CG中點時，截面a為六邊形；CP 1當出5時，截面。為五邊形；當截面a為四邊形時，它一定是等腰梯形；【分析】延長MN交AO于M',交CD于N',延長NP交于T,取4。的中點S,連接MS交于P'，連接ACAG，結合圖形即可判斷；延長MN交49于AT,交CD于N',連接NQ交Cg于尸，連接交A4于戶，此時截面 a為五邊形，求出黑即可判斷；當截面a為四邊形時，點P與點G重合，判斷四邊形AMNC；的形狀即可.【詳解】如圖，

11、延長MN交A。于M',交CD于N',延長N'尸交GA于丁，取AA的中點S,連接MS 交 于 P，連接 AC，AG，因為M為A8中點，N為BC中點，所以"N/AC,同理 S77/AC ,又因 AC/AC，所以 ST7/MN,同理 SPPN,MP' "PT ,所以S,T,P,N,M, 共面，此時六邊形S7PNMP為截面a ,所以截面。為六邊形；故正確：如圖，延長MN交AO于M',交CO于N',連接NR交CG于尸，連接交于p,此 時截面a為五邊形因為CO/GA，所以 aCPN'saCFDi，CP CN' 1 CP 1

12、所以方=5，即記一§，所以當黑時，截面a為五邊形；故錯誤；當截面a為四邊形時，點P與點G重合，如圖，由得，MN/4G，所以四邊形即為截面a,設正方體的棱長為1,則 NG=，MA =,所以 NG=M4,，22所以四邊形AMNG是等腰梯形；故正確.故答案為：.A M B【題型三】平行關系確定截面【典例分析】在三棱錐力-BCD中，AB = CD = a,截面MVP。與48，都平行，則截面MNP。的周長等于()A. 2a B. 4a C. a D.無法確定【分析】由線面平行的性質定理確定截面MNP。的形狀，再利用三角形相似的性質求截面MVP0的周長.【詳解】設”=左，因為48平面MNP。，平

13、面/BCD平面MV , 480平面48。，所以MNAB,CM同理可得尸。力8, MQCD, NPMCD，故四邊形MNP。為平行四邊形，所以丹二哭二占，MQ NP kCD CD"T+7'因為 AB = CD - a » 所以 MN = PQ = a , MQ NP ="",1 + 41 + &所以四邊形MVP0的周長為MV + P0+A/Q + NP = 2(，- +處= 2a.故選：A.U + A k)【提分秘籍】基本規(guī)律平行關系確定的截面作圖，一般情況下，利用線線、線面、面面特別是線面的平行性質定理推 導.【變式演練】7.在正方體ABC

14、。-AqGA中，與AC平行，且過正方體三個頂點的截面是 和【分析】 根據(jù)題意，結合圖形，得出與AC平行，且過正方體三個頂點的截面是平面AG。，平面4G6.【詳解】在正方體ABC。-44GA中，與AC平行，且過正方體三個頂點的截面是平面AG。，平面A4,/CG，AA=CG，.四邊形ACGA是平行四邊形；ac4G ,又ac仁平面A£。，AG<=平面AG。，AC平面4G。；同理AC/平面AG8 .故答案為：平面AG。，平面AG8.8 .若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面a平行的棱有（）B. 1條D.4條A.0條C.2條【分析】由平行四邊形的性質有兩對邊平行且相等，

15、再應用線面平行的判定可確定線面平行，由線面平行 的性質、判定即可知有幾條棱與平面a平行.【詳解】如下圖示，若平面a即為面HEGF為平行四邊形，即“E/ /EG且£ = EG , EG/ /"E且EG = HF ,又 HEu 面 AC。，F(xiàn)Ga 面 ACQ,則FG/面 AC。，而 FGu 面面 ABZJc 面ACD= AD,：.FGH AD,由線面平行判定易知：AZ)平面a；同理可得EG/8C,易得8C/平面a.該三棱錐與平面a平行的棱有A。、BC,共2條.故選：C9 .如圖是一個以aAiBiG為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為aABC已知44尸4, BBi=2,

16、 CG=3.在邊AB上是否存在一點O,使得0c平面AiBiG.【分析】 取A8的中點。，連接。C,可證明OO/CG，OO = CG，即四邊形。GC是平行四邊形，所以OC/CiD,由線線平行證明線面平行，即得證【詳解】存在，取AB的中點0,連接0C,作。44交A困于點O,連接GD,則OOBSCCi.因為。是A8的中點，所以OO=；(A4i+B8i)=3=CG,則四邊形。GC是平行四邊形，所以OCV/GD 又GOu平面GB14,且OCU平面C134, 所以0C平面48G.即在邊4B上存在一點。，使得0C平面4B1G.【題型四】垂直關系確定的截面【典例分析】已知正三棱柱（底面為正三角形的直棱柱）X8

17、C-44C的體積為6力，AB = 2£，。是8£的中點，點是線段4。上的動點，過8c且與“，垂直的截面a與戶交于點£,則三棱錐P-8CE的體積的最小值為4.也B. -C. 2 D.-222【分析】由正三棱柱/8。-48£的體積為66，AB = 2百,可求得44=2,由于_詆=26 = %盛”匕*£，所以要使三棱錐P-8CE的體積最小，則三棱錐£-.48C的體積最大，設BC的中點為廣，作出截面如圖 所示，可得點£在以4尸為直徑的圓上，從而可求出點E到底面/8C距離的最大值，進而可求得三棱錐 P-8CE的體積的最小值【詳解】如圖

18、所示,B因為正三棱柱"C-/MG的體積為66，AB = 2上，所以也x（26）'x44=66,即=2 ,因為匕,"x2xWL（26）'=26 = /“, + %”,，所以要使三棱錐P-BCE的體積最小，則三棱錐 r-ABl 34、'r-ULt 4-oic£-48C的體積最大，設BC的中點為廣，作出截面如圖所示，因為/P«La，所以/<£!>£/,所以點£在以/產為直徑的圓上，所以點£到底面/8C距離的最大值為正乂2石乂1 = 3，22 2所以三棱錐P-8CE的體積的最小值為2石-

19、器乂去僅可考故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律垂直關系確定的截面，利用線面垂直定理，轉化到表面尋找線線垂直.【變式演練】10.如圖，ABC。- ABC'。'為正方體，任作平面。與對角線AC垂直，使得a與正方體的每個 面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S,周長為/,則（）/BA. S為定值，/不為定值B. S不為定值，/為定值C. S與/均為定值D. S與/均不為定值【分析】將正方體切去兩個正三棱錐與C-DB'c后，得到一個以平行平面4b。與OBC為上、 下底面的幾何體丫，丫的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底 面上的一條邊平行，將丫的側

20、面沿棱48剪開，展開在一個平面上，得到一個平行四邊形48片A, 考查£的位置，確定S,/【詳解】將正方體切去兩個正三棱錐與C-05c后，得到一個以平行平面A'BO與ORC為上、 下底面的幾何體V, V的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底 面上的一條邊平行，將V的側面沿棱AP剪開,展開在一個平面上,得到一個平行四邊形A 8與4， 如圖所示B'C 0，BiE'/、/、云 二A'BD Ax而多邊形w的周界展開后便成為一條與AA平行的線段（如圖中EE）,顯然，E& = aA，所 以/為定值，當E'位于4*中點時，多邊

21、形W為正六邊形，而當區(qū)稱到A時，W為正三角形，則當周長這定值/的正六邊形與正三角形面積分別為/2 /2,所以S不是定值，2436故選：B11.正方體A8CD-Aq,的棱長為4,已知AC，平面% AC、u/3 ,則關于a4截此正方 體所得截面的判斷正確的是（）A. a截得的截面形狀可能為正三角形B. A4與截面a所成角的余弦值為漁3C. a截得的截面形狀可能為正六邊形D.尸截得的截面形狀可能為正方形【分析】 首先根據(jù)已知條件確定截面a4 ,然后根據(jù)選項依次判斷正誤即可.【詳解】如圖AiFBi因為正方體ABC。4四£。|A AC1BD, BD 1 Cq ,又平面 ACC|A又； AG u

22、平面AceaAC, 1 BD同理：AC, ± D又；AQcBD = D：.AC, _L 平面 4/0，平面?？梢允瞧矫鍭B。，又因為A。= 8。= AB.A/。為等邊三角形，故A正確取ADdq,cd.cb, BB, a K的中點e, g, p, k, ,尸并依次連接 i一易知EG = 5d。，因為EGa平面A3。，AOu平面A/。EG：平面 ABD同理：G尸II平面48。又因為 EG A GP = G 且 EG U 平面 EGPKHF , GP u 平面 EGPKHF：.平面 EGPKHF/ 平面 4 8。.平面a可以是平面EGPKHF'：EG=GP = PK = KH =

23、HF = FE二六邊形EGPKHF是正六邊形，故C正確以平面a是平面A8D為例計算：設A到平面BD的距離為等體積法求距離V-ABD =匕-ABO » SZD =, S JBD又因為Sio = ；x4啦x4&已8百 , S» = ；x4x4=8 ZZ,/.,4G n=3則M與平面A/D所成角的正弦值為AA, 3.余弦值等于遠，故B正確 3對于D選項：由于直線AGu尸，在正方體上任取點但異于AG，與A，G可構成平面夕，但是 截面的形狀都不是正方形，故D錯誤 故選：ABC【方法點評】求直線與平面所成的角的方法：(1)幾何作圖找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影

24、來完成；計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解.(2)等體積法求出面外直線上的一點到直線的距離，所求距離小面外直線上的點和交點之間的距 離即是所求線面角的正弦值.12.已知正方體A8CO-A4G。的棱長為2, M為AA的中點，平面。過點。且與CM垂直， 則()A. CM ±BDB.平面。9C.平面G5O平面aD.平面a截正方體所得的截面面積為£【分析】分析出_L面ACM,可判斷選項A；取的中點E,由平面幾何知識可知，從 而判斷出。河_1面4口所，即平面a截正方體所得的截面為梯形片。«尸，從而可判斷剩余的三 個選項.【詳解】連接 AC,則 ACLBD,又

25、因為 8£>_L/W, ACIAMA,所以5。_L面ACM,又因為CM u面ACM,所以8OJ.CM,故選項A正確;取A3的中點E, A8的中點/，連接。/, EF,用口，DM , BR,在正方形AORA中，由平面幾何知識可知，OM_L"E,又因為 CQ_LQE, CDr>DM = D,所以RE_L 面 CDW,所以 RE_LCM,又因為8。_L CM,所以8Q|_LCM,又因為 DEcBQi =2,所以。加_1面4口所，即平面a截正方體所得的截面為梯形片口所，所以顯然80平面a,選項B正確；平面G 6。與平面a不平行，選項C錯誤；在梯形4AM中，4A =2拒，

26、EF = B 8尸=£ =石，所以梯形的高為手，9Q所以梯形耳的面積為萬，即平面a截正方體所得的截面面積為,故選項D正確.故選：ABD.【題型五】求截面周長【典例分析】如圖，在正方體/8C£>-48£。中，.48 = 4, £為棱8c的中點，/為棱4。的四等分點(靠近點R),過點4 .作該正方體的截面，則該截面的周長是.【分析】首先根據(jù)面面平行的性質定理作出過點A.E.F的正方體的截面，從而求截面的周長.【詳解】 如圖，取GA的中點，取CG上靠近點G的三等分點g ,連接,易證/E/AMR/尸/EG,則五邊形4EG，尸為所求截面.84因為 48 =

27、4,所以 BE = CE = GH = RH = 2,AF = 3,D、F = 1,CG = 3, C,G = y則/IE = 2技EG =與，G4=&叵,/=氐/尸=5,故該截面的周長是心 ”口 ur 門 9石+ 25 + 2萬AE 4- EG + GH + HF + AF =3故答案為：9石+ 25 + 2回3【提分秘籍】基本規(guī)律1 .截面周長，可以利用多面體展開圖求.2 .截面周長，可以在各個表面各自解三角形求解.【變式演練】13.正三棱柱ABC-45G中，所有棱長均為2,點E,尸分別為棱6S, AiG的中點，若過點4, E,尸作一截面，則截面的周長為（）A. 2+26B. 2x

28、/5 + |V13 C. 2>/5+V13 D. 2行 + 半【分析】根據(jù)題意先作出截面，進而算出截面各邊的長度，最后得到答案.【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長AF與CG的延長線交于M,連接交小G于P,連接 FP,則四邊形AEPF為所求截面.過E作EN平行于8c交CG于N,則N為線段CG的中點，由aMFC1相似于ZW1C可得PC 242MG=2,由MPG；相似于 aMEN可得：-'- = -=> PC. =-,B,P = , 2333在R/aAAE 中，AA|=2，Ab = l,則 AF =五 + <=后,在 Rt/ABE 中，AB = 2,BE = 1,則 AE =

29、 J22 +12 =#），在放 aaEP 中，BtE = l,B,P = ,則乎,4在C/P中，C1F = l,C1P = -,ZFC,P = 60°,由余弦定理：PF2=l2+f-l -2xlx-xcos60° = ,則 PE=巫， 393所以截面周長為：石+6+巫+，叵=26+冬叵 333故選：B.【方法點評】本題主要考查幾何體的截面問題，其中根據(jù)空間幾何體的結構特征，利用平面的性 質作出幾何體的截面是問題的關鍵，平常注意方法的總結和歸納.14 .已知在棱長為6的正方體A8CD-43G。中，點E,尸分別是棱GOi, 8G的中點，過4, E, R三點作該正方體的截面，則截

30、面的周長為.【分析】根據(jù)正方體的性質作出截面圖形，進而算出周長.【詳解】如圖，延長EF, AB,相交于點M,連接AM,交BBi于點H,延長FE, AD,相交于點N,連 接AN,交DDi于點G,連接F，EG,可得截面為五邊形AHFEG.因為ABCD-AiBiGDi是棱長為 6的正方體，且E,尸分別是棱Ci。，的中點，由中位線定理易得：EF= 372 .由勾股定理易 得：AG=AH=2y/l3 , EG=FH=岳,截面的周長為 AH+aF+EF+EG+AGu + 3行.N故答案為：6a/13 + 3>/2 15 .已知直三棱柱ABC -4用G的側棱長為2, AB±BC, AB =

31、3C = 2.過A3、B片的中點E、產作平面。與平面A41cle垂直，則所得截面周長為（）A. 26.+ 瓜B, V2 + 2x/6C. 3逝 + # D. 30 + 26【分析】確定平面a與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.【詳解】如下圖所示，取AC的中點J,連接即，取A/的O,連接£>E,取AG的中點K,連接K/、與K, AB = BC, J 為 AC 的中點，則 R/J_AC,A4tl.平面 ABC, 87 u平面 ABC,，8/-L A4),ACc = A , R/J_ 平面 AAG。，Q。、E分別為A/、A8的中點，則OEB/且。£

32、 = 即，平面A4,CC，:DEu平面DEF，所以，平面OEFJL平面441cC，所以，平面a即為平面。跖，設平面a交8c于點/,在直棱柱 ABC A AG 中，M l/CQ 且 44, = C£ ,所以，四邊形A41c。為平行四邊形，.acag且ac = ag，/、K分別為 AC、AG 的中點，A/AK 且 aj = ak,所以，四邊形AAKJ為平行四邊形，.K/A41且K/ = A4,.84441且8瓦=441,;.長/8耳且長/ = 8耳，所以，四邊形為平行四邊形，. DE/BJ , DE .平面 BB、KJ , BJ u 平面 BB、KJ，, DE/ 平面即 KJ ,設平面。

33、0平面5瓦長/ =打；，：£)£<=平面&,所以，DE/FG, .FG/BJ,;BF/GJ ,所以，四邊形BFGJ為平行四邊形，可得G/ = 6E = ,=KJ ,22所以，G為K7的中點，延長 0G 交于點，-.-DJ/KH ,所以，NDJG = NHKG, ZJDG = NKHG,又.JG = KG,所以，ADJGAHKG, ；.HK = DJ = gAJ=；KC，：.H 為 Ke1的中點、,因為平面ABC平面,平面a (")平面A6c = £>E ,平面aC平面AgG = "/ ,DEHIH ,-,-DE/BJ , B

34、JHB.K , DE/IH , ；. IH/gK ,；.為 B£ 的中點,v AB IBC, AB = BC = 2,則 4。=4AB? + BC? = 20，.j為4。的中點，b/ = !ac =及，則。七=_1區(qū)/ = ",同理/=立， 2222因為直棱柱ABC-44G的棱長為2,尸為的中點，.8/=；84=1,由勾股定理可得E尸尸+ 8於=&,同理可得/尸=血,; KJBB1旦 KJ = BB、=2, 8片 1 平面 ABC,，K/J平面 ABC,ACu平面 ABC, .KJ LAC,G、。分別為 K/、A/的中點，則 G7=1K7=1, DJ=-AJ =,

35、222由勾股定理可得。G = Jn/2+Gj2 =旦，同理g=.22Ji因此，截面的周長為+ " + /+。"= Jx2+&x2 + # = 3& + «.2故選：C.【方法點評】思路點睛：本題考查直棱柱截面多邊形周長的計算，在畫幾何體的截面，關鍵是畫 截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的 面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置.【題型六】求截面面積【典例分析】已知正四棱柱中，BE =、BB、=2 , 4/8 = 3/4,則該四棱柱被過點4，C, E的平面截 4得的截面面積為.【分析】在。R上取點尸

36、，使得。吠=2,連接4ECF,則四邊形4ECF 平行四邊形，由勾股定理可得4ECE4C，再結合余弦定理與面積公式即可求解【詳解】由題意，正四棱柱中，BE = 1BB、=2 , 4AB = 3AA.,4可得力4 = 88, =CG=8,8E = 2,在。上取點F，使得RF = 2 ,連接則有A,F = CE.AXFHCE,所以四邊形4ECF是平行四邊形，由勾股定理可得A、E = j6，+6' = 60CE = /2:+6: = 2而,A,C = j6）+ 6+8： = 2南，而|”/ a cr' 4£“+Cf-4U72 + 40-136 石 由”795 而 i” nn、

37、+* 彳 旦所以8sz4EC=,/u ”= 丁，衣、后=-i7T，所以sinN4EC = *3，所以四邊形4£b是24ExCE 2x6V2x2V10101 |Q平行四邊形的面積為4Ex£CxsinN4EC = 6>/ix2"歷x券= 12J歷，故答案為：12炳【提分秘籍】基本規(guī)律求截面面積：1 .判斷界面是否規(guī)則圖形2 .求截面各邊長度3 .規(guī)則圖形，可以用對應面積公式求4 .不規(guī)則圖形，可以分割為三角形等圖形求.5 .難點：動態(tài)面積最值，可參考本專題10【變式演練】16.正方體A8CO-A4G4的棱長為2, E是棱。的中點，則平面AGE截該正方體所得的截

38、面面積為（）A. 5B. 2/5C. 45/6D.【分析】作出示意圖，設尸為的中點，連接af/g，ef，易得平面AGE截該正方體所得的截面為afc.e ,再計算其面積.【詳解】如圖所示，設F為5用的中點，連接設G為CG的中點，連接EG,GB,由EG/AB且£G = A5,得ABGE是平行四邊形，則他BG且A£ = 8G ,又BG/CF且BG = CF ,得AE。/且AE = G/，則AEG，尸共面，故平面AGE截該正方體所得的截面為AFGE.又正方體A8CD- ABC，的梭長為2, AF = FC】=EC1=EA , 4cl =2百，EF = 2母，EF ± AG

39、， 故AFGE的面積為S = ；x2拒x2G = 2«.故選：D.17.在棱長為。的正方體ABC。-4四6。中，E為A4的中點，則過3、G、E三點的平面截正方體A8C。-AgC。所得的截面面積為（）& 3屈 2 R 2 23V2 , n V10 2A. qd. aCciD. a8842【分析】取AA中點尸，連接踮、EF、CF、BCi、ADit證明出EfV/BG，故四點5、G、E、尸共面，所以過8、G、E三點的平面截正方體A8C。-R所得的截面為等腰梯形封。由，根據(jù)已知，即可求解.【詳解】取AA中點尸，連接的、EF、qF、BCi、AR, 因為AW/CQ且A8 = CQ,所以，四

40、邊形A8CQ為平行四邊形，所以，AD、/g ,;E、E分別為AM、40的中點，所以，EF /AD、且EF =工A"=旦a 22所以，EF/BC,故3、G、E、尸四點共面, 所以過5、G、E三點的平面截正方體A8CO-4與GA所得的截面為等腰梯形其中 EF = "a, BC.BE = C,F = AB2 + AE2 = a,212過點石、尸在平面5C/E內分別作BG的垂線，垂足點分別為G、H,所以，Rt/XEBG = RtAFHC，故 6G = G”,在平面 BC/E 內，因為 EGL6G，F(xiàn)H 1 BC, EF/BQ ,所以，四邊形EFHG為矩形，則GH = E/=X1a，

41、所以，86.=些/=%,所以，梯形8C/E的高 =Jbe2 - bg2 =梯形的面積SV2HCl23019a2Xci X -=428故選：B.18.已知正方體ABC。-的棱長為2,點P在線段C4上，且B/ = 2PC,平面a經過點ARG，則正方體ABC。-48cA被平面a截得的截面為,其面積為【分析】第一空，先畫出A,P,£所在平面，由平面平面B8CG得出AQ/EC- AQ/EC,A, E, G，Q四點共面，即為所求截面；第二空由已知條件可求出A£ = EG=后,AG=2g,再求出aAEG的面積，再乘以2可得截面 的面積.【詳解】如圖所示:AP，G確定一個平面a,因為平面4

42、4,。/平面88CG ,所以AQ/EG，同理AQ/E£,所以四邊形aegq是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為 4P = 2PC,所以 G g=2CE,即 EC=£8 = 1 所以 A£ = £G=26Ap2 4- FC2 AC2 1o Z由余弦定理得：8SG=示品.0所以.NA"竽，所以5WaEc1q = 2x|aEx£C1x sin NAEq = 25/6 .故答案為：四邊形AEC©2指【題型七】球截面【典例分析】正三棱錐P-48c中，41PA = AB = 4s/2 點£在棱P/1上，且P£

43、= 3£4,已知點戶、4 8、C都在球O的表面上，過點E作球O的截面。，則a截球。所得截面面積的最小值為.【分析】通過補體把正三棱錐補成正方體，則正方體的體對角線為外接球直徑；求出。£ = 3,當0£_L平面。時, 平面。截球。的截面面積最小，此時截面為圓面，從而可計算截面的半徑，從而推導出截面的面積.【詳解】L冗,: PA = PC = PB = 4, AB = AC = BC = 4i，.PAPCAC1 > /C7M=一 ,同理NCP8 = N8/“ =工，故可把正三棱錐補成正方體（如圖所示），2其外接球即為球O,直徑為正方體的體對角線，故2K = 46

44、設21的中點為Q，連接OF,則O尸=2&且OFJ-PX .所以。£ =回1=3，當OE_L平面a時，平面a截球。的截面面積最小，此時截面為圓面【提分秘籍】基本規(guī)律計算球截面1 .確定球心和半徑2 .尋找做出并計算截面與球心的距離3 .要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點”這個性質4 .強調弦的中點，不一定是幾何體線段的中點.【變式演練】19.已知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，四個頂點在球。的球面上，平面a經過棱AB, AC, 4。的中點，若平面a截三棱錐A-8C。和球。所得的截面面積分別為，與，則!L =A 36R 3>/33n 38116萬8萬64萬【分析】根

45、據(jù)平面截三棱錐A-BCD所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面積，即可求解.【詳解】設平面a截三棱錐所得正三角邊長為“，截面圓的半徑為r,則 E =1 4由正弦定理可得=一=2叵a , sin 60032 47ra2S2 = 7rr =,.S| _34)S2 167r故選：B20 .某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐所有頂點都在半徑為3的球。上，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球。的截面面積是()A.冗B. 4乃C. 87rD. 9兀【分析】作出圖形，可知四棱錐P-A88為正四棱錐，由勾股定理可得出(力-3+ 2/=9,分析得出 jr力 >

46、; 3 ,可設 -3 = 3cos6> ,/a = 3sin。，其中。<。<5 ，可得出 p-abcd = 18(1 + cos) (1-cos0),令x = cos1g(0,1) , /(x) = (l+x)2(l-x),利用導數(shù)求出/(x) 取最大值時對應的X的值，求出sine的值，可得出AE的長，進而可求得結果.【詳解】如下圖所示，可知四棱錐P-ABCD為正四棱錐，設4。口8。=£,則球心。在直線PE上,設 PE = h , AB = 2a ,則 AE =，由勾股定理可得Of = OE2 + AE2 ,即|7/-3|2 + 2/ = 9 ,當四棱錐P-ABC。

47、的體積最大時，則點。在線段PE上，則力>3,可設-3 = 3cos6, Va = 3sin。，其中。萬，VP_ABCD =-x4a2h = x9sin2 x3(l + cos) = 18(l-cos2+ cos。) = 18(1 +cos。)' (1 一cos6), 令x = cos6e(0,l), /(x) = (l + x)2(l-x),則= 2(1 + x)(lx) - (1+x) = (3xl)(x+1).當。時，r(x)>0,此時函數(shù)/(X)單調遞增，當g<X<l時，r（X）<0,此時函數(shù)/（X）單調遞減，所以，/（x）max =/（；）， 2

48、5此時cos6 = §, sin0 = >/1 cos" 6 =,則 AE = 3sin6 = 2>/，因此，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球。的截面面積是%XAE? =8萬.故選：c.21 .已知球。是正三棱錐A-8CO （底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3, AB=26 ,點E在線段8。上，且過點E作球。的截面，則所得截面面積的最 小值是（）A. 2萬B. 3兀C. 4乃D. 51【分析】如圖，Oi是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理求出 。行 =1,當截面垂直于0E時，截面面積最

49、小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】如圖，。1是A在底面的射影,由正弦定理得，BCD的外接圓半徑4由勾股定理得棱錐的高AOi =-忖=3； 設球0的半徑為R,貝=(3-/?)2+62,解得R = 2，所以。彷=1；在8O1E中，由余弦定理得0爐= 1 + 3 2x1xJ5x = 1. 2所以OiE=l；所以在OEOi中，OE=6 ；當截面垂直于OE時，截面面積最小，此時半徑為Jg -OE?=近，截面面積為2%.故選：A高中數(shù)學教研群QQ群號929518278精品資料每天更新【題型八】截面分體積【典例分析】已知正四棱柱中4G、8a的交點為Q, AC. 80的交點為連接qq,點o為的中點.過點。且

50、 與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和加，則正四棱柱 48c的體積為.【分析】當截面平行于平面188時,截面面積最??；當截面為平面48co時，截面面積最大,根據(jù)題設條件列出 方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱48co -4日G2的體積.【詳解】設正四棱柱的底面邊長為a高為小由題知當截面平行于平面dSC。時，截面面積最?。划斀孛鏋槠矫?8co時，截面面積最大，因為過點。FL與直線平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為I和加，a1 =a = I所以_解得，于是正四棱柱X8CO-44CQ,的體積為a% = 3.ayja2+h!

51、 =VlO。= 3故答案為：3.【提分秘籍】基本規(guī)律對于截面截開幾何體，一般情況下，可能會出現(xiàn)不規(guī)則幾何體，所以求體積，需要采取“切割法”關注微信公眾號：高斯課堂下載更多精品資料第38頁共66頁來求【變式演練】22 .正方體中，E, F分別是棱BC，G"的中點，則正方體被截面5£尸£分成 兩部分的體積之比為.【分析】如圖，正方體被截面5£7X所截的一部分為棱臺，求出棱臺的體積，然后用正方體的體積減去棱臺 的體積可得另一部分的體積，從而可求得結果【詳解】設正方體的棱長為2,則正方體的體積為8,因為E,尸分別是棱用G，GR的中點，所以棱臺EFCBDC的體積為

52、-x2x(x2x2 + xlxl + Jx2x2x xlxl) = ,322 V2 237 17所以另一部分的體積為8-；=彳， 33所以正方體被截面5EED分成兩部分的體積之比為17： 7或7： 17,故答案為：17： 7或7： 1723 .如圖所示，在長方體ABCD-AB'C'D'中，用截面截下一個棱錐C A"則棱錐C'一A. 1： 5B. 1： 4C. 1： 3的體積與剩余部分的體積之比為()D. 1： 2【分析】由長方體的性質，結合三棱錐的體積公式、長方體的體積公式求C'-A'DD及剩余部分的體積，進 而求其比例即可.【詳解】由

53、圖知： C-A'DD'=q CD" SDD' ' ABCD-A,ffCD,=CD，* Sa，07M ,而 SA.D.DA = 2S/” ,剩余部分的體積為 ABCD-A'B,CD, - C-A'DD, =j CD' - S edd,，.棱錐C-A£>£>'的體積與剩余部分的體積之比為I： 5.故選：A24 .三棱錐D-A3C中，E、F, G、”分別是棱。A、DB、BC、AC的中點，截面EFG”將三棱 錐分成兩個幾何體：AB-EFGH, CD-EFGH ,其體積分別為匕、匕，則匕：匕=()A

54、. 1： 1B, 1： 2C, 1： 3D,1： 4【分析】如圖，連接切,B”,A尸，設aABC的面積為S,。到平面ABC的距離為，故可計算幾何體AB-EFGH的體積為助，從而可得兩個幾何體的體積之比.6D【詳解】B如圖，連接人”,5",4人 設ABC的面積為S, O到平面A8C的距離為人,則%-8GH =；X；XS48GH =：X；S = 1S/Z , 3 2o 424而%=1x,x5班H =!如"=s力， 3 26 212又/-=yH-EAF=H-BAF=yF-BAH =/，故幾何體AB-£FG的體積為S/?,而三棱錐。-ABC的體積為!S/?, 63故幾何體

55、AB - EFGH的體積與棱錐。- ABC的體積之比為1:2,故兩個幾何體AB-EFG"、CD-EFGH的體積之比為1:1.故選：A.【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）【典例分析】如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為。（0°。90。）的平面所截，截面是一個橢圓，當e為30。時，這個橢圓的離心率為（）A. - B.立 C. - D.2233【分析】根據(jù)幾何關系用圓柱的地面半徑表示橢圓的長軸和短軸，再計算橢圓的離心率即可.【詳解】 設橢圓 長半軸為。，短半軸為b,半焦距為c根據(jù)題意可知，26 = 2R2a ="一 =士也cos3003非邛R所以橢圓的離心率e =鴻,選項A正確.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律不規(guī)則截面，會產生截面圖像為圓錐曲線，可參考專題8-1立幾中的軌跡 專題【變式演練】25.古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖，用一個不垂直于圓錐 的軸的平面截圓錐，當圓錐與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢 圓、拋物線和雙曲線.圖，在底面半徑和高均為1的圓錐中，AB. C。是底面圓。的兩條